21.3.1几何问题 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

# 华东师大版九年级上册数学《一元二次方程的应用——几何问题》专项练习（全文1444字） ## 一、知识点梳理 一元二次方程在几何中的应用\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)核心思路：**利用几何图形的面积、周长、勾股定理等性质列出等量关系式\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)建立一元二次方程求解\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)最后检验解是否符合几何实际意义**。 常见题型分类： 1. **面积问题**：矩形、正方形\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)道路、边框、裁剪拼接。常设宽度为未知数\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)用“总面积减去空白面积=阴影面积”或者“平移法”合并道路\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)简化列式。 2. **勾股定理问题**：直角三角形\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)两直角边的平方和等于斜边平方\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)建立方程。 3. **动点几何**：点在线段上移动\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)用含$t$的代数式表示线段长度\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)再结合面积或勾股定理列方程。 解题通用步骤： ①审题\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)画出示意图； ②设未知数； ③用未知数表示相关线段长度； ④根据面积公式或勾股定理列一元二次方程； ## 五、参考答案与解析 ### 选择题 1. B。解析：左右、上下都加宽\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)长和宽各加$2x$。 2. A。解析：设两边$\(a,b\)$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$a+b=7\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)\dfrac12ab=6$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)解得两边3、4\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)斜边5。 3. A。解析：平移道路\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)草坪拼成新矩形\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)长$30-x$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)宽$20-x$。 4. B。解析：长+宽=12\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)设长$x$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$x(12-x)=32$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$x_1=8\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)x_2=4$。 5. A。解析：底边一半4\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)勾股定理$4^2+(x-2)^2=x^2$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)解得$\(x=5\)$。 ### 填空题 1.$6$；解析：$\(x(x+2)=48\)$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$x^2+2x-48=0$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$\(x=6\)$（舍去负根）。 2.$\(3,4,5\)$ 3.$5$；解析：$(x+3)^2-x^2=39$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$6x+9=39\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)\(x=5\)$。 4.$2$；解析：$(40-2x)(26-x)=864$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)解得$\(x=2\)$。 5.$8$；解析：$\dfrac12\times6\times \(x=2\)4$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$\(x=8\)$。 ### 解答题 1. 解：折盒后底面长$(100-2x)$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)宽$(50-2x)$ $(100-2x)(50-2x)=3600$ 整理：$x^2-75x+350=0$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$(x-5)(x-70)=0$ $x_1=5\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)x_2=70$。 $\(x=70\)$时\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$50-2x<0$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)舍去。$\therefore \(x=5\)\ \text{cm}$。 2. 解：设较短直角边$x\ \text{cm}$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)另一直角边$(x+3)\ \text{cm}$ $\dfrac12x(x+3)=18$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$x^2+3x-36=0$ 解得$x_1=\dfrac{-3+3\sqrt{17}}{2}$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$x_2$负数舍去。 两直角边：$\dfrac{-3+3\sqrt{17}}{2}\ \text{cm}$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$\dfrac{3+3\sqrt{17}}{2}\ \text{cm}$。 3. 解：设运动时间$t$秒\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$PB=12-2t$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$\(BQ=t\)$ $S_{\triangle PBQ}=\dfrac12(12-2t)\cdot t=9$ 整理：$t^2-6t+9=0$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$(t-3)^2=0$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$t_1=t_2=3$。 检验：$\(t=3\)$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$\(PB=6>0\)$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)符合条件。$\therefore3$秒。 4. 解：设垂直墙的边长$x\ \text{m}$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)平行墙边长$(40-2x)\ \text{m}$ $x(40-2x)=150$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$x^2-20x+75=0$ 解得$x_1=5\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)x_2=15$。 墙长15m\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)$40-2x\le15$。 当$\(x=5\)$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)平行墙长$\(30>15\)$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)超出墙长\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)舍去； 当$\(x=15\)$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)平行墙长$10\le15$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)符合。 $\therefore$垂直墙边长15m。 ## 六、易错总结 几何应用题**检验是必不可少的一步**。求出方程的根后\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)一定要看线段长度大于0\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)不能超过原图边长；靠墙问题还要注意平行墙一边不能超过墙的最大长度\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)不符合的根直接舍去。道路面积题优先平移法\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)把分散草坪拼成完整矩形\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)减少计算错误\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)注意是减去$2x$还是$x$。动点问题\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)用时间$t$表示线段长度\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)时刻注意取值范围\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)线段不能为负数。勾股定理类\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)分清斜边\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)不要把直角边、斜边弄混。面积公式不要漏乘$\dfrac12$\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)三角形面积是高频丢分点。画图非常重要\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)根据题意画出简易图\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)能快速理清长、宽关系。几何应用题的方程一般有两个解\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)一个符合实际\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)一个不符合\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)千万不要直接两个都写。这类大题在中考常考\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)和一元二次方程的解法结合\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)既要会列方程\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)也要会解方程\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)最后落实实际意义检验。 （全文1444字） 下一节：**一元二次方程应用——增长率问题**\(8+x\(8+2x\(8-x\(8-2x\(a+b=7\(x_1=8\(6x+9=39\(x_1=5\(x_1=5，x_2=15\)x_2=70\)x=5\)x_2=4\)\dfrac12ab=6\)5-2x\)5-x\)5+2x\)5+x\)继续同格式1444字专项练习吗？ 华东师大版（新教材）数学九年级上册 21.3.1几何问题 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 一元二次方程 新知探究 一元二次方程解几何问题 学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 分析：问题中没有明确小道在试验田中的位置，我们可先设计画出草图，数形结合。 问题1 和同桌交换看一看，是否设计得一样？ 新知探究 一元二次方程解几何问题 学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 问题1 20 32 你发现了什么？ 小道的占地面积与位置无关. 你是怎样计算小道的宽度的？ 新知探究 一元二次方程解几何问题 学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 问题1 20 32 x x 解：设小道宽为 x m， 则两条小道的面积分别是 32x m2 和 20x m2，其中重叠部分小正方形的面积为m2， 根据题意，得 解得 ， 因为，所以 . 新知探究 如果设想把小道平移到两边，如图所示，那么小道所占面积是否保持不变？ 一元二次方程解几何问题 试一试 32 m 20m x m x m 解：设道路的宽为 x m. 则 . 整理，得 . 解得 . 当 x = 50 时，32 − x = −18，不合题意，舍去. ∴ 取 x = 2. 答：道路的宽为 2 m. 利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的道理，纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实施施工，仍可按原图的位置修路） 在应用一元二次方程解决实际问题时，要注意： 1. 分析题意，抓住等量关系； 2. 列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决； 3. 求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的解答. 归纳总结 归纳总结 一元二次方程解几何问题 典例分析 例1 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用 58 m的围栏围成面积为 200 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是多少米？ 解：设 AB 的长是x m.列方程，得 ， 整理,得. 解得. 当时，； 当时，. 答：羊圈的边AB和BC的长各是25 m，8 m或4 m，50 m. D C B A 一元二次方程解几何问题 应用1 边框问题 1. 在一幅长为，宽为 的矩形风景画 的四周镶一条宽度相同的边框，制成一幅面积是 的 挂图，设边框的宽为 ，可列方程为__________________ ___________. 返回 举一反三 8 2. 软笔书法承载着 中华五千年的灿烂文化，如图 ①，它是李叔叔的软笔作品， 是长，宽 的矩形. 为了美观，李叔叔装裱此作品， 将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽 度也相等），装裱后的作品如图②，左、右边衬的宽度是上、 下边衬的2倍，面积变成原作品的1.21倍，上、下边衬的宽度 是多少？#2 举一反三 9 【解】 设上、下边衬的宽度是 ，则 左、右边衬的宽度是 ， 依题意得 , , , （舍去）. 答：上、下边衬的宽度是 . 返回 举一反三 10 新知探究 一元二次方程解变化率问题 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 问题2 分析：这与我们初识一元二次方程时讨论增长率问题中的数量关系是否相似？有什么不同？ 和增长率问题数量关系式形式相似： 增长率： 降价（下降率）： 区别：增长用加号，下降（降价）用减号。 对于此类问题，我们可以采用列表法，直观看出对应关系。 新知探究 一元二次方程解变化率问题 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 问题2 分析：设每次降价的百分率为，完成下表 降价幅度（倍） 降价后的零售价（元） 第一次降价 第二次降价 你能根据表格内容，列出方程并求解吗？ 新知探究 一元二次方程解变化率问题 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 问题2 降价幅度（倍） 降价后的零售价（元） 第一次降价 第二次降价 解：设每次降价的百分率为x. 根据题意，得. 解得x1＝0.25，x2＝1.75. 因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.75不符合题意，舍去． ∴x＝0.25＝25%. 答：每次降价的百分率为25%. 典例分析 例2 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染． （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 你能根据题意列表吗？ 一元二次方程解变化率问题 分析：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑. 感染数（台） 感染后总数（台） 第一轮感染 第二次降价 典例分析 一元二次方程解变化率问题 解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意，得 整理，得， 则或， 解得（舍去）. 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑； （2）． 答：三轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 应用2 拼（折）图问题 3. 燕几（即宴几）是世界上最 早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思. 全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相 同.其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张 中桌和3张小桌，它们的宽都相同.七张桌面可以拼成一个大 的长方形，或者分开组合成不同的图形，其组合方式丰富多 样，燕几也被认为是现代七巧板的前身.如图，它给出了《燕 几图》中列出的名称为“函三”和“回文” 的两种桌面拼合方式. 举一反三 16 若全套七张桌子桌面的总面积为61.25平方尺， 则长桌的长为___尺. 7 举一反三 【点拨】设每张桌子的桌面宽为 尺，根据题图可得，小桌 的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为 尺，故可得 ，解得， （不合题意，舍去）， ，故长桌的长为7尺. 返回 举一反三 18 4. 如图，一块长和宽分别为 和 的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方 形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为 ， 则截去小正方形的边长为_______. 举一反三 19 【点拨】设截去小正方形的边长为 ，由题意得，无盖长 方体底面的长和宽分别是和 ， ，即 ，解得 ，（不合题意，舍去） 截去小正方形的边 长为 . 返回 举一反三 20 应用3 甬道问题 5. “一犁新雨破春耕……野草闲花次第生”，为 了让同学们更好地感受中华传统农耕文化的魅力，培养青少 年懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；为了便于 种菜、浇地、采摘等劳动课程的开展，老师请同学们参与一 块长为，宽为 的矩形菜地的方案设计，以下是同 学们对菜地小路设计的研究过程.#1 举一反三 21 要求：设计的每一条小路要连接矩形菜地的一组对边.同学们 设计的方案主要有如图所示的甲、乙、丙、丁四种典型的方 案，四幅图中 .#1.1 举一反三 22 （1）以上四种方案小路面积的大小关系？你的判断是_____. （填“相等”或“不相等”） 相等 举一反三 23 【点拨】将各种方案中的小路向左或向上平移后所得的图形 均如图, 四种方案的小路面积相等. 举一反三 24 （2） 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除 小路后菜地面积约为 ，则每条小路的宽度是多少米？ 举一反三 25 【解】解法1：设小路的宽度为 ， ， 整理可得 ， 解得， （舍去）， 小路的宽度为 . 举一反三 26 解法2：设小路的宽度为 ， , 解得, （舍去）. 每条小路的宽为 . 举一反三 27 利用一元二次方程解应用题的一般步骤： (1)审题，分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系； (2)设未知数，一般采取直接设法，有的要间接设； (3)寻找等量关系，列出方程，要注意方程两边的数量相等，方程两边的代数式的单位相同； (4)选择合适的方法解方程； (5)检验，因为一元二次方程的解有可能不符合题意，如：线段的长度不能为负数等，因此，解出方程的根后，一定要进行检验． (6)写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则. 归纳总结 一元二次方程的应用 课堂小结 谢谢观看 THANKS $