22.3.1相似三角形（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

# 华东师大版九年级上册 22.3.\(\boldsymbol{1}\)《相似三角形》专项练习 ## 一\(AB\(D、E\)AC\)知识点梳理 ### \(\boldsymbol{1}\). 相似三角形定义 **三个角对应相等\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)三条边对应成比例的两个三角形\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)叫做相似三角形。** - 符号：$\boldsymbol{\backsim}$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)读作“相似于” 例：$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$ > 书写要求：**对应顶点写在对应位置**\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)方便找对应角\(AB\(D、E\)AC\)对应边。 ### 2. 相似三角形性质（定义直接推出） \(\boldsymbol{1}\). 对应角相等； 2. 对应边成比例。 ### 3. 相似比 相似三角形**对应边的比**叫做相似比。 > 注意：相似比有顺序！ $\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)相似比 $k=\dfrac{AB}{A'B'}$； 反过来 $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)相似比为 $\dfrac\(\boldsymbol{1}\)k$。 > 全等三角形是相似比$\boldsymbol{\(\boldsymbol{k=\(\boldsymbol{1}\)}\)}$的特殊相似三角形。 ### 4. 预备定理（非常重要！平行线证相似） **平行于三角形一边的直线\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)和其他两边（或两边延长线）相交\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)所构成的三角形与原三角形相似。** 在$\triangle ABC$中\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)$DE\parallel BC$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)则 $\boldsymbol{\triangle ADE \backsim \triangle ABC}$ ⚠本节易错点 \(\boldsymbol{1}\). 写相似符号时\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)顶点顺序不能乱\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)否则对应边\(AB\(D、E\)AC\)角会找错； 2. 相似比顺序不能颠倒； 3. 预备定理前提：**平行线**\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)才能直接得到三角形相似； 4. 相似三角形只要求角相等\(AB\(D、E\)AC\)边成比例\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)大小可以不一样。 ## 二\(AB\(D、E\)AC\)选择题 \(\boldsymbol{1}\). $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)$\angle A=50^\circ$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)则$\angle D=$（） A.$40^\circ$ B.$50^\circ$ C.$60^\circ$ D.$\(\boldsymbol{1}\)30^\circ$ 2. $\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)$AB=2\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)A'B'=4$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)则$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的相似比是（） A.$2$ B.$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)2$ C.$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)4$ D.$4$ 3. 如图\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)在$\triangle ABC$中\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)$DE\parallel BC$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)交$AB\(AB\(D、E\)AC\)AC$于$D\(AB\(D、E\)AC\)E$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)下列结论正确的是（） A.$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$ B.$\triangle ADE \backsim \triangle BDE$ C.$\triangle ADE \backsim \triangle BCD$ D.$\triangle ADE \backsim \triangle CDE$ 4. 若$\triangle ABC \backsim \triangle PQR$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)对应边$\(AB=6\)\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)PQ=3$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)则下面说法错误的是（） A.相似比为$2$（$\triangle ABC$到$\triangle PQR$） B.$\angle A=\angle P$ C.$\dfrac{BC}{QR}=\dfrac{AB}{PQ}$ D.$\dfrac{AC}{QR}=\dfrac{AB}{PQ}$ 5. 下列说法正确的是（） A.两个直角三角形一定相似 B.两个等腰三角形一定相似 C.两个等边三角形一定相似 D.两个等腰直角三角形不一定相似 ## 三\(AB\(D、E\)AC\)填空题 \(\boldsymbol{1}\). $\triangle ABC \backsim \triangle MNP$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)对应角：$\angle B=$______。 2. 若$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)相似比为$\(\(\boldsymbol{1}\):3\)$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)则$\triangle A'B'C'$与$\triangle ABC$的相似比为______。 3. $DE\parallel BC$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)$\(AD:AB=2:5\)$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)则相似比为______。 4. $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)$AB=4\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)DE=6$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)$\(BC=6\)$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)则$\(EF=\)$______。 5. 全等三角形的相似比等于________。 ## 四\(AB\(D、E\)AC\)解答题 \(\boldsymbol{1}\). 已知$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)$AB=3\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)A'B'=6\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)BC=4$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)求$B'C'$的长。 2. 在$\triangle ABC$中\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)$DE\parallel BC$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)$AD=2\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)DB=3\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)DE=4$。 （\(\boldsymbol{1}\)）求证：$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$； （2）求$BC$的长度。 3. $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)$\angle A=45^\circ\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)\angle B=60^\circ$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)求$\triangle DEF$中$\angle F$的度数。 4. 拓展题：$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)相似比$\(2:3\)$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)若$A'B'=9$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)求$AB$的长。 ## 五\(AB\(D、E\)AC\)参考答案与解析 ### 选择题 \(\boldsymbol{1}\).B 解析：相似三角形对应角相等\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)$\angle D=\angle A=50^\circ$ 2.B 解析：$\triangle ABC:\triangle A'B'C'=AB:A'B'=2:4=\dfrac\(\boldsymbol{1}\)2$ 3.A 解析：平行线预备定理\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)$DE\parallel BC \Rightarrow \triangle ADE \backsim \triangle ABC$ 4.D 解析：$AC$对应$PR$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)不是$QR$ 5.C 解析：所有等边三角形内角都是60°\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)一定相似。 ### 填空题 \(\boldsymbol{1}\).$\angle N$ 2.$\(3:\(\boldsymbol{1}\)\)$（或$3$） 3.$\boldsymbol{\dfrac{2}{5}}$ 4.$9$ 解析：$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF},\dfrac46=\dfrac{6}{EF}\Rightarrow \(EF=\)9$ 5.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{1}\)}$ ### 解答题 \(\boldsymbol{1}\).解： $\because\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$ $\therefore \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}$ $\dfrac{3}{6}=\dfrac{4}{B'C'}$ 解得 $B'C'=8$ 答：$B'C'=8$。 2.解： (\(\boldsymbol{1}\))证明：$\because DE\parallel BC$ $\therefore \triangle ADE \backsim \triangle ABC$（平行线预备定理） (2)$AD=2\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)DB=3\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)AB=AD+DB=5$ 相似比$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2}{5}$ $\dfrac{DE}{BC}=\dfrac25,\dfrac{4}{BC}=\dfrac25$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)解得$BC=\(\boldsymbol{1}\)0$ 答：$BC=\(\boldsymbol{1}\)0$。 3.解： $\triangle ABC$内角和$\(\boldsymbol{1}\)80^\circ$ $\angle C=\(\boldsymbol{1}\)80^\circ-\angle A-\angle B=\(\boldsymbol{1}\)80^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ$ $\because\triangle ABC\backsim\triangle DEF$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)$\therefore \angle F=\angle C=75^\circ$ 答：$\angle F=75^\circ$。 4.解： $\because\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)相似比$AB:A'B'=\(2:3\)$ $\dfrac{AB}{9}=\dfrac{2}{3}$\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)解得$\(AB=6\)$ 答：$\(AB=6\)$。 --- 下一节是**22.3.2相似三角形的判定**\(AB=2\(\(AB=6\)\(AB=4\(\angle A=45^\circ，\angle B=60^\circ\)DE=6\)PQ=3\)A'B'=4\)继续吗？ 华东师大版（新教材）数学九年级上册 22.3.1相似三角形 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第22章 图形的相似 复习回顾 相似多边形的性质和定义？ 相似多边形的对应边成比例，对应角相等。 两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各角对应相等，就称这两个多边形相似. 回顾训练 如图的两个四边形相似，则∠D的度数是 ， . 87° 4cm 新知探究 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”. 相似三角形 根据相似多边形的定义，如果两个对应边成比例、对应角相等，则这两个三角形相似. 新知探究 相似三角形 如图，在△与△中，如果 , . C A B 此时△与△相似， 记作 读作△ABC 相似于 △A'B'C' . 通常把对应顶点写在对应位置上.便于找到相似三角形的对应边和对应角. 新知探究 相似三角形 如果记，这个比值 k 就表示这两个相似三角形的相似比. 当时，两个相似三角形有什么特点？ 思考 当时， ，即, , ,此时两个三角形全等. 全等三角形是相似三角形的特例. 新知探究 由平行线判定两个三角形相似 如图为△的中位线，△和△是相似三角形吗？你能证明吗？试一试吧. 思考 △和△是相似三角形 证明：根据三角形中位线定理，有，. 由此可知， ，； . 即△和△的三个角对应相等、三条边对应成比例.因此△△是相似三角形，相似比. 如果只有这个条件，是否同样也能得到△△呢? 6 新知探究 由平行线判定两个三角形相似 如图，，并分别交于点 . 求证：. 证明 ∵ ， ∴ ， = (平行线分线段成比例)， 过点 作 的平行线交 于点 ， ∴= (平行线分线段成比例). ∴= = . A B C D E F 7 新知探究 由平行线判定两个三角形相似 如图，，并分别交于点 . 求证：. A B C D E F ∵， ∴四边形是平行四边形. ∴ . ∴= = . 又∵， ，. ∴ （相似三角形的定义） 8 知识点1 相似三角形的定义及相似比 1. 下列图形中一定相似的是( ) D A. 所有的直角三角形 B. 所有的等腰三角形 C. 所有的含 角的三角形 D. 所有的等腰直角三角形 返回 举一反三 9 2. 如图，在正方形网格中，，则 与 的相似比为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 10 知识点2 相似三角形的对应边、对应角的性质 3. 已知，若 ， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 11 新知探究 由平行线判定两个三角形相似 如图，，与是否相似？ 仍然相似. 理由如下：如图，在上截取，过点作交于点， ∵ ∴， 又 ， ∴, 又∵, ∴ 思考 F G 12 平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似． 归纳总结 归纳总结 由平行线判定两个三角形相似 A字形 X字形 A B C D E 典例分析 例1 如图，在△中，点是边的三等分点， . 求的长. 由平行线判定两个三角形相似 A B C D E 解：∵ ， ∴ （平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似）， ∴ = = ， ∴ . 4. 小明要制作两个相似的三角形框架，其中一个三角形框架 的三边长分别为4，6，9，已知另一个三角形一条边的长度 为3，则余下的那两条边的长度不可能为 ( ) D A. ， B. 2， C. ，2 D. 6，10 举一反三 15 【点拨】设长为4，6，9的三边的对应边的长分别为3，， ， 根据题意得，解得， ；设长为4，6，9的 对应边的长分别为，3，，根据题意得 ，解得 ，；设长为4，6，9的对应边的长分别为， ，3， 根据题意得，解得， .故选D. 返回 举一反三 16 （第5题） 5. 如图，在中，， 是 上两点，且 是等边三角 形，，则 的度数是______. 【点拨】， 是等 边三角形， ， ，即 ， . 返回 举一反三 17 知识点3 由平行线判定两三角形相似 （第6题） 6. 如图，在中，过点 的直线 与对角线，边分别交于点和点 ， 过点作,交于点 ，则图中 相似三角形有( ) B A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 【点拨】题图中相似三角形有 ， ,, , ,共5对. 返回 举一反三 18 7. 如图，， 均在方格纸的格点上.在方 格纸内另取格点，，连结，交线段于点 .若要使点 把线段分成 的两条线段，则( ) C A. 只有方法1对 B. 只有方法2对 C. 方法1，2都对 D. 方法1，2都错 举一反三 19 【点拨】方法1：由网格可知，， ， ，.方法2：如图，连结 ， ，由网格可知 ， ，， ， .综上，方法1，2都对，故选C. 返回 举一反三 20 8. 如图，是边上一点，连结 ， 过上点作，交于点 ，过点 作交于点.已知 ， . （1）求 的长； 【解】 ， . ，.， . 举一反三 21 （2）若，求 的长. 举一反三 22 ，， . ，， . ，,，即 . . 返回 举一反三 9. 如图，在 中， ， ， ，平分， 平分 ，过点作直线，分别交 ， B A. 5 B. C. D. 6 于点，，若，则线段 的长是( ) 举一反三 24 课堂小结 相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边的比等于相似比； 相似三角形 当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似； 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. 谢谢观看 THANKS $