导数的概念及运算专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习—— 导数的概念及运算 专项训练 0301导数的概念及运算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、导数的概念与运算 例1（1）．（多选）下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【分析】借助导数定义可得A；借助复合函数的导数运算法则计算即可得B；借助导数的除法运算法则计算即可得C；利用导数运算法则计算即可得D. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：，则，解得，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，则， 则，故D正确. 例1（2）．求下列函数的导数： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）； （2）. 训练1-1．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据求导公式、四则运算法则及复合函数求导的方法，逐一求解，即可得答案. 【详解】（1）由，得. （2）由为常数，得. （3）由，得. （4）由，得. （5）由，得. （6）由，令，得， 则. 训练1-2．（多选）已知函数的定义域为，曲线上点，且存在，则下列命题中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据导数的定义可先计算两个变量的改变量，再求极限即可. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，解得，故B正确； 对于C：，解得，故C错误； 对于D： ，故D正确． 故选：ABD． 2、 导数的几何意义（求切线方程） 例2．曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据直线的点斜式方程求解即可. 【详解】当时，， ，所以切线的斜率， 所以切线方程为，即. 训练2-1．已知曲线，则曲线过点的切线方程为________． 【答案】和 【分析】考点：导数的几何意义（切线斜率）、过定点的切线问题（定点未必是切点）．利用导数表示切线斜率，设出切点坐标；将定点代入切线方程，求解所有可能的切点（需注意存在多个切点的情况）；结合不同切点，得到对应的切线方程． 【详解】曲线的导数为， 设切点为，则切线斜率为， 切线方程为； 将代入切线方程，整理得， 因式分解得，解得或． 当（切点为），斜率为12，切线方程为； 当（切点为），斜率为3，切线方程为． 故答案为：和． 训练2-2．已知函数，则曲线经过点的切线方程的一般式为________． 【答案】或 【详解】函数的定义域为，. 设曲线经过点的切线的切点为，则. 所以，即， 整理得.解得或. 当时，切点为，切线斜率为， 此时切线方程为，即； 当时，切点为，切线斜率为， 此时切线方程为，即. 所以曲线经过点的切线方程为或. 3、 导数的几何意义（求切点或参数） 例3．已知直线为曲线的一条切线，则________； 【答案】 【详解】设切点为，对求导得. 由切线斜率为，得，解得. 将代入切线方程，得， 即切点为. 切点在曲线上，代入得： 训练3-1．已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设切点坐标，利用导数几何意义写出切线方程，代入原点坐标将切线条数转化为方程实根个数，构造函数求值域即可得到的取值范围. 【详解】设过原点的切线与曲线相切于点，， 对求导得，因此切线斜率， 切线方程为： ， 将原点代入切线方程，得： 整理得， 由于过原点可作两条切线，故关于的方程有两个不同的实根。 构造函数，，求导得： ，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 因此的最小值为， 又当时，；当时，，且， 因此当且仅当时，直线与的图象有两个不同交点，对应存在两条切线， 故的取值范围是. 训练3-2．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 【答案】 【分析】先求出曲线在处的切线方程，再利用该切线与第二条曲线相切的条件，结合导数的几何意义联立方程求解参数. 【详解】函数的定义域为，求导得 ， 当时，导数值 ，即切线斜率为； 由点斜式得切线方程为，整理为， 设直线与相切于点， 对，求导得， 由导数的几何意义，切点处导数值等于切线斜率，即 ，解得， 因此切点坐标为 ，又切点在切线上， 代入得： ，解得. 训练3-3．若直线 是曲线的切线，也是曲线 的切线，则_____ 【答案】/ 【分析】分别设出直线与曲线和曲线的切点，然后求导，利用导数的几何意义，由斜率相等可得答案. 【详解】设直线与曲线切于点， 与曲线切于点， 则有， 从而得到，，，． 所以切线方程，所以． 4、 两曲线的公切线 例4．已知直线与曲线和均相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，分别设直线与两条曲线的切点，结合切点同时在直线和对应曲线上列方程，求解、的值即可得到结果. 【详解】设直线与的切点为，与的切点为. 对求导得，可知，且切点在切线上，因此， 对求导得，同理得，且切点在切线上，因此， 由得，代入化简得. 由得，代入得. 将代入上式，整理得，解得，代入得，故. 训练4-1．函数，的图象的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义列出方程组求解. 【详解】令公切线与的图象切于点，与的图象切于点， 因，，则，解得， 因此公切线斜率为1，与的图象切于点， 则切线方程为，即. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习—— 导数的概念及运算 专项训练 0301导数的概念及运算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、导数的概念与运算 例1（1）．（多选）下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 例1（2）．求下列函数的导数： (1)； (2)． 训练1-1．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6) 训练1-2．（多选）已知函数的定义域为，曲线上点，且存在，则下列命题中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2、 导数的几何意义（求切线方程） 例2．曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 训练2-1．已知曲线，则曲线过点的切线方程为________． 训练2-2．已知函数，则曲线经过点的切线方程的一般式为________． 3、 导数的几何意义（求切点或参数） 例3．已知直线为曲线的一条切线，则________； 训练3-1．已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________． 训练3-2．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 训练3-3．若直线 是曲线的切线，也是曲线 的切线，则_____ 4、 两曲线的公切线 例4．已知直线与曲线和均相切，则（    ） A． B． C． D． 训练4-1．函数，的图象的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $