1.1 多项式的因式分解 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

湘教版数学八年级上册1.1多项式的因式分解专项练习 知识点梳理：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，因式分解与整式乘法是互逆变形。本节核心掌握因式分解的定义辨析、公因式识别、简单提公因式分解，是后续公式法分解因式的基础。 答题说明：本套练习涵盖基础辨析、填空、计算、简答，侧重夯实核心概念与基础解题能力，满分100分，答题时间40分钟。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（） A. $$3x(x-2)=3x^2-6x$$ B. $$x^2-4=(x+2)(x-2)$$ 2. 多项式$$4x^2y-6xy^2$$的公因式是（） A. 2xy B. xy C. 2x D. 2y 3. 下列因式分解结果正确的是（） A. $$2x+4=2(x+2)$$ B. $$x^2+x=x^2(1+\frac{1}{x})$$ C. $$3a-6=3(a-6)$$ D. $$5m+10=5(m-2)$$ 4. 若多项式$$x^2+mx$$分解因式结果为$$x(x+3)$$，则m的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列变形中，不属于因式分解的是（） A. $$a^2-9=(a+3)(a-3)$$ B. $$ab-ac=a(b-c)$$ C. $$2x^2+4x=2x(x+2)$$ D. $$(x+1)(x-1)=x^2-1$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 因式分解与__________是互逆的恒等变形。 2. 多项式$$3x^2-6x$$的公因式是__________。 3. 分解因式：$$5a^2-10a=$$__________。 4. 已知$$x^2-2x=x(x-a)$$，则a=__________。 5. 多项式$$6x^3y^2-9x^2y^3$$的公因式是__________。 三、基础解答题（每题10分，共30分） 1. 判断下列各式是否为因式分解，简要说明理由。 （1）$$4x+8=4(x+2)$$ （2）$$x^2+3x+2=x(x+3)+2$$ 2. 用提公因式法分解下列多项式： （1）$$7x^2-21x$$ （2）$$8ab^2-12a^2b$$ 3. 已知多项式$$2x^2+kx$$可分解为$$2x(x-3)$$，求k的值。 四、综合提升题（每题15分，共30分） 1. 利用因式分解进行简便运算：$$2026^2-2026×2025$$ 2. 已知整式$$A=3x^2-6x$$，$$B=x-2$$，尝试将整式A分解因式，并求A÷B的结果。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. B 解析：因式分解是多项式变整式积的形式，A是整式乘法，C结果不是积的形式，D因式含分式，均错误。 2. A 解析：系数最大公约数为2，相同字母最低次幂为xy，公因式为2xy。 3. A 解析：B含分式、C分解错误应为3(a-2)、D符号错误应为5(m+2)。 4. C 解析：展开$$x(x+3)=x^2+3x$$，对应系数得m=3。 5. D 解析：D是整式乘法，从积变多项式，与因式分解方向相反。 二、填空题 1. 整式乘法 2. 3x 3. $$5a(a-2)$$ 4. 2 5. $$3x^2y^2$$ 三、基础解答题 1. （1）是因式分解，将多项式化为两个整式的积；（2）不是，结果为和的形式，并非整式积。 2. （1）原式=$$7x(x-3)$$；（2）原式=$$4ab(2b-3a)$$ 3. 展开$$2x(x-3)=2x^2-6x$$，对比原式得k=-6。 四、综合提升题 1. 原式=$$2026×(2026-2025)=2026×1=2026$$，利用提公因式简化大数运算。 2. $$A=3x^2-6x=3x(x-2)$$，$$A÷B=3x(x-2)÷(x-2)=3x$$（x≠2）。 易错总结：1. 混淆因式分解与整式乘法的变形方向；2. 公因式提取不彻底，遗漏系数或字母；3. 分解结果含分式，不符合因式分解定义。解题需牢记“整式、积的形式、恒等变形”三大核心要求。 湘教版（新教材）数学八年级上册 1.1 多项式的因式分解 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第1章 因式分解 学 习 目 标 1 2 3 了解因式分解的意义，理解因式分解的概念 能够根据因式分解的概念找出多项式的因式 掌握因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系(相反变形)，并能运用这种关系解决因式分解的相关问题 知识回顾 1.多项式的乘法有几种形式？ 单项式乘以多项式： 多项式乘以多项式： 2.乘法公式有哪些？ 平方差公式： 完全平方公式： （x+y）(x-y)=x2-y2 (x+y)2=x2+2xy+y2 (x-y)2=x2-2xy+y2 a(m+n)=am+an (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 03 新知探究 探究一 因式分解的定义 做一做 （1） 因为(x+1)2=__________，所以x2+2x+1=(x+1)(_________)； （2） 因为x(x)=__________，所以x2x=x(_________). x2+2x+1 x+1 x2x x 这两个式子有什么共同点？ 都是将一个多项式转化为两个整式的乘积 03 新知探究 一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f =gh，那么把 g 叫作 f 的一个因式. 此时，h 也是 f 的一个因式. 在乘法中，相乘的两个数都叫做积的因数. 动脑筋：将一个多项式转化为两个整式的乘积,这两个整式可以叫做这个多项式的什么？你能给它命名吗？ 03 新知探究 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. 填空： 例1 因为(x – 2)(x – 3)=______________ ， 所以___________ =(x – 2)(x – 3)是多项式__________的因式分解. x25x+6 x25x+6 x25x+6 03 新知探究 探究二 因式分解与整式乘法 议一议：多项式的因式分解与多项式的乘法之间有什么关系？与同学交流你的想法. x2+2x+1 (x+1)2 x2x x(x) x25x+6 (x – 2)(x – 3) 多项式的因式分解 多项式的乘法 03 新知探究 多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程。 x2+2x+1=(x+1)2 x2x=x(x) x25x+6=(x – 2)(x – 3) 左边是多项式 右边是整式的乘积 左边是整式的乘积 右边是多项式 (x+1)2=x2+2x+1 x(x)=x2x (x – 2)(x – 3)=x25x+6 1. 下列各式由左边到右边的变形中，是因 式分解的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2. 下列各式的变形中，是不是因式分解， 为什么? （1） ; 【解】不是因式分解.因为 是和的形式. （2） ; 不是因式分解.因为 是和的形式. （3） ; 不是因式分解.因为 是单项式. 举一反三 10 （4） ; 是因式分解.因为多项式 分解成三个整式 ,与 的积的形式，符合因式分解的定义. 返回 举一反三 11 3. 是下列哪一个多项式因式分解的结果 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 12 03 新知探究 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明 例2 理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. （1） x(x2y)=x22xy； （2） x22x+1=x(x – 2)+1； （3） 3x2x=x(3x – )； （4） xyxy+1=(x – 1)(y – 1). 解：（1） 不是因式分解. 理由：它是整式的乘法. （2） 不是因式分解. 理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式. 03 新知探究 解：（3）是因式分解.理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且x(3x – )=3x2x，因而符合因式分解的定义.3x2x的因式为x和(3x – ). （4）是因式分解.理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 (x – 1)(y – 1)=xyxy+1，因而符合因式分解的定义. xyxy+1的因式 为x – 1和y – 1. 新知应用 能力提升题 1、已知多项式可分解为 方法技巧 整式乘法与因式分解是互逆关系。利用整式的乘法可以求因式分解中的参数。 解：(x+2y+m)(2x-y+n) =2x2-xy+nx+4xy-2y2+2ny+2mx-my+mn =2x2+3xy-2y2+(n+2m)x+(2n-m)y+mn 根据题意可得 n+2m=-1,2n-m=8,mn=-6 所以m=-2,n=3 新知应用 能力提升题 2. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 ( x + 2 )( x + 4 )；乙看错了 a，分解结果为 ( x + 1)( x + 9 )，求 a + b 的值. 解：分解因式甲看错了 b，但 a 是正确的， 其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， 所以 a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， 所以 b = 9. 因此 a + b = 15. 新知应用 能力提升题 3. 若多项式 x4 + mx3 + nx﹣16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值. 解：因为 x4 + mx3 + nx﹣16 的最高次数是 4， 所以可设 x4 + mx3 + nx﹣16 = (x﹣1)(x﹣2)(x2 + ax + b). 则 x4 + mx3 + nx﹣16 = x4 + (a﹣3)x3 + (b﹣3a + 2)x2 + (2a﹣3b)x + 2b. 比较系数得 a﹣3 = m，b﹣3a + 2 = 0，2a﹣3b = n，2b =﹣16. 解得 b =﹣8，a =﹣2，m =﹣5，n = 20. 所以 mn =﹣5×20 =﹣100． 方法技巧 整式乘法与因式分解是互逆关系。利用整式的乘法可以求因式分解中的参数。 返回 4．[衡阳市模拟]若多项式 有一个因式是 ，则这个多项式中 的值是( ) A A. 3 B. C. 5 D. 举一反三 18 返回 5. 科技赋能出行，无人驾驶重构美好．搭载第二代VLA大模型的Robotaxi测试车已能够自主完成接送乘客等任务．某测试车的激光雷达点云密度ρ与探测距离x(单位：m)的关系可近似表示为ρ＝x2＋Ax＋B，如果x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)，则3A－B的值为________． 21 举一反三 19 返回 6. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多 项式的因式分解：___________________________. 举一反三 返回 7.将分解因式的结果为,则 的值为___. 4 举一反三 21 8.二次三项式 在整数范围内可以分解成两个一 次因式，则k的值有______个. 无数 【点拨】因为 在整数范围内可以分解成两个一 次因式，所以设（， 都是整 数），所以 .所以 , ,在整数范围内，满足两个整数的和为 的,有无数对，所以满足条件的 有无数个. 返回 举一反三 22 返回 2x2－12x＋18 9. 两名同学将一个二次三项式分解因式，一名同学因看错了一次项系数而分解成2(x－1)(x－9)，另一名同学因看错了常数项而分解成2(x－2)(x－4)，则原多项式为____________． 举一反三 23 【解】设原多项式为.（其中,, 均为常数，且 ） 因为 ,所 以由题意得, . 又因为 , 所以由题意得 . 所以原多项式为 . 返回 举一反三 24 课堂小结 谢谢观看 THANKS (5)1＋＋＝. 不是因式分解．因为1＋＋＝中含有不是整式的式子． $