第14讲对数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学新课讲义 √必修 打基础，精选题，不超前 f)=o根 2◆ 4>o# Contents 目录 第14讲 对数 模块一 对数的概念 模块二 对数的计算 3 模块三 对数的综合计算 课后作业 7 目标双一流 领先高考培优课程 第14讲对数 课堂思维碰撞 1.掌握核心概念：准确理解对数的定义（若a=N,则x=log。N),熟悉指数式与对数式的互化； 掌握对数式中底数、真数的取值范围（a>0且a≠1，N>0)。 2.熟悉特殊对数：掌握常用对数(lgN)与自然对数（nN)的概念。 3.熟练运算法则：掌握对数的基本性质(1og。1=0,1og。Q=1)以及积、商、幂的对数运算法则；掌 握换底公式及其推论，能熟练进行对数式的化简与求值。 模块一 对数的概念 1.对数的概念与互化 ·定义：一般地，如果a=N（a>0且a≠1)，那么数X叫做以a为底N的对数， 记作x=logaN。其中a是底数，N是真数。 目标双一流 领先高考培优课程 。 核心互化关系：a'=N=X=log。N。 两种特殊对数： 。常用对数：以10为底的对数，记作lgN。 o自然对数：以无理数e(e≈2.71828)为底的对数，记作lnN。 ● 2.对数的基本性质 ·负数和零没有对数：即真数N>0。 。1的对数为010g。1=0 。底数的对数等于1：10gaa=1。 。对数恒等式：a8aW=N和log（a”)=n。 热 纳 回【例1】（单选）在n=logm一3)(6一m)中，实数m的取值范围是 Am>6或m<3 B.3<m<6 C.3<m<4或4<m<6 D.4<m<5 0▣ 【练习1】 （单选)对数0ge+)(5-a)中实数a的取值范围是() 2 目标双一流 领先高考培优课程 A.（-0,5) B.（3,5) c.（-3-2)U(-2,5)D（-3,+∞) 1【练习2】 (1)(单选)下列指数式与对数式互化不正确的是() A 2=8与16g28=3 B.10°=1与lg1=0 C.e=3与lnx=3 D81-日与18 8 1二-1 (2)(单选)若1og31og4x)=0,则实数x的值为() A4B.3C.1D.0 模块二 对数的运算 识( 1.对数的运算法则（极度重要！) 对于a>0且a≠1，M>0,N>0,有： 1.积的对数：loga(MN)=loga M+-logaN(积变加) 2.商的对数： loga月ogM-1og,W(商变减 3.幂的对数：loga(M”)=nlogaM（指数提前) 3 目标双一流 领先高考培优课程 2.换底公式（打通不同底数的桥梁) 。公式：logabi= ogb（a>0,a≠1，c>0,c≠1，b>0 log a 。常用推论： >log,b-1bga=1(互为创数) >1bg,b-1bgc=1og,c(能条传递) log,b"=m logb n 5.核心避坑指南（易错点) 。乱用分配律：loga(M±N)≠loga M±logaN!运算法则只针对积、商、幂。 忽视真数大于0：在解对数方程或求定义域时，算出的结果必须代回检验真数是否大于0。 型 归纳 回【例2】 (多选)下列运算法则正确的是() 1og影b2-1og,b &(a)）=a C log,b=Inb -lna(b>0,a>0且a≠1) D.amt"=a",a(a≠0，m,n∈N) 目【练习3】 (多选)下列各式正确的有() 目标双一流 领先高考培优课程 ln(1g10)=0 B.1g2+1g5=1 1 C.若10=lgx,则x=10 l0g25x= D.若 2,则x=5 【练习4】 (多选)下列各式化简正确的是() AV(3-π)}=π-3 B.1g3+1g7=1 1 11 c.V2=2 D.logs 64 log4 6 回【例3】 设al0g,4=2 则4“的值为 0间 【练习5】 已别4=log,27-7mb-g,8log5.c-( 4·则a+h4c 目标双一流 领先高考培优课程 5 log b+log a= 【4 (单选)若 2,a°=b,则ab=() 6 B S 10 A. D a 【练习6】 (单选)已知a>0,b>0.1log,a=lg,b=l0g:(a-b),则6() 2+1 V3+1 5+1 V6+1 A.2 B.2 C.I 2 D.2 模块三 对数的综合运算 纳 回 5】 g25+lg2-lg0.1-log,9xlog,2 (1)2 G2)g25+21g8+g5×lg20+lg22+10g23-log38+51s2 6 目标双一流 领先高考培优课程 1og,16+10g35-l1og,14-1og550. 1 0间 【练习7】 1)计算 g25+1g2-1gv0.1-log,9xlog,2 (2)2 (3eh2+2log,3.logz78 4计算0g2+3别g2-lg5+(0g5)°的值 7 目标双一流 领先高考培优课程 课后作业 一、选择题（概念辨析，夯实基础) 1.已知a=1og23,b=10g32,则下列关系正确的是() Aa+b=1 B.a·b=1 C.a=b D.a-b=1 2.(多选)下列运算中正确的是（) log38 A.10g35 =l0g85 B派a=0是 1-1 -1og27 C.若a+a1=14,则a2+a2=3 +In(Ine)=7 +log25-log210的值得( -10 A. B.-8 c10 D S 二、填空题（精准运算，规范表达） 4计算： 1 2 64 3+lg25+lg4+7g2= 5.计算： 2 83+log49×log32= 6.若loga2=m,loga3=n,则a2m+n= 三、解答题（逻辑推理，综合应用） 7.计算下列各式的值： (1)1og318-log32+log35·log53: 8 目标双一流 领先高考培优课程 (2)21og,25+31og264-lne 8.已知10g189=a,18°=5，试用a,b表示10g3645。 9求值：（1)3+10g16x1og25-8025×2 (2)4log23-1og28-1og27-1og4+385 (3)1na-l9号-2lg2+3 (4)81 16 +10g23×1og4+7时 1-1 9 目标双一流高一数学新课讲义 √必修 打基础，精选题，不超前 f)=o根 2◆ 4>o# Contents 目录 第14讲 对数 模块一 对数的概念 模块二 对数的计算 3 模块三 对数的综合计算 6 课后作业 附解析 10 目标双一流 领先高考培优课程 第14讲对数 课堂思维碰撞 1.掌握核心概念：准确理解对数的定义（若a=N,则x=log。N),熟悉指数式与对数式的互化； 掌握对数式中底数、真数的取值范围（a>0且a≠1，N>0)。 2.熟悉特殊对数：掌握常用对数(lgN)与自然对数（nN)的概念。 3.熟练运算法则：掌握对数的基本性质(1og。1=0,1og。Q=1)以及积、商、幂的对数运算法则；掌 握换底公式及其推论，能熟练进行对数式的化简与求值。 模块一 对数的概念 1.对数的概念与互化 ·定义：一般地，如果a=N（a>0且a≠1)，那么数X叫做以a为底N的对数， 记作x=logaN。其中a是底数，N是真数。 目标双一流 领先高考培优课程 。 核心互化关系：a'=N=X=log。N。 ● 两种特殊对数： 。常用对数：以10为底的对数，记作lgN。 o自然对数：以无理数e(e心2.71828)为底的对数，记作lnN。 2.对数的基本性质 ·负数和零没有对数：即真数N>0。 。1的对数为010g。1=0 底数的对数等于1：l0gaa=1。 。对数恒等式：a8aW=N和log（a”)=n。 热 归纳 0回【例1】 (单选)在n=log(m一3)(6一m)中，实数m的取值范围是 Am>6或m<3 B.3<m<6 C.3<m<4或4<m<6 D.4<m<5 【答案】C 目 6-m>0 【解析】由题意得m-3>0∴.3<m<6且m≠4. m-3≠1 2 目标双一流 领先高考培优课程 【练习1】 (单选)对数oge5-)中实数a的取值范围是（) A.（-0,5) B.（-3,5) c.（-3,-2U(-25)D(-3,+o) 【答案】C 5-a>0a<5 【解析】由题 a+3>0→{a>-3→a∈(-3，-2)u(-2,5) a+3≠1 a≠-2 故选：C 【练习2】 (1)(单选)下列指数式与对数式互化不正确的是() 2=8与 10g28=3 B.10°=1与lg1=0 C.e'=3与lnx=3 n‘8-日与1 8 1二-1 (2)(单选)若log3(1og4x)=0,则实数x的值为() A4 B.3 0.1 D.0 【答案】(1)C（2)A 囼 【解析】(1)根据互化规则，e=3对应的对数式应为ln3=x(或10g3=X),c选项 错把指数当成了真数。 (2) 由外层对数】 og310g4X)=0根据1og.a=1的逆运算，得1og4X=3”=1再由内层对数 10g4x=1,得X=4=4。 3 目标双一流 领先高考培优课程 模块二 对数的运算 识点 1.对数的运算法则（极度重要！) 对于a>0且a≠1，M>0,N>0,有： 1.积的对数：loga(MN)=logaM+logaN(积变加) 2商的对数：ogN月 g.4=lo8,M-1og,N(商交减 3.幂的对数：loga(M")=nloga M(指数提前) 2.换底公式（打通不同底数的桥梁) 。公式：1ogb= 8.b（a>0,a≠1，c>0,c≠1，b>0 logca ·常用推论： >1og.b-1bg6a=1（互为倒数) >1og.b-10gc=1og.c（链条传递) log b"=mlogab n 5.核心避坑指南（易错点) 4 目标双一流 领先高考培优课程 乱用分配律：loga(M±N)≠logaM±logaN！运算法则只针对积、商、幂。 忽视真数大于0：在解对数方程或求定义域时，算出的结果必须代回检验真数是否大于0。 回【例2】 (多选)下列运算法则正确的是() log b=log,b 3 B(a）F=a log,b=Inb -lna(b>0,a>0且a≠1) D.am+m=a,a"(a≠0，m,n∈N) 【答案】CD 囼 mlog。b 【解析】对于A选项，若b<0,则9 无意义，A选项错误： 1 对于B选项，若a<0, n 2,则a”=√a无意义，B选项错误； Inb 对于C选项，由换底公式可得 ogab= na(b>0,a>0且a≠1)，c选项正确： 对于D选项，当a0,mEN时，。w三aa D选项正确. 故选：CD. 【练习3】 (多选)下列各式正确的有() ln1g10)=0 A B.1g2+1g5=1 目标双一流 领先高考培优课程 1 C.若10=gx,则x=10 D.若 0g25x= 2,则x=5 【答案】ABD 【解析】A,1h(g10)=n1=0 正确；B:1g2+1g5=g(2×5)=1,正确： C:由1010=10x,即x=1010,错误；D:由25gs*=252=5,即x=5,正确： 故选：ABD 【练习4】 (多选)下列各式化简正确的是() A.V(3-π)}=元-3 B.1g3+1g7=1 1 11 C.V2W2W2=28 7 D.logs 64 log 4 6 【答案】AC 目 【解析】对于A,V3-元}=3-=元-3，A正确， 对于B, 1g3+1g7=lg21>1g10=1,B销误， 3 =24 22W2-=2-2-2. 所222 7 2 28 C正确， 对于D,因为l0g64 =logu8=1og42-31og,2= 6 6 目标双一流 领先高考培优课程 1 10g644 l0g,64=1bg,2°-=91og,2=3 1 所以10g8641og6442 3-5 11 2,D错误， 故选：AC. ☐间【例3】 设 alog,4=2 则4“的值为 1 【答案】9 2 4=210g43=l1og,94”=4e9=4sg= 1 Q= 【解析】1og,4 9·故答案为：9 -0.5 【练习5】 E=g,27-mb=g8g,5c=目 ,则a+b+c= 2- 【答案】3 【解析】 依 题 意 a=g,3-2=3-2=-1 2 b-g23-e,23-月 21 2233 7 目标双一流 领先高考培优课程 2 故答案为：3 5 4 (单选)若 og.b+log6a=2,a=b,则ab=(） B S D10 【答案】B 囼 a>0,b>0,a≠1，b≠1，a≠b 【解析】由题知， 则log。b+log6a= Igb Iga (Igb)'+(Iga)' Iga Igb Iga.lgb 2 1+ (Iga 1gb lga 子可带g-g4=8,0=0动2 1 lgb lgb 2 若b=a2,又4=b,则a=(a2=a2,所以a2=2a, 则as 或4=0 舍去)， b=2=4ab=8 9 则a2=2或a2=0(舍去)，所以a=4,b=a2=2,ab=8, 综上，ab=8.故选：B 8 目标双一流 领先高考培优课程 a 【练习6】 (单选)已知a>0,b>0,1og,a=log6b=l1og4(a-b),则b=（) 2+1 V3+1 V5+1 V6+1 A. 2 B. 2 c. 2 D. 2 【答案】C 會 【解折】令k=log,a=lbg6b=log,(a-b),则a=9,b=6,a-b=4华 所以 924--10-15 (负值舍去)， a √5+1 所以b 2·故选：C 模块三 对数的综合运算 热 归纳 9 目标双一流 领先高考培优课程 回 (oxlog, 1g25+21g8+1g5×1g20+1g22+1log23-1log,8+52 (2) 3 1 【答案】(1)2；(2)8 囼 【解析】(1)2 g25+1g2-1gv0.1-1og,9x1og,2 =lg252+lg2-lg102-log232×1og32 =1g(5x2)+,-21og,3x10g,2 =1+1-2=-1 2 2. l1g25+31g8+lg5×1g20+1g22+log23-log,8+52 2 （2)- =2lg5+2lg2+lg5×(1g2+1)+lg22+3+2 =2(1g5+lg2)+(lg5+lg2)lg2+lg5+3+2=2+1g2+lg5+5=2+1+5=8 10 目标双一流 领先高考培优课程 1og,16+1og,35-log,14-1og350. 1 【练习7】 (1)计算： g25+1g2-lg0.1-log29×1og:2 (2)2 (3)e2+21og3-log8= （4计算4g2+3g2-1g5+0g5)°的值. 1 【答案】(1)7；(2)2：(3)3；(4)1 【锯标1原oe,16+lg,35-1g,14-g0-l6g,2+og,35140 =4+logs *50 35 =4+log,53=4+3=7 (2)原式=2 g25+1g2-lgv0.1-l1og29x1og2 :e5+g2-2 g1-2l0g,3×1og,2 1 21g3 lg2 =1g5×2)+21g2*1g3 =1+-2=- 2: 11 目标双一流 领先高考培优课程 =2+2×5log23×log32=2+1=3 (3)原式 、 故答案为：3. （4原式-0g2)°+3lg2-lg5+g5y°=0g2+lg5I0g2-lg21g5+g51+3g2-1g5 =(lg2)2-lg2lg5+(g5)2+3lg2.lg5=(lg2)2+2lg2lg5+(1g5)2=g2+lg5)2=1 课后作业 一、选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 己知a=log23,b=log32,则下列关系正确的是() Aa+b=1 B.a.b=1 C.a=b D.a-b=1 2.(多选)下列运算中正确的是（) log38 A.10g35 =10g85 B派a=a号 1-1 -log27 C.若a+a1=14,则a2+ai=3 D. +ln(lne)）=7 -21 3化 27 +log25-log210的值得( -10 A. B.-8 c10 二、填空题（精准运算，规范表达） 1 4. 计算： 64 3+lg25+lg4+782= 5.计算： 2 83+log49×log32= 6.若loga2=m,log。3=n,则a2m+n= 三、解答题（逻辑推理，综合应用） 12 目标双一流 领先高考培优课程 7.计算下列各式的值： (1)1og318-1og32+log35·log53; (2)21og,25+31og,64-lnVe 8.已知10g189=a,18°=5，试用a,b表示1og3645。 9求值：(1)3+1og16x10g25-8025×2 。 （2y41og,3-log84-l1o8g27-log4+3' 3)1ne-l9号-2lg2+32. ()81i+1og,3×1og4+7时 16 【作业解析】 一、选择题 1.【答案】B,解析：根据换底公式的推论，1ogab~logp a=1。所以1og23·log32=1,即 ab=1。 log38 2【答案】BD,解析：A:根据对数的换底公式，可知og5 =l0g58,所以本选项运算不正确： 2 313 B:因为aV瓜=a子.a2=a5，所以本选项运算正确： 因为a+a'=14,所以0>0，因t。+a0+a=a+a+2=6=4所以本选 项运算不正确： 13 目标双一流 领先高考培优课程 -1og27 D:因为2 +In(Ine)= +h1=7+0=7,所以本选项运算正确，故选 3.【答案】D,解析： 二、填空题 4.【答案】20，解析： 1 3 3+lg25+lg4+7g2 (43 +lg52+lg22+2 -目+2g5-2g2+2-+2g5*g2+2-16-2g0*2-a.装0 5.【答案】5，解析：依题意可得 5+log.9xlog,2-(2)x 2 lg4lg3=22+1=5.故答案为：5 6.【答案】12，解析：因为l0g2=m,所以a"=2;因为loga3=n,所以a”=3。故 a2m+m=(am2.a”=22×3=129 三、解答题 7.【解析】 (1）原式=1og3 18+lg3.lg5 2 1g5 1g3 =1og39+1 =2+1=3。 （2)原式=21og,5+31og,25-1ne 2×2+3×62=4+18-0.5=2158 14 目标双一流 领先高考培优课程 8.【解析】 因为18=5，所以b=1og185。 目标式1og3645=0g26 (换底公式)。 分子：l0g1845=log189×5)=log189+log185=a+b。 分母：10g1836=log1818×2=l0g1818+log182=1+log182。 因为1o82=1og9=lgm18-logs9-1-a 所以分母=1+(1-a)=2-a。 综上，1og645=0+b 2-a 3 3 .9.【答案】(1)e(2)5.(3)2(4)3 【详解】 (）3+1og:16×10g,5-825×2=3s+h16×n5-205×2 1 In5 In2 =3l0ge+In 24 In 57 -23*025 -e+4In2x -2=e+4x号-2=e In5 In2 ln5 In2 c2》原式=1og,3×-log,3log2+33 81 31og5 =8,4-2as,3jlg2+号-2-2+2-昌 55 ohve-e22g243w…-分-0ee2+2 5 15 目标双一流 领先高考培优课程 g2x22)+2= -1+2=3 (4)【解析】 原 器号2 3 16 目标双一流