17.1用提公因式法分解因式（分层作业，9大题型）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 17.1 用提公因式法分解因式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断是否是因式分解 题型02 公因式 题型03 提公因式法分解因式 B组 能力进阶 题型01 已知因式分解的结果求参数 题型02 根据因式分解的变形求值 题型03 求多项式的公因式 题型04 求多项式提取公因式后的因式 题型05 提公因式法法分解因式的应用 C组 思维拔高 题型 用提公因式法分解因式·创新性问题 判断是否是因式分解题型01 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列4等式：①；②；③；④．其中是因式分解的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列各选项中因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知整式，其中，，，，为正整数，为整数，且，下列说法： ①满足条件的所有整式中，没有单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，能进行因式分解的有个； ③所有满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 5．把一个多项式化成_____________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式，分解因式与___________互为逆变形过程． 公因式题型02 1．下列多项式中，可以提取公因式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各组中，没有公因式的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．下列各式中，没有公因式的是（　　） A．3x﹣2与6x2﹣4x B．ab﹣ac与ab﹣bc C．2（a﹣b）2与3（b﹣a）3 D．mx﹣my与ny﹣nx 5．已知，则______． 提公因式法分解因式题型03 1．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 2．将因式分解，则应提取的公因式为______． 3．如果一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同，且千位上的数字与个位上的数字之和等于10，则称M为“国泰民安数”．将M的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数．并规定．四位自然数(，，c，且a，b，c，d为整数)为“国泰民安数”，且为正整数)，k为正整数），则________，在此条件下，若M除以6余4，则满足条件的M的最大值与最小值的差为___________________． 4．（25-26七年级上·上海·月考）因式分解： 5．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 已知因式分解的结果求参数题型01 1．（25-26八年级下·江西九江·期中）已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 2．（25-26八年级下·四川绵阳·学情自测）多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 3．若，则、的值分别为（    ） A．，2 B．4， C． ， D．4，2 4．若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为__________． 5．（25-26七年级·安徽宣城·期末）先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式等于整式与整式之积，则称整式和整式为整式的因式．下面是一位同学的解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务． 若是多项式的一个因式，求的值． 解：是多项式的一个因式， 设（为整式）． 当时，则有． 将代入，得．解得． (1)是的因式吗？________（填“是”或“不是”）； (2)若是整式的一个因式，则________； (3)若整式是的因式，求的值． 根据因式分解的变形求值题型02 1．把分解因式的结果为（     ） A． B． C． D． 2．因式分解的结果是______． 3．如果，，那么代数式的值是______． 4．（24-25八年级下·江西九江·期中）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 5．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）阅读下列分解因式的过程： ． 根据上述分解因式的过程，回答下列问题： (1)上述过程中用到的分解因式的方法是______，共应用了______次； (2)分解因式：； (3)若要分解因式（为正整数），则需应用上述方法______次，分解因式的结果是______． 求多项式的公因式题型03 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）单项式与的公因式为（     ） A．a B．b C． D． 2．多项式 的公因式是(　　) A． B． C． D． 3．多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 4．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 5．（24-25八年级上·江苏南通·月考）式子与的公因式是（    ） A． B． C． D． 求多项式提取公因式后的因式题型04 1．把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 2．请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里： (1)（   ）； (2)； (3)（   ）； (4)（   ）． 3．（25-26七年级上·上海·期末）已知整式m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 4．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 5．（25-26七年级上·上海·期中）课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 提公因式法法分解因式的应用题型05 1．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，则的值为（   ） A．193 B． C．384 D． 2．一个长方形花坛的面积为，若它的一边长为，则它的另一边长为________． 3．如图，若大正方形与小正方形的面积之差为28，则图中阴影部分的面积是_______．    4．如图，有一块边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为α的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为_________． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图是由5个全等的，，，，，与一个小正方形组成，延长分别交、于点M、N，延长交于点P．若，则______． 用提公因式法分解因式·创新性问题题型 1．解方程． 2．已知a、b、c是的三条边，且满足，则是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 3．已知，则_____． 4．已知实数a，b，x，y满足，，则______. 5．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 6．（25-26八年级上·吉林吉林·期末）自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 7．阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 8．（25-26七年级下·北京·月考）如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是 ． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． (2)因式分解：，其中，则 ， ． 【拓展延伸】 (3)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出q的值： ． (4)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数k的值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 17.1 用提公因式法分解因式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断是否是因式分解 题型02 公因式 题型03 提公因式法分解因式 B组 能力进阶 题型01 已知因式分解的结果求参数 题型02 根据因式分解的变形求值 题型03 求多项式的公因式 题型04 求多项式提取公因式后的因式 题型05 提公因式法法分解因式的应用 C组 思维拔高 题型 用提公因式法分解因式·创新性问题 判断是否是因式分解题型01 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积． 因式分解就是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据此定义即可解答． 【详解】解：A、，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意； D、，从左到右的变形是整式的乘法，故本选项不符合题意． 故选：． 2．下列4等式：①；②；③；④．其中是因式分解的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，逐个判断即可． 【详解】解：①不属于因式分解； ②不属于因式分解； ③属于因式分解； ④不属于因式分解， 所以属于因式分解的个数是1个， 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键 ． 3．下列各选项中因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用提公因式法和公式法对选项逐一判断即可． 【详解】解：A、不能因式分解，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的判断，解题的关键是熟练掌握提公因式法和公式法． 4．已知整式，其中，，，，为正整数，为整数，且，下列说法： ①满足条件的所有整式中，没有单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，能进行因式分解的有个； ③所有满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得的值可能是，，，再逐项判断即可求解 【详解】解：∵，，，，为正整数，为整数，且， ∴ ∴的值可能是，，， ∵，，为正整数， ∴若整式为单项式，只能是，其中， 此时，解得，不为整数，与条件矛盾，所以不存在满足条件的单项式，故①正确； 当时，整式为，由可得： 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，整式为，由可得： 当时，， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，， 若，则，，此时整式有个， ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个，其中能进行因式分解的有，，，，，共个，故②错误； 当时，整式为，由可得： 当时，， 若，则， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 若，则，此时无解， ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个， 综上，所有满足条件的整式共有个，故③错误， ∴正确的个数有个． 5．把一个多项式化成_____________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式，分解因式与___________互为逆变形过程． 【答案】几个整式的积，整式乘法 【分析】根据分解因式的定义即可求解． 【详解】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式，分解因式与整式乘法互为逆变形过程， 故答案为：几个整式的积，整式乘法． 【点睛】本题主要考查分解因式的概念，理解并掌握分解因式的概念是解题的关键． 公因式题型02 1．下列多项式中，可以提取公因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用公因式的定义逐一分析得出答案． 【详解】解：A．，没有公因式，故此选项不符合题意； B．有公因式，，故此选项符合题意； C．，没有公因式，故此选项不符合题意； D．，没有公因式，故此选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查了公因式的含义，提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键． 2．下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；据此即可求得答案． 【详解】解：A、、的公因式为，不符合题意； B、、的公因式为，符合题意； C、、的公因式为，不符合题意； D、、的公因式为，不符合题意； 故选：B． 3．下列各组中，没有公因式的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】将每一组因式分解，找公因式即可 【详解】A.，，有公因式，故不符合题意； B.，，没有公因式，符合题意； C.，，有公因式，故不符合题意； D. 与有公因式，故不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键 4．下列各式中，没有公因式的是（　　） A．3x﹣2与6x2﹣4x B．ab﹣ac与ab﹣bc C．2（a﹣b）2与3（b﹣a）3 D．mx﹣my与ny﹣nx 【答案】B 【分析】根据公因式的定义逐一分析即可． 【详解】解：A、6x2﹣4x＝2x（3x﹣2），3x﹣2与6x2﹣4x有公因式（3x﹣2），故本选项不符合题意； B、ab﹣ac＝a（b﹣c）与ab﹣bc＝b（a﹣c）没有公因式，故本选项符合题意； C、2（a﹣b）2与3（b﹣a）3有公因式（a﹣b）2，故本选项不符合题意； D、mx﹣my＝m（x﹣y），ny﹣nx＝﹣n（x﹣y），mx﹣my与ny﹣nx有公因式（x﹣y），故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了公因式，熟悉因式分解是解题的关键． 5．已知，则______． 【答案】-3 【分析】先由题意将式子2b−a+3=0，进行变形，变成a-2b=3的形式，然后再将要求的式子化简，使每一项都含有因式a-2b，再代入求值即可得出. 【详解】∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是，要把整式化成含有公因式a-2b的形式，再代入求值． 提公因式法分解因式题型03 1．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解中公因式的确定，熟练掌握方法是关键． 根据找公因式的方法，系数取最大公约数，相同字母取最低次幂即可得出． 【详解】∵系数、、的最大公约数为，字母的最低次幂为，字母的最低次幂为， ∴公因式为． 故选：D． 2．将因式分解，则应提取的公因式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，找出系数的最大公约数，相同字母（多项式）的最低次幂，即可确定公因式． 【详解】解：因式分解时，应提取的公因式是． 故答案为：． 3．如果一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同，且千位上的数字与个位上的数字之和等于10，则称M为“国泰民安数”．将M的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数．并规定．四位自然数(，，c，且a，b，c，d为整数)为“国泰民安数”，且为正整数)，k为正整数），则________，在此条件下，若M除以6余4，则满足条件的M的最大值与最小值的差为___________________． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义的含义，因式分解的应用，二元一次方程的自然数解的含义；先分别表示，计算，结合与完全平方数的特点可得，可得，结合M除以6余4，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，千位上的数字与个位上的数字之和等于10， ∴， ∵将M的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数． ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，，c，且a，b，c，d为整数 ∴， ∴， ∴， ∴，且，， ∴ ； ∵M除以6余4，而， ∴或或或或或或或或； 当时，不符合题意，舍去， 当时，解得，此时，， ∴， 当时，解得，此时，， ∴， 当时，解得：，此时，，不符合题意； 当时，解得：，此时，， ∴， 当时，解得：，此时，， ∴， 当时，解得：，此时，，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，解得：，此时，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：， 4．（25-26七年级上·上海·月考）因式分解： 【答案】． 【分析】本题主要考查了提取公因式法进行因式分解，熟练掌握将式子中的部分内容进行变形以找出公因式是解题的关键． 先将式子中的转化为，然后提取公因式来进行因式分解，解题思路是通过变形统一式子中的相同部分，再找出公因式进行提取． 【详解】解： ． 5．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3)； 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解题的关键． （1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2） ； （3） ， 故需应用上述方法次，结果是． 已知因式分解的结果求参数题型01 1．（25-26八年级下·江西九江·期中）已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 2．（25-26八年级下·四川绵阳·学情自测）多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将因式分解后的结果展开，对比原式对应项即可求出． 【详解】∵ 多项式可因式分解为，. ． 3．若，则、的值分别为（    ） A．，2 B．4， C． ， D．4，2 【答案】B 【分析】把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到、的值． 【详解】解：， ， ，， ， ， 、的值分别为：4，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的意义；根据多项式乘多项式的法则，再根据对应项系数相等求解是解本题的关键． 4．若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案． 【详解】解：设， ， ， 解得，或 或． 故答案为：或． 5．（25-26七年级·安徽宣城·期末）先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式等于整式与整式之积，则称整式和整式为整式的因式．下面是一位同学的解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务． 若是多项式的一个因式，求的值． 解：是多项式的一个因式， 设（为整式）． 当时，则有． 将代入，得．解得． (1)是的因式吗？________（填“是”或“不是”）； (2)若是整式的一个因式，则________； (3)若整式是的因式，求的值． 【答案】(1)不是 (2)3 (3) 【分析】（1）根据题意令，然后代入多项式中计算即可判断； （2）设（为整式），则可得当时，，代入计算即可； （3）设（为整式），则可得当时，，代入可得一个关于的二元一次方程组，解方程组求出的值，再代入计算算术平方根即可得． 【详解】（1）令， ∴ 把代入得： ， 所以不是的因式； （2）解：∵是整式的一个因式， ∴设（为整式）， 当，即时，则有， 将代入得：， 解得． （3）解：∵整式是的因式， ∴设（为整式）， 当，即时，则有， ∴， 解得， ∴． 根据因式分解的变形求值题型02 1．把分解因式的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，根据提公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．因式分解的结果是______． 【答案】 【分析】利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．如果，，那么代数式的值是______． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·江西九江·期中）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式以及代数式求值，根据已知正确分解因式是解答本题的关键． 首先要对原式正确因式分解，然后进行对比，即可得出字母的值，代入求值即可． 【详解】解： ． ∵可因式分解成， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）阅读下列分解因式的过程： ． 根据上述分解因式的过程，回答下列问题： (1)上述过程中用到的分解因式的方法是______，共应用了______次； (2)分解因式：； (3)若要分解因式（为正整数），则需应用上述方法______次，分解因式的结果是______． 【答案】(1)提公因式法；两 (2) (3)， 【分析】本题考查了提公因式分解因式，要连续多次用到提公因式的方法，找到规律是解题的关键． （1）由解答过程即可完成解答； （2）通过例子找到规律即可作出解答； （3）连续多次提公因式即可． 【详解】（1）解：由例子解答过程知，运用了提公因式的方法分解因式，共应用了两次； 故答案为：提公因式；两； （2）解： ； （3）解： ． 观察解答过程知，中的最高次数为2次，则进行了两次提公因式方法，一般地，的最高次数为n次，则进行了n次提公因式； 故答案为：，． 求多项式的公因式题型03 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）单项式与的公因式为（     ） A．a B．b C． D． 【答案】C 【分析】根据公因式的确定方法，先找系数的最大公约数，再取各项共有的相同字母的最低次幂，相乘即可得到结果． 【详解】∵单项式的系数为，所含字母为；单项式的系数为，所含字母为 ∴系数的最大公约数为，两项共有的相同字母为，的最低次数是， ∴两个单项式的公因式为． 2．多项式 的公因式是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 【详解】解：多项式中， 各项系数的最大公约数是5， 各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1， 所以它的公因式是． 故选C． 【点睛】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键． 3．多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察多项式的数字因数，字母，根据一个因式能同时整除几个多项式，这个因式叫做这几个多项式的公因式，即可求解． 【详解】解：各项的公因式是， 故选：． 【点睛】本题主要考查公因式的概念，掌握多项式中各项都含有相同的数字因数，相同的字母，相同字母的指数也相同是解题的关键． 4．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 5．（24-25八年级上·江苏南通·月考）式子与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分解因式，先由平方差公式分解因式得到、再由提公因式法分解因式得到，从而确定答案，熟练掌握提公因式法分解因式、公式法分解因式是解决问题的关键． 【详解】解：；， 式子与的公因式是， 故选：A． 求多项式提取公因式后的因式题型04 1．把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 【详解】， 则余下的部分是x． 故选：C． 2．请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里： (1)（   ）； (2)； (3)（   ）； (4)（   ）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题的关键． （1）提取公因式2即可求解； （2）提取公因式即可求解； （3）提取公因式即可求解； （4）提取公因式即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： 故答案为：； （3）解：， 故答案为：； （4）解： 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海·期末）已知整式m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【答案】## 【分析】本题考查了因式分解的意义，设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 4．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． （1）将代入即可； （2）由题意得，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式，设另一个因式为，则，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意可知， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：当时，， ∴多项式有因式， 设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 5．（25-26七年级上·上海·期中）课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 【答案】(1) ， 若因式为，那么用长除法操作如下： 若因式为，用长除法操作如下： 故该因式为； (2)， 用长除法操作如下： 故； (3) (4) 【分析】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键． （1）分别根据例题列竖式进行多项式的除法计算，看余式是否为0即可； （2）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可； （3）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得★的值； （4）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：用长除法操作如下： 那么， ∴为； （4）解： 用长除法操作如下： 那么， ∴． 提公因式法法分解因式的应用题型05 1．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，则的值为（   ） A．193 B． C．384 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用整体代入法求代数式的值，因式分解．根据题意得出，，然后将整式因式分解化简整体带入求解即可 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴，， 则 ． 故选：B． 2．一个长方形花坛的面积为，若它的一边长为，则它的另一边长为________． 【答案】 【分析】先将分解因式，得到长方形的另一条边长，即可求解． 【详解】解：∵长方形的面积是，它的一条边长为， ∴另一条边长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解、整式的加减运算，掌握提公因式法是解题的关键． 3．如图，若大正方形与小正方形的面积之差为28，则图中阴影部分的面积是_______．    【答案】14 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，由题意可得，将转化为，即，代入计算即可． 【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则， 由于大正方形与小正方形的面积之差是28，即， ． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握正方形、三角形的面积公式是正确解答的前提． 4．如图，有一块边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为α的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为_________． 【答案】 【分析】本题需要计算一个无盖长方体纸盒的底面积与侧面积的差，并进行因式分解．主要用到的概念有面积计算和因式分解． 【详解】解：由图可知，底面积为，侧面积为， ， ， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图是由5个全等的，，，，，与一个小正方形组成，延长分别交、于点M、N，延长交于点P．若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、因式分解，设，，根据三角形的全等性质和面积公式，结合已知求出，之间的关系式，从而求得面积比． 【详解】解：如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成， ∴设，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 故答案为：． 用提公因式法分解因式·创新性问题题型 1．解方程． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键，提公因式、去括号，移项，合并同类项即可． 【详解】解：， 提公因式：得 去括号： 合并同类项，得 系数化为1，得． 2．已知a、b、c是的三条边，且满足，则是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】已知等式左边分解因式后，利用两因式相乘积为0则两因式中至少有一个为0，得到a=b，即可确定出三角形形状． 【详解】已知等式变形得：（a+b）（a－b）－c（a－b）=0， 即（a－b）（a+b－c）=0， ∵a+b－c≠0， ∴a－b=0，即a=b， 则△ABC为等腰三角形． 故选C． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 3．已知，则_____． 【答案】4 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，解题的关键是将原式通过提取公因式构建出．先将已知变形为，然后将原式通过提取公因式构建出，进行代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：4． 4．已知实数a，b，x，y满足，，则______. 【答案】20 【分析】本题考查因式分解的应用、整式的乘法、代数式求值，解答的关键利用整体思想求解．先求得，再将所求代数式因式分解，转化为求的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：20． 5．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 【答案】(1)±2 (2)a=0，b=-3； (3) 【分析】（1）将x=±2代入即可； （2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当x=±2时，x2-4=0， 故答案为：±2； （2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b）， ∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b， ∴1-a=1，b=-3， ∴a=0，b=-3； （3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0， ∴多项式有因式（x-2）， 设另一个因式为（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b， ∴a-2=4，2b=18， ∴a=6，b=9， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2． 【点睛】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． 6．（25-26八年级上·吉林吉林·期末）自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式为，k的值为； (3) (4) 【分析】本题考查了多项式的乘法，同底数幂的除法，因式分解，解题的关键是掌握以上知识点． （1）直接计算后作答即可； （2）仿照题干作答即可； （3）计算后求出的值，进而作答即可； （4）设另一个因式为，然后利用多项式乘多项式法则计算，根据计算结果用含的代数式表示出，，再代入，最后根据同底数幂的除法可得结论． 【详解】（1）解：， 则， ∴，． 故答案为：，； （2）解：设另一个因式为，得 则， ， 解得， 另一个因式为，k的值为； （3）解：， 则， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：设另一个因式为，得 则， ∴，， 解得：，， ∴ ∴， ∴代数式的值为． 7．阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，的值为3．（4）1，7，13，29． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）利用多项式乘以多项式的法则将展开，对应相等即可得出结果； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则，从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2） ， ∵， ∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴另一个因式为，的值为； （4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29． 8．（25-26七年级下·北京·月考）如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是 ． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． (2)因式分解：，其中，则 ， ． 【拓展延伸】 (3)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出q的值： ． (4)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数k的值． 【答案】(1) (2)1；4 (3) (4)1，4，11 【分析】（1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）由得到，，即可求解； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设，即可得出，再结合、均为整数，为正整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由甲图可得，长方形的面积为， 由乙图可得，长方形的面积为， 故得到的等式是． （2）解：∵，且， ∴，， ∴，或，， ∵， ∴，． （3）解：∵可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，． （4）解：∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，且， ∴设， ∴， ∵、均为整数， ∴或或或或或或或， 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，4，11． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $