专题10投影与视图同步培优讲义（重点知识梳理+19大核心题型+分层练习）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题10投影与视图同步培优讲义 ✺知识框架 本章包含投影、三视图两大板块。从光影现象入手，学习投影概念、分类与正投影性质；依托正投影认识三视图，掌握三视图绘制与识图方法，实现立体图形与平面图形的相互转化，发展空间想象能力。 ✺学习目标 1.了解投影、投影线、投影面的概念，区分中心投影与平行投影，理解正投影的含义及性质。 2.会利用平行投影 “同一时刻，物高与影长成比例” 解决简单实际测量问题。 3.理解主视图、左视图、俯视图的定义，掌握三视图 “长对正、高平齐、宽相等” 的规律，能画出常见几何体的三视图。 4.能依据三视图还原简单几何体，完成平面视图与立体图形互化，提升空间识图能力。 ✺知识梳理 知识点一、投影的基本概念 ▲定义：物体在光线照射下，在地面、墙壁等平面上形成影子的现象称为投影现象。 投影线：照射物体的光线。 投影面：影子所在的平面。 投影：物体在投影面上形成的影子。 知识点二、中心投影 ▲定义：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 典型光源：路灯、手电筒、蜡烛等点光源。 性质： ① 投影线相交于光源点； ② 垂直于地面的等高物体，离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长； ③ 光源、物体顶端、影子顶端三点共线，可用于确定光源位置。 知识点三、平行投影 ▲定义：太阳光线可以看成平行光线，由平行光线形成的投影叫做平行投影。 常见平行光源：太阳光。 性质： ① 投影线互相平行； ② 同一时刻，垂直放置物体的物高与影长成正比例，可进行相关计算。 ★中心投影和平行投影的区别与联系 对比维度 中心投影 平行投影 光源类型 点光源，光线由同一点向外发散 平行光源，光线彼此相互平行 投影线特点 投影线汇聚于光源点 投影线互相平行，无交点 物高与影长关系 不存在固定比例；垂直地面的等高物体，离光源越近，影子越短 同一时刻，垂直于地面的物体，物高与影长成正比例 现实实例 路灯、手电筒、蜡烛照射下形成的影子 太阳光照射下形成的影子 二者的联系： 1.二者都属于投影现象，都是光线照射物体，在投影面上得到影子。 2.形成投影必须具备物体、光线、投影面三个条件。 3.正投影是平行投影的特殊情形，中心投影不存在正投影。 知识点四、正投影 ▲定义：平行投影中，投影线垂直于投影面时，该投影称为正投影。 平面图形的正投影性质： ① 平面图形平行于投影面：正投影与原图形形状、大小完全相同； ② 平面图形倾斜于投影面：正投影形状不变、大小缩小； ③ 平面图形垂直于投影面：正投影为一条线段。 知识点五、三视图的概念 ▲从正面、左面、上面三个方向观察几何体，得到的三张正投影图，叫做几何体的三视图。 主视图：从几何体正面观察得到的视图，反映几何体的长与高。 左视图：从几何体左面观察得到的视图，反映几何体的宽与高。 俯视图：从几何体上面观察得到的视图，反映几何体的长与宽。 知识点六、三视图绘制规范 尺寸对应关系：长对正，高平齐，宽相等 长对正：主视图与俯视图长度相等，上下对齐； 高平齐：主视图与左视图高度相等； 宽相等：左视图与俯视图宽度对应相等。 线条要求：看得见的轮廓线画实线；被遮挡不可见的轮廓线画虚线。 知识点七、常见几何体的三视图 正方体：三视图均为全等正方形。 长方体：三视图均为长方形（可为正方形）。 圆柱：主视图、左视图为长方形，俯视图为圆。 圆锥：主视图、左视图为等腰三角形，俯视图为带圆心的圆。 球：三视图均为全等的圆。 知识点八、简单组合体的三视图 1.将组合体拆分为基础几何体，分别分析各组成部分的视图； 2.被遮挡的轮廓使用虚线绘制； 3.绘图严格遵守三视图尺寸对应规则。 知识点九、由三种视图还原几何体 1. 由三种视图还原几何体的步骤 （1）分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面、左面看到的形状；（2）结合实线和虚线综合想象整体图形；（3）画出图形后验证。 易错提醒 1.混淆中心投影与平行投影； 2.应用平行投影比例时，忽略 “同一时刻” 前提； 3.绘制三视图，违背长对正、高平齐、宽相等； 4.被遮挡轮廓线漏画虚线； 5.仅凭 1～2 个视图判定几何体形状，造成误判。 ✺题型精讲 题型1.正投影 1．如图，当正方形纸板平行于投影面时，其正投影是正方形，则当正方形纸板垂直于投影面放置时，其正投影的形状为（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．线段 D．三角形 【答案】C 【分析】本题考查了正投影的概念，理解正投影的定义是解题的关键． 根据“投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”判断即可． 【详解】解：如图： 当平面图形垂直于投影面时，其正投影是线段； 故选：C． 2．一块矩形纸板（不考虑厚度），其正投影可能是①矩形、②平行四边形、③线段、④三角形、⑤任意四边形、⑥点中的______________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查正投影的形状判断，掌握根据矩形纸板与投影面的不同位置关系，分析正投影的形状是解题的关键． 根据正投影的定义，平行光线与投影面垂直时，矩形纸板在不同位置下的正投影形状可能不同． 【详解】解：当矩形纸板与投影面平行，或与投影面倾斜但有一边平行于投影面时，正投影为矩形（①）； 当矩形纸板与投影面倾斜且没有任何一边平行于投影面时，正投影为非矩形的平行四边形（②）； 当矩形纸板与投影面垂直时，正投影为线段（③）； 由于正投影是平行投影，保持平行性，因此不可能得到三角形（④）、任意四边形（⑤）或点（⑥）． 故答案为：①②③． 3．下图所示的是一块含角的直角三角形木板，将它的直角顶点放置于直线上，点在直线上的正投影分别是点．若，求在直线上的正投影的长． 【答案】 【分析】先利用直角三角形的性质求出和的长度，再在中求出，接着证明求出，最后将和相加得到的长． 【详解】解：在中，， ， 在中，． ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查直角三角形的性质与相似三角形的应用，掌握利用三角函数求边长，通过角的关系证明三角形相似是解题的关键． 题型2.平行投影 1．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行投影的性质：平行直线的平行投影是平行或重合的直线，矩形两组对边分别平行，故其影子（非线段时）应为平行四边形． 【详解】解∶∵太阳光线是平行光线， ∴矩形木框在地面上的影子属于平行投影． ∵矩形的两组对边分别平行， ∴根据平行投影的性质，其在地面上的影子（当不重合为一条线段时）两组对边也应分别平行，即影子应为平行四边形（包含矩形）． 当矩形木框所在平面与光线平行时，影子为一条线段． ∴A是梯形，只有一组对边平行，不可能是矩形的影子； B是线段，可能是矩形平面与光线平行时的影子； C是矩形，可能是矩形平面与地面平行时的影子； D是平行四边形，可能是矩形平面倾斜时的影子． 综上所述，矩形木框在地面上的影子不可能是A． 2．比赛当天下午，小颖先参加了校运动会女子米短跑比赛，一段时间后又参加了女子米接力比赛，如图是小刚在同一位置为小颖拍摄的两张比赛照片，则小颖参加米接力赛的照片是___（填“甲”或“乙”，小颖处于北半球）． 【答案】甲 【分析】本题考查了平行投影，根据从早晨到傍晚，物体的影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长，即可求解，熟练掌握平行投影的特征是解题的关键． 【详解】解：根据平行投影的规律，可知从早晨到傍晚，物体的影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长， ∵比赛是在下午进行的，先参加比赛，再参加比赛， ∴甲照片是参加时照的，乙照片是参加时照的， 故答案为：甲． 3．某校墙边有甲、乙两根立柱，已知乙立柱的高度为． (1)某一时刻甲立柱在太阳光下的影子如图所示．请画出此时乙立柱的影子． (2)在图中，当乙立柱移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？请画出此时乙立柱的位置和影子． (3)在（2）的情形下，如果测得甲、乙立柱的影子长分别为和，那么甲立柱的高度是多少？ 【答案】(1)解：由题意，作图如下： (2)解：由题意，作图如下： (3)甲立柱的高度是. 【分析】（1）利用太阳光线是平行光线进而得出乙立柱的影子； （2）利用平移即可得出答案； （3）根据同一时刻，同一地点，物高和影长对应成比例，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设甲立柱的高度是， 由题意， 解得； 答：甲立柱的高度是. 题型3.中心投影 1．如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列关于两个人身高的说法正确的是（     ） A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法判断 【答案】D 【详解】在同一路灯下，由于小明和小强位置不确定，所以虽然影子一样长，但无法判断谁的身高高． 2．如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积________． 【答案】 【分析】本题先根据与投影平行，判定两个三角形相似，再由线段比例求出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，计算出的面积． 【详解】解：∵平行于投影面， ∴，且． ∵， ∴设，， 则， ∴， ∴，即相似比为． ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴． ∵， ∴， 解得． 3．学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） (2)求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 【答案】(1)见解析 (2)路灯灯泡离小颖头顶（）的距离 【分析】（1）与的延长线相交于G，即为所求； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，与的延长线相交于G，即为所求． （2）解：根据题意得：，，，，， ∴， ∴，即 ∴， ∴路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 题型4.视点、视角和盲区 1．如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断． 【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为， 故选：A． 【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义． 2．为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）结合（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：图略 ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为； （2）解：图略 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大． 3．某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由． (2)求大厦的高度． (3)查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)测量长度时存在读数误差 【分析】（1）根据同一时刻太阳光线平行得，易证明，则，据此求解即可； （2）根据光的反射定律得到，证明，则，结合（1）中结论进行求解即可； （3）结合测量过程的实际操作场景，从测量工具、测量条件、操作误差等角度分析误差原因即可． 【详解】（1）解：由题意得：、， ， 同一时刻太阳光线平行， ， ， ， ，即， ； （2）解：根据光的反射定律，， 由题意得：、， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 解得：， 即大厦高度为； （3） 解：该小组测量产生误差的原因可能是：测量长度时存在读数误差或地面不绝对水平、镜子位置定位有偏差等． 题型5.判断简单几何体的三视图 1．下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图都相同的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据简单几何体的三视图判断即可． 【详解】解：A．球的主视图、左视图、俯视图都是圆，故A符合题意； B．三棱柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，故B不符合题意； C．圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是带圆心的圆，故C不符合题意； D．圆柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，故D不符合题意． 2．如图①，粗线表示嵌在正方体玻璃上的铁丝，图②是该正方体的三视图中的两个．两个视图的名称分别是_______． 【答案】俯视图和主视图 【分析】本题考查了三视图，掌握三视图的画法是解题的关键． 根据三视图的定义判断即可． 【详解】解：观察右边的两个图：第一个图中间有一条粗线，可判断该图为俯视图； 第二个图的上边和右边是两条粗线，故应该是主视图． 故答案为：俯视图和主视图 3．一个直立的三棱柱的俯视图是一个三角形，如图，已知这个俯视图的1个内角等于，夹该角的两条边长分别等于线段m和n，试利用尺规作图作出这个俯视图． 【答案】解：如图，即为所求； 【分析】先作一个等于，然后在角的两边分别截取，连接，即为所求. 【详解】略 题型6.判断简单组合体的三视图 1．如图所示的几何体的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：几何体的俯视图为： 2．如图是7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，若拿走图中一块积木后图形的主视图保持不变，则拿走的积木是________．（填“甲”“乙”“丙”“丁”） 【答案】甲 【分析】由前向后观察物体的视图，叫做主视图；注意根据积木的块数，判断积木甲后侧是否存在被遮挡的积木． 【详解】图为7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，可知积木甲后侧有一块积木被遮挡，拿走积木甲，主视图保持不变． 3．综合与实践 根据以下素材，完成任务． 某校为解决书籍收纳问题，学校计划为学生统一定制一款桌边置物架如图1．该置物架的结构与尺寸蕴含着丰富的数学知识，该校数学兴趣小组以此为背景开展探究活动． 【素材1】如图1所示的桌边置物架，上面是多层斜插板的置物板，用于放书和资料，最下面是独立储物空间，可以用来存放雨伞或水瓶等物品． 【素材2】为了让购买回来的桌边置物架更适配同学们的课桌尺寸，给教室留下更多的活动空间，经过数学兴趣小组研究，决定跟厂家定制高为，长为，宽为的桌边置物架（如图1）． 【素材3】如图2，相邻两层斜插板之间的距离都为，每层斜插板与水平线之间的夹角为． 任务1： (1)求最底层置物区开口的长； 任务2：如图3，小李将一本长为，宽为，厚度为的课本横放在书架上．其中，矩形为课本的横截面，线段为课本的宽． (2)每层斜插板之间最多能放几本这样的书？ (3)放书后整个书架占地面积为多少？ 【答案】(1) (2)3本 (3) 【分析】（1）直接解即可； （2）用相邻两层斜插板之间的距离除以书的厚度，即可得出结果； （3）过点作，交于点，过点作，分别解和，求出的长，进而求出的长，再利用分割法求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）解：∵相邻两层斜插板之间的距离都为，厚度为的课本， ∴， 故每层斜插板之间最多能放3本这样的书； （3）解：过点作，交于点，过点作，如图3，则， 由题意，， ∴， ∴， 在中，， ∴； 在中，，，， ∴， ∴， 放一本书后的俯视图如图： ∴放书后整个书架占地面积为． 题型7.判断非实心几何体的三视图 1．下面是空心圆柱体的主视图，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：空心圆柱体内外圆柱主视图均是长方形，内部看不见的部分用虚线，则其主视图是． 2．如图所示的几何体的左视图为（   ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法． 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从几何体的左面看，是一个带着圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．只有C选项符合题意． 故选：C． 3．如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，确定通孔位置的左视图为虚线；再求解通孔的底面正方形的对角线长即可确定． 【详解】解：通孔底面正方形的对角线长为， 该零部件的左视图及其尺寸标注如B选项所示． 题型8.已知一种或两种视图，判断其他视图 1．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为：（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过主视图的列数与俯视图的列数相同，每列的高度等于俯视图中该列小正方形内数字的最大值，从而求解． 【详解】解：由俯视图可知主视图共有列，第一列数字为，最大值为；第二列数字为，，，最大值为；第三列数字为，，最大值为； ∴主视图从左到右的列数分别为，，， 故选项符合题意． 2．一个由几个相同的小立方体搭成的几何体从上面看到的图如图所示，方格里的数字表示该位置的小立方体的个数，请你在网格中画出这个几何体从三个方面看到的几何体的形状图． 【答案】 解：如图： 【分析】本题考查了三视图； 由俯视图可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为2，3，4；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为1，4，2，据此可画出图形． 【详解】略 3．用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示．请你画出从正面看到的几何体的形状图.（画出两种即可） 【答案】 解：作图如下： 【分析】结合左视图和俯视图即可画出主视图． 【详解】略 【点睛】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 题型9.画简单几何体的三视图 1．如图，白釉牡丹纹罐于1996年在银川宁东镇马跑泉村一带出土，现馆藏于灵武博物馆，是研究西夏陶瓷工艺和文化交流的重要实物资料．下列关于其三视图描述正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 【答案】A 【分析】根据几何体的三种视图解答． 【详解】解：观察几何体主视图和左视图相同，而俯视图与两者不同． 2．一块积木如图所示，则它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． 【详解】解：从上边看，可得选项的图形． 故选：D． 3．分别画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． (1) (2) 【答案】(1)如图， (2)如图， 【分析】（1）主视图为三角形，左视图为矩形，俯视图为矩形，中间有一条竖直的线段； （2）主视图为大正方形，内部中间有实线轮廓的小正方形，左视图为大正方形，内部有两条水平的虚线，俯视图为大正方形，内部有两条竖直的虚线． 【详解】（1）略 （2） 略 题型10.画简单组合体的三视图 1．下图是由棱长都为1的5个小正方体组成的几何体，则该几何体左视图的面积是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．画出几何体的左视图即可求出面积． 【详解】解：如图所示为该几何体的左视图． 故面积为3 故选B． 2．三视图的具体画法为： ①确定主视图的位置，画出主视图； ②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图____； ③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图____，与俯视图____； ④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴． 注意：不可见的轮廓线，用虚线画出． 【答案】 长对正 高平齐 宽相等 【解析】略 3．按要求完成下列各题： (1)画出图中各个几何体的主视图、左视图和俯视图； (2)请找出一些与图中几何体形状类似的物体，并尝试画出它们的三种视图． 【答案】(1)解：第1个图可以看成圆柱与球的组合体；第2个图可以看成圆锥和半球的组合体，第3个图可以看成两个圆锥的组合体．它们的三种视图分别是： (2)解：画图如下： 【分析】（1）主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．依此即可求解． （2）根据自己的生活经验，画出一个熟悉的几何体，并画出三视图即可． 【详解】（1）略 （3） 略 题型11.画小立方块堆砌图形的三视图 1．块正方体搭建研学观景模型，再加块，保证左视图不变．有（     ）种拼摆方法（正方体之间必须有衔接面） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若增加一个正方体木块，保证左视图不变，则添加的小正方体只能在左边或右边． 【详解】解：分析可知，有以下种摆法： 2．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是_____________（选填“主视图”“左视图”或“俯视图”） 【答案】左视图 【分析】先画出三视图，然后分别求出面积直接比大小即可． 【详解】如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成， 左视图是由3个小正方形组成， 俯视图是由5个小正方形组成， 故三种视图面积最小的是左视图． 故答案为：左视图． 【点睛】此题考查三视图，解题关键是直接画出三视图进行求解即可． 3．改变下图中物体的形状，使它的俯视图分别如图所示． (1) (2) (3)试试看，还可能得到哪些俯视图？ 【答案】(1)解：如图所示（答案不唯一）： (2)解：如图所示（答案不唯一）： (3)解：如图所示（答案不唯一） 【分析】（1）根据俯视图画出原图形即可； （2）根据俯视图画出原图形即可； （3）根据俯视图的定义画出图形即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 题型12.由三视图还原几何体 1．某几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体可能是（     ） A．长方体 B．圆柱 C．球 D．圆锥 【答案】D 【分析】由主视图确定侧面形状，由俯视图确定底面形状． 【详解】解：主视图为三角形，则该几何体为锥体；俯视图为圆，则底面为圆， 故该几何体为圆锥． 2．如图所示的是从一个立体图形的三个不同方向看到的平面图形，则这个立体图形的体积是________（结果保留）． 【答案】 【分析】从三视图可得，正视图以及左视图为正方形，而俯视图为圆形，故可以得出该立体图形为圆柱．由三视图可以得到圆柱的半径和高，进而得出体积． 【详解】解：由三视图可得，该立体图形为圆柱． ∵圆柱的底面半径高 ∴圆柱的体积（立方厘米）， 故答案为： 【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 3．按照下面给出的两组视图：选取合适的材料制成相应的实物模型，写出制作流程． 【答案】 （1）是圆锥，制作流程：①用刻度尺度量其底面圆的半径r，高h； ②用小刀把萝卜削成一个底面圆的半径为r，高为h的圆柱体； ③把圆柱体加工成如答图①所示的模型． （2）为正方体截去一个三棱柱，是五棱柱．制作流程： ①用刻度尺度量正方体的棱长a，被截去的三棱柱的底面为直角三角形，一条直角边长为b，另一条直角边长为c； ②用小刀将萝卜削成一个正方体，棱长为a； ③在以这个正方体为毛坯的基础上再加工，使其截去一个三棱柱，三棱柱底面上直角三角形的两直角边长分别为b和c，做成如答图②所示的模型． 【详解】本题考查的是由三视图判断几何体，由三视图可得，第一个几何体是圆锥，第二个几何体是一个缺了一个角的正方体，然后利用实际物体制作解题即可． 解：略． 题型13.已知三视图求边长 1．三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（    ）    A．6cm B． C． D．4cm 【答案】A 【分析】过点E作于点Q，根据三视图的意义，得到，用勾股定理计算即可． 【详解】过点E作于点Q， 根据三视图的意义，得到，    ∵，， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了几何体的三视图计算，正确理解三视图的意义是解题的关键． 2．三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为________cm． 【答案】． 【分析】过点E作EQ⊥FG于点Q，根据三视图可知AB的长即为EQ的长，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点E作EQ⊥FG于点Q， 由题意可得出：EQ=AB． ∵∠EFG=45°， ∴EQ=FQ， ∵EF=8cm， ∴， ∴EQ=FQ=（cm）， 即AB的长 cm． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三棱柱的三视图，得到AB的长即为EQ的长是解题的关键． 3．如图所示是三棱柱的三视图，在中，，，，则的长为__________ 【答案】5 【分析】过E作交于点，根据，，即可得到，根据左视图即可得到； 【详解】解：过E作交于点， ∵，，， ∴， 由左视图可得， ， 故答案为5； 【点睛】本题考查正确理解几何体的三视图，直角三角形所对直角边等于斜边一半，解题的关键是正确理解三视图． 题型14.已知三视图求侧面积或表面积 1．下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据俯视图和左视图的面积求得相应的边长，即可求解． 本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键． 【详解】解：设长方体的长为x，宽为y，高为m， 根据题意，得，，， 故，， 故， 解得， 解得或（舍去）， 故选：B． 2．某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 【答案】14 【分析】根据三视图确定几何体的形状及小正方体的排列情况，利用几何体表面积等于主视图、左视图、俯视图面积之和的2倍进行计算． 【详解】解：综合三视图可得，该几何体只有1层，该层有2排，前排有2个小正方体，后排有1个小正方体，共3个小正方体． 故表面积为． 3．已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查几何体的三视图，长方体的表面积．先根据三视图得到该几何体是长方体，再根据长方体的表面积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可得几何体是长方体，长方体的长、宽、高分别为，、， 长方体的表面积为． 故答案为：104． 题型15.求小立方块堆砌图形的表面积 1．将一个长方体切刀，正好可以切成若干个小正方体，增加的表面积是原长方体表面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了长方体的表面积，正确地判断每一刀增加的表面积是本题解题的关键； 从图中可以发现，共增加了两个正面，个左侧面，两个上面，将小正方体一个面的面积看作单位“”，分别计算出增加的面积与原来的面积作比即可； 【详解】解：将小正方体一个面的面积看作单位“” 增加的表面积为： 原来的表面积为： ； 答：增加的表面积是原来长方体表面积的 故选：C 2．如图是由若干个棱长为的完全相同的小正方体组成的一个几何体，在露出的表面上涂上颜色（不含底面），则涂上颜色部分的总面积为____ ． 【答案】310000 【分析】本题考查计算几何体的面积，有顺序的计算上面，左右面，前后面涂上颜色的面积之和即可． 【详解】解：， ， 故答案为：310000． 3．如图，是由几个大小相同的小正方体搭建的几何体． (1)请在上图中分别画出这个几何体的三视图； (2)每个小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积为_____． 【答案】(1) 解：如图所示， (2) 【分析】本题考查了几何体的三视图以及几何体的表面积，理解三视图的定义是解题的关键． （1）根据三视图的定义及画法直接作图即可； （2）根据几何体的形状得出其表面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：每个小正方体的棱长为， 每个小正方体的一个面的面积为， 这个几何体的表面积为． 故答案为：． 题型16.已知三视图求体积 1．长方体从正面看和从上面看所得到的图形如图所示，则这个长方体的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从正面和从上面看到的图形，得出该长方体的长为4、宽为3、高为3，最后根据长方体的体积公式即可得出结果． 【详解】解：由从正面和从上面看到的图形可知，该长方体的长为4、宽为3、高为3， 则这个长方体的体积为． 2．某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是______． 【答案】 【分析】本题考查几何体的三视图，根据三视图得到几何体是圆柱，以及圆柱的底面半径和高，进而利用圆柱的体积等于底面积乘以高求解即可． 【详解】解：由三视图可得，该包装盒是一个底面直径为，高为的圆柱， ∴该包装盒的体积为， 故答案为：． 3．已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． (1)请写出该几何体的名称：________； (2)根据图中数据，求该几何体的体积． 【答案】(1)正三棱柱 (2) 【分析】本题主要考查的是几何体的知识 （1）由三视图判断几何体， （2）根据几何体的形状，求体积，即可． 【详解】（1）解：由三视图可得，该几何体为正三棱柱． （2）解：如图，过点作于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴该几何体的体积为：． 题型17.求几何体视图的面积 1．把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形状，则该立体图形俯视图的面积为（　　）平方厘米．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了俯视图“从上面观察物体所得到的视图是俯视图”，熟练掌握俯视图的定义是解题关键．先画出这个立体图形的俯视图，再计算面积即可得． 【详解】解：这个立体图形的俯视图如下： 则该立体图形俯视图的面积为（平方厘米）， 故选：C． 2．如图是由棱长都为的个小正方体组成的几何体，则该几何体左视图的面积是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置． 画出几何体的左视图即可求出面积． 【详解】解：如图所示为该几何体的左视图． 故面积为， 故答案为：． 3．已知一个模型的三视图如图所示（单位：）． (1)请描述这个模型的形状； (2)制作这个模型的木料密度为，则这个模型的质量为多少（质量密度体积）？ (3)如果用油漆涂抹这个模型，每千克油漆可以涂抹，那么需要多少千克的油漆？ 【答案】(1)此模型由两个长方体组成，上面是小长方体，下面是大长方体 (2)这个模型的质量为 (3)需要的油漆 【分析】（1）根据模型的三视图可以直接判断出模型的形状；（2）根据模型三视图知道模型组成图形的长、宽、高，然后计算出体积，再乘以木料的密度就可以得出模型的质量；（3）计算出模型的表面积，再除以每千克油漆可以涂抹的面积，即可计算出所需要的油漆数量. 【详解】（1）解：∵模型的三视图图， ∴模型是由两个长方体组成，上面是小长方体，下面是大长方体. （2）解：模型的体积（立方分米） 这个模型的质量为． （3）解：模型的表面积为， 需要的油漆． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出长方体的长、宽、高． 题型18.由三视图，判断小立方体的个数 1．如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据主视图和左视图，把各个位置小方块的个数标在俯视图上，根据各个位置小正方体的个数计算出组成这个几何体的小正方体的个数． 【详解】解：如下图所示，把各个位置小方块的个数标在俯视图上， 组成这个几何体的小正方体的个数是个． 2．某几何体是由大小相同的正方体木块堆成，主视图、俯视图如图所示，则该几何体木块数量是_____块． 【答案】 【分析】本题考查由三视图还原几何体，注意结合图形解答是关键．由三视图可知这个几何体木块有两层，由主视图和俯视图可知底层有三个小正方体，上层只在最左边有一个小正方体，加起来得到结果数． 【详解】解：由主视图、俯视图可知这个几何体木块有两层， 底层有块，由主视图和俯视图知上层只在最左边有一个小正方体， 综上可知共有块正方体， 故答案为：． 3．如图，由若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体放置在平整的地面上． (1)请画出这个几何体的三视图． (2)在这个几何体的表面喷上红色的漆（底部不喷漆），则在所有的小正方体中，有 个小正方体只有三个面是红色． 【答案】(1) 由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为； 左视图有列，每列小正方形数目分别为； 俯视图有列，每列小正方形数目分别为．据此可画出图形； (2) 【分析】本题考查简单组合体的三视图的画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意涂色面积指组成几何体的外表面积． （）先分析几何体的小正方体堆叠结构，再分别从正面、左面、上面观察，确定每列小正方形的个数与分布，据此画出主视图、左视图、俯视图； （）明确底层不喷漆的规则，逐一分析各层小正方体的暴露面数(贴合面与底面不计)，结合几何体堆叠结构，数出仅三个面暴露的小正方体数量即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：正方体只有三个面是红色的应该是：第一列个，第二列个，第三列最底层个， ∴共个． 故答案为：． 题型19.已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 1．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】观察几何体的主视图和俯视图，可知该几何体有三层两列，最下面一层有3个小正方体，中间一层最少有2个小正方体，最上面一层最少有1个小正方体，由此即可得出结果． 【详解】解：观察几何体的主视图和俯视图，可知该几何体有三层两列，最下面一层有3个小正方体，中间一层最少有2个小正方体，最上面一层最少有1个小正方体， 故搭成该几何体的小正方体的个数最少是． 2．如图是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小正方体的个数最少是_____，最多是_____． 【答案】 【分析】根据三视图的特点分析即可求解． 【详解】解：俯视图中， 能组成这个几何体的小正方体的个数最少是个， 俯视图中， 能组成这个几何体的小正方体的个数最多是个． 3．把边长为1厘米的5个相同正方体摆成如图的形式． (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； (2)求该几何体的表面积； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加________小正方体． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【分析】（）直接利用三视图的画法进而得出答案； （）利用几何体的形状进而得出其表面积； （）利用左视图和俯视图不变，得出可以添加的位置； 此题主要考查了画三视图以及几何体的表面积，正确得出三视图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）几何体表面积： （平方厘米）； （3）解：在俯视图的相应位置添加小正方体，如图所示， 最多可以再添加个小正方体． ✺分层练习 一、单选题 1．如图是一个由数控车床制造的高精度零件，其主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定主视图的观察方向（正面），再分析该零件从正面观察得到的图形形状，匹配对应选项． 【详解】从正面看，顶部是一个三角形；中部是一个长方形；底部是一个长方形，且宽度比中部的长方形要窄．符合条件的只有B选项． 2．如图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，掌握三视图的画法是解题的关键． 根据三视图还原几何体，再求表面积即可． 【详解】解：根据三视图可知，这个几何体为圆锥． 直径为6cm，高为4cm， 圆锥母线长为， 表面积为． 故选：B． 3．一个由大小相同的小正方体搭成的几何体，其主视图、俯视图和左视图均相同，其形状如图所示，则该几何体由几个小正方体搭成（     ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】解：根据主视图、俯视图和左视图，将搭成该几何体的小正方体个数标记在俯视图上，如下所示： ∴该几何体由7个小正方体搭成． 4．某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 【答案】C 【分析】如图，延长，交的延长线于点，同一时刻物高与影长成比例，可得，再证明，根据相似三角形的性质列式解答即可． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， 根据题意得：米，米，米，米， ∵同一时刻物高与影长成比例， ∴， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 二、填空题 5．用大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的几何体的形状图如图所示．它最多需要___________个小立方块． 【答案】 【分析】根据俯视图确定底层小立方块的个数及分布，结合主视图确定每一列的最大高度，从而计算最多需要的小立方块数量． 【详解】解：由俯视图可知，该几何体底层共有个小立方块，其中左侧一列有个位置，中间一列有个位置，右侧一列有个位置．由主视图可知，左侧一列最高为层，中间一列最高为层，右侧一列最高为层．要使小立方块最多，则左侧一列的3个位置均放个小立方块，中间的个位置均放个小立方块，右侧一列的个位置均放个小立方块，因此最多需要的小立方块个数为（个）． 6．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1． 如果塔形有2个正方体组成，则露在外面的面积是____________，如果露在外面的面积是超过8，则正方体的个数至少是____________个． 【答案】 7 4 【分析】本题考查了立体图形的表面积问题，解决本题的关键是得到上下所有正方体露在外面的上面面积之和为1，每增加一层相当于增加4个侧面． 若只有一层（即只有一个）时，每个面的面积是1，共露出5个面；若有两层，则第二层每个侧面的面积是，与一层相比，多了4个侧面；若有三层，则第三层的每个侧面的面积是，与两层相比，多了4个侧面；根据规律分别计算外露面积即可． 【详解】解：若只有一层（即只有一个）时，每个面的面积是1，共露出5个面，所以外露面积为：； 若有两层，则第二层每个侧面的面积是，与一层相比，多了4个侧面，所以外露面积为：； 若有三层，则第三层的每个侧面的面积是，与两层相比，多了4个侧面，所以外露面积为：； ∴塔形有2个正方体组成，则露在外面的面积是7；如果露在外面的面积是超过8，则正方体的个数至少是4个． 故答案为：7，4． 7．如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 【答案】 【分析】根据证明，得到，根据矩形与矩形位似得，再求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 矩形与矩形位似， ， 矩形的周长为4， 矩形的周长为． 三、解答题 8．（1）如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称； （2）根据两种视图中尺寸（ 单位：），计算这个组合几何体的表面积．（ π取3.14） 【答案】（1）主，俯；（2） 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，以及几何体的表面积，关键是掌握三视图所看的位置． （1）找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． （2）根据题目所给尺寸，计算出下面长方体表面积+上面圆柱的侧面积． 【详解】解：（1）如图所示： （2）表面积 ． 9．如图是某个几何体的表面展开图． (1)画出该几何体的三视图； (2)求该几何体的体积． 【答案】(1) 它的三视图如下： (2)120π 【分析】本题主要考查几何展开图还原组合体、三视图及组合体体积问题，还原组合体图形是解题的关键． （1）根据几何透视原理作出三视图； （2）由展开图可知该几何体是圆柱和圆锥的组合体，先利用展开图以及三视图求出圆锥的高，然后求出圆锥的体积，再求出圆柱的体积，最后得到几何体的体积． 【详解】（1）解：由这个几何体的表面展开图可知，这个组合体上面是底面半径为3， 母线为5的圆锥体，下面是底面半径为3，高为12的圆柱体的组合体； （2）由勾股定理可得，上面圆锥的高为4， 所以这个组合体的体积为． 10．如图①，在平整的地面上，用多个棱长均为的小正方体堆成一个几何体． (1)在图①中，共有_______个小正方体． (2)在图②，图③中分别画出这个几何体的主视图（从前面看）与俯视图（从上面看），并写出俯视图的面积． (3)若现在你还有一些棱长均为的小正方体，要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加_______个小正方体． 【答案】(1)9 (2) 如图所示． (3)5 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单三视图的画法是正确解答的关键． （1）根据拼图可直接得出答案； （2）画出主视图、俯视图，并求出俯视图的面积即可； （3）结合三视图，在俯视图上的相应位置添加相应数量的正方体，直至最多． 【详解】（1）解：根据拼图可知，堆成如图所示的几何体需要9个小正方体， 故答案为：9； （2）俯视图的面积为 （3）要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加5个小正方体． 故答案为：5 11．如图，是由一些棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)该几何体的表面积（含下底面）为________； (2)请画出这个几何体的三视图并用阴影表示出来； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 【答案】(1) (2) 解：如图所示： (3)3 【分析】本题考查了三视图． （1）有顺序地计算上下面，左右面，前后面的表面积及第三列相对的两个面的表面积之和即可； （2）根据三视图的定义作图即可； （3）根据保持这个几何体的主视图和俯视图不变，可知添加小正方体是左侧前两列的第二、三层，依此即可求解． 【详解】（1）解： ， 所以该几何体的表面积（含下底面）为， 故答案为：； （2）略 （3）解：根据保持这个几何体的主视图和俯视图不变，可知添加小正方体是左侧前两列的第二、三层，即最多可以再添加3个. 故答案为：3． 12．综合与实践：投影中的数学． (1)如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长 m， m； (2)如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 【答案】(1)①如图，投影，即为所求；②3，； (2)①如图，灯泡P即为所求； ② 【分析】（1）①根据作一个角等于已知角以及作垂线的步骤作图即可； ②根据平行投影的性质以及直角三角形的性质，勾股定理求解即可； （2）①连接，并延长交点即为点；②过点分别作，，垂足为点，通过以及求解即可． 【详解】（1）解：①作图见答案； ②由平行投影可得，，， ∵地面， ∴ ∴， ∵ ∴，解得（舍负） （2）解：①略 ②过点分别作，，垂足为点， 由题意得，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即路灯灯泡距离地面的高度为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10投影与视图同步培优讲义 ✺知识框架 本章包含投影、三视图两大板块。从光影现象入手，学习投影概念、分类与正投影性质；依托正投影认识三视图，掌握三视图绘制与识图方法，实现立体图形与平面图形的相互转化，发展空间想象能力。 ✺学习目标 1.了解投影、投影线、投影面的概念，区分中心投影与平行投影，理解正投影的含义及性质。 2.会利用平行投影 “同一时刻，物高与影长成比例” 解决简单实际测量问题。 3.理解主视图、左视图、俯视图的定义，掌握三视图 “长对正、高平齐、宽相等” 的规律，能画出常见几何体的三视图。 4.能依据三视图还原简单几何体，完成平面视图与立体图形互化，提升空间识图能力。 ✺知识梳理 知识点一、投影的基本概念 ▲定义：物体在光线照射下，在地面、墙壁等平面上形成影子的现象称为投影现象。 投影线：照射物体的光线。 投影面：影子所在的平面。 投影：物体在投影面上形成的影子。 知识点二、中心投影 ▲定义：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 典型光源：路灯、手电筒、蜡烛等点光源。 性质： ① 投影线相交于光源点； ② 垂直于地面的等高物体，离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长； ③ 光源、物体顶端、影子顶端三点共线，可用于确定光源位置。 知识点三、平行投影 ▲定义：太阳光线可以看成平行光线，由平行光线形成的投影叫做平行投影。 常见平行光源：太阳光。 性质： ① 投影线互相平行； ② 同一时刻，垂直放置物体的物高与影长成正比例，可进行相关计算。 ★中心投影和平行投影的区别与联系 对比维度 中心投影 平行投影 光源类型 点光源，光线由同一点向外发散 平行光源，光线彼此相互平行 投影线特点 投影线汇聚于光源点 投影线互相平行，无交点 物高与影长关系 不存在固定比例；垂直地面的等高物体，离光源越近，影子越短 同一时刻，垂直于地面的物体，物高与影长成正比例 现实实例 路灯、手电筒、蜡烛照射下形成的影子 太阳光照射下形成的影子 二者的联系： 1.二者都属于投影现象，都是光线照射物体，在投影面上得到影子。 2.形成投影必须具备物体、光线、投影面三个条件。 3.正投影是平行投影的特殊情形，中心投影不存在正投影。 知识点四、正投影 ▲定义：平行投影中，投影线垂直于投影面时，该投影称为正投影。 平面图形的正投影性质： ① 平面图形平行于投影面：正投影与原图形形状、大小完全相同； ② 平面图形倾斜于投影面：正投影形状不变、大小缩小； ③ 平面图形垂直于投影面：正投影为一条线段。 知识点五、三视图的概念 ▲从正面、左面、上面三个方向观察几何体，得到的三张正投影图，叫做几何体的三视图。 主视图：从几何体正面观察得到的视图，反映几何体的长与高。 左视图：从几何体左面观察得到的视图，反映几何体的宽与高。 俯视图：从几何体上面观察得到的视图，反映几何体的长与宽。 知识点六、三视图绘制规范 尺寸对应关系：长对正，高平齐，宽相等 长对正：主视图与俯视图长度相等，上下对齐； 高平齐：主视图与左视图高度相等； 宽相等：左视图与俯视图宽度对应相等。 线条要求：看得见的轮廓线画实线；被遮挡不可见的轮廓线画虚线。 知识点七、常见几何体的三视图 正方体：三视图均为全等正方形。 长方体：三视图均为长方形（可为正方形）。 圆柱：主视图、左视图为长方形，俯视图为圆。 圆锥：主视图、左视图为等腰三角形，俯视图为带圆心的圆。 球：三视图均为全等的圆。 知识点八、简单组合体的三视图 1.将组合体拆分为基础几何体，分别分析各组成部分的视图； 2.被遮挡的轮廓使用虚线绘制； 3.绘图严格遵守三视图尺寸对应规则。 知识点九、由三种视图还原几何体 1. 由三种视图还原几何体的步骤 （1）分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面、左面看到的形状；（2）结合实线和虚线综合想象整体图形；（3）画出图形后验证。 易错提醒 1.混淆中心投影与平行投影； 2.应用平行投影比例时，忽略 “同一时刻” 前提； 3.绘制三视图，违背长对正、高平齐、宽相等； 4.被遮挡轮廓线漏画虚线； 5.仅凭 1～2 个视图判定几何体形状，造成误判。 ✺题型精讲 题型1.正投影 1．如图，当正方形纸板平行于投影面时，其正投影是正方形，则当正方形纸板垂直于投影面放置时，其正投影的形状为（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．线段 D．三角形 2．一块矩形纸板（不考虑厚度），其正投影可能是①矩形、②平行四边形、③线段、④三角形、⑤任意四边形、⑥点中的______________（填序号）． 3．下图所示的是一块含角的直角三角形木板，将它的直角顶点放置于直线上，点在直线上的正投影分别是点．若，求在直线上的正投影的长． 题型2.平行投影 1．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 2．比赛当天下午，小颖先参加了校运动会女子米短跑比赛，一段时间后又参加了女子米接力比赛，如图是小刚在同一位置为小颖拍摄的两张比赛照片，则小颖参加米接力赛的照片是___（填“甲”或“乙”，小颖处于北半球）． 3．某校墙边有甲、乙两根立柱，已知乙立柱的高度为． (1)某一时刻甲立柱在太阳光下的影子如图所示．请画出此时乙立柱的影子． (2)在图中，当乙立柱移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？请画出此时乙立柱的位置和影子． (3)在（2）的情形下，如果测得甲、乙立柱的影子长分别为和，那么甲立柱的高度是多少？ 题型3.中心投影 1．如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列关于两个人身高的说法正确的是（     ） A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法判断 2．如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积________． 3．学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） (2)求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 题型4.视点、视角和盲区 1．如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 2．为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 3．某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由． (2)求大厦的高度． (3)查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 题型5.判断简单几何体的三视图 1．下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图都相同的是（     ） A． B． C． D． 2．如图①，粗线表示嵌在正方体玻璃上的铁丝，图②是该正方体的三视图中的两个．两个视图的名称分别是_______． 3．一个直立的三棱柱的俯视图是一个三角形，如图，已知这个俯视图的1个内角等于，夹该角的两条边长分别等于线段m和n，试利用尺规作图作出这个俯视图． 题型6.判断简单组合体的三视图 1．如图所示的几何体的俯视图为（     ） A． B． C． D． 2．如图是7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，若拿走图中一块积木后图形的主视图保持不变，则拿走的积木是________．（填“甲”“乙”“丙”“丁”） 3．综合与实践 根据以下素材，完成任务． 某校为解决书籍收纳问题，学校计划为学生统一定制一款桌边置物架如图1．该置物架的结构与尺寸蕴含着丰富的数学知识，该校数学兴趣小组以此为背景开展探究活动． 【素材1】如图1所示的桌边置物架，上面是多层斜插板的置物板，用于放书和资料，最下面是独立储物空间，可以用来存放雨伞或水瓶等物品． 【素材2】为了让购买回来的桌边置物架更适配同学们的课桌尺寸，给教室留下更多的活动空间，经过数学兴趣小组研究，决定跟厂家定制高为，长为，宽为的桌边置物架（如图1）． 【素材3】如图2，相邻两层斜插板之间的距离都为，每层斜插板与水平线之间的夹角为． 任务1： (1)求最底层置物区开口的长； 任务2：如图3，小李将一本长为，宽为，厚度为的课本横放在书架上．其中，矩形为课本的横截面，线段为课本的宽． (2)每层斜插板之间最多能放几本这样的书？ (3)放书后整个书架占地面积为多少？ 题型7.判断非实心几何体的三视图 1．下面是空心圆柱体的主视图，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示的几何体的左视图为（   ） A． B．C． D． 3．如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A． B． C． D． 题型8.已知一种或两种视图，判断其他视图 1．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为：（     ） A． B． C． D． 2．一个由几个相同的小立方体搭成的几何体从上面看到的图如图所示，方格里的数字表示该位置的小立方体的个数，请你在网格中画出这个几何体从三个方面看到的几何体的形状图． 3．用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示．请你画出从正面看到的几何体的形状图.（画出两种即可） 题型9.画简单几何体的三视图 1．如图，白釉牡丹纹罐于1996年在银川宁东镇马跑泉村一带出土，现馆藏于灵武博物馆，是研究西夏陶瓷工艺和文化交流的重要实物资料．下列关于其三视图描述正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 2．一块积木如图所示，则它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 3．分别画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． (1) (2) 题型10.画简单组合体的三视图 1．下图是由棱长都为1的5个小正方体组成的几何体，则该几何体左视图的面积是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．三视图的具体画法为： ①确定主视图的位置，画出主视图； ②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图____； ③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图____，与俯视图____； ④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴． 注意：不可见的轮廓线，用虚线画出． 3．按要求完成下列各题： (1)画出图中各个几何体的主视图、左视图和俯视图； (2)请找出一些与图中几何体形状类似的物体，并尝试画出它们的三种视图． 题型11.画小立方块堆砌图形的三视图 1．块正方体搭建研学观景模型，再加块，保证左视图不变．有（     ）种拼摆方法（正方体之间必须有衔接面） A． B． C． D． 2．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是_____________（选填“主视图”“左视图”或“俯视图”） 3．改变下图中物体的形状，使它的俯视图分别如图所示． (1) (2) (3)试试看，还可能得到哪些俯视图？ 题型12.由三视图还原几何体 1．某几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体可能是（     ） A．长方体 B．圆柱 C．球 D．圆锥 2．如图所示的是从一个立体图形的三个不同方向看到的平面图形，则这个立体图形的体积是________（结果保留）． 3．按照下面给出的两组视图：选取合适的材料制成相应的实物模型，写出制作流程． 题型13.已知三视图求边长 1．三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（    ）    A．6cm B． C． D．4cm 2．三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为________cm． 3．如图所示是三棱柱的三视图，在中，，，，则的长为__________ 题型14.已知三视图求侧面积或表面积 1．下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 3．已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为_____． 题型15.求小立方块堆砌图形的表面积 1．将一个长方体切刀，正好可以切成若干个小正方体，增加的表面积是原长方体表面积的（    ） A． B． C． D． 2．如图是由若干个棱长为的完全相同的小正方体组成的一个几何体，在露出的表面上涂上颜色（不含底面），则涂上颜色部分的总面积为____ ． 3．如图，是由几个大小相同的小正方体搭建的几何体． (1)请在上图中分别画出这个几何体的三视图； (2)每个小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积为_____． 题型16.已知三视图求体积 1．长方体从正面看和从上面看所得到的图形如图所示，则这个长方体的体积是（     ） A． B． C． D． 2．某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是______． 3．已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． (1)请写出该几何体的名称：________； (2)根据图中数据，求该几何体的体积． 题型17.求几何体视图的面积 1．把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形状，则该立体图形俯视图的面积为（　　）平方厘米．    A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图是由棱长都为的个小正方体组成的几何体，则该几何体左视图的面积是________． 3．已知一个模型的三视图如图所示（单位：）． (1)请描述这个模型的形状； (2)制作这个模型的木料密度为，则这个模型的质量为多少（质量密度体积）？ (3)如果用油漆涂抹这个模型，每千克油漆可以涂抹，那么需要多少千克的油漆？ 题型18.由三视图，判断小立方体的个数 1．如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．某几何体是由大小相同的正方体木块堆成，主视图、俯视图如图所示，则该几何体木块数量是_____块． 3．如图，由若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体放置在平整的地面上． (1)请画出这个几何体的三视图． (2)在这个几何体的表面喷上红色的漆（底部不喷漆），则在所有的小正方体中，有 个小正方体只有三个面是红色． 题型19.已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 1．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小正方体的个数最少是_____，最多是_____． 3．把边长为1厘米的5个相同正方体摆成如图的形式． (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； (2)求该几何体的表面积； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加________小正方体． ✺分层练习 一、单选题 1．如图是一个由数控车床制造的高精度零件，其主视图是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．一个由大小相同的小正方体搭成的几何体，其主视图、俯视图和左视图均相同，其形状如图所示，则该几何体由几个小正方体搭成（     ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 4．某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 二、填空题 5．用大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的几何体的形状图如图所示．它最多需要___________个小立方块． 6．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1． 如果塔形有2个正方体组成，则露在外面的面积是____________，如果露在外面的面积是超过8，则正方体的个数至少是____________个． 7．如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 三、解答题 8．（1）如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称； （2）根据两种视图中尺寸（ 单位：），计算这个组合几何体的表面积．（ π取3.14） 9．如图是某个几何体的表面展开图． (1)画出该几何体的三视图； (2)求该几何体的体积． 10．如图①，在平整的地面上，用多个棱长均为的小正方体堆成一个几何体． (1)在图①中，共有_______个小正方体． (2)在图②，图③中分别画出这个几何体的主视图（从前面看）与俯视图（从上面看），并写出俯视图的面积． (3)若现在你还有一些棱长均为的小正方体，要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加_______个小正方体． 11．如图，是由一些棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)该几何体的表面积（含下底面）为________； (2)请画出这个几何体的三视图并用阴影表示出来； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 12．综合与实践：投影中的数学． (1)如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长 m， m； (2)如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $