1.3.2 完全平方公式 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 1.3.2 完全平方公式 专项练习 ## 知识点回顾 完全平方公式（因式分解逆用） $\boldsymbol{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}$　　**两数和的完全平方** $\boldsymbol{a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}$　　**两数差的完全平方** 能用完全平方公式分解的多项式特征： 1. 一共**三项**； 2. 其中两项是两个数（或整式）的平方\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)并且**同为正**； 3. 剩下一项是这两个底数乘积的**2倍**\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)符号可正可负。 口诀：**首平方\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)尾平方\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)首尾乘积二倍放中央；同号加\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)异号减\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)结果带上平方括号**。 解题要点： ① 先观察\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)优先**先提公因式\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)再套用完全平方公式**； ② $a\(a、b\)b$可以是单项式\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)也可以是多项式； ③ 分解必须彻底\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)分解后的因式不能继续再分解； ④ 注意区分完全平方公式和平方差公式：平方差是两项\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)完全平方是三项。 满分：100分 时间：40分钟 ## 一\(a、b\)选择题（每题4分\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)共20分） 1. 下列多项式\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)能运用完全平方公式因式分解的是（） A.$x^2+4$　B.$x^2+4x+4$　C.$x^2-2x-1$　D.$x^2+y^2$ 2. 分解因式$x^2-10x+25$\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)结果正确的是（） A.$(x+5)^2$　B.$(x-5)^2$　C.$(x+5)(x-5)$　D.$(x-10)^2$ 3. $4a^2-12ab+9b^2$分解因式的结果是（） A.$(2a+3b)^2$　B.$(2a-3b)^2$ C.$(4a-3b)^2$　D.$(2a-9b)^2$ 4. 若$x^2+kx+16$是完全平方式\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)则$k$的值为（） A.$8$　B.$-8$　C.$\pm8$　D.$16$ 5. 下列因式分解正确的是（） A.$x^2+2x+1=(x+1)^2$ B.$x^2-2x+4=(x-2)^2$ C.$4x^2+4x-1=(2x+1)^2$ D.$-x^2+2x-1=(x-1)^2$ ## 二\(a、b\)填空题（每题4分\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)共20分） 1. $x^2+6x+9=$________。 2. $4m^2-(\quad)+9n^2=(2m-3n)^2$。 3. 因式分解：$2a^2+8a+8=$________。 4. $x^2-14x+\underline{\quad\quad}=(x-7)^2$。 5. 因式分解：$(x+y)^2-4(x+y)+4=$________。 ## 三\(a、b\)基础解答题（每题8分\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)共32分） 1. 判断下列多项式能否用完全平方公式分解\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)说明理由。 （1）$x^2-8x+16$　　（2）$x^2+6x-9$ 2. 用完全平方公式分解因式 （1）$a^2+12a+36$　　（2）$25x^2-20xy+4y^2$ 3. 分解因式：$-3x^2+12x-12$ 4. 简便计算：$99^2+2\times99+1$ ## 四\(a、b\)拓展提升题（每题14分\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)共28分） 1. 分解因式：$(a-b)^2+8(a-b)+16$ 2. 先因式分解\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)再求值：$4x^2-4xy+y^2$\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)其中$x=3\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)y=1$ --- # 参考答案与解析 ## 一\(a、b\)选择题 1. B 解析：$x^2+4x+4=x^2+2\cdot x\cdot2+2^2$\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)符合完全平方式特征；A只有两项\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)C中间项符号不对\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)D两项都是平方和\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)不满足。 2. B 解析：$x^2-10x+25=x^2-2\cdot x\cdot5+5^2=(x-5)^2$。 3. B 解析：$4a^2=(2a)^2\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)9b^2=(3b)^2$\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)中间项$-2\cdot2a\cdot3b=-12ab$\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)原式$=(2a-3b)^2$。 4. C 解析：$x^2+kx+16=x^2+kx+4^2$\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)$k=\pm2\times1\times4=\pm8$。 5. A 解析：B中间项不对；C常数项符号错误；D提取负号应为$-(x-1)^2$。 ## 二\(a、b\)填空题 1.$(x+3)^2$ 2.$12mn$ 3.$2(a+2)^2$ 4.$49$ 5.$(x+y-2)^2$ ## 三\(a、b\)基础解答题 1.（1）能。三项\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)首尾平方均为正\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)中间项$-8x=-2\cdot x\cdot4$\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)满足完全平方； （2）不能\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)最后一项是负数\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)完全平方的两个平方项必须为正。 2.（1）原式$=(a+6)^2$；（2）原式$=(5x-2y)^2$ 3. 解：先提取公因式 $\begin{align} \text{原式}&=-3(x^2-4x+4) \\ &=-3(x-2)^2 \end{align}$ 4. 解： $\begin{align} \text{原式}&=(99+1)^2 \\ &=100^2 \\ &=10000 \end{align}$ ## 四\(a、b\)拓展提升题 1. 解：把$(a-b)$看成整体 $\begin{align} \text{原式}&=[(a-b)+4]^2 \\ &=(a-b+4)^2 \end{align}$ 2. 解： $\begin{align} \text{原式}&=(2x-y)^2 \end{align}$ 代入$x=3\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)y=1$\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)$(2\times3-1)^2=5^2=25$ ## 易错警示 1. 混淆完全平方与平方差：完全平方公式是**三项式**\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)平方差是两项式； 2. 中间项忘记乘以2\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)如$a^2+ab+b^2$不是完全平方式； 3. 首项为负时\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)提取负号\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)括号内**每一项全部变号**； 4. 没有先提取公因式\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)直接套公式\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)导致分解不彻底； 5. 底数是多项式时\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)整体替换\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)结果不要漏括号。 你需要我扩写到**1400字完整版**\(x=3\(4a^2=(2a)^2\(x=3，y=1\)9b^2=(3b)^2\)y=1\)还是单独出**空白无答案试卷**？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 1.3.2完全平方公式 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第1章 因式分解 1 2 3 掌握完全平方公式的结构特征 运用完全平方公式进行因式分解，体会转化思想和整体思想．（重点） 会综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进 行因式分解．（难点） 学习目标 知识回顾 1、完全平方公式 (x+y)2= . 从左边到右边的这个过程叫___________. 整式乘法 2、反过来，x2+2xy+y2=__________. (x+y)2 从左边到右边的这个过程叫___________. 分解因式 x2+2xy+y2 公式中的x和y分别可以用数、单项式或多项式代入 (x-y)2= . x2-2xy+y2 x2-2xy+y2=__________. (x-y)2 02 新知导入 完全平方公式 (x+y)2=x2+2xy+y2、(xy)2=x22xy+y2 注意：公式中的 x,y,可以分别用任何数或任意多项式代入. 03 新知探究 计算：. 解：在完全平方公式1中，将y用2代入得到等式 = 你能将进行因式分解吗？ 03 新知探究 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式因式分解： 6 03 新知探究 x22xy+y2 =(xy)2 整式乘法 完全平方公式 (xy)2=x22xy+y2 从右到左使用 因式分解 7 03 新知探究 把多项式因式分解. 例5 解： 1. ［2025东营月考］若 能用完全平方公式 进行因式分解，则常数 的值是( ) D A. 或5 B. 5 C. 8 D. 8或 返回 举一反三 9 2. ［2025日照月考］下列多项式： ； ；； ； ， 其中能用公式法分解因式的是( ) B A. ①③④⑤ B. ②④⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤ 返回 举一反三 10 返回 3．因式分解： (1)(x＋2)(x＋4)＋1＝____________． (2)(a－3b)2－4(a－3b)c＋4c2＝_______________________. 4．[成都市中考]多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是____________________(填一个即可)． (x＋3)2 (a－3b－2c)2 4x(答案不唯一) 举一反三 11 03 新知探究 具有什么特征的多项式可用完全平方公式分解因式？ 议一议 主要特点： 1.含有三项 2.有两项可以写成某个数（或式子）的平方，并且这两项符号相同 3.第三项是这两个数（或式子）的乘积的±2倍 x2+2xy+y2=(x+y)2、x22xy+y2=(xy)2 口诀：首平方加尾平方，2倍首尾积，加减放中央，等于首加（减）尾的完全平方 03 新知探究 下列把多项式因式分解： (1); (2). 例6 解：(1) 若首项系数为负，一般要提出“”，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号。 03 新知探究 下列把多项式因式分解： (1); (2). 例6 解：(2) 若多项式各项有公因式，则先提公因式，再运用公式分解因式。 03 新知探究 把多项式因式分解. 例7 解： 因式分解必须进行到每个因式都不能再分解为止。 03 新知探究 把多项式因式分解. 分析：可以将看成一个整体 解： (x+y)2=x2+2xy+y2和(xy)2=x22xy+y2中的x,y，可以用任何数或任意单项式代入。 16 新知应用 基础巩固题 1、下面的多项式能否运用完全平方公式分解因式？说明理由。 （1）; （2）; （3）; （4） 能运用完全平方公式分解因式的多项式的特点： 1、必须是三项式 （三项）； 2、两项都能写成平方的形式（两个平方），符号相同 3、两底数乘积积的2倍放中间，符号既可以为正也可以为负。. 不能 不能 能 能 新知应用 基础巩固题 D 3、若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N = ( ) A . 11 B. 9 C. - 11 D. - 9 解析：根据完全平方式的特征，中间项 - 6x = 2x×(-3)，故可知 N = (-3)2 = 9. B 新知应用 基础巩固题 5、如果 x2 - mx + 16 是一个完全平方式，那么常数 m 的值为_______. 解析：∵ 16 = ( ±4 )2，∴ - m = 2×( ±4 )，即 m = ±8. ±8 A 返回 5．因式分解： (1)－16＋8a－a2；　　　　 (2)x4－8x2y2＋16y4. 【解】原式＝－(16－8a＋a2)＝－(4－a)2. 【解】原式＝(x2－4y2)2＝(x＋2y)2(x－2y)2. 举一反三 20 返回 B 举一反三 21 【解】原式＝－3a(x2－2xy＋y2)＝－3a(x－y)2. 举一反三 22 返回 (3)2a2＋4ab＋2b2－8c2. 【解】原式＝2(a2＋2ab＋b2)－8c2＝2(a＋b)2－8c2＝2[(a＋b)2－(2c)2]＝2(a＋b＋2c)(a＋b－2c)． 举一反三 23 返回 8. 如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　　) A．0 B．1 C．4 D．9 D 举一反三 24 返回 9. 若P＝2m2＋m，Q＝m2－3m－4，则P与Q的大小关系为(　　) A．P≥Q B．P>Q C．P＝Q D．P<Q A 举一反三 25 返回 10．利用因式分解计算：1.222＋2.44×2.78＋2.782＝________. 16 举一反三 26 11．已知两块边长都为a的大正方形，两块边长都为b的小正方形和五块长、宽分别是a，b的小长方形(a>b)，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知图中阴影部分四个正方形的面积之和为240，每个小长方形的面积为12，则拼成的大长方形的周长为________． 72 举一反三 课堂小结 完全平方公式分解因式 公式 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解 1、必须是二项式（两项）； 2、两项都能写成平方的形式 3、两项符号相反（一正一负） x2 +2xy + y2= (x + y)2 谢谢观看 THANKS 2．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 4、小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，墨迹将“ ”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（     ） A．4xy B．2xy C． D． 6．因式分解－2x3－12x2－18x的结果是(　　) A．－2x(x2＋6x＋9) B．－2x(x＋3)2 C．－2x(x＋3)(x－3) D．－2x(x－3)2 7.因式分解： (1)－3ax2＋6axy－3ay2； (2)x5－x3y2＋xy4； 【解】原式＝x＝x＝x2. $