2.1等式性质与不等式性质（分层作业，10大题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 2.1 等式性质与不等式性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 用不等式表示不等关系 题型02 作差法比较代数式的大小 题型03 由已知条件判断所给不等式是否正确 题型04 由不等式的性质比较数（式）大小 题型05 利用不等式的性质证明不等式 题型06 不等式的实际应用 B组 能力进阶 题型01 利用不等式的性质求代数式的范围 题型02 实数的大小比较 题型03 不等式性质的应用 C组 思维拔高 题型 作商法比较代数式的大小 用不等式表示不等关系题型01 1．某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 2．某学生月考数学成绩 x不低于100分，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 3．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 4．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（　） A． B． C． D． 5．平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·安徽·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 7．2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（    ）个 A．20 B．22 C．24 D．26 8．（25-26高二上·吉林白城·月考）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______． 作差法比较代数式的大小题型02 1．（25-26高一上·江苏徐州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D．x，y的大小关系无法确定 2．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 3．设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 4．（24-25高一上·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，且，则______.（填中最恰当的一个） 6．（24-25高一下·河北保定·月考），比较与的大小． （2）比较与的大小． 7．（25-26高一上·新疆·期中）比较下列各组中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 8．（25-26高一上·河北石家庄·月考），，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与. 由已知条件判断所给不等式是否正确题型03 1．（24-25高二下·浙江温州·期末）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·北京·期末）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·北京·期中）若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则“”是“”的（　　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 5．已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 7．（25-26高一上·北京·期中）已知，且，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·河北·月考）已知不等式：对于，当时，有；当时，有. 设，，，则以下不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 由不等式的性质比较数（式）大小题型04 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知关于，，，的方程组，其中．则，，，的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建宁德·月考）实数，，满足且，则下列关系成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高一·宁夏银川·月考），，，则，，，由大到小的顺序是（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·月考）已知全集，实数满足，集合，，则__________. 6．（26-27高一上·云南·联考）与的大小； （2）若，且，证明：． 7．（25-26高一上·湖南长沙·月考），试比较与的大小； （2）已知，求证： ． 8．（24-25高一上·四川达州·质检）集合A是至少有2个元素组成的实数集，且所有元素均不为0，，且. (1)当时，求； (2)若，求中元素个数的最小值； (3)当时，，，求A. 利用不等式的性质证明不等式题型05 1．已知都是正数,不等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·内蒙古·月考），求证：； （2）已知，求证： ． 3．已知，，求证：. 4．不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题： (1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式 (2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由. 5．（24-25高一上·内蒙古赤峰·月考），证明：的充要条件是. （2）已知都是正实数，且，试比较与的大小，并证明. 6．已知，且，求证：． 7．假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜. (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式； (2)证明你提炼出的不等式； (3)求证：且. 不等式的实际应用题型06 1．某校高一年级男生人数多于女生人数，在选科后选报物理方向的人数多于历史方向的人数，则（    ） A．物理方向的男生多于物理方向的女生 B．历史方向的女生多于历史方向的男生 C．物理方向的女生多于历史方向的男生 D．物理方向的男生多于历史方向的女生 2．（24-25高三·广东惠州·期中）在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（    ） A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生 C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生 3．某花店搞活动，6支红玫瑰与3支黄玫瑰价格之和大于24元，而4支红玫瑰与5支黄玫瑰价格之和小于22元，那么2支红玫瑰与3支黄玫瑰的价格比较的结果是（    ） A．2支红玫瑰贵 B．3支黄玫瑰贵 C．相同 D．不能确定 利用不等式的性质求代数式的范围题型01 1．若不等式，，则的取值范围是 A． B． C． D． 2．古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例.如图为希腊的一座古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.5米，C与F间的距离小于11米，则该古建筑中A与B间的距离可能是（    ）（参考数据：，，，，，） A．30.3米 B．30.1米 C．29.2米 D．27.4米 实数的大小比较题型02 1．（25-26高一上·云南玉溪·联考）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江西瑞昌·联考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一·浙江·联考）已知，其中，.比较下列几个数的大小：，，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 6．（24-25高一下·贵州·期中）比较大小：______. 7．（1）设，，比较，大小； （2）设，，比较，的大小． 不等式性质的应用题型03 1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在（0，1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比（    ） A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．“屏占比”变化不确定 3．（24-25高一上·河北沧州·期中）数学来源于生活，又服务于生活．钦钦和莎莎均两次购买同一种文娱用品时，钦钦不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；莎莎不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．假设所购物品的价格发生波动，则（    ） A．两位中省钱小能手是钦钦 B．两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 C．两位中省钱小能手是莎莎 D．两位中谁是省钱小能手与购买数量有关 4．（24-25高一上·吉林白城·期中）若均为实数，使不等式和都成立的一组值是______ 5．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好． (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，其中窗户面积为20平方米，该公寓采光效果是否合格？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光是变好了还是变坏了？请说明理由． 6．不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立： (2)利用（1）中的结论证明：若为三角形的三边长，则. 7．（25-26高一上·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖 (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 8．（24-25高一上·四川广元·月考）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 作商法比较代数式的大小题型 1．若，则、、、中最小的是__________. 2．如果，，那么，，从小到大的顺序是___________ 3．（25-26高一上·重庆·月考）与的大小； （2）设，比较与的大小. 4．已知，试比较与的大小. 5．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？ 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1 等式性质与不等式性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 用不等式表示不等关系 题型02 作差法比较代数式的大小 题型03 由已知条件判断所给不等式是否正确 题型04 由不等式的性质比较数（式）大小 题型05 利用不等式的性质证明不等式 题型06 不等式的实际应用 B组 能力进阶 题型01 利用不等式的性质求代数式的范围 题型02 实数的大小比较 题型03 不等式性质的应用 C组 思维拔高 题型 作商法比较代数式的大小 用不等式表示不等关系题型01 1．某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可. 【详解】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B 2．某学生月考数学成绩 x不低于100分，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题设条件即得. 【详解】数学成绩不低于100分表示为，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分表示为，即. 故选：D. 3．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据工资预算以及工人工资列出不等式. 【详解】依题意，请工人满足的关系式是， 即. 故选：D 4．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得糖水甜可用浓度体现，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，对照选项，即可得到结论． 【详解】由题意，若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为， 选项A，C不能说明糖水变得更甜， 糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜； 选项D等价于，不成立， 故选B． 【点睛】本题主要考查了不等式在实际生活中的运用，考查不等式的等价变形，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5．平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 6．（25-26高一上·安徽·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 7．2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（    ）个 A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】B 【分析】分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，根据题意列出不等式可分别求出范围，即可求出. 【详解】分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，且，，，为正整数， 则由题意得，，，，可得， 所以，，，即至少有个. 故选：B. 8．（25-26高二上·吉林白城·月考）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______． 【答案】 【分析】根据已知及矩形面积公式列不等式组即可. 【详解】因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18 m，所以， 这时菜园的另一条边长为，因此菜园的面积， 依题意有，即，故不等关系表示为. 故答案为： 作差法比较代数式的大小题型02 1．（25-26高一上·江苏徐州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D．x，y的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：A 2．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，计算化简，即可得答案. 【详解】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 3．设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意可得，利用作差法比较大小. 【详解】由题意可知：， 则， 因为，则， 可得，即. 故选：B. 4．（24-25高一上·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，作差比较大小. 【详解】由a，b均为正实数，， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 故选：D 5．已知，且，则______.（填中最恰当的一个） 【答案】 【分析】利用作差法，比较大小， 即可得答案. 【详解】由，则， ， 故， 故答案为： 6．（24-25高一下·河北保定·月考），比较与的大小． （2）比较与的大小． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）（2）利用作差法即可求解. 【详解】（1）， 由于，所以，所以， 故 （2）， 因为，即 所以. 7．（25-26高一上·新疆·期中）比较下列各组中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 【分析】（1）采用作差法可直接得到结果； （2）采用作差法，讨论大小关系即可得到结果. 【详解】（1），. （2）， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 8．（25-26高一上·河北石家庄·月考），，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）用作差法比较，作差后通分，并因式分解，然后判断正负后可得； （2）作差后再配方即可判断大小关系. 【详解】（1） ，， ，，，， ，. ，，又， ，即. （2）， 则. 由已知条件判断所给不等式是否正确题型03 1．（24-25高二下·浙江温州·期末）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一分析. 【详解】若，则，A错误； 若，则，B错误； 若，则，C错误； 若，则，D正确. 故选：D 2．（25-26高一上·北京·期末）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐个选项进行判断. 【详解】因为，所以，，，， 所以ABD错误，C正确， 故选：C 3．（25-26高一上·北京·期中）若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质即可判断A，利用特值法即可判断BCD. 【详解】对于A，由，所以，所以，故A正确； 对于B，当时，，所以，故B错误； 对于C，当时，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D错误， 故选：A. 4．已知，则“”是“”的（　　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据命题的充分必要性直接判断. 【详解】由不等式性质，， 但不能推出，例如， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：B. 5．已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法即可判断A，利用不等式的性质即可判断B，举出反例即可判断CD. 【详解】对于A，， 因为，所以， 所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：B. 6．从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【答案】D 【分析】分别设出各象限内横坐标、纵坐标分别为正数、负数时点的个数，根据题意列不等式，结合不等式性质求解即可. 【详解】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个， 第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个， 第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个， 第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个， 又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少， 所以①，且②， 由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少. 故选：D. 7．（25-26高一上·北京·期中）已知，且，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A：令，，，满足，且，但是，故A错误； 对于B：当，，，满足，且，但是，故B错误； 对于C：当，，，满足，且， 但是，，所以，故C错误； 对于D：因为，且，所以，则，所以，故D正确. 故选：D 8．（24-25高三上·河北·月考）已知不等式：对于，当时，有；当时，有. 设，，，则以下不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接给出A，C，D的反例，然后证明B正确，即可得到答案. 【详解】当，时，有 ， . 故此时，从而A错误； 同时有， . 故此时，从而C错误； 当，时，由于，故，从而 ， . 故此时，从而D错误. 对于B选项，据已知有. 若，则，. 故，此即. 若，则，. 故，此即. 所以无论哪种情况都一定有，从而B正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用适当的方式证明不等式. 由不等式的性质比较数（式）大小题型04 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方后比较大小即可 【详解】由题意得，，而，得， 故选：A 2．已知关于，，，的方程组，其中．则，，，的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设得到，令，从而解出，，，，再根据条件，即可求解出结果. 【详解】由，得到， 即，令， 则，又，所以， 故选：D. 3．（25-26高一上·福建宁德·月考）实数，，满足且，则下列关系成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小. 【详解】由可得，则， 由可得， 所以，即， ， ， 综上， 故选：C. 4．（26-27高一·宁夏银川·月考），，，则，，，由大到小的顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合已知条件，利用作差法比较判断即可. 【详解】由，得，. ， 因为，，故，， 因此，即； 又，故. ， 因为，，故，， 因此，即； 又，故. 综上，即. 5．（24-25高一上·上海·月考）已知全集，实数满足，集合，，则__________. 【答案】 【分析】先求出或，由a＞b＞0，，再根据交集定义即可求出结果． 【详解】因为，则或， 又a＞b＞0，，, 所以， 故答案为：. 6．（26-27高一上·云南·联考）与的大小； （2）若，且，证明：． 【答案】（1）； （2）证明：且，即，故， 所以. 【详解】（1）， 故； （2）略 7．（25-26高一上·湖南长沙·月考），试比较与的大小； （2）已知，求证： ． 【答案】【小题1】； 【小题2】证明如下： 由题意可知：， 即，两侧同除，则，证毕. 【分析】（1）利用作差法分解因式判断大小即可； （2）利用分析法，分解因式证明即可. 【详解】【小题1】易知， 因为，所以，则上式大于0， 故 【小题2】略 8．（24-25高一上·四川达州·质检）集合A是至少有2个元素组成的实数集，且所有元素均不为0，，且. (1)当时，求； (2)若，求中元素个数的最小值； (3)当时，，，求A. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按的取值分类求解各商值即可； （2）利用不等式性质比较各商值的大小，分析集合中元素个数的可能情况，再从可能相等的商值入手求解构造集合即可； （3）由中各元素符号入手，分类讨论集合中元素的符号情况，利用不等式的性质比较大小，确定各商值的大小，从而建立方程组求解可得. 【详解】（1）由题意，当时，可取，则； 当时，分别可取，则； 当时，分别可取，则； 故. （2）若， 中所有可能含有的元素为. 由集合中元素的互异性可知，元素互不相等， 故不妨设， 所以为互不相等的正数，且， 故中至少有个元素； 令，则, 则，又， 此时有个元素， 故中元素个数的最小值为. （3）集合，不妨设， 由不等式性质，若，则；若，则； 若，则． 由题意， 可知集合中含有负数，并且其中有且仅有个大于的正数． 故集合中的元素必有负有正，即中所含负数的个数为或或． ①若中恰含有个负数， 又已知所有元素均不为0，则中必负正， 则， 所以中的正数只可能为，且都小于， 这与中有且仅有个大于的正数矛盾，故此时不满足题意； ②若中恰含有个负数， 则可设，则， 且，， 由中恰个负数，且， 则有， 则，则， 所以， 解得，故， 此时，满足题意； ③若中恰含有个负数， 设，则，且， 故三个数中至少有个大于的数， 这与集合中有且仅有个大于的正数矛盾，故此时不满足题意； 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于从各商的符号入手，以中有且仅有个大于的正数为突破口，分类讨论集合中元素的符号，并利用基本不等式的性质比较各商数的大小，进而构造方程解决问题． 利用不等式的性质证明不等式题型05 1．已知都是正数,不等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对式子移项、通分、计算,最后根据不等式的性质得到该不等式成立的条件. 【详解】,因为都是正数,所以要想使不等式成立,只需. 故选B 【点睛】本题考查了不等式成立的条件.利用不等式的性质是解题的关键. 2．（25-26高一上·内蒙古·月考），求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】 （1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 3．已知，，求证：. 【答案】 ，. ，，即. ，，，即. 【分析】根据不等式的性质可得，再根据证明即可. 【详解】略 4．不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题： (1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式 (2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由. 【答案】(1)该不等式为 证明：因为，所以，于是. (2)见解析 【分析】（1）根据题意列出不等式，然后用作差法证明即可； （2）根据题意表示出来每种方案的平均价格，然后用作差法比较大小，即可判断哪种方案经济. 【详解】（1）略 （2）若按第一种方案采购，每次购买量为，则两次购买的平均价格为， 若按第二种方案采购，每次用的钱数是，则两次购买的平均价格为， 又 ， 所以当时，两种方案一样； 当时，第二种方案比较经济. 5．（24-25高一上·内蒙古赤峰·月考），证明：的充要条件是. （2）已知都是正实数，且，试比较与的大小，并证明. 【答案】（1）证明:充分性：如果， 那么， ， . 必要性：如果， 那么， ， ，，， . 综上知，的充要条件是. （2），证明如下： 由 都是正实数，且， 即. 【分析】（1）分别证明充分性与必要性即可； （2）利用作差法比较大小即可比较与的大小. 【详解】（1）略； （2）.证明略. 6．已知，且，求证：． 【答案】 因为，且，所以，， 要证明原不等式成立，只需证明，即证， 从而只需证明，即， 因为，， 所以成立，故原不等式成立． 【分析】由条件推出，，从而将问题转化为，化简验证是否成立即可. 【详解】略 7．假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜. (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式； (2)证明你提炼出的不等式； (3)求证：且. 【答案】(1)； (2)证明如下： . 因为都是正数，且， 所以，可得，所以. (3)证明如下： 由（2）可知. 取 ，则 ，故有 ， 则有， 先证明右边： 因为， 所以 ， 故. 再证明左边： 因为， 所以 ， 故. 综上，且. 【分析】（1）根据题意得到； （2）作差法比较大小即可； （3）先得到，先证明出右边，再证明左边，得到结论. 【详解】（1）提炼出的不等式为. （2）略 （3）略 不等式的实际应用题型06 1．某校高一年级男生人数多于女生人数，在选科后选报物理方向的人数多于历史方向的人数，则（    ） A．物理方向的男生多于物理方向的女生 B．历史方向的女生多于历史方向的男生 C．物理方向的女生多于历史方向的男生 D．物理方向的男生多于历史方向的女生 【答案】D 【分析】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为，根据题意可得，计算可得结论. 【详解】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为， 根据题意可得，所以， 即，故物理方向的男生多于历史方向的女生. 故选：D. 2．（24-25高三·广东惠州·期中）在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（    ） A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生 C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生 【答案】C 【分析】分别设出理科男女生，文科男女生的人数，根据题意列出不等式即可求解. 【详解】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人；文科女生有人，文科男生有人； 根据题意可知：， 根据同向不等式可加的性质有：， 即，所以理科女生多于文科男生， 故C正确，其他选项没有足够证据论证. 故选：C. 3．某花店搞活动，6支红玫瑰与3支黄玫瑰价格之和大于24元，而4支红玫瑰与5支黄玫瑰价格之和小于22元，那么2支红玫瑰与3支黄玫瑰的价格比较的结果是（    ） A．2支红玫瑰贵 B．3支黄玫瑰贵 C．相同 D．不能确定 【答案】A 【分析】设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别元，由题意得到的取值范围，利用待定系数法将表示为的线性组合，然后利用不等式的基本性质和作差法比较的大小关系即可. 【详解】解：设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别元， 由题意可得：（*）， 令， 则，解得：， ， 由（*）得,, , ， 因此． 所以2枝红玫瑰的价格高． 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的基本性质的应用，属于中档题．将表示为的组合是关键，在利用不等式的基本性质求差的取值范围时，要化成同向不等式才能相加. 利用不等式的性质求代数式的范围题型01 1．若不等式，，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：用变量替换，再得出解集 详解： 点睛：不等式只能线性运算,． 2．古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例.如图为希腊的一座古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.5米，C与F间的距离小于11米，则该古建筑中A与B间的距离可能是（    ）（参考数据：，，，，，） A．30.3米 B．30.1米 C．29.2米 D．27.4米 【答案】D 【分析】根据题意设设米，，从而表示出M与K间的距离、C与F间的距离，列出不等式求解后比较各选项即可. 【详解】设米，， 因为矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形， 所以， ， 又因为M与K间的距离超过1.5米，C与F间的距离小于11米， 所以，解得， 比较各选项可知该古建筑中A与B间的距离可能是27.4米. 故选：D 实数的大小比较题型02 1．（25-26高一上·云南玉溪·联考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将a、b平方后比较与1的大小关系即可得到答案． 【详解】∵，∴． ∵，∴， 故． 故选：A． 2．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 因为， 所以， 所以，因此， 因为， 所以，即. 3．（25-26高一上·江西瑞昌·联考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分子有理化可判断a和b的大小关系，再由不等式性质可判断a和c大小关系可得. 【详解】因为，， 因为，所以，故， 所以．因为，，所以．综上，． 故选：A. 4．（25-26高一·浙江·联考）已知，其中，.比较下列几个数的大小：，，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将，分别转化为符合不等式形式的式子，然后利用不等式进行放缩比较，再与比较. 【详解】，根据可得： ，所以， 同理，，所以， 又， 令，则， 故，所以， 综上所述：. 【点睛】利用不等式放缩和作差比较大小的方法. 5．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 6．（24-25高一下·贵州·期中）比较大小：______. 【答案】 【分析】平方计算判断大小. 【详解】因为，，所以，所以. 故答案为：<. 7．（1）设，，比较，大小； （2）设，，比较，的大小． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据不等式的性质比较大小. 【详解】解：（1）因为， 所以． （2），， 因为，所以，所以． 不等式性质的应用题型03 1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据加糖前后糖水浓度的变化即可得答案. 【详解】解：由题意可知，加入克糖（）后糖水变甜了， 即糖水的浓度增加了， 加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：； 所以. 故选：A. 2．平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在（0，1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比（    ） A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．“屏占比”变化不确定 【答案】B 【分析】设法列出升级前后的屏占比表达式，由作差法可比较大小. 【详解】设升级前屏幕面积为a,整机面积为b, 则屏占比为，设减小面积为，则升级后屏占比为：，则，即，屏占比变小. 故选：B 3．（24-25高一上·河北沧州·期中）数学来源于生活，又服务于生活．钦钦和莎莎均两次购买同一种文娱用品时，钦钦不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；莎莎不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．假设所购物品的价格发生波动，则（    ） A．两位中省钱小能手是钦钦 B．两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 C．两位中省钱小能手是莎莎 D．两位中谁是省钱小能手与购买数量有关 【答案】C 【分析】计算两人购物的平均价格，比较大小即可. 【详解】设第一次所购物品的价格为，第二次所购物品的价格为， 钦钦单次购买物品的数量为，则钦钦两次所购物品的平均价格为． 设莎莎单次购买物品所花的钱数为，第一次购买物品的数量为，第二次购买物品的数量为， 则莎莎两次所购物品的平均价格为． 因为， 但，等号不能取到，所以钦钦两次所购物品的平均价格大于莎莎两次所购物品的平均价格， 故莎莎是省钱小能手． 故选：C. 4．（24-25高一上·吉林白城·期中）若均为实数，使不等式和都成立的一组值是______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据条件写出满足不等式的一组值即可. 【详解】由知，同号，同号，且． 因为，所以． 所以在取时只需满足以下条件即可：①同号，同号，异号；②． 令，不妨取， 则，取，则满足要求． 故答案为：（答案不唯一）. 5．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好． (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，其中窗户面积为20平方米，该公寓采光效果是否合格？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光是变好了还是变坏了？请说明理由． 【答案】(1) 这所公寓的窗户面积为20平方米，则地板面积为190平方米， 由题意可得：， 所以这所公寓的采光效果合格． (2) 设窗户面积为平方米，地板面积为平方米，窗户和地板同时增加平方米， 则， 由题意可知，， 所以，即． 所以公寓的采光效果变好了． 【分析】（1），所以这所公寓的采光效果合格； （2）设窗户面积为平方米，地板面积为平方米，窗户和地板同时增加平方米，作差法比较出，从而得到结论. 【详解】（1）略 （2）略 6．不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立： (2)利用（1）中的结论证明：若为三角形的三边长，则. 【答案】(1)，，证明： . .， ，. (2) 证明：设的三边长分别为，则有， 由（1）已证不等式可得：，，， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以，. 【分析】（1）糖水变甜了得出不等式，，作差法比较大小即可； （2）根据三角形两边之和大于第三边，再结合（1）中不等式放缩即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 7．（25-26高一上·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖 (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 【答案】(1) 不等式为或； 证明如下： ， 因为， 故，故. (2) 由（1）中不等式可知， ， 故， 两边开方得：. 【分析】（1）由题意写出不等式，作差可证明； （2）由（1）可得不等式，由不等式性质即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 8．（24-25高一上·四川广元·月考）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【答案】(1)由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. (2) (3)因为， 由（1）中的结论，可得， 所以， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以， 综上可得. 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【详解】（1）略 （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）略 作商法比较代数式的大小题型 1．若，则、、、中最小的是__________. 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 2．如果，，那么，，从小到大的顺序是___________ 【答案】 【分析】三个式子很明显都是负数，所以可通过作商和1比较判断大小。 【详解】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以； 同理，所以。 综上： 故答案为： 【点睛】此题考查比较大小，一般可以考虑作差，作商等方法进行比较，属于简单题目。 3．（25-26高一上·重庆·月考）与的大小； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1）， 所以. （2）由，得，，， 因此， 所以. 4．已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 5．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？ 【答案】乙先到教室 【分析】设出从寝室到教室的路程，甲、乙两人的步行速度和跑步速度，分别表示出甲、乙两人到达教室所用时间，利用作商与1比较大小，即可判断谁先到教室． 【详解】设从寝室到教室的路程为s，甲、乙两人的步行速度为，跑步的速度为，且 甲所用的时间， 乙所用的时间满足： 则 所以 因为 所以，即乙先到教室 【点睛】本题考查了不等式比较大小在实际问题中的应用，注意选择好最后判断的依据，属于中档题． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $