第6章 第2讲 等差数列（Word教参）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦等差数列专题，覆盖概念、通项公式、前n项和公式及性质等核心考点，按“定义-公式-性质-结论”逻辑梳理知识体系，通过考点梳理、方法指导（如方程思想、判定证明策略）、真题训练（高考真题及改编题）等环节，帮助学生构建解题框架，突破重难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出考教衔接与核心素养培养，如结合2023年新课标Ⅰ卷真题与教材溯源题，引导学生通过递推关系证明等差数列，发展逻辑推理能力。设置基础判断、能力提升、综合应用分层练习，配合即时反馈，确保高效突破，助力学生提升应考能力，为教师精准把控复习节奏提供有力支持。

第2讲　等差数列 课标要求 考情分析 1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 3．能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题． 4．体会等差数列与一次函数、二次函数的关系． 考点考法：以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点．本讲内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查． 核心素养：数学运算、逻辑推理、数学建模． [对应学生用书P148] 1．等差数列的有关概念 (1)定义：对于一个数列，如果从__第2项__起，每一项与它的前一项的__差__都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列．符号表示为 __an－an－1＝d__(n∈N＋，d为常数). (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是 __A＝__，其中A叫作a与b的__等差中项__． 2．等差数列的基本公式 (1)通项公式：an＝__a1＋(n－1)d__． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝____． 3．等差数列的常用性质 已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋). (2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N＋).特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N＋). (3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N＋). (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d. (5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (6)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的. 1．(1)数列{an}是等差数列⇔an＝pn＋q(其中p，q为常数)，这里公差d＝p. (2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，这里公差d＝2A. 2．等差数列的函数性质 (1)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． (2)在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 3．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 (1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝. (2)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. 4．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(√) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.(√) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(×) 2．(北师大版选修二P19习题A组第3题改编)等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于(　　) A． B． C．2 D．－ 解析　因为a4＋a8＝10，所以2a6＝10，即a6＝5，又a10＝6，所以4d＝6－5＝1，即d＝.故选A. 答案　A 3．(北师大版选修二P17练习第3题改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　) A．31 B．32 C．33 D．34 解析　设等差数列{an}的公差为d，由题意知解得所以S8＝8a1＋d＝8×－28×＝32.故选B. 答案　B 4．(北师大版选修二P19习题第4题改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________． 解析　设第n排的座位数为an(n∈N＋)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1).由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为＝＝820. 答案　820 5．在首项为28的等差数列{an}中，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是________． 解析　由题意知数列{an}满足即所以即－≤d＜－4. 答案　 [对应学生用书P149] 考点一　等差数列的基本运算 重难考点　师生共研 (1)在等差数列{an}中，a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，则an＝(　　) A．5n－16 B．5n－11 C．3n－8 D．3n－5 (2)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25 B．22 C．20 D．15 [解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d， 依题意解得d＝5，a1＝－11， 所以an＝－11＋(n－1)×5＝5n－16. (2)由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5， 又a4a8＝45，所以a8＝9. 设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝1， 又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝20. [答案]　(1)A　(2)C 等差数列基本运算的通性方法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题． 1．(2025·武汉二调)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝0，S6＝2S3－12，则a1＝(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 解析　设等差数列{an}的公差为d，由S6＝2S3－12，得6a1＋15d＝2(3a1＋3d)－12，解得9d＝－12， 由S10＝0，得10a1＋45d＝0，则2a1＝－9d＝12，所以a1＝6.故选A. 答案　A 2．(2025·北京市第35中学一模)生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动(积分可兑换礼品)，第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2积分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡需从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，若连续打卡5天，则共获得积分为________；若该会员从3月1日开始到3月20日，他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天可以是3月____________日． 解析　对于空①，求连续打卡5天的总积分． 连续打卡的积分规律为：第1天得1分，第2天得3分，第3天得5分，依此类推． 这实际上是一个首项为1，公差为2的等差数列． 前5天的总积分为S5＝1＋3＋5＋7＋9＝25. 对于空②，确定未打卡的日期． 若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列， 且首项为1，公差为2，第n天所得积分为2n－1. 假设他连续打卡n天，第n＋1天中断了，则他所得积分之和为 (1＋3＋…＋2n－1)＋[1＋3＋…＋2(20－1－n)－1] ＝＋＝193，化简得n2－19n＋84＝0， 解得n＝7或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日． 答案　25　8或13 考点二　等差数列的判定与证明(考教衔接) 重难考点　师生共研 高考真题 (2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列．则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析　方法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d， 则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，－＝， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即－＝＝为常数，设为t， 即＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2， 两式相减得：an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确． 方法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，即Sn＝na1＋d， 则＝a1＋d＝n＋a1－，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即－＝D，＝S1＋(n－1)D， 即Sn＝nS1＋n(n－1)D，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，n≥2， 上两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立， 于是an＝a1＋2(n－1)D，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件． 故选C. 答案　C 教材溯源 (北师大版选修二P21习题B组第6题改编)已知Sn是等差数列{an}的前n项和．证明是等差数列． 证明　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，所以＝，＝，故－＝－＝＝(常数)，故是等差数列． 预测高考 已知数列{an}的前n项和为Sn，若nSn＋1－(n＋1)Sn＝2(n2＋n)，且a1＝2. (1)证明为等差数列，并求Sn； (2)证明：{an}为等差数列． 证明　(1)由题可得－＝2，且＝2， 所以是首项为2，公差为2的等差数列， 所以＝2n，解得Sn＝2n2. (2)由(1)知Sn＝2n2， 当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2， 又a1＝2 符合上式，故an＝4n－2，n∈N＋， 则an＋1－an＝4(n＋1)－2－(4n－2)＝4， 所以{an}是首项为2，公差为4的等差数列． 等差数列的判断与证明的方法 方法 解读 适合题型 定义法 an－an－1(n≥2，n∈N＋)为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中 证明问题 等差中 项法 2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N＋)成立⇔{an}是等差数列 通项公 式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前n项和 公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 3．记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式． 解析　(1)证明　因为bn是数列{Sn}的前n项积， 所以当n≥2时，Sn＝， 代入＋＝2，可得＋＝2， 整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2). 又＋＝＝2，所以b1＝， 故{bn}是以为首项，为公差的等差数列． (2)由(1)可知，bn＝＋(n－1)＝， 则＋＝2，所以Sn＝， 当n＝1时，a1＝S1＝， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－. 又a1＝不满足上式． 故an＝ 考点三　等差数列的性质及应用 多维探究　发散思维 角度1　等差数列项的性质 (1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25 B．22 C．20 D．15 (2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2 026－b2 026的值为________． [解析]　(1)方法一　设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得， a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5， 又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45， 解得d＝1，a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝5×2＋10＝20.故选C. 方法二　a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9， 从而d＝＝1，于是a3＝a4－d＝5－1＝4， 所以S5＝5a3＝20.故选C. (2)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列．设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2.故a2 026－b2 026＝c2 026＝5＋2 025×2＝4 055. [答案]　(1)C　(2)4 055 等差数列项的性质应用 两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝中，Sn与a1＋an可相互转化． 角度2　等差数列前n项和的性质 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　) A． B． C． D． (2)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋＝________． [解析]　(1)由等差数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15，…是等差数列．由＝，可设S5＝t(t≠0)，则S10＝3t，于是S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15，…依次为t，2t，3t，4t，…，所以S20＝t＋2t＋3t＋4t＝10t，所以＝.故选B. (2)∵＋＝＝＝，∴＝＝＝＝. [答案]　(1)B　(2) 1．在等差数列题目中，若出现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n的值时，考虑用前n项和的性质． 2．在等差数列题目中，若出现奇数项与偶数项的和，前n项和之比等问题，考虑应用等差数列的常用性质．(见[常用结论](3)) 角度3　等差数列前n项和的最值 等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？ [解析]　方法一　设公差为d.由S3＝S11， 可得3a1＋d＝11a1＋d， 即d＝－a1. 从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1， 因为a1>0，所以－<0. 故当n＝7时，Sn最大． 方法二　易知Sn＝An2＋Bn(A≠0)是关于n的二次函数， 由S3＝S11，可知Sn＝An2＋Bn的图象关于直线n＝＝7对称． 由方法一可知A＝－<0，故当n＝7时，Sn最大． 方法三　设公差为d.由方法一可知d＝－a1. 要使Sn最大，则有 即 解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大． 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 4．在等差数列{an}中，a2＋a4＋a7＋a9＝20，则3a5＋a7＝(　　) A．20 B．15 C．10 D．25 解析　由已知a2＋a4＋a7＋a9＝2(a5＋a6)＝20，则3a5＋a7＝2a5＋a5＋a7＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)＝20.故选A. 答案　A 5．已知等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为(　　) A．30 B．29 C．28 D．27 解析　奇数项共有(n＋1)项，其和为·(n＋1)＝·(n＋1)＝290， ∴(n＋1)an＋1＝290. 偶数项共有n项，其和为·n＝·n＝nan＋1＝261， ∴an＋1＝290－261＝29. 答案　B 6．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15＞0，S16＜0，则(　　) A．a8＞0 B．a9＜0 C.，，…，中最大的项为 D．，，…，中最大的项为 解析　由S15＝＝15a8＞0，得a8＞0，故A正确；由S16＝＝＜0，得a9＋a8＜0，所以a9＜0，且d＜0，故B正确；数列{an}为递减数列，且a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15大于0，S16，…，Sn小于0，则＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，＜0，又S8＞S1，a1＞a8，所以＞＞0，所以，，…，中最大的项为，故C错误，D正确． 答案　ABD 学科网（北京）股份有限公司 $