2.3直线的交点坐标与距离公式（分层作业，20大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.3直线的交点坐标与距离公式 A组理解层级|巩固过关：B组掌握层级|能力进阶：C组|运用层级思维拔高 目录 A组巩固过关 题型01求直线交点坐标 题型02直线交，点坐标的应用 题型03求平面两点间的距离 题型04求，点到直线的距离 题型05求平行线间的距离 B组能力进阶 题型01由直线的交点求参数（范围） 题型02直线过定点问题 题型03已知点到直线的距离求参数 题型04求到两点距离相等的直线方程 题型05直线围成图形的面积问题 题型06由距离求已知直线的平行线 题型07直线关于点对称的直线 C组思维拔高 题型01直线交点系方程 题型02由两点间的距离公式求最值 1/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03将军饮马问题求最值 题型04与距离有关的新定义 题型05求，点关于直线的对称点 题型06光线反射问题 题型07直线关于直线对称问题 题型08与距离有关的综合问题 A组 巩固过关 题型01 求直线交点坐标 1.(25-26高二上黑龙江牡丹江·月考)直线y=x+1与直线y=-2的交点坐标为() A.（3,-2) B.(2,-3) c.(0,0) D.(玉) 【答案】A y=x+1 【分析】由题意得y=-2解出即可求解 y=x+1x=-3 【详解】由题意有： =2→=2 -3,-2) 所以交点坐标为 故选：A :3x+4y-2=0,12:2x+y+2=0 2.已知直线 与直线 则两条直线的交点所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【分析】联立直线方程，求出交点坐标即可得解 3x+4y-2=0 x=-2 【详解】由2x+y+2=0,解得y=2, -2,2) 即两条直线的交点坐标为 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B 3.(25-26高二上江苏月考)经 过x+3y-2=0与5：=y+2=0 交点且垂直于的直线方程是 () A.3x+y-4=0 B.3x-y+4=0 C.x-3y+6=0 D.3x-y-6=0 【答案】B 【分析】联立两直线的方程，解得交点坐标，根据两直线垂直可得所求直线斜率，利用点斜式方程，可 得答案 x+3y-2=0 x=-1 【详解】由题意联立方程x-y+2=0,解得y=1,则直线马与2的交点为(-1,1)， 由1：x+3y-2=0可知其斜率为3，则与直线，垂直的直线斜率为3： 所以过直线1与？的交点且垂直于 的直线方程为”-1=3(x+1) 化简可得3x-y+4=0 故选：B. 4.(2425高=上广东阳江月考)直线+号=1与直线=2x号的交点到直线y=x+2的距离为 4 () A.2 B.2 C. 2 D.2 【答案】A 3/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 44 【分析】联立方程得出交点(33， 再应用点到直线距离公式计算即可： y=-2x+4, 44 +2 44 【详解】联立y=2x 3得交点为 33 3’3 所以距离d= =√2 2 故选：A 5.已知P(,）,B(,)是直线=红+2023k为常数)上两个不同的点，则关于*和'的方程组 xx+yy=1 x2x+y2y=1的解的情况，下列说法正确的是() A无论，P,月 如何，总是无解 k PP B.无论，，如何，总有唯一解 x=1 C.存在k,R,P,使y=2是方程组的一组解 D.存在，月B ，“，使之有无穷多解 【答案】B x=1 【分析】先得到x2-x2乃≠0，从而得到方程组总有唯一解，A,D错误，B正确：再假设y=2是方程 组的一组解，得到月，）.西，4)在直线+2y=1,与两点在”=+2023上矛盾，C错误 【详解】直线y=x+2023的斜率存在， *5 y=+2023 由题意2=x2+2023, 4/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则4-=x(,+2023)-(+2023)=2023(5-5)≠0 放.+w=与马.+%y=1 与： 相交， ∴，方程组总有唯一解，A,D错误，B正确： x=1 x+2y=1 若y=2是方程组的一组解，则x2+2y2=1, 则点P(,).A(6)在直线x+2y=,即y=x+上 2 2上， 一X+ 但已知这两个点在直线y=cx+2023上，而这两条直线不是同一条直线， x=1 .y=2不可能是方程组的一组解，C错误 故选：B. 6.(2425高二上辽宁大连期末)已知三条直线mx+2y-8=0,2x-y-10=0,x+y-2=0相交于一点， 则m=」 【答案】3 【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【详解】由2x-y-10=0和x+y-2=0联立，解得x=4,y=-2, 依题意，点(4，-2)在直线mx+2y-8=0上，解得m=3. 故答案为：3. 7.(25-26高二上内蒙古包头·月考)过直线x-y+1=0与直线2x+y-4=0的交点且在两坐标轴上截距 相等的直线方程为一： 【答案】2x-y=0或x+y-3=0 【分析】联立两直线方程求交点坐标，再结合直线截距式求直线方程 x-y+1=0 x=1 【详解】由2x+y-4=0,解得y=2,则两直线交点PL,2). 5/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意所求直线在两坐标轴上截距相等， ①当截距为0时，则过点P的直线方程为y=2x,即2x-y=0: ②当截距不等于0时，设直线方程为x+y=a,a≠0 将点PL,2)坐标代入1+2=a,得a=3,解得+y-3=0 故答案为：2x-y=0或x+y-3=0 8.(25-26高=上北京期中)过点P(0,1)作直线， :2x+y-8=0,42:x-3y+10= (1)若直线被直线 所截得的线段被点P平分，求直线的方程； 1,1,12 (2)若直线将平面分成6个部分，求直线的方程. 【答案】(1)x+4y-4=0 3x-2y+2=02x+y-1=0x-3y+3=0 (2 或 或 【分析】(4)先写出直线'的方程，分别与，联立方程组求出交点坐标，再由中点坐标公式计算出参数 k的值，再由点斜式写出直线方程 (②)先确定直线'的位置即直线'经过：的交点或与直线或平行，再根据两点坐标或直线方程计算 出斜率，最后根据点斜式写出直线方程 【详解】(1)当直线'的斜率不存在时，直线方程为x=0,与的交点 为4(0,8)，与的交点为 B 10 17 0. 03, 线段AB的中点坐标为3)，不符合题意中的所截得的线段被点P(0,)平分： 设直线I的斜率为k,直线I的方程为：y-1=, y=+1 78k+2 联立2x+y-8=0,解得交点坐标气k+2’k+2, 6/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [y=kx+1 B 710k-1 联立x-3y+10=0,解得交点坐标气3k-1’3k-1 7 又因为点PQ,)是线段B的中点，所以+2+3一=0，解得女=4 7 4 1 故所求直线方程为y-1=一4x,即x+4y-4=0 (2)若直线，将平面分成6个部分，则直线'经过b的交点或与直线或平行， 1,4, 2x+y-8=0 4-13 联立x-3y+10=0,解得交点Q(2,4),直线1经过P,0则直线1的斜率为2-02， 由点斜式写出直线方程为y-1=2即3x-2y+2=0, 当直线与'平行时，直线√的斜率与直线的斜率相等即k=-2, 由点斜式写出直线方程为y-1=-2x即2x+y-1=0. 1 当直线1与马，平行时，直线，的斜率与直线，的斜率相等即k=了 3 由点斜式写出直线方程为y-1=方x即x-3y+3=0: 综上所述直线I的方程为：3x-2y+2=0或2x+y-1=0或x-3y+3=0. 题型02 直线交点坐标的应用 1.(2425高二上：黑龙江鹤岗月考)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任 意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.己知△ABC的顶点A(2,0), B(0,4) x-y+2=0 ,若其欧拉线的方程为 ,则项点C的坐标是() A.（-4,0) B.(0,-4) C.(4,0) D.(4,0)或-4,0) 【答案】A 【分析】设C(m,m),则由重心坐标公式得△ABC的重心坐标，将其代入欧拉方程可得m-n+4=0①，联 7/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 立AB边的垂直平分线方程与x-y+2=0可得△ABC的外心坐标，结合点A、点C到外心的距离相等列式 可得m2+n2+2m-2n=8②，联立①②求解即可. 2+m4+n 【详解】设C(m,m),则由重心坐标公式得。4BC的重心坐标为3,3)， 2+m.4+”+2=0,整理得m-n+4=0①， 代入欧拉线方程得33 4-0 因为4B边的中点坐标为1,2)，k=0-2 =-2 所以B边的垂直平分线方程为-2-》，即-2y+3-0 x-2y+3=0x=-1 由x-y+2=0,得y=1, 所a1BC的外心坐标为》，期m++-少=2++0-厂=0，整理得m++2m-2n=8@。 联立①②，解得m=-4,n=0或m=0,n=4。 当m=0,n=4时，点B、点C重合，舍去 所以顶点C的坐标为-4,0)， 故选：A 2.(24-25高二下上海月考)在△ABC中，已知点 A(1,5),AC 边上的中线所在直线的方程为 x-2y+7=0∠ACB +3y-6=0 C 的角平分线所在直线方程为 ，则点的坐标为 311 【答案】 (55 (a,b) 【分析】设C的坐标为“，D),即可得到4C的中点坐标，再根据中点在中线上，点C在角平分线上得到 方程组，解得即可 a+1b+5 【详解】设c的坐标为(a,b)则4C的中点坐标为2,2 8/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =3 a+3b-6=0 a=- 5 则 a+1-2xb+5 ,解得 7=0 ,11,则点 b= 2 5 份生标为 311 故答案为： 55 A(4,2)B(0,3), 3.(24-25高二上四川成都期中)已知点 和直线，mr-y-3m+1=0m∈R),直线l 与线段AB有公共点，则m的取值范围是 【答案】 2lu0,+w) 3 【分析】首先求直线所过的定点，再求边界的斜率，再利用数形结合，写出范围. 【详解】mr-y-3m+1=0,得"” am(x-3)-y+1= 所以直线'过点P8,) 0, yA B(0,3) A(4,2) P(3,1) 3-12 0 -2-1km0-3-3 4-3 若直线I与线段AB有公共点，所以直线斜率m的取值范围是( 3 U[1,+0) 故答案为： 4.在A18C中，已知点1(3,2），4C边上的中线8M所在直线的方程为-3y-4=0,AB边上的高所在 直线的方程为北-刃 (1)求直线AB的方程： (2)求点B的坐标， 【答案】4)2x+y-8=02)(4,0) 9/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 【分析】(1)先计算k=-2,过点A(3,2)得到答案 [2x+y-8=0 (2)联立直线方程：x-3y-4=0解得答案 【详解】解：（山)曲6边上的离所在直线方起为少=：-刊行火= h=-2 又：432），六直线B的方程为”-2=-2(-3刃 即2x+y-8=0(或y=-2x+8). 2x+y-8=0 (2)因为AC边上的中线过点B,则联立直线方程：x-3y-4=0 [x=4 解得：y=0, 即点B坐标为 4,0) 【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力 5.(24-25高二上山东泰安·期中)已知直线 -2+1=0与轴交于点8，：2+y-3=0与 与轴交 于点C,与交于点4 (1)求过点A且与直线x+y=0平行的直线的方程： (2)求△ABC的面积. 【答案】(1)x+y-2=0 5 (22 【分析】（山）联立直线、的方程，求出点4的坐标，根据两直线平行求出所求直线的斜率，再利用 点斜式可得出所求直线的方程： 10/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB (2)求出点B、C,可求出A6的值，以及点C到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得结果 x-2y+1=0 x=1 【详解】(1)由2x+y-3=0得y=1,即点A1,1) 因为所求直线与直线x+y=0平行，所以，所求直线斜率为-1， 故所求直线方程为”-1=-(-)，即x+y-2=0 (②直线与轴交点8的坐标为-1,0)，直线与'轴交点C的坐标为03) d= 6+1=5 则4=V++1-0=5,点C到的距离VP+2 所以，ABC的面积5c=Ad=x5x5-= 2 2 6.(24-25高二上湖北仙桃期中)在△ABC中，A(-1,2),边AC上的高BE所在的直线方程为 7x+4y-46=0 AB CM x-11y+54=0 ,边上中线“所在的直线方程为 (1)求点C坐标； (2)在线段AC上是否存在一点F,使得BC=BF？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由 【答案】(1)C(6,6) 2246 (2)存在， 13’13 【分析】(1)根据垂直关系得出直线AC斜率，再由点斜式得出直线方程： (2)根据题意设出F点坐标，再由中点公式得出E点坐标，代入直线方程即可得解 11/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)因为AC边上的高BE所在的直线方程为7x+4y-46=0, 7 4 所以kE=-→k4c= 4 7 又直线AC经过点A(-1,2), 所以直线4C的方程为：y-2=x+D,即：4r-7y+18=0 4 [2x-11y+54=0 x=6 联立4x-7y+18=0,解得y=6, 即点C(6,6) (2)由题知，满足条件的点F为点C关于直线BE的对称点， 直线4C的方程为：女9，设点F学+。 4.18 -x+ 4.60 t+67 7 所以E 2， 2 4..60 -t+ 将点B带入直线BB的方程得：7×+6+4×77-46=0，解得1= 22 2 2 13 2246 所以（1313， F 2246 即存在点 13'13,使得BC=BF 7.(25-26高二上河南联考)已知△1BC的顶点1 (-3,2),边AB上的中线所在直线的方程为 8x-y-13=0AC 4x-7y=0 ，边上的高所在直线的方程为 (1)分别求顶点B,C的坐标： (2)求△ABC的面积； )若P为直线.2x-y-2=0上的动点求P-P的最大值及此时点P的坐标 12/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】3,4).(-5) (2)39 3)2W10.(15,28) 【分析】()根据点在直线上，结合中点坐标公式与斜率关系，即可联立方程求解， (2)根据两点距离公式以及点到直线的距离公式求解底边长和高，即可由面积公式求解， (③)求解点关于直线的对称点，结合三角形的三边关系即可求解最值，进而联立方程求解交点坐标 【详解】(1) B(a,b)因为边AB上的中线所在直线的方程为8x-y-13=0,边4C上的高所在直线的 方程为4x-7y=0, 4a-7b=0, 所以8×3-生2-13=0解得8-4即点g的坐标为，4利 a=7, 622 C(m,n) 设 因为边B上的中线所在直线的方程为8x-y-13=0,边4C上的高所在直线的方程为 4x-7y=0 8m-n-13=0, 了n-27 m=1, 所以m+3=-4解得n=-5,即点c的坐标为(1，-5) (2)因为A(-32),B(7,4),所以4B=V(-3-7}+(2-4)=226 y-2x+3 因为边4B所在直线的方程为4-27+3，即x-5y+13=0, 1-5×(-5)+133√26 3√26 所以点C(1,-5)到边AB的距离为 √26 2,即边AB上的高为2 1 326=39 ×2V26 故△ABC的面积为2 2 3)设点4关于直线'的对称点为4(，）】 13/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2=-1 七6+32 则 2x53_6+2-2=0 解得x=5,即 2 =-2,A(5,-2) 因为P4-Pa=P-P≤B,所以当P,A,B三点共线时. IPA-PB到取得最大值，所以 P4-P例的最大值为4B=V5-7+(-2-4}=210 y+2_x-5 由A(5,-2),B(门，4)，可得直线4B的方程为4+27-5，即3x-y-17=0 3x-y-17=0,x=15, 由2x-y-2=0,解得y=28,即当P4-PB到取得最大值时，点P的坐标为(15,28) 颗型03 求平面两点间的距离 1.(25-26高二上·天津·期中)已知 M(-2,3yN(3,).则MN=) A.26 B.18 D.65 【答案】C 【分析】由两点间距离公式即可求解. 【详解】由两点间距离公式可得MW=V(-2-3)}+(3-4=V26 故选：C 2.已知4a,2B-2,-3,C1,6=点，且4Bl=1C 则实数“的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】A 14/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】直接利用两点间的距离公式列方程计算即可 【详解】由两点间的距离公式，及48-4C可得：Va+2+2+3那=a-+2-6,解得a=-2. 故选：A 3.已知点A1,2),B(2),P为x轴上一点，且PA-PB,则点P的坐标为《) A.（10) B.(,0) c.(0,-) D.(0,) 【答案】B 【分析1根据慰意，设PL0),根据PA=P8,列出方程即可求解 【详解】设P心m,0,则PA=m++4,P8=Vm-2y+7,由P4=PA,得 (m+1)2+4=(m-2)2+7 解得m=,故P1,0) 故选：B 刷=5，则 4.(2425有二上广东东莞月考》已知4(，），（名，）是直线"=2x+m上的两点，若 x2-x= A.5 B.2√5 C.10 D. 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式计算即可。 【详解】由题意得：1(，）.(6，）是直线”=2x+m上的两点， 则片=2+m,为=2年，+m 若AB非5，则G-x+0-P4Br ,则 即：-)+2+m-(2+mr=5 15/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则6尸=5 x3-x)2=5 则 故55 故选：D 5.己知A(5,5),B(4,-3),C(0,5),M是BC的中点，则AMF 【答案】5 【分析】先求得中点M的坐标，再根据两点之间距离公式计算即可 4+0-3+5 M 【详解】因为M是BC的中点，所以(2,2， 即M(2,1). 所以4M的长为V5-2+5-=5 故答案为：5 6.过定点4的直线mx-y+1=0与过定点B的直线x+m-3=0交于P,则P+P- 【答案】10 【分析】先确定1(0，)和B3,0 和 ,由于两直线垂直，所以PA+PBAB=10 【详解】由思意可得：)-1=m,则 A(0,1) 由m=-(-3》,则B(3,0), 当m=0时，两直线垂直， 当m≠0时，两直线斜率之积等于-1， 直线mr-y+1=0和直线x+my-3=0垂直， PAP+PBP=ABP=10 则 故答案为：10 7.已知矩形OABC中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为I0,5),点P在边BC 上，点A关于OP的对称点为A',若点A到直线BC的距离为4，则点A的坐标可能为 16/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】-3i,1,(9,9)(1,9) 【分析】设出点A'的坐标，根据给定条件，列出方程组，解方程组并判断作答 【解】依超意，应A00:直线C:=5:商点P在边BC上，剥直线Op的之支OP 在y轴上， 1a,),由点4到直线BC的距离为4，得b-5外4，即b=l或=9。 设点 又点A关于OP的对称点为A',则OA'HOA=10,即a2+b2=102, 10-3W111 当b=1时，a=-3i或a=31,若a=-31,有4(-31，)，点A与4的中点2一’2在直线 OP上， 时线op斜车010+3号 2,符合题意，则A(-3√1，) 10+3W111、 若a=3厅，有43瓦，)，点4与4的中点2一2在直线0P上， 时直线op010-3<分不合盒。 10-V199 当b=9时，a=-19或a=19,若a=-V19,有A(-19,),点A与4的中点22在直线0P 上， k=9=10+19、1 此时直线OP斜率10-V1992,符合题意，则A'(-V19,9), 10+V199、 若a=v19,有A(19,9),点A与A的中点2一2在直线0P上， 910-√19、1 k=- 此时直线OP斜率10+3√1192，符合题意，则A'(N19,9), 所以点的坐标可能为3瓦，).（←19,9）(W9,9) 17/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：（3i,).9,9),9) 8.(（24-25商二上江苏常州期中)已知△4BC的三个顶点为1(-2,1，B(L4),C(0,-) (I)求证：△ABC为直角三角形； (2)求BC边上的中线长及中线所在的直线方程 【答案】()证明：由已知条件得B=V1+2}+(4-)=32 BC=V-0+(4+1)2=264C=V0+2}+(-1-1=22 则AB2+AC2=BC2, 所以△ABC为直角三角形： √26 (2)2,x-5y+7=0 【分析】(1)根据两点间距离公式求出AB,BC,AC的长度，可得AB2+AC2=BC2,即证△ABC为直 角三角形： (2)BC边上的中线长为2BC,求出BC中点的坐标，再根据点斜式求出BC边上的中线所在的直线方 程 【详解】(1)略 (2)设BC的中点坐标为D(化)，则BC边上的中线 D=V26 2， 山中有地标公式可得，号 13 22,即D的坐标为22】 k= 311 2 直线的斜率为 +25, 1 AD 2 所以BC边上的中骏所在直线方程为-子引-》. 即x-5y+7=0 18/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型04 求点到直线的距离 1.(25-26高二上河南南阳联考)点P坐标为，2)，直线1为-2y+5=0,则P到直线的距离为 () 3v5 4√5 5 2V5 A.5 B.5 C.5 D.5 【答案】D 【分析】结合点到直线的距离公式即可求出结果， Axo+Byo+C d= 【详解】根据点(xo%)到直线Ax+By+C=0的距离公式√A2+B2,将P(1,2)和直线 d=11x1+-2)x2+51_2V5 x-2y+5=0（A=1'B=-2,C=5)代入，得VP+(-2 5. 故选：D. 2.(425高二上四川达州期末)己知点1,0)，点8为直线-y+1=0上动点，则4、8两点间距离 的最小值为() A.1 B C v3 D.2 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可： 【详解】由题意可知，当直线AB与直线X-y+1=0垂直时，A、B两点间距离最小， d= -0+1=2 点4到直线x-y+1=0的距离VP+(-1 故A、B两点间距离的最小值为√2 故选：B. 3.己知实数x,y满足4x-2y+3=0,则Vx-1)+(y-1) 的最小值为() 19/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 A.8 B.5 C.5 D.2 【答案】D 【分析】x-2+G- 表示平面直角坐标系中，点（任，八到点4,1少的距离，而点任，八满足直线方程 4x-2y+3=0 (L,1)..4x-2y+3=0 因此问题转化为：求点到直线 的距离 【详解】Vx-)+0-) 表示平面直角坐标系中，点心)到点，1)的距离， 而点(x,y)满足直线方程4x-2y+3=0, 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点（山，）到直线的距离 d=4×1-2x1+3=4-2+3.5V5 V42+(-2)2 V20 252, 5 因此，Vx-)2+(y-2 的最小值为2 故选：D 4（2425高二上广东汕头期中)点1(2,4) 到直线：mr-y-4m-8=0m为任意实数)的距离的最大 值是() A.5 B.25 C.4 D.v5 【答案】B 【分析】首先求出直线'过定点(4-8)，则A到直线'的最远距窝为H8,此时直线'套直于B,求出 AB 即可得解. 【详解】将直线方程mx-y-4m-8=0变形为y+8=m(x-4), 20/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [x-4=0 x=4 令y+8=0,解得y=-8,由此可得直线1恒过点(4，-8)，不妨设为B(4,-8), AB 所以A到直线的最远距离为 ,此时直线垂直于AB 又AB=V(2-4)}+(4+82=2W5 所以A到直线I的距离的最大值为25， 故选：B 5.写一个到直线： 13x-4y-3=0133x-4y-9=0 的距离相等的点的坐标一· 【答案)(20) 【i详解】1：3x-4-3=04:3x-4y-9=0 因为，所以到和距离相等的点在这两条直线的中位线上。 设中位线的方程为：3x-4y+c=0. c-（-3) c-（-9 根据平行线间的距离公式可得，到，的距离为、32+(4，到，的距离为、32+(4， lc-(-3lc-(-9) V32+(432+(4,解得c=-6即1：3x-4y-6=0 当x=2时，代入可得’=0，即(20)到 到直线和的距离相等 √3b-a 6.已知实数a>0,b<0,则Va2+b2的取值范围是 【答案】 [-2,-) a-3b 【分析】根据题意，设直线：ax+by=0,则√a2+b的几何意义为，点(1，-V5)到直线1的距离，即可 求出取值范围 21/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】根据题意，设直线：+y=0,设点4，-V5) a-v36 那么点A,-B)到直线的距离为：d= Va2+b2' d=a-v3b 因为a>0,6<0,所以“a+,且直线1的斜率k=号>0， b d=a-3b =1 当直线l的斜率不存在时，√a2+b2,所以d>1, 当OA11时， dnax=l04=1+3=2 1<a-V36 所以1<d≤2.即后+方≤2 3b-a_a-3b 因为Va2+b2 a2+b2,所以-2≤< a2+b2 故答案为： [-2,-10 y ax+by=0 32101234 -1 A -3 7.在平面直角坐标系x0少中，直线I经过点P(-2,2)· (1)当直线平行于直线x-2y-1=0时，求直线1的方程： (2)当点A(-1,5)到直线的距离等于1时，求直线的方程. 【答案】(1)x-2y+6=0:(2)4x-3y+14=0或x=-2 【分析】(1)可设直线方程为-2y+c=0,将点P代入即可求解： 22/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=k(x+2)+2 (2)可设直线方程为 ，再利用点到直线距离公式进行求解，还需考虑直线斜率不存在的情 况 【详解】(1)设直线方程为x-2y+c=0,将P(-2,2)代入得c=6,即直线方程为：x-2y+6=0: y=k(x+2)+2 x-y+2k+2=0 (2)设直线方程为 ,化成一般式得 ,点A(-1,5)到直线的距离等于1即 1-达-5+2+1，解得长=分则直线方程为：4-3y+14=0: 4 VK2+1 当直线斜率不存在时，x=-2,此时点A(-1,5)到直线距离也为1，故直线方程为：4x-3y+14=0或 x=-2 【点睛】本题考查由两直线平行求直线方程，由点到直线距离公式求直线方程，在设点斜式时，需要单 独讨论斜率不存在情况，属于中档题 8.(25-26高二上福建厦门期中)如图，公路4M,AN围成一块顶角为a的三角形土地，其中 tana=-2 AM.AN 3km ,在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路 的距离分别为， √5km 现要过点P修建一条公路BC,将三条公路围成的区域1BC 建成一个工业园区. B M (I)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在(1)的条件下，三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为15km,求公路BC所在直线的方程. 【答案】0P(1,3) 3x+4y-15=0 (2) 【详解】(1)因为tana=-2,所以直线AN的方程是y=-2x, 23/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设点P(o,）,且点P到直线AM的距离为3，放%=3 2x+0=5 由点P到直线AW的距离为V5,可得√5 0=1nx0=-4 P1,3) 解得 或 (舍去)，所以点 ◇ A(O) BM花 (2)显然，直线BC的斜率存在， 设直线Bc的方程为'-3=(-)，k∈(-2,0) 令=0，得=1-3-3=-) 6-2k 1k,由y=-2x,解得e= k+2, 故SABc 2s-1+8k-9 *P+2派15，解得k=- 4 故公路BC所在直线的方程为3x+4y-15=0 题型05 求平行线间的距离 :x+y-1=0l:x+y-3=0 1.(25-26高二上浙江·月考)两平行直线 和 之间的距离为() A② B.2 C.2V2 D.3 【答案】A 【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案 -1-（3-2 【详解】依题意，两平行直线间的距离为V?+12 故选：A 24/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :3x+4y-2=012:6x+8y-5=0 2.两平行直线 的距离等于() A.3 B.0.1 c.0.5 D.7 【答案】B 【分析】借助两平行线的距离公式即可得 1:3x+4y-2=06x+8y-4=0 【详解】 即为 则4上1 V62+8210 故选：B. 4:5x-12y+4=0,☑2：10x-24y-18=0 3.(2425高二上广东深圳月考)直线 与直线 上各有一动点P、 e,那么Pg 最小值为() 2 A.0 B.1 C.3 D.3 【答案】B 【分析】根据两直线方程得出两直线的斜率相等，从而得出两直线平行， P四的最小值即为两直线间 的距离，再利用两平行直线间的距离公式计算求解. 【详解】 P 直线 1:5x-12y+4=0k=2 直线4：10r-24y-18=0叫：5x-12y-9=0,6高 5 六(=k2,显然两直线不重合， :以，即P巴最小值即为两直线间的距离， d= 4-（-9y=13=1 由两平行直线间的距离公式可得”、 52+(-12)2 13，即Pg最小值为1. 25/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：B. 4.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x-2y+1=0和x-2y+3=0,另一组 对边所在的直线方程分别 3x+4y+G=0和3x+4y+6=0,则9-c（) 23 A. B.25 C.2 D.4 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可 【详解】因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行， 1-32 直线x-2y+1=0和x-2y+3=0之间的距离为：P+(2分5， 9-c4_S-s4 3x+4y+G=0和3x+4y+C2=0之间的距离为：V32+425, 故选：B 5.(24-25高二上江苏南京期末)已知直线：4x-3y+4a=0与直线'：2x-ay+1=0平行，则l与'之间 的距离是」 4 【答案】5拼0.8 【分析】根据直线平行求出a，再由平行线间的距离公式得解。 【详解】因为直线：4x-3y+4a=0与直线'：2x-ay+1=0平行， 所以-3=-2a且4a≠2， 解得a3 , 3-2 4× 2 4 所以两平行线间的距离= V42+(-3)2 5 26/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：5 AB 6.已知点 B分别是直线：2x+y-2=0与直线：4+2y+1=0 A, 的点，则 的取值范围是 5 【答案】 2 AB 【分析】先得到两直线平行，求出两平行线间距离公式求出 的最小值，从而得到答案 21.-2 【详解】由42了可知直线M,所以当AB11且AB⊥1，时，AB有最小值， 其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为 x+2y-4=0 4-15 「5 所8十7宁，即的取值范是之+ 故答案为： +00 7。(2425高二上陕西威阳期中)两平行直线、分别过点P-13),(-),它们分别绕P,0旋 转，但始终保持平行，则、 之间的距离的取值范围是 【答案】 (0,5] 0<d≤P9 【分析】根据题意分析可知 ,即可得结果 【详解】设、4之间的距离为日， 27/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若平行直线1 h分别过 P(-1,3),2-,则0<d≤P0-5 当且仅当、 4与直线P2垂直时，等号成立， PO 所以人、 人之间的距离的取值范围是 0,5] 故答案为： (0,5] 8.若直线m被两平行线：v5x-y+1=0与4：5x-y+3=0 截得的线段的长为2，则直线m的倾斜角 为 【答案】30°或90° 【分析】根据两平行线间的距离与2的比较可得直线m和两平行线的夹角为60°，再根据倾斜角的关系求 解即可. 【详解】设直线m与两平行线，的交点分别为CA,过4点作的垂线，垂足为B,如图， m 1-3引 两平行线间的距离 5+(I,则1A8=1'又14G=2 1 所以直线m与两平行线的夹角p满足sin6 =2,则0=30°， 因为两平行线斜率为 ，所以倾斜角为60°， 3 所以直线m的倾斜角为30°或90°. 故答案为：30°或90°. 28/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 颗型01 由直线的交点求参数（范围） 1.若直线y=-2x+4与直线y=的交点在直线y=x+2上，则实数k=) 1 1 A.4 B.2 C.2 D.4 【答案】A 【分析】求出直线y=-2x+4与直线y=x+2的交点，再代入求解作答。 y=-2x+4 28 【详解】解方程组y=x+2,得直线y=-2x+4与直线y=x+2的交点3'3， 82 依题意，33 k,解得k=4' 所以实数k=4. 故选：A :x-2y+2=012:x-2=013:x+y=0 2.已知三条直线 将平面分为六个部分，则满足条件的的值 共有() A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 【答案】C 【分析】考虑三条直线交于一点或3与或2平行时，满足条件，求出答案 【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分， [x=2 联立：x-2y+2=0与4：x-2=0,解得y=2, [x=2 则将y=2代入：x+=0中，2k+2=0,解得k=-1, 3:x+y=0,1:x-2y+2= 当 与 平行时，满足要求，此时=-2， 29/122 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当3：x+=0与4：x-2= 平行时，满足要求，此时=0， 综上，满足条件的k的值共有3个， 故选：C 3.已知线段AB两端点的坐标分别 为1(-2,3)和B4,2),若直线：x+m+m-1=0与线段AB有交点，则 实数的取值范围是() D.(w-u[+w 【答案】C 【分析】判断出直线'所过定点P-少，结合图象求得m的取值范田 【详解】直我1：X+m+m-1:0恒过的定点P,-少.kn=等。=司 当m=0时，直线1方程为x=1,与线段AB有交点，符合题意 当m0时，直线的斜率为点，则气。引L回)】 110 解得-1≤m<0或 0<m≤，综上， 故选：C 4.(25-26高二上适应性考试)己知三条直线ax-y+4=0,4x+3y-10=0与2x-y=0相交于一点，则 a= 30/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】-2 【分析】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解。 【详解】先由4x+3y-10=0与2x-y=0相交于一点， 4x+3y-10=0 联立方程组2x-y=0, 代入消元可得：4x+6x-10=0→x=1,则y=2, 1,2) (1,2) 所以交点坐标为 ,又由题意可知直线r-y+4=0也经过点 所以代入可得a-2+4=0→a=-2. 故答案为：2 5.(25-26高二上·江苏镇江·月考)若三条直线x+y=0,x-y=0,x+y=3-a不能构成三角形，则实 数a所有可能的取值组成的集合为 {3,1,-1 【答案】 【分析】分三种情况，三条直线交于同一点，x+四=3-a与x+y=0平行，x+四=3-a与x-y=0平行， 分别求出a的值，得到答案 【详解】当三条直线x+y=0,x-y=0,x+4y=3-a交于同一点时，不能构成三角形， x+y=0 x=0 联立x-y=0,解得y=0,将(0,0)代入x+ay=3-a得3-a=0,解得a=3: 当x+ay=3-a与x+y=0平行时，不能构成三角形，此时a=1: 当x+y=3-a与x-y=0平行时，不能构成三角形，此时a=-l: 3,1,-1} 综上，实数“所有可能的取值组成的集合为 {3,1,-1} 故答案为： 6.(24-25高二上天津·月考)若过 点P-)的直线与直线”=-2x+3 的交点位于第一象限，则直线 31/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 斜率的范围是」 【答案】（-0，-4)U(2,+0) 【分析】先求出直线y=-2x+3在x轴、y轴的交点，再结合直线的斜率公式与图形，即可求解。 【详解】设直线y=-2x+3在x轴的交点为A,在y轴的交点为B, 则4.0.B0 0-(-0=2 3-(-0=-4, P(1,-10. 3-1，k即=0-1 2 P(L,-1) y=-2x+3 过点 的直线与直线 的交点位于第一象限， B 29 -3-2-10 234龙 (-0∞，-4)J(2,+00) 直线斜率的取值范围是 故答案为：（-0，-4)U(2,+o) 7.(2425高二下上海月考)已知直线4：6x+-y-8=0,直线5：+4)x++6y-16=0, ①)诺与相交，求实数'的值： (②若与？平行求实数'的值并求出此时两直线间的距离 【答案】(1)t≠8且t≠-5. 26√2 (2)t=-5;3 【分析】(1)根据给定的直线方程，利用两直线相交的充要条件列式求解。 32/122 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)由两直线平行列式求出t,再利用平行线间距离公式求解. 1:6x+(t-1)y-8=0 2:(t+4)x+(t+6)y-16=0 【详解】(1)由直线 与直线 相交， 得6t+6)≠(t-1t+4),即P-3t-40≠0，解得t≠8且t≠-5， 所以实数t的取值为t≠8且t≠-5 6(t+6)=(t-10t+4)t2-3t-40=0 (2)由直线l与l2平行，得-8(t+4)≠-16×6，即t≠8 ，解得t=-5, 此时l:3x-3y-4=0,即x-y- 3=0,直线：x-y+16=0 所以直线，与2间距离d= 16-C.265 2 3 8u立线加26-0.t6-2--0,85:2加-+g-0 ()若1与？的倾斜角互补，求m的值： (2)当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形. 【答案】()m=± 3 4 (2)0,-19 【分析】(1)根据题意 人，=大：，进而求解得答案： (2)根据思意，分别时论与重直，与垂直，人与垂直求解，并检验即可得答案 【详解】(1)解：因为与的倾斜角互补， 所以4飞 直我：3r+3y+6=0变形为y=-3,放4= 所4品，解利=号 3 33/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由题意，若4：3r+2y+6=0和：2x-3my+18=0垂直可得 3x2+2x(-3m)=0,解得 m=±1， 因为当m=1时，5：2x-3y+18=0.4:2x-3y+12=041 5,构不成三角形， 当m=-1时，经验证符合题意：故m=-1: :3x+2y+6=0,4:2mx-3y+12=0 同理，若 和 垂直可得：6m-6=0 解得m=1,舍去： 者：2-3)418=0和：2x-3少+12=0垂直可得：n+9m-0:解得m=0或m=号，经验证行 合题意： 故m的值为：0，-1,9 题型02 直线过定点问题 1.己知直线'的方程是(3a-r-(a-2)y-1=0 则对任意的实数“，直线一定经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项 (3a-1)x-(a-2)y-1=0→a(3x-y)-x+2y-1=0 【详解】 1 x= 3x-y=0 得3， 定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 -x+2y-1=0 y= 5 故选：A 2点@- 到直线'=x-2)+1距离的最大值为《) A.1 B.2V2 C2 D. 【答案】B 【分析】首先求直线恒过的定点，将点到直线的距离的最大值转化为两点间距离 【详解】直线'=k(x-2)+1 A(2,1)B(0,-1) 恒过点 34/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点(0.-少到直线=-2+1距离1≤8=25 即点(0- 到直线'=-2)+1距离的最大值为25 故选：B 3.(25-26高二上福建期中)在直角坐标平面x0y内，己知l:x-y-a+1=0,则下列说法正确的是 () A.直线1一定经过第四象限 B.当a=2时，l关于y轴的对称直线为2r+y-1=0 1,1) C.方程表示平面内所有过定点 的直线 D.点P(3,-)到直线'的最大距离为22 【答案】D 【分析】AC选项可举特例判断：B选项由关于y轴的对称直线斜率相反，纵截距不变，即可求解；D选 项，由l过定点Q(,),则可得当1P时，点P到直线I的最大距离为P№，即可求解 【详解】A选项，当a=0时，直线y=1,不经过第四象限，故A错误： B选项，当a=2时，1：y=2x-1,关于y轴的对称直线，其斜率相反，纵截距不变， 即'：y=-2x-1,即2x+y+1=0,故B错误： c法项，，-y-a+1=0,即a(-)--)-0,则直线过定点 ,1) 由于1I的斜率为k=a,故I无法表示直线x=1,故C错误： 35/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D选项，1：r-y-a+1=0过定点Q(l,1), 当1P时，点P到直线的最大距离为PO=25 故D正确： 故选：D 4.直线 2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0 恒过定点 （-1,-2) 【答案】 【分析】变换直线，转化求解方程组问题，即可求解 【详解】直线方程化简为2x-mx+2my+y+3m+4=0 即2x+y+4)+m(←x+2y+3)=0 2x+y+4=0 当-x+2y+3=0,解得：x=-1,y=-2, (-1,-2) 所以直线恒过定点 (-1,-2) 故答案为： 5.已知直线 :x+(m+1y=2-m,则当m=0时，直线'的倾斜角为 ；当m变化时，直线 1过定点 3π 【答案】 4 (3,-1) 【分析】将m=0代入直线方程可知，直线的斜率为-1，即可求出直线的倾斜角：将直线方程化成 x+y-2=0 (x+y-2)+m(y+1)=0,由y+1=0即可解出定点坐标 3π 【详解】当m=0时，1：x+y=2,斜率k=-1,所以直线1的倾斜角为4； x+y-2=0 「x=3 直线方程可化为(x+y-2)+m(y+)=0,所以定点满足y+1=0,解得y=-1,即定点坐标为(3，-1)」 36/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3π 故答案为：4：(3，-) 【点睛】本题主要考查利用直线方程求直线的倾斜角，以及利用直线系方程求经过的定点坐标，属于基 础题. 3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0 6.(25-26高二上·湖北随州月考)已知一条动直线 (1)求直线恒过的定点P的坐标： (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； 【答案】(1) a制 【分析】(1)将直 3(m+)r+(m-1y-6m-2=0,变形得Bx+y-6)m+3x-y-2)=0 解不等式组 3x+y-6=0 3x-y-2=0,可得定点P的坐标： (2)分直线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，分别求出对应的的取值范围，取其并集，可得到直 线不经过第二象限时，的取值范围 3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0(3x+y-6)m+(3x-y-2)=0 【详解】(1)由 ，得 3x+y-6=0 当3x-y-2=0时，无论m取何值，方程成立 解得-即P 所以直线恒过定点 (2)由(1)可知，直线恒过定点 37/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当m=1时，直线 3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0 的斜率不存在， 4 此时直线方程为x=3,不经过第二象限： 当m≠1时，直线 3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0 的斜率存在，且与'轴有交点 因为直线不经过第二象限，所以该直线的纵截距小于或等于零. 令x=0,则(m-10y-6m-2=0,即y=6m+2 m-1 6m+2≤0解得-≤m<1 1 所以m-1 上所述：m的取值范围是3，》 :(m-2)x-(m+1)y+3m=0(m∈R） 7.已知直线 ),直线：x+y+3=0和：X-y-5=0 (1)求证：直线恒过定点： @设1)中的定点为B1与的交点分别为4B.若P恰为1B的中点，求m。 A,B 【答案】①直线'恒过定点1,2) 5 (2)m=￥ 4 【分析】少把直线'的方程-2)x-(+)y+3咖=0化为m(-y+3)-(2+)=0即可求出恒过的定 点： (②)设出点4的坐标，利用P是B中点表示出点B的坐标，再根据4，B分别在直线凸上求出4点坐 标，最后将A点坐标代入直线的方程求出心， 【详】山E期：份-2列r-@+y+3m=0可化为仁-y*3)-2x+-0 x-y+3=0 x=-1 由于meR,则2x+y=0,解得y=2, 38/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即直线'恒过定点仁12).所以直线恒过定点 ②)由1)知P(-12) 不妨设(） 因为P恰为AB的中点，所以 (-2-x,4-y%) 因为B分别在直线和直线上， x+%+3=0 x=-7 所以(-2-x)-(4-%)-5=0,解得=4，所以A(-7,4) 将47，代入直我的方程得：(a-2-)-4m+)+3=0,解得m-子 m:(a+2)x+(1-2a)y+4-3a=0 8.已知直线 ()求证：直线m过定点M: (2)过点M作直线n使直线与两负半轴围成的三角形AOB的面积等于4，求直线n的方程. 【答案】(1) 方程m:(a+2)小x+0-2a)y+4-3a=0 化为： a(x-2y-3)+(2x+y+4)=0 x-2y-3=0 x=-1 由直线系方程的性质有： 2x+y+4=0,解得y=-2, 故直线m恒过点 M(-1,-2) 2x+y+4=0 (2) 【分析】()变形直线方程，分离参数，利用直线系方程，解方程组求出定点，即可证明 (2)设直线方程，利用过点M作直线n使得直线与两负半轴围成的三角形ABC面积等于4，得到方程组， 即可求出直线方程 【详解】(1)略 (②设宜线。片-a<0.b<0。 39/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+2- a b 则由题意得： (6)=4 ，解得a=-2, b=-4 所以直线： y +4=1,即2x+y+4=0 所以所求直线方程为：2x+y+4=0 题型03 已知点到直线的距离求参数 1.已知点 到直线：3x-4+m=0 P(-2,1) 距离为1，则”的值为() A.-5或-15 B.-5或15 C.5或-15 D.5或15 【答案】D 【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式建立关于m的方程，再求出m的值 【详解】因为 P-2,)到直线：3x-4y+m=0 距离为1， 13×(-2)-4×1+m=1 所以 V32+(-4)2 解得m=15或5. 故选D 2.已知点(a,2a>0)到直线：x-y+3=0的距离为l,则a等于() B.2-V2 c2-1 D.2+1 【答案】C 【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案， a-2+3=1 【详解】解：由题意得+1 解得0=-1+5或a=-1-5.a>0a=-1+5 故选：C 3.(25.26有二上江苏准安期中)已知1(-2-1，B(6,3》两点到直线：+y1=0的距离相等，则实数 40/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a的值为() 1 1 A.0 B.-2 C.0或-1 D.-1或2 【答案】D 【分析】 利用点到直线的距离公式列方程即可得出. -2a-1+16a+3+1 【详解】由题意可得√a2+1Va2+1,即2a=6a+4, 1 解得a=-1或a= 2 故选：D 4.当 P(-1,0)到直线，(6+)r+(+y-(4+2)=0 的距离最大时，实数人的值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】B 【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解. 【i详解】直线4，(3+1)小x+(+y-(42+2)=0 整理得 2(3x+y-4)+(x+y-2)=0 [3x+y-4=0 「x=1 由x+y-2=0,可得y=1, 故直线恒过点1) 点P(1,0)到41)的距离4=1-+0-=5 1-01 故kp4=1+i2 直线4(6A+)x+(2+1-(4+2)=0的斜率太=-2+ 2+1, 32+11 =-1,解得入=1. 故元+12 故选：B。 41/122 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.已知O为坐标原点，直线：y=+(2-2)上存在一点卫，使得OP= ,则k的取值范围为() A[5-2,5+2] B.(-o,2-V5]U[2+V3,+∞) c.[2-5,2+5] D.(-0,V3-2]U[V3+2,+o0) 【答案】C 【分析】根据题意得坐标原点到直线'距离≤OP 利用点到直线的距离公式即可求解 【详解】点O0,0)到直线1：y=在+(2-2) 到直线 的距离为 d=k×0-0+2-2k1_12-2k1 Vk2+(-1)2 Vk2+1, 由题意得坐标原点到直线'距窝d≤OP,oP=V反 I2-2k1≤N5 所以Vk2+1 ,解得2-√3≤k≤2+√3 所以k的取值范围为[2-V5,2+V5 故选：C 6.三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线大数学家欧拉在1765年发 现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧 拉线在平面直角坐标系0中，△ABC的顶点40,2)，B(-1,0,则△1BC的欧拉线方程为-1，是 “点C的坐标为 -22)”的(） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】设出点C的坐标，结合欧拉线求出外心坐标，再由重心在欧拉线上及三角形外心的意义列出方 程求解，然后利用充分条件、必要条件的意义判断作答 42/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】若HBC的胶拉线方程为x-,设点Ca,则。C的重心为号子，显然点 兮子在直线-1上，于是得。2 直线B的斜率为2，线段4B的中点(2》，则线段1B的中垂线方程为y-1=x+ 2c+,即 +2y0, x=-1 由x+2y20月。1BC的外心0(-1孕.即有c0日B01因t(-2++6-=孕。 3 解得6=2或6=2，于是得点C的坐标为(-2,2)或(-2,2： 当C的坐标为(22)时，A1BC的重心为-L学，外心为-身，因此。BC的欧拉线方程为-1， 所以：△ABC的欧拉线方程为X=-1”是“点C的坐标为 -2,2)”的必要不充分条件 故选：A 7.(25-26高二上上海期末)若直线'过原点，且点P(3,5)到 的距离等于3，则直线的方程为 8 【答案】x=0或y=5 【分析】根据给定条件，按斜率存在与否分类，结合点到直线距离公式求解. 【详解】 P(3,5)到'销的距离为3，而'轴过原点，则直线'的方程可以为=0： 当直线I的斜率存在时，设其方程为y=c,即a-y=0, 13k-51=3 8 8 由点P(3,5)到1的距离等于3，得V+13,解得《=5，直线1的方程为'=15， k= 8 所以直线，的方程为x=0或y 15t 8 故答案为：x=0或y=15 43/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.已知直线过直线y=-x+1和y=2x+4的交点. (I)若直线l与直线x-3y+2=0垂直，求直线I的方程： (Ⅱ)若原点O到直线的距离为1，求直线的方程 【答案】(1)3x+y+1=0: (2)3x+4y-5=0和x=-1. 【分析】(1)先求出两直线的交点坐标，可设所求直线方程为3x+y+C=0,将交点坐标代入直线方程 得出C的值，可得出直线的方程： (2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线1与x轴垂直时，得出直线的方程，计算原点到直 线的距离，验证是否满足题意；在直线！的斜率存在时，利用点斜式设出直线的方程，利用原点到直线 1的距离为1，求出直线的斜率，可得出直线的方程. y=-x+1 【详解】(1)由y=2x+4,得交点(-1,2)， 由于直线l与直线x-3y+2=0垂直，可设直线l的方程为3x+y+C=0, 将交点坐标代入得3(-)+2+C=0,符C=1,因此，所求直线的方程为3x+y+1=0: (2)如果直线1上x轴，则直线I的方程为x=-1,且原点到直线的距离为1，合乎题意： 如果直线'的斜率存在时，可设直线的方程为'-2=k(x+),即尔-+k+2=0, k+2 =1 3 原点到直线1的距离为厌+，解得=一4， 此时，直线的方程为y-2=x),即3+-5=0 综上所述，直线1的方程为3x+4y-5=0和x=-1. 【点睛】本题考查垂直直线系方程以及点到直线距离公式的应用，对于过点的直线，一般要分两种情况， 一种是与x轴垂直时，即斜率不存在时，一种是斜率存在时，此时用点斜式来设直线方程，考查计算能力 与公式的应用，属于中等题. 44/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 求到两点距离相等的直线方程 1.(2425高二上重庆月考)若点 2,1)关于直线'：y=+bk,beR)的对称点为 (4,3),则 b=() A.-3 B.-1 C.3 D.5 【答案】D 【分析】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解. 3-11 【详解】直线A4的斜率为4-23，直线1为线段A4的中垂线，从而k=3: 又线段AA的中点 -12列在上，故2=-3+6，解得b-5 故选：D 2.:k=1”是“两点 (1,2),B(3,4) 到直线y= “的距离相等”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条 件 【答案】A 【分析】两点到直线距离相等分两种情况，I∥AB或I过AB的中点，结合斜率和中点公式即可求解，再 由命题的充分、必要条件判断即可， 【详解】“两点2)，B(6,4刊到直线：y=:的距离相等。1∥4B或'过B的中点” 4-2 当1∥AB时，由ka=3-1得，k=1 3 当1过AB的中点时，由4B的中点为(2,3)得，k= 2 所阿点42B4到直线=：的能高相等台。引.。 故选：A 3.(25-26高二上天津月考)直线1经过点P3,2),且点4(2,3)，B(4,-5)到它的距离相等，则1的方程为 () 45/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4x+y+14=0 B.4x+y-14=0 C.x=3或4x+y+14=0D.x=3或4x+y-14=0 【答案】D 【分析】借助点到直线的距离公式，分直线！斜率存在于不存在进行讨论即可得 【详解】若直线l斜率不存在，则：x=3, 此时点4到的距离为2-引1，点8到的距离为 -3引=1 ,符合要求： 若直线'斜率存在，设y=-3)+2,即c-y-3张+2=0 2k-3-3k+2_4k+5-3k+2 则有 Vk2+1 V2+1,化简得k+=k+7, 即k2+2k+1=k2+14k+49,解得k=-4,即：4x+y-14=0: 故1的方程为x=3或4x+y-14=0 故选：D 4.(2425高二上上海期末)将一张坐标纸折叠一次，使点2,0)与点1重合，此时点m,川与原点 (0,0) m·n 重合，则 的值是一 【答案】-1 【分析】折痕为点 ,0)与点的中垂线。得方程-y-1=0,再根据点m,川与原点Q,0对称可得答 案 【详解】如图：可知折痕为点2,0)与点，1)的中垂线。 (2,0) 46/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 31 中点坐标为2’2】 设折痕直线的氛车为g,则×骨1，得大 13 故折痕直线方程为y-2=x-2,即x-y-1=0, 由题意点(m,n)与原点(0,0)关于折痕对称， [m-”-1=0 22 故个1=-1 得m=1,故 n n=-1mn=1(-1)=-1 故答案为：-1 5.(25-26高二上江西景德镇质检)在△ABC中，A(1,2),B(3,4),C(2,0). (I)求AB边上的高CD的方程： (2)若直线I经过点C,且A,B到直线I的距离相等，求直线I的方程. 【答案】(1)x+y-2=0 2②X-y-2=0x=2 或 KCD =-1 【分析】(1)先求直线1B的斜率，进而得 ，再根据点斜式方程求解即可： (2)分直线的斜率不存在与存在两种情况分别讨论求解即可； 【详解】(1)解：A1,2),B(3,4),C(2,0), 4-2=1. .ka=3-1 、4B边上的高CD的斜率为 kcD =-1 “1B边上的高CD的方程为'-0=-1(x-2 ,即x+y-2=0 (2)解：当直线的斜率不存在时，直线1的方程为x=2, 47/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时A,B两点到直线l的距离相等，且等于1，满足题意： 当直线的斜率存在时，设直线'的方程为”=(-2），即众-y-2k=0, :A,B到直线I的距离相等， k-2-2k_3k-4-2 |2+k-4 .V1+k2 V1+k2,即V1+k2V1+k2,解得k=1, .直线l的方程为x-y-2=0, 综上，直线l的方程为x-y-2=0或x=2 P(0-1) 6.(2425高二上·上海·月考)分别求经过点 ,且满足下列条件的直线1方程： 0点4(2,1)与点B(Q,)到直线1的距离相等： 7 (2)直线I被两条平行直线2x+y-6=0和4x+2y-5=0截得的线段长为2： 【答案】()y=2x-1或y=1 3 ②x=0或y=-4x-1 【分析】(1)法1：分直线过线段AB的中点和直线与直线AB平行两种情况分类讨论即可：法2：分 斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式即可， (2)分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，再求出交点，根据距离公式求出长度即可. 1-（0=2, 【详解】(1)法1：直线过线段4B的中点：中点C(1,1),直线，的斜率-0 则直线I的方程为y=2x-1: 1-1 直线1与直线4B平行：直线4B的斜率2一0=0，则直线的方程为y=-小： 故直线的方程为y=2x-1或y=-1 法2：当直线I的斜率不存在时，1：x=0,点A,B到直线的距离分别是2,0，不符合题意： 48/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当直线I的斜率存在时，设：y=kc-1, 2k-2--2 点A(2,1)与点B(0,1)到直线I的距离相等，则Vk2+1Vk2+1,得k=0或2， 故直线1的方程为y=2x-1或y=1 (2)当直线的斜率不存在时，：x=0, 0.602 57 6- 与两条平行直线的交点为 故截得的线段长为°22，符合题意： :y=kc-1(k≠-2) 当直线的斜率存在时，设 2x+y-6=0 76k-2 y=kx-1 得交点气k+2’k+2: 4x+2y-5=0 (7 5k-4 B y=kx-1 得交点(2k+4'2k+4: 7 7)2 则B=1 6k-25k-427k2+17 k+22k+4 k+22k+4)2V(k+2}22, 得k-3 3 ,则：y=-x-1 4 3 综上，直线1的方程为x=0或y=一 4x-1 7.(2425高二上吉林联考)已知△4BC的顶点1(65，.B(4,3) 直线： (m+2)x+(m-1)y+m-1=0(m∈R) 过定点G (I)若G是△ABC的重心，求△ABC三边所在直线的方程； ②考C1=CB,且5a=S心，求顶点C的坐标 【答案】(1)2x+y-11=0,10x-13y-1=0,4x-7y-13=0 49/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C x+y+1=0 【分析】(1)由题意可得2x-y-1=0,解出即可得G点坐标，结合重心性质即可得C点坐标，即可逐 个计算三边所在直线的方程： (2)由CA=CB可得点C在AB的垂直平分线上，借助AB坐标及方程可求出其垂直平分线的坐标及方程， 结合点到直线距离公式计算即可得C点坐标 【详解】(4)将4，(m+2)x+(m-)y+m-1=0 m(x+y+1)+2x-y-1=0 整理得 [x+y+1=0「x=0 由2x-y-1=0,得y=-1,所以G(0,-), 设C(6,W）,因为C是△MBC的重心， 5+4+x0=0 3 所以]1+3+y=-1 ，解得x。=-9,所以 3 (%=-7 C(-9,-7) 故B前在直线的方程为y=岩-列-1.整理得2x+1-川=0 C所在直线的方程为y二3二4x-4)+3,整理得10x-13y=0 AC所在直线的方程为y二)二5x-S)+,整理得4x-7y-13三0 1212√5 (2)因为点G0,-到直线4B的距离2-店-5， 12√5 又S△MBc=S△GaB,所以点C到直线AB的距离为5， 因为CA=CB,所以点C在AB的垂直平分线上， 5+41+3) B中点坐标为2？2，即22 50/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19 则AB的垂直平分线的方程为 2-2 +2 即2x-4y-1=0. 93 3 2x0-4y6-1=0 Xo= 10 10 所以2x。+。-1112√5，解得 22或 2 5 5 y%= 5 %= 5 9322 C 3 2 所以气10'5)或10'5) 题型05 直线围成图形的面积问题 1.25-26商二上期末)以1,2B6,4),P(x0) 为顶点的△ABP的面积为10，则为() A.8或-10 B.-8或10 C.9或-11 D.-9或11 【答案】C 【分析】根据两点距离，以及点到直线的距离公式，列出三角形的面积，即可求解 【详解1因为AL2.B64,P0)所以直线A出的方程为：-2号子-)，即-y+1=0 d=r-0+1_k+1 所以P(x,0)到直线AB的距离VP+(-22,AB=V3-2+(4-2=4+4=2V2, 所u5-d=10.代入，2x5-0 1 化简得： x+1= 0,解得x=9或x=-1 故选：C 2.直线x-4y+6=0和8x+y-18=0与两坐标轴围成的四边形的面积为() 7 15 33 A.16 B.4 C.16 D.8 【答案】B 【详解】求出直线8r+y-18=0与*轴的交点M坐标，直线x-4y+6=0与y轴的交点N坐标，及直线 51/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-4y+6=0和8x+y-18=0 MN 的交点P坐标，则可求和由两点式可得直线N的方程为 4x+6y-9=0 四边形OMPN=S.OMN+SPMN ,即可求P点到直线W的距离，即可求 M 直线8x+y-18=0与x轴的交古为40 直线一+6=0与结的交老为0引 则-=？-o0--3 如图所示： 8x+y-18=0 x+4y+6=0N P M 3 y 2= 则由两点式可得直线N的方程为39，即 244x+6y-9=0 x-4y+6=0 x=2 由8x+y-18=0解得y=2, P(2,2) 此为两直线的交 根据点到直线的距离公式可得P点到直线MN的距离为 d=4x2+6x2-911B V42+62 V5226, 四边形OMPv=S.ON+S.PwN 故 193.13√13111315 =24×2+2×4x26=4. -X- 故选：B 52/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.己知直线1与直线3x+4y=0平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线1的方程是 【答案】3x+4y+12=0或3x+4y-12=0 【分析】根据题意设直线l的方程为3x+4y+12m=0,分别令x=0、y=0可得直线与人x轴的交点，求 出三角形的面积等于6可得答案 【详解】根据题意，直线1与直线3x+4y=0平行，则设直线l的方程为3x+4y+12m=0, 对于3x+4y+12m=0,令x=0可得y=-3m,即直线与y轴的交点为(0，-3m), 令y=0可得x=-4m,即直线与y轴的交点为(4m,0), 故直线1与坐标轴国成的三角形的面积5=2×-3m×-4m6,解得：m=士1， 故直线1的方程为3x+4y+12=0或3x+4y-12=0 故答案为：3x+4y+12=0或3x+4y-12=0 4.已知点 4-4,0),B(4.0.C(2,2).D(2.2）,直线=a+Ma>0将四边形1BCD分割为面积相等的两 部分，则b的取值范围是 【答案】(4-10,1] 1 【分析】分a≥2和0<a<2两种情况进行讨论，根据面积关系结合等腰梯形的对称性从而可得。的取值 范围 【详解】显然四边形ABCD为等腰梯形， 因为a>0,根据等腰梯形的对称性可知：当b>1或b≤0时不符合题意，所以0<b≤1， 1 1 当a=2b=l时，设直线EC:y=2x+1与y轴的交点F(0,1): 根据等腰梯形的对称性可得符合题意： 当Q>,b时，设直线y=+1与梯形上、下底分别交于M及 53/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为三角形MCF与三角形EF全等， 1 y=ax+l ax- 所以直线 2)将四边形ABCD分割为面积相等的两部分： D M B 当0<a<2时，设直线y=b与y轴交于G点，与梯形两腰交于Q,H, 直线y=x+b(a>O)将四边形ABCD分割为面积相等的两部分，则该直线与梯形的两腰交于K,H, 可知：直线AD:y=x+4,BC:y=4-x, 「4-b X= a-1 联立[y=x+4,解得 y=ax+b y 4ab即K4-=b.4如b a-1 a-1’a-1 Q(b-4.b).H 同理可得： 4-b4a+b,P(4-b,b) a+1’a+1月 由题意可得： 8+--6-如9)4-a-小6 整理有0 269.0s1期w4-而s -20 D C v=b G 0 B无 54/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述：b的取值范围是4-0,1 故答案为： (4-0,1] 【点睛】关键点睛：利用等腰梯形的对称性，并分类讨论和数形结合处理问题 5.(25-26高二下·四川月考)已知△ABC的三个顶点分别是A,3),B(3,1),C(-1,0),D为AC中点， (I)求中线BD和线段AB分别所在的直线方程： (2)求△ABC的面积. 【答案】(1)x+6y-9=0,x+y-4=0 (2)5 【详解1山由40,3).C-1,0),D为AC中点，可得气02 y-1x-3 由两点式直线方程可得直线方程为： -10-3,整理得： 3 BD x+6y-9=03 y-3x-1 由两点式直线方程可得直线4B方程为：1-3=3-1，整理得：x+y-4=0: -1+0-45 h= (2)由点到直线的距离公式可得点C到直线AB的距离为：”√P+1P√2 由两点间的距离公式可得A,3),，B(3,)两点间距离： AB=V(3-1)2+1-3)2=22 s-1x2x5 所以△ABC的面积2 2迈5 6,在平面直角坐标系内，已知△1BC的三个顶点坐标分别为1(0,2B(4,0),C(m,0) (1)求AB边的垂直平分线所在的直线I的方程； (2)若△ABC的面积为5，求点C的坐标 【答案】4)2x-y-3=0,（2)9,0)或1.0) 55/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)由题意直线的斜率公式，两直线垂直的性质，求出的斜率，再用点斜式求直线的方程. (2)根据△AB 的面积为5，求得点C到直线“的距离，再利用点到直线的距离公式，求得m的值. 【详解】解：(1)A(0,2),B(4,0) ..A,B M A(2,1) 的中点“的坐标为 又w号分 设AB边的垂直平分线所在的直线I的斜率为k, 则kk=-1, .k=2, 可得1的方程为y-1=2(x-2), 即2x-y-3=0 .AB 2x-y-3=0 边的垂直平分线所在的直线的方程 (2)AB边所在的直线方程为x+2y-4=0. AB=V0-4)2+(2-0)2=25, 2 设4B边上的高为1.即点c到直线。的距离为一，气 且5.wc:d=5号25d=5 d=V5, 解得 解得m=9或m=-1, 六点C的坐标为9,0)或1,0) 或 7.(25-26高二上山东潍坊期中)已知直线 {:(a-1)x+2y-a=0,l2:x+ay+a-4=0 与 ①当“=时。求直线女与”销围成的三角形的面积： 56/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)讨论直线与2的位置关系. 【答案】(16 (2)当a=2时，两直线重合；当a=-1时，两直线平行：当a≠-1,2时，两直线相交. 【分析】(1)分别求出各自与x轴的交点与两条直线的交点求解即可： (2)分斜率相同的情况和不同的情况进行讨论即可. 【详解】(1)解：当a=3时，4：x+ 20,4:x+3y-1=0, 当y=0时，x+0-3 3 0和x-1=0:解得：x=2和x=1 ∴l与x轴的交点4后0)，4，与x轴的交点BL,0), 0 x+y-2 7 1 联立x+3y-1=0,解得：x=4y=4 4与5传》 0-号片，含任)E离 1 1111 .S4c=2X2X416 (2)解：若两直线平行或重合，则斜率相等， 4的斜率为：号，马的斜率为：日 a-11 2=-a,解得：a=2或a=-1 当0=2时，：x+2y-2=04:x+2y-2=0 ，两直线重合： 当0=时，：2x-2y-l=04:x-y-5=0 ,两直线平行： 故当a=2时，两直线重合；当a=-1时，两直线平行；当a≠-l,2时，两直线相交. 57/122 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8已知△1BC的顶点1(3,2 ,边4B上的中线所在直线方程为-3y+8=0,边4C上的高所在直线方程 为2x-y-9=0 (1)求顶点B,C的坐标： (2)若点M为边BC上一点，且△ABM的面积为5，求点M的坐标. 【答案】)B8).C4,3) MI013 (2)3’3 【分析】(1)根据点B在AC的高线上，AB中点在直线x-3y+8=0上列方程得到点B,根据点C在边 AB的中线上，AC垂直于边AC上的高线列方程得到点C; (2)法一根据点M在BC上列方程，根据△ABM的面积得到M到边AB的距离，然后利用点到直线的 距离公式列方程，最后解方程即可： 法二：根据△ABM的面积得到M到边AB的距离，然后设过M与AB平行的直线的方程，最后与直线BC 的方程联立即可： MB 2 法三：根据△ABC与。ABM的面积比值得到CB-3,然后利用向量求坐标即可 【详解】(1) B(a,b) 设 因为边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0,边AC上的高所在直线方程为2x-y-9=0, 2a-b-9=0, a+3-3x09 a=8, 所以 3×牛2+8=0解得6-7，即g的坐标为(8,7) 2 R C(m,n 设 ,因为边B上的中线所在直线方程为-3)+8=0，边4C上的高所在直线方程为2x-y-9=0, 58/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m-3n+8=0, n-21 m=1, 联立方程组 m-3=2解得1n=3,’即c的坐标为，3) (2)法一：设 M(c,d)l≤c≤8,3≤d≤) y-7x-8 直线BC方程为7-38-1即4x-7y+17=0, 因为4(3,2)，B8,7),所以4B=V6-8+2-7)=55 y-2x-3 直线AB的方程为7-28-3，即x-y-1=0: 又因为△ABM的面积为5， le-d-1= 所以M到边AB的距离为√2，即√2 即c-d-3=0或c-d+1=0, 「c-d-3=0 29 联立方程组4c-7d+17=0,解得d=3(舍去)， 10 C= 3 联立方程组c-d+1=0，解得 14c-7d+17=0 、1 3 得别 法二：因为4(32)，B(8,7),所以4B=V6-8+2-7)=55 y-2=x-3 直线AB的方程为7-28-3，即x-y-1=0, 又因为△ABM的面积为5， 所以M到边AB的距离为V2，设过M与AB平行的直线为x-y+m=0, m+l-2 所以V2 ,解得m=1或m=-3(结合图形舍去)， y-7x-8 直线BC方程为7-38-1即4x-7y+17=0, 59/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10 x= 3 联立方程组x-y+1=0 解得 13, 4x-7y+17=0 y= 所MO, 3 3’3 法三：因为1(3,2)，B(8,7）,所以4B=V6-8+2-7刀=52 y-2_x-3 因为直线4B方程为7-28-3，即x-y-1=0, 1-3-13√2 3W2 所以点C(L,3)到边AB的距离为√22，即边AB上的高为2， x52x3215 1 故△ABC的面积为2 22, 因为△ABM的面积为5， MB 2 所以CB=3,所以CB=3CM， M 1013 设M(c,),则(7,4)=3(-1y-3),解得气3’3 题型06 由距离求已知直线的平行线 x+3y+m=0m>0)与直线 2x+3y-3=0 1.若直线 的距离为V0 ,则m=) 17 A.17 B.2 C.14 D.7 【答案】D 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. m-(3y-0 【详解】因为4/儿2，所以直线l与直线2间的距离为√1+32 解得m=7或m=-13, 因为m>0,所以m=7. 故选：D, 2.已知直线'与直线r-y+3=0和43r--1=0 和 距离相等，则的方程是() 60/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3x-y+2=0 B.3x-y-2=0 C.3x-y-3=0 D.3x-y+1=0 【答案】D 3x-y+c=0 4:3x-y+3=0123x-y-1=0 【分析】设所求直线方程为： ，根据该直线与 和 的距离相等， 3-c_-1-c 建立方程√10√10求解可得选项 【详解】设所求直线1方程为：3x-y+c=0, 3-d_1-d 因为直线1与l:3x-y+3=0;4:3x-y-1=0距离相等，所以00，解得c=1, 所以所求直线方程为：3x-y+1=0, 故选：D 3V2 3.若平面内两条平行线4：x+(a-)y+2=0,:ax+2y+1=0间的距离为4，则实数a=() A.2 B.-2或1 C.-1 D.-1或2 【答案】A 【分析】根据直线平行，求得的值，结合两平行线的距离公式，即可求解. 【详解】因为两直线，x+(a-1)y+2=0.4,x+2y+1=0 行， 可得l×2=(a-l)×a且lx1≠2a,解得a=2或a=-1, 当a=2时， Z:x+y+2=04:2x+2y+1=01:2x+2y+4=0 ，即 d=4-132 可两平行线间的距离为√22+224，符合题意： 当a=-1时，x-2y+2=0.4-x+2y+1=0.即-2-1=0， 61/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2-(-1)35 d= 可两平行线间的距离为”√？+（一2） 5，不符合题意，舍去 故选：A 4.已知1(-12），B6),则与直线4B平行且距离为2的直线方程为() A.3x-4y+21=0 B.3x-4y-1=0 C.3r-4y+21=0或3x-4y+1=0 D.3x-4y-21=0或3x-4y-1=0 【答案】C 【分析】先求出直线4B的方程为3x-4y+11=0,设所求直线的方程为3 ,3x-4y+m=0(m≠11 ,解方程 11-m =2 V32+(4求出m即得解 【详都1由题意得。品子子直线4份的方程为y-2=+.即3-+1=0 5-23 3x-4y+m=0(m≠11) 设所求直线的方程为 11-m =2 则32+(4，解得m=1或m=21 ∴.所求直线的方程为3x-4y+1=0或3x-4y+21=0 故选：C 5.(25-26高=上河南质检)已知点4B的坐标分别为2,0(-4，. 为动点，且△PAB的面积总为 10,则动点P的轨迹方程为() A.4x+3y-12=0 B.4x+3y+12=0 C.4x+3y-12=0或4x+3y+28=0 D.4x+3y+12=0或4x+3y-28=0 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点P到直线AB上的距离，再由直线平行即可求解. 62/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】48=V4+32=5 设点p到直我B上的距离为A:则Sm冬h=10,则方4 4 直线4B的方程为y=-3x-2),即4x+3y-8=0, 所以动点P的轨迹是与AB平行的直线， lc+8 设直线方程为4r+3y+c=0,(c≠-8)，则5=4， 解得c=-28或12，则动点P的轨迹方程为4x+3y+12=0或4x+3y-28=0, 故选：D. 6与直线-y-2=0 2v2 行且与它的距离为的直线方程是一： 【答案】x-y+2=0或x-y-6=0 【分析】设所求直线方程为x-y+C=0,根据平行直线间的距离公式列方程，化简求得C的值，从而求得 正确答案 【详解】设直线x-y-2=0平行的直线方程为x-y+c=0, lc+2-22,c+2=4 依题意V2 ,解得c=2或c=-6, 所以所求直线方程为：x-y+2=0或x-y-6=0. 故答案为：x-y+2=0或x-y-6=0 7.已知点A(0,2)和直线1：x-2y-1=0 (1)求过点A且与直线垂直的直线的一般方程； ②求与直线'平行且与'之间的距离为5的直线的一设方程 【答案】(1)2x+y-2=0 63/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-2y+4=0x-2y-6=0 (2 或 【分析】(1)利用两直线垂直的直线斜率，代入点斜式后化为一般式方程即可： (2)利用平行设出直线方程，利用两平行线间的距离求解即可 【详解】(1)直线：x-2y-1=0的斜率为2， 所以过点A且与直线垂直的直线的斜率为-2， 故所求方程为y-2=-2(x-0),即2x+y-2=0: (2)设与直线：x-2y-1=0平行的直线方程为x-2y+c=0, Ic-(-0L=5 则V12+(-2)2 ,即c+1=5,解得c=4或-6， 所以所求直线的方程为x-2y+4=0或x-2y-6=0 8.(25-26高三上·甘肃天水期中)已知等腰直角三角形斜边所在直线过原点，且斜率为3，一条直角边 所在直线的方程为-2y-V2=0 且此三角形的面积为了，求此直角三角形的直角顶点的坐标 11W282 9W22W2 【答案】 5 5或55 【分析】根据斜边所在直线方程和三角形面积可求得直角顶点到斜边所在直线的距离，由此可设 1':3x-y+m=0 m 1 ，利用平行直线间距离公式可求得”“，解出与交点即为所求直角顶点坐标 【详解】·斜边所在直线过原点，且斜率为3，∴斜边所在直线方程为y=3x: 设直角顶点为C,C到直线y=3x的距离为d, 1 则2d2d=5,解得：d=5: 设'是与直线=3平行且距离为5的直线，则'与的交点即为直角顶店9， m-5 设'：3x-y+m=0,则10，解得：m=±5V2: 64/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11v2 X=- 3x-y+52=0得： 5 当 时，由 82,c15,82 m=5V2 x-2y-√2=0 5 5，-5 9√2 x= 3x-y-52=0得： 5 当 时，由 122,.C 9W22√2 m=-5√2 x-2y-V2=0 5 55 11W282 9W22W2 综上所述：此直角三角形直角项点的坐标为 5 5或5,5 题型07 直线关于点对称的直线 :y=k(x-4) 1.若直线 与直线h关于点(2,1)对称，则直线2过定点 A.(0,4) B.(0,2) C.（-2,4) D.(4,-2) 【答案】B 【分析】先求出1的定点，再利用点关于点的对称求出的定点的对称点，该点即为所求点 :y=k(x-4) {y=k(x-4) 【详解】直线 恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线 与 直线h关于点(2,1)对称，故直线h恒过定点(0,2) 【点睛】本题考查直线关于点对称的相关问题，利用对称性求解是解题的关键，属基础题 2.直线：4r+3-2=0关于点11 对称的直线方程为() A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0 C.4-3y-4=0 D.4x-3y-12=0 【答案】B 【分析1首先设对称直线上任意点P(:)）,得到P(刀关于1对称点为 (2-x,2-y ,再代入直线 I即可得到答案。 65/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】设直线：4+3y-2=0关于点4(，)对称的直线上任意一点 (x,y) 则P关于1对称点为2-2-刃 又因为2-x2-月在4r+3y-2=0上， 所以4-32-月2=0.面+3y-12=0 故选：B 3.已知直线x+2y-3=0与直线r+4y+b=0关于点41,0)对称，则实数b的值为() A.2 B.6 C.-2 D.-6 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可 【详解】由于直线x+2y-3=0与直线+4y+b=0关于点AL,0)对称， 所以两直线平行，故2a=4,则a=2, 由于点(3,0)在直线x+2y-3=0上，(3,0)关于点4,0)的对称点为(-1,0)， 故(-1,0)在a+4y+b=0上，代入可得-a+b=0,故b=a=2, 故选：A 4.不论实数“取何值时，直线 (2a-1)x+(-a+3)y-5=0 都过定点M,则直线2x-y+3= 关于点M的 对称直线方程为() A.x-2y-6=0 B.x-2y=0 C.2x-y-9=0 D.2x-y-3=0 【答案】D 【分析】先求出定点坐标，设直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为2x-y+b=0,则 2-2+3_2-2+b 5 √5，解方程即可得出答案 66/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详都】B2a-少4(a*3y-5=0可.ar-x+-50 2x-y=0 令-x+3y-5=0,解得：x=1,y=2, M(2),设直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为：2x-y+b=0 所 则M2)到直线2-y+3=0与2x-y+6=0 距离相等， 2-2+3_2-2+b 所以V5 5,解得：=3，即b=3(舍去)或b=-3 故直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为：2x-y-3=0, 故选：D. 5.直线r+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为 【答案】2x+3y+12=0 【分析】根据直线过定点的求法可求得M点坐标，根据关于M对称的两条直线平行，且到M点距离相 等可构造方程求得结果 【详解1由+y+3a-1=0得：（x+3)a+-)=0,当=-3时，=1，M(-3）, 设直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为2x+3y+C=0, :H6+3-6_上6+3+g V4+9 √4+9，解得：C=12或C=-6(舍)， 2x+3y-6=0 M 2x+3y+12=0 直线 关于“点对称的直线方程为 故答案为：2x+3y+12=0. 6,设直线：2r-y+3=0 12x+y+3=0 直线 的交点为P (①)若直线I经过点P,且与直线x+2y+5=0垂直，求直线I的方程； 67/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若直线m与直线x+2y+5=0关于点P对称，求直线m的方程. 【答案】(1)2x-y+3=0 x+2y+3=0 (2) 【分析】(1)联立方程求得P(2,-),根据垂直关系设出直线I的方程，将点P代入计算即可求解： (2)法一：根据平行关系设出直线m的方程，然后利用P到两条直线的距离相等列式求解即可： 法二，设直线m上任意一点 M(x,y) 利用对称性求得点M关于点P对称的点W,将V坐标代入已知直 线方程，化简即可求解 2x-y+3=0 【详解】(1)由x+y+3=0得交点P(-2,-), 由直线1与直线x+2y+5=0垂直，则可设直线l的方程为2x-y+C=0, 又直线'过点P(2-),代入得2% a2×(-2)-(-1)+c=0 则c=3 所以直线1的方程为2x-y+3=0: (2)法一：由题意可得直线m与直线x+2y+5=0平行， 则可设直线m方程为：+2y+1=0(收≠5) 由直线m与直线*+2y+5=0关于点P(-2-)对称，得P(-2,- 到两条直线的距离相等， -2-2+t_-2-2+5 即√5 V5,得t=5(舍)或t=3,所以直线m的方程为x+2y+3=0 法三：设直线m上任意一点M(),则点M关于点P(-2-对称的点为 N(-4-x,-2-y) 且点N4--2-月在直线x+2+5=0上，得4-+2x(-2-)+5=0 化简得直线m的方程为x+2y+3=0 68/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.1.已知42-3)，直线：x-y+1=0 (1)直线关于点A的对称直线的方程： 2x-y-3=0 (2)若光线沿直线 照射到直线上后反射，求反射光线所在的直线的方程 【答案】(1)x-y-11=0 ②-2y+6=0 【分析】山)设上任意一点坐标，利用对称，求出点八关于4(2-3)的对称点，代入到直线中， (4,5) 即可求解出直线的方程；(2)先求 2x-y-3=0与直线的交点 ,则反射光线一定经过交点 B(4,5) 再在2x-y-3=0上任意找一点，求出该点关于直线'的对称点D,则直线BD就是反射光线所 在的直线 (4-x,6-),因为 【详解】山设点任)是直线上一点，则点任八关于42-3》的对称点为 (4-x-6-八在直线-y+1=0上，代入得：X-y-11=0 x-y-11=0 所以直线的方程为： [x=4 (2)如图所示，联立2x-y-3=0与x-y+1=0,解得：y=5,所以交点坐标为B(4,5),在直线 2x-y-3=0上任找-点，比如C2,,求出C2,1关于直线，x-y+1=0的 的对称 D(a,b),则直线 {a+2_b+1+1=0 22 BD即为反射光线所在的直线，则由题意得： ,解得：「a=0 12 b-11=-1 a-2 b=3 则D03》,直线BD为：x-2y+6=0 69/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 2x-y=3 8.直线1过点P(-20),点15)到直线的距离为25，直线1与直线关于点0对称 (1)求直线的方程； (2)记原点为O,直线上有一动点M,则当 OM+M0最小时，求点M的坐标 【答案】④V5x+y-65=0 219W3 55 【分析】4)由题意设直线的斜率存在，设直线'的方程为y=k(x+2),然后由点(，v到直线1的 距离为2 3,列方程可求出的值，再求出 P(-2,0)关于点巴对称，再在直线'上任取一点，求出其关 0 于点的对称点，从而可求出直线的方程： (2)设原点为0关于直线的对称点为0，则OM+M0=0M+W02O0,当O,4,0三点共线时 取等号，然后求出直线O0的方程，联立直线O"0的方程与直线的方程可求出点M的坐标 【详解】(1)由题意设直线的斜率存在，设直线的方程为y=k(x+2), 因为点v)到直线1的距离为25， k-√3+2k 所以√k2+1 =23 70/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2+25张+3=0，解 k=-5 化简得 所以直线的方程为'=-V3(x+2) 当0时，y=-25 则直线与'轴交于点0，-2W5 点P(-2,0),40,-25关于点，v5)的对称轴分别为P4,2⑤).2,4⑤)， 43-25 -5 所以直线！的斜率为2-4 所以直线的方程为-25=-V5(x-利，即5x+y-65=0, (2)设原点为O关于直线的对称点为0则OM=OM训 所以 OM+MO=O'M+Molo'o 所以当O,M,Q三点共线时取等号， -(5)-1 设 则 0'(x,y) 5号-650解得9。，即 22 y=3V5 (9,33) 所以e 33-5- 9-14, 所以直线O0的方程为6 x-D,即5x-4y+35=0, 4 x-21 由V5x-4+33-0,解得9W3,即M219W3 M V3x+y-6W3-0 5 5’5 71/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 题型01 直线交点系方程 1.过直线3x-2y+3=0与x+y-4=0的交点，与直线2x+y-1=0平行的直线方程为() A.2x+y-5=0 B.2x+y+1=0 C.x+2y-7=0 D.x-2y+5=0 【答案】A 【分析】利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，进而即得。 (3x-2y+3)+(x+y-4)=0 【详解】由已知，可设所求直线的方程为： 即2+3)x+(2-2y+3-4=0 又因为此直线与直线2x+y-1=0平行， 元+3_元-23-4 所以：2 1 -1 解得：元=7， 所以所求直线的方程为：10x+5y-25=0,即2x+y-5=0. 故选：A 2.已知两直线 ax+by-1=0ax+b2y-1=0 和 点为P1,2,则过2a,42a, 的交点 两点的直线方程 72/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为() A.x-2y-1=0 B.x+2y-1=0 C.2x-y-1=0 D.2x+y-1=0 【答案】B x+by-1=0a2x+b2y-1=0 992 【分析】根据两直线 和 的交点列方程，对比后求得直线的方程 ax+by-1=0 azx+b2y-1=0 P1,2) 【详解】依题意两直线 和 的交点为 所以4+26-1=04+26-1=0g,0 在直线 x+2y-1=0, 上 (a,b),22(a2,b2) +2y-1=0 所以过 两点所在直线方程为 故选：B 3.经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为() A.x+y+1=0 B.x-y+1=0 C.x+y+1=0或3x+4y=0 D.x-y+1=0或x+y+1=0 【答案】C 【分析】设直线方程为3x+2y+6+(2x+5y-7)=0,求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即 可求出结果 【详解】解：设直线方程为3x+2y+6+元(2x+5y-7)=0, 即(3+22)x+(2+52)y+6-71=0 72-6 令x=0,得y=2+5元， 71-6 令y=0,得x=3+2元 7元-6_7元-6 由2+5元3+22' 相2政1-9 1 73/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0, 故选：C 【点睛】此题是一道中档题也是一道易错题，要求学生会利用待定系数法求直线的方程，学生做题时往 往会把过原点的情况忽视导致答案不完整 4.平面直角坐标系0中，过直线 1:7x-3y+1=0,12:x+4y-3=0 与 的交点，且在轴上截距为1的直 线的方程为 (写成一般式) 【答案】9x+5y-5=0 【分析】设交点系方程，结合直线过0，)求方程即可 【详解】由题设，令直线l的方程为7x-3y+1+(x+4y-3)=0,且直线过0，)， 所以0-3+1+(0+4-3)=0→1=2，故直线1的方程为9x+5y-5=0, 故答案为：9x+5y-5=0 5.过两直线2023x-2022y-1=0和2022x+2023y+1=0的交点且过原点的直线方程为 【答案】4045x+y=0 【分析】根据直线相交设所求直线为2023x-2022y-1+2(2022x+2023y+)=0,结合直线过原点求参数， 即可得方程 【详解】令所求直线为2023x-2022y-1+2(2022x+2023y+1)=0, 又直线过原点，则-1+元=0→2=1， 所以所求直线为4045x+y=0. 故答案为：4045x+y=0 6.直线ar+y+5= 0与直线血+ey+5=0的交点为8-2），则过点 (a,b)(d,e) 的直线方程是 74/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】3x-2y+5=0 3a-2b+5=0 【分析】将交点坐标代入直线方程，得3d-2e+5=0,由此求得所求直线的斜率，又直线过A(a,b),B(d,e) 的中 C(,）,代入直线方程中，进而求解即可 【详解】因为直线r++5=0与直线+0y+5= 的交点为8-2) [3a-2b+5=0 b-e_3 所似3d-2e+5=0,作差可得3(a-d)-2b-e)=0,则k=。2, 求和可 3(a+d)-2(6+e)+10=0,即3(a+d)-26+e)=-10 a+d X0= 2 设 为 的中点，则了 b+e' C(xo,yo)A(a,b)B=(d,e) % 2 b+e 3 a+d y-2=2x-2),即4y-2b+e)=6x-3(a+d), x- 所以直线 所以6r-4y-[3(a+d)-26+e]=0,m6x-4y+10=0, 所以直线方程为3x-2y+5=0. 故答案为：3x-2y+5=0 【点睛】本题考查直线方程的求解，解题时应根据题意，寻找确定直线的条件 7.已知直线1经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点. (1)点A(5,0)到1的距离为3，求1的方程； (2)求点A(5,0)到1的距离的最大值， 【答案】1)x=2,4-3y-5=0 (2)V10 【详解】解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y一5)+(g-2y)=0, 即(2+)x+(1-2y-5=0. 75/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10+52-5到 ·V(2+2}+(1-2=3. 即222-52+2=0， .=2或2. .1的方程为×=2或4x-3y-5=0. 2x+y-5=0 (2)由x-2y=0 P(2,1) 4(5,0)元 解得交点P(2,1),如图，过P作任一直线1，设d为点A到1的距离，则dPA(当1⊥PA时等号成立). .du=PAl=V10 :2x+3y+2=0与l2:3x-4y-2=0 8.直线经过直线 的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角 形，求直线的方程 【答案】17x+17y+12=0或17x-17y-8=0 【分析】设直线1方程为2x+3y+2+m(3x-4y-2)=0,解方程2+3m=3-4m或4m-3,即得解 【详解】解：设直线1方程为2x+3y+2+m(3x-4y-2)=0, 化简得(2+3m)x+(3-4m)y+2-2m=0, :直线！与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形， ∴.直线的斜率为±1， 2+3m=3-4m或4m-3,解得m=7或m=5 代入并化简得直线1的方程为17x+17y+12=0或17x-17y-8=0. 76/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以所求的直线方程为17x+17y+12=0或17x-17y-8=0. 题型02 由两点间的距离公式求最值 1.(2425高二上内蒙古包头·期中)已知点(，%)为直线x+2y+6=0上任意一点，则V(:,+1°+片 的最小值是() A.2 B.V3 C.vG D.v5 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式理解所求式，将问题转化成点A-山，0)到直线：x+2y+6=0上的点的 距离最小问题，即当PA上1时，由点到直线的距离公式即可求得。 【详解】V(x,++片可理解为动点P(,)到定点A(-1,0)的距离d, :x+2y+6=0 而动点 P(xo,Yo) 在直线 上 故当且仅当PA⊥I时，d取得最小值， _1-1+61=5 即 V1P+22 ,故，++6的最小值是5. 故选：D 2.(25-26高二上山西晋中月考)函数y=V-2x+2+VR-8x+25 的最小值为() A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短进行求解即可 【详解】由y=-2x+2+VR-8x+25=x-)+(0-+Vx-4+(0-3 设1,1.B(4,3)P(x0) 得的儿何意文为4P+B的位 点1(，1关于轴对称点C,-), 77/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以mm=CB=V1-4)}+(-1-3}=5 故选：B A 3.已知实数y满足x+y+1=0,则+y-2y+1+V-2x+少-4y+5的最小值为《) A.0 B.3V② C.25 D.5 【答案】B 【分析】利用两点距离公式，转化问题式为动点到两定点距离之和的最小值，根据将军饮马模型计算即 可 【详解1由VR+y-2y+1+-2x+y-4y+5=VR+(-1+x-+0-2y, 即转化问恩为：直线x+y+1=0上一动点P(八到点10,1)，B(L2)的距离之和最小， 如图所示，设直线x+y+1=0与xy轴分别交于D、C点，则A0=OD=OC=1, 由直线x+y+1=0方程可得其倾斜角为135°，易知△ADC是等腰直角三角形， 设A关于直线x+y+1=0的对称点为A,连接AC, 则A八AD三点共线，易知△AAC也是等腰直角三角形，所以 A(-2,-1) 78/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故PA+PB=|PA+PB≥AB=V(-2-1'+(-1-2y=32 当且仅当PD重合时取得最小值： 故选：B 4.i设f)=+y+6x+2+严+2-+0+3+V+0+4,其中2≤x≤2，-4≤y≤0.则 f(x,y) 的最小值为() A.8 B.9 c.6+3 D.4+3V5 【答案】B 【分析】先将问题转化为动点P到定 A(-2,0),B(2,-3),C(0,-4),P(,)距离的和，再利用数形结合求 解即可. 【详解】解：设 -20,B2-3.C0,4,P(）,则f,”表示=or+P4+P8+PC. 0+33 2}子则直线份的方程为=x+2).令x=0则=多 所以直线AB与y轴相交于点( 所uo+PC≥oC=4P4+P≥Aa=5 3 所以z之9，当点P为 P0-2)时，等号成立，故，川的最小值为9 故选：B 0 Po B 79/122 可学科网·上好课 WWw.zX×k.com 上好每一堂课 5.(24-25高二上江苏镇江期中)函数f()=V(+3)+4-Vx-+1的最大值为 【答案】 7 【分析】 可表示为点P(,0)与点1(-32的距离减去点P0)与点B 的距离，然后可得答案 【详解】“f()=[x-(-3订+(0-2}-Vx-1+0-1, /表示为点P0)与点1(-32 的距离减去 点P,0)与点8( 的距离， 所以/(=PA-Pa 又PA-PB≤AB=V(-3-1+(2-=7,当P,B,A共线，且P在B的外侧时取等号， 所以f()的最大值为7 17 故答案为： a_c-1_3 6.(25-26高二上·湖北十堰期中)已知实数a'b,c,d满足6d-22,则(a-c)°+(b-d)的最 小值为 16 【答案】3 【分析】根据分式的性质，求出参数之间的等量关系，进而根据两点之间的距离公式，求出结果 a_3c-1_3 【详解】由题意得62'd-22,化简得2a-3b=0,2c-3d+4=0(d≠2) 所以点a,6e,d)分别在两平行直线2x-3y=0,2x-3y+4=0上，且d≠2， 而a-c+6-d 表示这两点之间距离的平方， 4 )2 16 所以其最小值为两平行直线间距离的平方，即为√22+3 13 16 故答案为：13 80/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.已知二元函数f(s,)=V+少+VP+(0-a+(c+a+y(a>0)的最小值为2+6，则正实数 a的值为 【答案】2 【分析】根据两点间距离公式，可得f,”的表达式的几何意义为：点（：，刀与点Q,00,a),(a,0)的 AO 距离之和，作出图形，根据两点间线段最短，可得 的距离即为最小值V2+V6 化简计算，即可得 结果 【i详解】由思意得f()=Vx-0+0-0+x-0+0-+x-(←a)+0-0, 其几何意义为：点月与点0,00)(-a,0)的距离之和，如图所示： 个y 1 0 B 0 O 设点1Qa.B(-a,0,P(),则求P4+PO+P网 的最小值即可， 以B为旋转中心，将△BPO绕点B顺时针旋转6O°至△BPO',连接PP',OO,AO' 则△BPP',aBOO均为等边三角形， 所以PA=IPP1.PO=PO 所gPA+PO+P8=ar+Pp+Po≥Ao 取等号时4PP,O四点共线， 81/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即l4O=V2+V6 =2+6 化简可得V2+V3)a2=V2+V6 左右同时平方，根据a>0,解得a=2, 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于数形结合思想的运用，通过将复杂的函数最值问题借助图形 转化为容易求解的几何问题，通过分析图形中几何元素的关系直观解答问题 8.(24-25高二上吉林白城期中)已知直线1：y=2x和两个定点4,1)，B(2,2),问直线上是否存在 一点P,使得PA+PB PAP+PBP 取得最小值？若存在，求出点P的坐标和 的最小值；若不存在， 说明理由 (99）19 【答案】存在， 5'10,10 【分析】设 P(2xo,Xo) 根据坐标运算PA+PB可转化为关于的二次函数，利用二次函数的最值求 解即可 【详解】假设直线1上存在一 点P26）,使得P1+PB取得最小值，如图。 则PA+PB=(2-+(G-+(2x-2}+(-2y=10x-18x+10 -189 (99 因为∈R,所以当=-2010，即点P的坐标为510时， 82/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 IPAP+1PBP取得最小值，且最小值为10 题型03 将军饮马问题求最值 1.点-82，点P在轴上，则P4+P 的最小值为() A 2v7 B.5 C.4 D.Vi3 【答案】B 【分析】求得 (1川关于产轴的对称点4(1-），根B,4三点共线时取到最小值，进一步计算即 可求解 【详解】如图所示， B2,3) A(-1,1) 关于轴的对称点为 A1(-1,1) A(-1,1) A(-1,-1) 则P4+P8=P4+Pa≥BA4, B,P,A 三点共线时等号成立， 又BA=V2++(3+1=5, 故P+Pa 的最小值为5， 故选：B. 2.(25-26高三上湖南长沙月考)在平面直角坐标系x0中，己知点A(-山，-2)，B(,0),P为直线 x-y+1=0 PAI+IPBI 上一动点，则 的最小值是() A v2 B.2V2 C.2 D.4 83/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【分析】求出点B关于直线：-y+1=0的对称点，利用轴对称性质及两点间线段最短求出最小值， B1,0) 【详解】设点 关于直线 x-y+1=0 B(a,b) 的对称点 b -=-1 a-1 则a+1_b+1=0 解得 ,即点 9 (22 a=-1,b=2 B'(-1,2) 因此|PA+|PBHPA+|PB'P AB'=4,当且仅当P为线段AB与直线-y+1=0的交点时取等号， 所以PA+|PB的最小值是4. 故选：D x-y+1=0 3.(24-25高二上·上海月考)已知(m,n)为直线x+y-1=0上的一点，则Nm++Vm+2+(n- 的最小值为() A.25 B.v10 C.4 D.3 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可 【详解】如图。Vm++m+2+(I-为点P(m,m)到原点0和到点A(-21)的距离之和， 即lPo+P 设O(0,0)关于直线x+y-1=0对称的点为B B(a,b) 84/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ab-1=0 22 ,解得a=1,即 a 1b=1B(1,1) 则lPO=P ,当4，P,B三点共线时， PO+PA取到最小值， 且最小值为 PO+PA=AB=1-(-2)=3 B 故选：D 4.(2526商=上吉林长春期中)点P在直线：x-y=0上运动，423)，B(2,0）,则P9PA的最大 值是() A.6 B.6 C.3 D.4 【答案】A 【分析】先求得点B关于I的对称点C的坐标，所 P8=PC,分析可得当C、A、P三点共线时， PG-P小有最大值，根据两点间距离公式，即可得答案 【详解】因为 (2,0).直线x-y=0, 所以点B关于直线I的对称点 co,2,则P=Pq 所以lPB-PA=PC-PA 因为P为直线1上的动点， 所以当C、A、P三点共线时， PC-PA 有最大值， 且为4C=V(2-0)+(3-2}=5, 85/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以PA-PA的最大值是5 B 故选：A 5.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个 有趣的数学问题一一“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再 A(2,0) 回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，己知将军从山脚下的点 处出发，军 B(2,3) 营所在的位置为 河岸线所在直线的方程为)=3x+2】 ,则“将军饮马”的最短总路程为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【分析】确定A关于y=3x+2的对称点A!,设饮马点为C,利用AC+|BCRA'B求最短路程 y I [x=-14 x-23 5 【详解】若 是关于 的对称点，则 3xx+2 A'(x,)Ay=3x+2 2 x2+2y= 设饮马点为C,如下图示， ·B y-3x+2/0 由图知：|AC+BCHAC|+BCRABI,当且仅当A,C,B共线时等号成立， 所以04C+sca45片2+学+6-9=5 故选：C 86/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.已知，y为实数，代数式+(0-2}+V4+(2-x+V+y的最小值是 【答案】5 【分析】利用两点间的距离公式的几何意义，将代数问题转化为几何问题求解，即可得到答案 【详解】V+(0-2即V0-+(0-2,几何意义为点P(0,)与点A,2)的距离： V4+(2-x即V2-0+(2-,几何意义为点B(2,2)与点(x,0)的距离： √x2+少2即Vx-0+(0-y),几何意义为点P(0,)与点(x,0)的距离， 分别作A关于y轴的对称点A(,2),B关于x轴的对称点B'(2,-2), 连接H,RB,B2,B以，则PA=HPBg=Bg .V1+0y-2Y+V4+(2-x2+V2+y2=PA+Bg+Pg =AP+B'Q+Pg≥A'B1=5 当且仅当P,分别为AB与y轴，x轴的交点时，等号成立， 故答案为：5 y 7.（2425商二上：河北石家庄期中)已知直线'的方程为(2-m)r+(2m+y+3m+4=0 ()当m=1时，求点 0(3,4)到直线的距离： ②当m=-3时，P为直线上一动点，若4L4),B,5),求PA+PB1的最小值 87/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11V10 【答案】(1)5 ②② 【分析】(1)运用点到线的距离公式求解即可 (2)设点A关于直线I的对称点A'(x,),求出！坐标，结合PA+|PB区AB求解即可 【详解】(1)当m=1时，直线l的方程为x+3y+7=0, d=3+3×4+7-22_1110 所以点0(3,4)到直线1的距离为V1+3210=5. (2)当m=-3时，直线1的方程为x-y-1=0, 设点A关于直线I的对称点4（化，），如图所示， B 力 A y-4x1=-1 x-1 则x+1_y+4-1=0 ，解得「x=5,即 22 y=0 A'(5,0) 所以PA+|PBEAB=V5-3+(0-5)=V29 放P+1PB 的最小值为V2四 8。（24-25高二上·浙江台州期中)已知41,10B(3,-2) M(2,0) (1)若直线1过点 ,且点A,B到1的距离相等，求直线1的方程： 88/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在y轴上存在一点P,使得 得PA+P8的值最小，求出点P的坐标. 【答案】(1)x-2=0和3x+2y-6=0 【分析】(1)易知当直线I过线段AB中点时，1的方程为x-2=0；当直线1与线段AB平行时，利用直 线的点斜式方程计算即可求解： (2)易知点4(，)关于y轴对称的点为4川，当且仅当A,P,B三点共线时 A+PB≥AB ,利用 直线的两点式方程求出直线AB的方程，即可求解. 2,2) 【详解】(1)当直线I过线段AB中点时，则线段AB的中点C的坐标为 :直线1过 M(2,0,且点4，B到1的距离相等， .直线1的方程为x-2=0, 当直线与线段AB平行时，则长=k=-3 2” 3 得直线1的方程为：y=2x-2),即3x+2y-6=0, ∴，综上所知：所求的直线1的方程为x-2=0和3x+2y-6=0: 2)点A 关于y轴对称的点为 (-11)PA+PB-PA+PBI21-5 当且仅当A,P,B三点共线时， PA+PB的最小值为5 y-1x+1 由两点式可知，直线B的方程为2-=3+1， 化简，得3x+4y-1=0,当x=0时，= 4 1 0, 所以点P的坐标为4 89/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型04 与距离有关的新定义 1.(25-26高二上安徽毫州期中)设直角坐标平面中任意两点 ,,B(）,记 4=k-小+-以.已知点M0),点P在直线2-y+4=0上，则1(RM 的最小值是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C (t,2t+4) 【分析】首先设 并根据定义将 (P,M)写成分段函数的形式，再分段求函数的范围，即可求 得函数的最小值， 【详解】设P(,21+4.M0) [3t+3,t≥1 d(P,M)=lt-1+|2t+4-0=lt-1+2t+2=t+5,-2<t<1 -3t-3,1≤-2 当≥l时，d(PM)≥6,1=1 等号， 当2c1<1时，3<d(B,M)<6 当≤-2时， d(P,M)≥3 (P,M)≥3 ，所以 所以d(BM 的最小值是3. 故选：C 2.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与 三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性 质，已知4-20，B20,CQ).P为18C内-点，记P)=P4+Pa+PC,则fP)的最小值 为() A.2 B.4+2V5 C.4+V5 2+V5 D 90/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【分析】由费马点所对的三角形三边的张角相等均为120°，求出费马点M,再根据费马点是与三角形三 个顶点距离之和最小的点求出(P) 【详解】设O0,0)为坐标原点，由A(-2,0),B(2,0),C(0,4), 知1CH8C25,且△BC为角三角形。 因此，费马点M在线段OC上，设M(O,h),如图， M B 则△MAB为顶角是120°的等腰三角形，故 h+寸0Btan30°-2 3, 所以fP2f0=MA+MB+MC=4h+4-h=4+25 则(P 的最小值为4+2W5 故选：B 3.(2425高二下上海期末)若点P在曲线C上，点P在曲线9上，定文46-PO恤，已知有两条 直线分别为： +2y-1=0,5:2x+4y-3=0,则44 5 【答案】10 【分析】根据给定的定义，利用平行线间距离公式求解即得 【详解】直线的方程化为： :2x+4y-2=0,显然4% 91/122 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以4%=2=1=5 V22+42 25-10 5 故答案为： 10 4.如图，平面中两条直线和相交于点O对于平面上任意一点M,若p、q分别是M到直线和的距 离，则称有序非负实数对(p,9)是点M的“距离坐标”根据上述定义，“距离坐标”是(，2)的点的个数 是 y :M(p,g) 【答案】4 【分析】画出到直线距离为1的点的轨迹和到直线距离为2的点的轨迹，交点即为“距离坐标”是 (1,2) 的点 【详解】 a b d 入、 M(p,9) 作直线“，b与直线平行，且与直线的距离为1，作直线，4与直线？平行，且与直线的距离为 2, 由图可得，0,6，C,有4个交点，即“距离坐标”是2)， 的点个数为4 故答案为：4. 92/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2425高二上江苏月考)在平面直角坐标系中，定义4=书+-为为4(，B() P(1,1),M 两点之间的“折线距离”·已知点 为直线2x+y-4=0上一点，N为直线2x+y+4=0上一点， PM MN 则” 的最小值为 的最小值为一 【答案】 2#0.5: 4. 【分析】设出点M,V的坐标，利用给定的定义列出函数关系，借助分段函数求出最小值即得. 【详解】设M(x,4-2x,则PM=r-H州4-2x-1Hx-42x-3 当x<1时，Pw=4-3x>1:当1≤x≤时，PM=2-xe,当x>时.PW=3x-4> 3 2 3 设(，-2-4，则N=K-+2x-)-8,令x-=,于是N=+2-4 显然eR,当2<0时，N=8-3z>8,当0≤z≤4时，MW=8-ze4别， 当4时.N--8>4图能#任在R.MT4 所以当2=4，即术-%=4 时，如点 M2,0,.N(-2,0),MN取得最小值4 故答案为：2；4 6.(25-26高二上青海月考)十九世纪数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点P(,少），(，)的曼哈 顿距离 DPO)=-+-为已知点M(2),N是直线：2x+y-1=0上的动点，若DM,W)s6 则点N的运动轨迹的长度为 【答案】4v5 93/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2≤x,≤2 【分析】先应用新定义列式结合绝对值不等式计算得 ，再应用直线弦长公式计算求解 【详解】设 N(x,1-2x）D(M,N)=x-2+1-2x-3≤6 ,则 即6-2+2x+2s6 x>2 ∫x<-1「-1≤x≤2 所以3x≤6或-3x≤6或x+4≤6， -2≤x≤2 解得 则点V的运动轨迹的长度为V1+2×2-(-2)=45 45 故答案为： 7.在一些城市中，街道大多是相互垂直或平行的，从城市的一点到达不在同一条街道上的另一点，常常 不能沿直线方向行走，而只能沿街走（拐直角弯）·因此我们引入直角坐标系，对给定的两点 (x,八)和 B(）,用以下方式定义距离：4B)=-+内-以 (注：下述问题中提到的“距离”都是指上述距离) 距离等于1的点P(:》构成的图形，并描述图形的特征： 0(00) (1)画出到定点 2没1(-10)和B(0 ,画出到A、B两点距离之和为4的点 P(x,y) 构成的图形，并描述图形的特征 【答案】(1) 放图形是以10)、(0-少、(0)、(o)为顶点的正方形，如图所示， (2) 94/122 可学科网·上好课 WWw.zX×k.com 上好每一堂课 图形是以-山、(20)、(-).-)、(20).（为顶点的六边形. 如下图所示 【分析】(1)分类讨论，得到每一段的直线解析式，作出图形即可： (2)首先求出-2≤x≤2，然后分类讨论，得到每一段的直线解析式，作出图象即可： 【详解】（山）点P如刀满足的方程是+-1， 当20y20时，冈+=x+y=1 当≥0y<0时+时=x-y=1 当x<0,y≤0时，+=-r-y= 当<0>0时，时+时=-+=1 枚图形是以-0.(Q-1）.0)、(0)为顶点的正方形，如图所示， 2②点P(八满足的方程是k++-+24, |x+1川+|x-1+2|y=4x+1川+x-1 -2≤x≤2 ,结合数轴可解得 当1≤r≤1y≥0时，x+1+k-+2=x+1-x+1+2y=4 得少1 当1≤x≤L,y≤0时，K++-l+2例=x+1-x+1-2y=4 得少1 95/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当2≤x<-ly20时，k++-1+2例=-x-1-x+1+2y=4 得-y+2=0 当2<x<-y≤0时，k++-+2-1-x+1-2y=4 得+y+2=0 当1<x≤2,20时.k++k-1+2=x+1+x-1+2y=4 得x+y-2=0 当1<x<2,y50时.k+k-l+2x+1+-12y=4.得-y-2=0 故图形是以（川）、（-20)、（-1-）（-少、(2.0)、（为顶点的六边形， 如下图所示 8.对于平面直角坐标系中的两点 1(，)B(西)，现定义由点4到点8的“折线距离”P(1B)为 p(4,B)=2x+y 已知40)，B(2,3),求p(4B (②已知点10)，点8是直线：x-2y+2=0上的一个动点，求P(1B 的最小值： ③)对平面上给定的两个不同的点1(，)，B(,⅓) 是否存在点 C(x,y) 同时满足 P(A.C)+p(C,B)=p(A.B):P(4.C)-p(C.B) 若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明 【答案】(1)4： (3) 注意到点 (年，）与点8（名，为）不同，下面分三种情况讨论 96/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若=元。则少≠片，由条件②得压-+少-=书+-川 即-川=少-小，所以=当 2 由条件O得区-+-+-+-=k-+- 所以2-+-+2=房州， 所以-=0 所以= +y2 因此，所求的点C为 2 若乃=，则≠五，类似于A,可得符合条件的点C为22，上 当，且≠%时，不妨设< p(A,C)+p(C,B)=x-x+y-y+2-x+y-y =x-x+k-+y-+2- ≥x-x+x32-x+y-y+y3-y =x-x+2-=p(A,B) 当目仅当任-)-≥0与0-%心5-)≥0同时成立时取等号。 即当且仅当任-)c-)≥0与0-为0-)20同时成立时条件D成立 ()若<%，则由上面证明知，要使条件①成立，则有≤X≤5且≤)片 从而由条件②得x+y=2伍+名+片+为)。 因此所求点C的集合为 M=(以x+y=++⅓+为≤x≤x且≤y为 97/122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 (若y>,类似地由条件①可得x≤x≤x,且为，≤y≤，从而由条件②得x-y=2(:+-乃-少). 因此所求点C的集合为 N=《川x-y5+y-为sxs6且，5ysy 【分析】(1)根据题中给定定义直接求解； (2)根据定义列出式子，用不等式求解最值； (3)根据定义分类讨论证明 【详解】1)P(4B)=1-2+0-3=4 (2)因为点8为直线：x-V2y+2=0 上的动点， 故可设点B的坐标为B(21-2,) wa-k-4+州-9423e-9-329 3W2 3V2 当且仅当 2时等号成立，故P(A,B)的最小值为2， 3 2 6 此时点B坐标为 (3)略 题型05 求点关于直线的对称点 1.（25-26高二上浙江期中)点1,0 关于直线4x+y-2=0 的对称点的坐标为() A.(2,) B.(2,2) c.() D.(,2) 【答案】A 【分析】利用对称点思想列方程组求解坐标 【详解】设点 点4L0)关于直线x+y-2=0的对称点的坐标为 m,n） 98/122 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m+1+n-2=0 22 m=2 则n一=1 → n=1, m-1 2,1) 所以对称点的坐标为 故选：A 2.(2425高二上江苏盐城期中)己知直线：2x-y-6=0,则 点M1)关于直线的对称点V的坐标为 () A.(,5) B.(5-) c.（5,) D.,-5) 【答案】B 【分析】由对称可知直线MN⊥I,且M中点在I上，设点N坐标，可得方程组，解方程组即可 pa+l b+1 【详解】设N(a,b),则MW中点气2,2， 由M,N两点关于直线 :2x-y-6=0 k=2 对称，且 b-1 2× =-1 a-1 则 2×a+1_b+1-6=0 ,解得a=5, 22 b=-1 即5-) 故选：B 3.(24-25高二上辽宁沈阳月考)已知点4(2,0)与B0,4)关于直线ar+y+b=0对称，则a+b=） A.-4 B.-2 C.0 D.3 【答案】B 【分析】将线段的中点代入直线的方程中即可求解. 【详解】由腿可知，线段4B的中点2)在直线上，即a+2+b=0, 所以a+b=-2. 故选：B, 99/122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.在复平面内，复数二对应的点关于直线+y=0对称，若=2+i,则-1+3列=)】 √29 A. B.1 C.5 D V5 【答案】D 【分析】根据对称性可求，故可求B-1+列 【话解】因为21。数其对演的方为2 ,该点关于直线+y=0对称的点为1-2) 该点对应的复数为3=-1-2，故1+3列-1-2i-1+3列=十2+i=5 故选：D 5.已知点 1(2,0),B(0,6),0为坐标原点.若0关于直线4B的对称点为D,延长BD到P,且 PD=2BD 已知直线：m+10y+84-108,5=0经过点P,则直线'的倾斜角为 【答案】120° 【分析】先利用两点式求出直线AB的方程，再根据点关于线对称求出D点坐标，进而利用向量的坐标表 示得到P点坐标，代入直线即可求解 y-0x-2 【详解】由点A(2,0),B(0,6)可得直线4B方程为6-00-2，即y=-3x+6, 设D(m,m ,因为点O和点D关于直线B对称， =-3x"+6 18 m=- 2 5 所以 nx(3)十7名D容6）？ D55 d 设P(c,d), PD-1sc5 5-c5 D=1824 因 55, 且由题意可知PD=2DB, 100/122 分层作业 2.3 直线的交点坐标与距离公式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求直线交点坐标 题型02 直线交点坐标的应用 题型03 求平面两点间的距离 题型04 求点到直线的距离 题型05 求平行线间的距离 B组 能力进阶 题型01 由直线的交点求参数（范围） 题型02 直线过定点问题 题型03 已知点到直线的距离求参数 题型04 求到两点距离相等的直线方程 题型05 直线围成图形的面积问题 题型06 由距离求已知直线的平行线 题型07 直线关于点对称的直线 C组 思维拔高 题型01 直线交点系方程 题型02 由两点间的距离公式求最值 题型03 将军饮马问题求最值 题型04 与距离有关的新定义 题型05 求点关于直线的对称点 题型06 光线反射问题 题型07 直线关于直线对称问题 题型08 与距离有关的综合问题 求直线交点坐标题型01 1．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·月考）直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26高二上·江苏·月考）经过与的交点且垂直于的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东阳江·月考）直线与直线的交点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 5．已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 6．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则______. 7．（25-26高二上·内蒙古包头·月考）过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 8．（25-26高二上·北京·期中）过点作直线， (1)若直线被直线所截得的线段被点平分，求直线的方程； (2)若直线将平面分成6个部分，求直线的方程. 直线交点坐标的应用题型02 1．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·月考）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点C的坐标是（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高二下·上海·月考）在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为__________. 3．（24-25高二上·四川成都·期中）已知点，和直线l：），直线l与线段AB有公共点，则m的取值范围是__________. 4．在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）求点的坐标. 5．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与轴交于点， 与轴交于点，与交于点． (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求的面积． 6．（24-25高二上·湖北仙桃·期中）在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为. (1)求点C坐标； (2)在线段上是否存在一点F，使得？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 7．（25-26高二上·河南·联考）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. (1)分别求顶点，的坐标； (2)求的面积； (3)若为直线：上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 求平面两点间的距离题型03 1．（25-26高二上·天津·期中）已知点，则   ） A．26 B．18 C． D．6 2．已知三点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知点，，为轴上一点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东东莞·月考）已知，是直线上的两点，若，则    ） A．5 B． C．10 D． 5．已知，，，是的中点，则________ ． 6．过定点的直线与过定点的直线交于，则____________ 7．已知矩形中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为，点P在边上，点A关于的对称点为，若点到直线的距离为4，则点的坐标可能为________． 8．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 求点到直线的距离题型04 1．（25-26高二上·河南南阳·联考）点坐标为，直线为，则到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川达州·期末）已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 3．已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 4．（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 5．写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 6．已知实数，则的取值范围是______. 7．在平面直角坐标系中，直线经过点P（-2,2）. （1）当直线平行于直线时，求直线的方程； （2）当点A（-1,5）到直线的距离等于1时，求直线的方程. 8．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 求平行线间的距离题型05 1．（25-26高二上·浙江·月考）两平行直线和之间的距离为（　　） A． B．2 C． D．3 2．两平行直线，的距离等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东深圳·月考）直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线平行，则与之间的距离是______． 6．已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是______． 7．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）两平行直线、分别过点，，它们分别绕，旋转，但始终保持平行，则、之间的距离的取值范围是______ 8．若直线被两平行线与所截得的线段的长为2，则直线的倾斜角为______． 由直线的交点求参数（范围）题型01 1．若直线与直线的交点在直线上，则实数    ） A．4 B．2 C． D． 2．已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（    ） A．个 B．2个 C．个 D．无数个 3．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·适应性考试）已知三条直线与相交于一点，则___________. 5．（25-26高二上·江苏镇江·月考）若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为_____. 6．（24-25高二上·天津·月考）若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是______. 7．（24-25高二下·上海·月考）已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 8．已知直线，直线，直线． (1)若与的倾斜角互补，求m的值； (2)当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形． 直线过定点问题题型02 1．已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高二上·福建·期中）在直角坐标平面内，已知：，则下列说法正确的是（   ） A．直线一定经过第四象限 B．当时，关于轴的对称直线为 C．方程表示平面内所有过定点的直线 D．点到直线的最大距离为 4．直线恒过定点_______ 5．已知直线，则当时，直线的倾斜角为_____________；当变化时，直线过定点______________. 6．（25-26高二上·湖北随州·月考）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； 7．已知直线，直线和． (1)求证：直线恒过定点； (2)设（1）中的定点为与的交点分别为，若恰为的中点，求． 8．已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程． 已知点到直线的距离求参数题型03 1．已知点到直线的距离为1，则的值为（    ） A．5或15 B．5或15 C．5或15 D．5或15 2．已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 4．当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 5．已知O为坐标原点，直线上存在一点P，使得，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线.大数学家欧拉在1765年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉线.在平面直角坐标系xOy中，的顶点，，则“的欧拉线方程为”是“点C的坐标为”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高二上·上海·期末）若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 8．已知直线过直线和的交点. （Ⅰ）若直线与直线垂直，求直线的方程； （Ⅱ）若原点到直线的距离为，求直线的方程. 求到两点距离相等的直线方程题型04 1．（24-25高二上·重庆·月考）若点关于直线：，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 2．“”是“两点到直线的距离相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·天津·月考）直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是_____. 5．（25-26高二上·江西景德镇·质检）在中，. (1)求边上的高的方程； (2)若直线经过点，且到直线的距离相等，求直线的方程. 6．（24-25高二上·上海·月考）分别求经过点，且满足下列条件的直线l方程： (1)点与点到直线l的距离相等； (2)直线l被两条平行直线和截得的线段长为． 7．（24-25高二上·吉林·联考）已知的顶点，，直线l：过定点． (1)若是的重心，求三边所在直线的方程； (2)若，且，求顶点的坐标． 直线围成图形的面积问题题型05 1．（25-26高二上·期末）以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．直线和与两坐标轴围成的四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 3．已知直线l与直线平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的方程是________． 4．已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是_________________． 5．（25-26高二下·四川·月考）已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 6．在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为． （1）求边的垂直平分线所在的直线的方程； （2）若的面积为5，求点的坐标． 7．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 8．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 由距离求已知直线的平行线题型06 1．若直线：与直线：间的距离为，则    ） A．17 B． C．14 D．7 2．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（    ） A． B． C． D． 3．若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（    ） A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2 4．已知，，则与直线平行且距离为2的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（25-26高二上·河南·质检）已知点的坐标分别为为动点，且的面积总为10，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C．或 D．或 6．与直线平行且与它的距离为的直线方程是______； 7．已知点和直线. (1)求过点且与直线垂直的直线的一般方程； (2)求与直线平行且与之间的距离为的直线的一般方程. 8．（25-26高三上·甘肃天水·期中）已知等腰直角三角形斜边所在直线过原点，且斜率为，一条直角边所在直线的方程为，且此三角形的面积为，求此直角三角形的直角顶点的坐标. 直线关于点对称的直线题型07 1．若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点 A． B． C． D． 2．直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 3．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 4．不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_________． 6．设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 7．1.已知，直线： (1)直线关于点A的对称直线的方程； (2)若光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线所在的直线的方程. 8．直线过点，点到直线的距离为，直线与直线关于点对称. (1)求直线的方程； (2)记原点为，直线上有一动点，则当最小时，求点的坐标. 直线交点系方程题型01 1．过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为_______________．（写成一般式） 5．过两直线和的交点且过原点的直线方程为________． 6．直线与直线的交点为，则过点，的直线方程是__________． 7．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点． (1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值． 8．直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程. 由两点间的距离公式求最值题型02 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高二上·山西晋中·月考）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 5．（24-25高二上·江苏镇江·期中）函数的最大值为______________. 6．（25-26高二上·湖北十堰·期中）已知实数，，，满足，则的最小值为________. 7．已知二元函数的最小值为，则正实数a的值为________． 8．（24-25高二上·吉林白城·期中）已知直线 l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得|取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由. 将军饮马问题求最值题型03 1．点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 3．（24-25高二上·上海·月考）已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 4．（25-26高二上·吉林长春·期中）点在直线上运动，，则的最大值是（　　） A． B． C．3 D．4 5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知x，y为实数，代数式的最小值是______． 7．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 8．（24-25高二上·浙江台州·期中）已知，． (1)若直线l过点，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程； (2)在y轴上存在一点P，使得的值最小，求出点P的坐标． 与距离有关的新定义题型04 1．（25-26高二上·安徽亳州·期中）设直角坐标平面中任意两点，记．已知点，点在直线上，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则________. 4．如图，平面中两条直线和相交于点O.对于平面上任意一点M，若p､q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是___________. 5．（24-25高二上·江苏·月考）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为______，的最小值为______. 6．（25-26高二上·青海·月考）十九世纪数学家赫尔曼⋅闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.已知点，是直线上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为__________. 7．在一些城市中，街道大多是相互垂直或平行的，从城市的一点到达不在同一条街道上的另一点，常常不能沿直线方向行走，而只能沿街走（拐直角弯）.因此我们引入直角坐标系，对给定的两点和，用以下方式定义距离： （注：下述问题中提到的“距离”都是指上述距离） (1)画出到定点距离等于1的点构成的图形，并描述图形的特征； (2)设和，画出到A、B两点距离之和为4的点构成的图形，并描述图形的特征. 8．对于平面直角坐标系中的两点，现定义由点到点的“折线距离”为. (1)已知，求； (2)已知点，点是直线上的一个动点，求的最小值； (3)对平面上给定的两个不同的点，是否存在点，同时满足 ①②. 若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明. 求点关于直线的对称点题型05 1．（25-26高二上·浙江·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）已知点与关于直线对称，则   ） A． B． C．0 D．3 4．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则   ） A． B．1 C．5 D． 5．已知点，，为坐标原点．若关于直线的对称点为，延长到，且．已知直线经过点，则直线的倾斜角为_________． 6．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知直线，点，求： (1)经过点且与直线垂直的直线方程； (2)点关于直线的对称点. 7．已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 8．已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 光线反射问题题型06 1．一条沿直线传播的光线经过点和，然后被轴反射，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，又被轴反射，这时反射线恰好过点，则所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东济宁·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·吉林长春·月考）如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建厦门·月考）一条光线从射出，经y轴后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为_________. 7．一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，交y轴于R，则光线从P到R所走的路程为__________． 8．（24-25高二上·江西南昌·月考）已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于__________. 直线关于直线对称问题题型07 1．（24-25高二上·北京·期中）点与点的对称中心是（   ） A． B． C． D． 2．与直线关于轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．直线关于直线对称的直线方程是 A． B． C． D． 4．直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．直线y=x关于直线x＝1对称的直线方程是________； 6．已知直线：，直线与关于直线对称，则直线的斜率为______. 7．直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 8．在中，，角的角平分线方程为边上的高线方程为. (1)求所在直线方程； (2)求所在直线方程. 与距离有关的综合问题题型08 1．（25-26高二上·天津·质检）已知直线，，则下列选项中不正确的是（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，，之间的距离为 2．（25-26高二上·江苏·月考）已知直线，，点A和点B分别是直线，上一动点. (1)若直线AB经过点，且，求直线AB的方程； (2)设线段AB的中点为P，求点P到点的最短距离. 3．（24-25高二上·重庆·月考）已知直线与. (1)若两点分别在直线上运动，求的中点到原点的最短距离； (2)若直线过点，且被直线截得的线段长为，求直线的方程. 4．（24-25高二上·四川·月考）已知直线． (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)求点到直线距离的最大值并求此时直线的方程； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点的面积为为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 5．如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $