第5讲函数与导数之极值点偏移专项训练-2027届高三数学一轮复习

函数与导数之极值点偏移 高三数学专题复习 · 专题第五讲 0 题型概说 本讲研究的问题：函数 在 处取得唯一极值，，（  ）是 （或  ）的两个根、或 的两个根。若 恰等于 ，两根关于极值点对称；不等时称极值点偏移。这类问题的目标通常是证明 （或  ）、 与某常数比较、以及由等值条件反求参数。处理手段是对称化构造——把 换成 的对称点，构造一元差函数定号；当对称基准不是极值点时，借助两根满足的方程改写基准；当两根满足同一含参方程时，先消参再代换。 识别信号总览： 条件与目标的特征 方法指向 单元 两根 ， 与显式极值点 ，证 与 比较 对称点 ，差函数定号 单元一 基准是一般常数或含参表达式（如  ） 借两根的方程化简对称点 单元二 两零点满足同一含参方程（如  ） 相除消参，配合对数平均不等式 单元三 的存在、位置与参数反求 等值线视角，联立消参 单元四 单元一 极值点为基准的对称构造 1.1 识别特征 在 处取得唯一极值（  显式，如 、、 ），， 是 的两根且 ；目标为 （或  ）。 1.2 结论与推导 结论 1.1（等值点分居极值点两侧）　 在 的左侧与右侧分别单调且方向相反（一增一减， 为极值点）时，（  ）必有 。 推导：单调区间内函数一一对应，两点落在同一单调区间内时函数值必不相等。 结论 1.2（对称化构造）　不妨设 。要证 ，即证 ； 与对称点 同在 的右侧，由 在右侧的单调性（设递增），等价于 ，再用 归结为 （  ）　在 处的符号问题（此处需 ；递减侧符号方向相反）。 推导：单调函数保序——同一单调区间内 ； 是等量代换。 结论 1.3（差函数的导数）　 的导数为 。 推导：（链式法则），相减时负号抵消。判定 的符号常需换元（如令  ）或用均值不等式、二次型配平方。 结论 1.4（偏移方向的读法）　 即中点 落在极值点右侧，等价于 （  偏离得更远），称两根相对极值点向右偏移； 时向左偏移。 推导： 与 是同一个不等式的等价变形。 1.3 方法决策表 步骤 内容 ① 定两侧 由 的单调性， 与 分居 两侧（结论 1.1） ② 改写结论 即 ，两点同在 右侧 ③ 转到函数值 由右侧单调性转为 与 的比较（结论 1.2） ④ 差函数定号 构造 （  ），；求 并定号（结论 1.3） 例题精讲 例 1（单项选择题） 已知函数 （  ），则 的极小值点为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 。 时 ， 时 ，故极小值点 。 例 2（解答题） 已知函数 （ ， ）有两个零点 ，（  ）。证明：。 ●解析 ， 的极小值点为 ， 在 上递减、 上递增； 时 ，当 从右侧趋近于 与当 趋于 时 都趋于 ，故两个零点分居极小值点两侧（结论 1.1）：，，且 。 要证 ，即证 。由 、（因  ），且 在 上递增，由结论 1.2 只需证 ，即 。 构造 （  ）。，由结论 1.3， 。 记 （  ），则 （因  ）， 递减，故 ，于是 ， 在 上递减。 由 ：，即 ，成立。故 ，。 例 3（解答题） 已知函数 （  ）有两个零点 ，（  ），极值点为 。证明：。 ●解析 ， 在 上递减、 上递增。 时 ；当 趋于 时 趋于 、 趋于 ，故 趋于 ；当 趋于 时 趋于 。结合极小值为负，两个零点分居 两侧（结论 1.1）：，。 要证 ，即证 。由 、（因  ），且 在 上递增，由结论 1.2 只需证 ，即 。 构造 （  ）。，由结论 1.3， 。 记 （ ，因  ），则 （  ）。 故 在 上单调递增，而 ，得 ，即 。结合 ：，而 与 同在 内且 递增，得 ，即 。 变式训练 变 1（单项选择题） 接例 2： 说明两根相对极值点 的位置关系是（  ） A．向右偏移（  偏离得更远）　　B．向左偏移 C．不偏移　　D．无法判断 变 2（单项选择题） 接例 3： 说明（  ） A．中点 在极值点左侧　　B．中点在极值点右侧 C．　　D．偏移方向与 有关 变 3（解答题） 已知函数 （  ）有两个零点 ，极值点 。判断 与 的大小并证明。 单元二 一般基准的对称构造 2.1 识别特征 目标为 ，其中 是常数或含参表达式，而不是极值点的两倍；或者两根是 的根，对称点 不能直接使用，需要先化简。 2.2 结论与推导 结论 2.1（基准的化简）　两根满足同一个方程（如  ）时，把该方程在 处的等式代入对称点表达式，可将 化为 的初等函数。例如 时， 。 推导：等量代换——两根都满足同一方程，方程在 处的等式可自由代入。 结论 2.2（分层定号）　差函数的导数含多层结构（如 与 并存）时，把符号判定归结为某个一元函数（如  ）的单调性：先证该函数小于（大于）临界值，再逐层回代。 推导：符号判定的核心是比较两个量的大小；构造辅助函数把比较转化为单调性与端点值。 2.3 方法决策表 要点 内容 基准改写 即 ； 含参时借两根的方程化简（结论 2.1） 复合差的导数 （对 型） 分层定号 多层结构逐层构造辅助函数，先定内层范围再回代（结论 2.2） 例题精讲 例 4（解答题） 已知函数 （  ），，， 是 的两个极值点（  ）。证明：。 ●解析 。， 是 的两根，即 在 ， 处成立。记 ，， 在 上递减、 上递增，；因 ，水平线 与 的图象恰有两个交点，分居 两侧（结论 1.1 用于  ）：。 要证 ，即证 。由结论 2.1 化简基准：在 处 ，故 。 记 ，由 得 ，且 。 的导数 （  ），故 在 上单调递增；又 ，于是 。 计算 ：由 ， 。 记 （  ），，。按结论 2.2 分层定号：记 ，则 （  ）， 递减，故 ，即 ，于是 ， 在 上单调递减，，即 。 故 ，即 。 例 5（单项选择题） 构造对称差函数时，若 （  ），证 所构造的 及其定义域为（  ） A．，　　B．， C．，　　D．， ●解析 由结论 1.2：利用 把 替换为 ，比较对象是 与 ，故构造 ，在 所在的区间 上研究。 变式训练 变 4（单项选择题） 接例 4： 的两根分居 两侧的依据是（  ） A． 在 递减、 递增，极小值点 B． 单调递增 C． 有两个零点 D． 变 5（单项选择题） 接例 5：若所证的差函数满足 （  在 所在侧递增），得出的结论是（  ） A．，即 　　B．，即 C．　　D．偏移方向不定 单元三 消参与代换 3.1 识别特征 两个零点（或两个极值点）满足同一含参方程（如  ），参数可以用两根表示；目标为对称式（和、差、对数关系）的范围。 3.2 结论与推导 结论 3.1（相除消参）　两零点满足 与 时，两式相除消去 ： ，取对数得 。 推导：两式相除，公共因子 约去；同底幂相等则指数相等，取对数即得。 结论 3.2（对数平均不等式的代入）　 时，对数平均不等式 的左端等于 ，故 。两根的差与对数差相等，是把对称目标与 比较的捷径。 推导：左端分子与分母相等，比值为 ；代人不等式即得。 结论 3.3（两种工具的分工）　和的范围（  与常数比较）走”消参 + 对数平均不等式”；偏移方向（  与 比较）走”对称化构造”——两条工具链互相独立，可分别使用。 推导：对数平均不等式给出的是与 （差值结构）相关的界；偏移基准 含参数，需用对称构造直接处理。 3.3 方法决策表 步骤 内容 ① 消参 两零点（极值点）满足同一方程，两式相减或相除消去参数（结论 3.1） ② 和的范围 差与对数差相等时，代人对数平均不等式（结论 3.2） ③ 偏移方向 以极值点 为基准作对称构造，差函数常可配平方（结论 3.3） 例题精讲 例 6（解答题） 已知函数 （  ）有两个零点 。证明：。 ●解析 由 得 ；由 得 。由结论 3.1，两式相除消去 ： ，即 ，取对数得 。 例 7（解答题） 接例 6：证明 ，并判断两根相对极值点 的偏移方向。 ●解析 由例 6，。由结论 3.2 代入对数平均不等式 ：左端分子与分母相等，比值为 ，故 ，即 。 偏移方向按结论 3.3 用对称构造：极值点为 ，且 （极小值 ，两零点分居两侧）。构造 （  ），， （  ）。 递增，，即 ；结合 与右侧递增得 ，即 ，两根向左偏移。 变式训练 变 6（单项选择题） 接例 7： 说明两根相对极值点 的偏移方向为（  ） A．向左偏移　　B．向右偏移　　C．不偏移　　D．随 变化 单元四 等值线视角与参数反求 4.1 识别特征 （同一条水平线与图象的两个交点），需判断交点的位置、求 的范围；或由等值条件与极值条件联立反求参数。 4.2 结论与推导 结论 4.1（两交点的存在与位置）　 的极大值为 ，当 趋近于定义域两端时 的趋势值都低于 ，则对任意 高于两端趋势值且低于 ，水平线 与图象恰有两个交点，分居 两侧； 的范围即由两端趋势值与极值夹出。 推导：两侧各单调一段，水平线在每段内恰有一个交点； 超出范围时交点个数减少。 结论 4.2（等值联立消参）　已知 且 （  已知， 未知），两式联立消去参数，得到 满足的分解式；结合辅助函数的单调性舍去增根，定出 ，回代求参数。 推导：两个方程消去一个未知参数，剩下一个关于 的方程；分解后的各因式用单调性逐一排查。 结论 4.3（极值属性的复核）　 且 在 附近连续时： 则 在 的左侧附近为正、右侧附近为负， 为极大值点； 时为极小值点。 推导： 且 连续，则 在 附近为负， 在附近单调递减；结合 ，左侧附近 、右侧附近 。 4.3 方法决策表 工具 内容 水平线视角 在趋势值与极值之间移动，两交点随之变动； 的范围由两端夹出（结论 4.1） 等值联立 与 消参，单调性舍根后回代（结论 4.2） 属性复核 用 在极值点处的符号复核极大（小）值点属性（结论 4.3） 例题精讲 例 8（单项选择题） 已知函数 （  ），其极大值点为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 。 时 ， 时 ，极大值点 。 例 9（单项选择题） 接例 8：设 且 （  ），则下列一定成立的是（  ） A．　　B． C．　　D． ●解析 在 上递增、 上递减，由结论 1.1，函数值相等的两点分居 两侧，A 成立。 当 从上方趋近于 时， 趋近于 、 趋近于 （  ）：此时 趋近于 ，B 错误； 趋近于 ，C 错误； 趋近于 ，D 错误。 例 10（解答题） 接例 8：设 且 。证明：。 ●解析 在 上单调递增、 上单调递减。由结论 1.1：若 ，则 ，两点同在递增段，，与 矛盾；同理 不可能。故 。 例 11（单项选择题） 已知函数 （  ）， 是 的一个极大值点，且存在 使 。由 与 联立消去 ，可得（  ） A．　　B． C．　　D． ●解析 ，故 ；由结论 4.2，与 联立： ， 。 第一式乘 ，与第二式相减消去 ： 的系数合并为 ，其余项合并为 ，整理得 ，即 。 例 12（单项选择题） 接例 11：记 （  ），则 在 上的性态为（  ） A．单调递增，且 　　B．单调递减，且 C．先减后增，最小值小于 　　D．先增后减 ●解析 ，仅 处为零且零点孤立， 严格递增，且 。 例 13（解答题） 接例 11 与例 12：求满足条件的 值。 ●解析 由例 12， 严格递增且 ，故 ；而 ，由例 11 的分解式得 。代入 ： ，即 ，解得 。 按结论 4.2 复核：，等值条件成立。，（  ），由结论 4.3， 确为极大值点。 变式训练 变 7（单项选择题） 接例 10： 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 任意 变 8（单项选择题） 接例 13：，由此可判定（  ） A． 是极大值点　　B． 是极小值点 C． 不是极值点　　D．无法判定 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数与导数之极值点偏移 高三数学专题复习 · 专题第五讲 0 题型概说 本讲研究的问题：函数 在 处取得唯一极值，，（  ）是 （或  ）的两个根、或 的两个根。若 恰等于 ，两根关于极值点对称；不等时称极值点偏移。这类问题的目标通常是证明 （或  ）、 与某常数比较、以及由等值条件反求参数。处理手段是对称化构造——把 换成 的对称点，构造一元差函数定号；当对称基准不是极值点时，借助两根满足的方程改写基准；当两根满足同一含参方程时，先消参再代换。 识别信号总览： 条件与目标的特征 方法指向 单元 两根 ， 与显式极值点 ，证 与 比较 对称点 ，差函数定号 单元一 基准是一般常数或含参表达式（如  ） 借两根的方程化简对称点 单元二 两零点满足同一含参方程（如  ） 相除消参，配合对数平均不等式 单元三 的存在、位置与参数反求 等值线视角，联立消参 单元四 单元一 极值点为基准的对称构造 1.1 识别特征 在 处取得唯一极值（  显式，如 、、 ），， 是 的两根且 ；目标为 （或  ）。 1.2 结论与推导 结论 1.1（等值点分居极值点两侧）　 在 的左侧与右侧分别单调且方向相反（一增一减， 为极值点）时，（  ）必有 。 推导：单调区间内函数一一对应，两点落在同一单调区间内时函数值必不相等。 结论 1.2（对称化构造）　不妨设 。要证 ，即证 ； 与对称点 同在 的右侧，由 在右侧的单调性（设递增），等价于 ，再用 归结为 （  ）　在 处的符号问题（此处需 ；递减侧符号方向相反）。 推导：单调函数保序——同一单调区间内 ； 是等量代换。 结论 1.3（差函数的导数）　 的导数为 。 推导：（链式法则），相减时负号抵消。判定 的符号常需换元（如令  ）或用均值不等式、二次型配平方。 结论 1.4（偏移方向的读法）　 即中点 落在极值点右侧，等价于 （  偏离得更远），称两根相对极值点向右偏移； 时向左偏移。 推导： 与 是同一个不等式的等价变形。 1.3 方法决策表 步骤 内容 ① 定两侧 由 的单调性， 与 分居 两侧（结论 1.1） ② 改写结论 即 ，两点同在 右侧 ③ 转到函数值 由右侧单调性转为 与 的比较（结论 1.2） ④ 差函数定号 构造 （  ），；求 并定号（结论 1.3） 例题精讲 例 1（单项选择题） 已知函数 （  ），则 的极小值点为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 。 时 ， 时 ，故极小值点 。 【答案】A 例 2（解答题） 已知函数 （ ， ）有两个零点 ，（  ）。证明：。 ●解析 ， 的极小值点为 ， 在 上递减、 上递增； 时 ，当 从右侧趋近于 与当 趋于 时 都趋于 ，故两个零点分居极小值点两侧（结论 1.1）：，，且 。 要证 ，即证 。由 、（因  ），且 在 上递增，由结论 1.2 只需证 ，即 。 构造 （  ）。，由结论 1.3， 。 记 （  ），则 （因  ）， 递减，故 ，于是 ， 在 上递减。 由 ：，即 ，成立。故 ，。 【答案】证毕（见解析）。 例 3（解答题） 已知函数 （  ）有两个零点 ，（  ），极值点为 。证明：。 ●解析 ， 在 上递减、 上递增。 时 ；当 趋于 时 趋于 、 趋于 ，故 趋于 ；当 趋于 时 趋于 。结合极小值为负，两个零点分居 两侧（结论 1.1）：，。 要证 ，即证 。由 、（因  ），且 在 上递增，由结论 1.2 只需证 ，即 。 构造 （  ）。，由结论 1.3， 。 记 （ ，因  ），则 （  ）。 故 在 上单调递增，而 ，得 ，即 。结合 ：，而 与 同在 内且 递增，得 ，即 。 【答案】证毕：（两零点相对极值点 向左偏移）。 变式训练 变 1（单项选择题） 接例 2： 说明两根相对极值点 的位置关系是（  ） A．向右偏移（  偏离得更远）　　B．向左偏移 C．不偏移　　D．无法判断 ●解析 由结论 1.4， 即中点 ，两根整体偏在极值点右侧， 离 的距离大于 离 的距离，属向右偏移。 【答案】A 变 2（单项选择题） 接例 3： 说明（  ） A．中点 在极值点左侧　　B．中点在极值点右侧 C．　　D．偏移方向与 有关 ●解析 由结论 1.4， 即中点小于极值点，两根整体偏左， 离极值点更远：。A 正确，C 恰相反；此处偏移方向固定向左，B、D 错误。 【答案】A 变 3（解答题） 已知函数 （  ）有两个零点 ，极值点 。判断 与 的大小并证明。 ●解析 ， 在 上递增、 上递减，由结论 1.1，。 构造 （  ）。，由结论 1.3， 。 记 ，则 为定值，由均值不等式 ，等号当且仅当 （不在 内取到）。故 ， 在 上单调递增，从而 （  ），即 。 由 ：，即 。 在 上递减，且 ，故 ，即 。 【答案】（向右偏移）。 单元二 一般基准的对称构造 2.1 识别特征 目标为 ，其中 是常数或含参表达式，而不是极值点的两倍；或者两根是 的根，对称点 不能直接使用，需要先化简。 2.2 结论与推导 结论 2.1（基准的化简）　两根满足同一个方程（如  ）时，把该方程在 处的等式代入对称点表达式，可将 化为 的初等函数。例如 时， 。 推导：等量代换——两根都满足同一方程，方程在 处的等式可自由代入。 结论 2.2（分层定号）　差函数的导数含多层结构（如 与 并存）时，把符号判定归结为某个一元函数（如  ）的单调性：先证该函数小于（大于）临界值，再逐层回代。 推导：符号判定的核心是比较两个量的大小；构造辅助函数把比较转化为单调性与端点值。 2.3 方法决策表 要点 内容 基准改写 即 ； 含参时借两根的方程化简（结论 2.1） 复合差的导数 （对 型） 分层定号 多层结构逐层构造辅助函数，先定内层范围再回代（结论 2.2） 例题精讲 例 4（解答题） 已知函数 （  ），，， 是 的两个极值点（  ）。证明：。 ●解析 。， 是 的两根，即 在 ， 处成立。记 ，， 在 上递减、 上递增，；因 ，水平线 与 的图象恰有两个交点，分居 两侧（结论 1.1 用于  ）：。 要证 ，即证 。由结论 2.1 化简基准：在 处 ，故 。 记 ，由 得 ，且 。 的导数 （  ），故 在 上单调递增；又 ，于是 。 计算 ：由 ， 。 记 （  ），，。按结论 2.2 分层定号：记 ，则 （  ）， 递减，故 ，即 ，于是 ， 在 上单调递减，，即 。 故 ，即 。 【答案】证毕（见解析）。 例 5（单项选择题） 构造对称差函数时，若 （  ），证 所构造的 及其定义域为（  ） A．，　　B．， C．，　　D．， ●解析 由结论 1.2：利用 把 替换为 ，比较对象是 与 ，故构造 ，在 所在的区间 上研究。 【答案】A 变式训练 变 4（单项选择题） 接例 4： 的两根分居 两侧的依据是（  ） A． 在 递减、 递增，极小值点 B． 单调递增 C． 有两个零点 D． ●解析 即 。记 ，， 在 递减、 递增，； 时水平线 与 的图象恰有两个交点，分居 两侧。 【答案】A 变 5（单项选择题） 接例 5：若所证的差函数满足 （  在 所在侧递增），得出的结论是（  ） A．，即 　　B．，即 C．　　D．偏移方向不定 ●解析 即 ，而 ，故 ； 在 所在侧递增，且 、 均在该侧，得 ，即 。 【答案】A 单元三 消参与代换 3.1 识别特征 两个零点（或两个极值点）满足同一含参方程（如  ），参数可以用两根表示；目标为对称式（和、差、对数关系）的范围。 3.2 结论与推导 结论 3.1（相除消参）　两零点满足 与 时，两式相除消去 ： ，取对数得 。 推导：两式相除，公共因子 约去；同底幂相等则指数相等，取对数即得。 结论 3.2（对数平均不等式的代入）　 时，对数平均不等式 的左端等于 ，故 。两根的差与对数差相等，是把对称目标与 比较的捷径。 推导：左端分子与分母相等，比值为 ；代人不等式即得。 结论 3.3（两种工具的分工）　和的范围（  与常数比较）走”消参 + 对数平均不等式”；偏移方向（  与 比较）走”对称化构造”——两条工具链互相独立，可分别使用。 推导：对数平均不等式给出的是与 （差值结构）相关的界；偏移基准 含参数，需用对称构造直接处理。 3.3 方法决策表 步骤 内容 ① 消参 两零点（极值点）满足同一方程，两式相减或相除消去参数（结论 3.1） ② 和的范围 差与对数差相等时，代人对数平均不等式（结论 3.2） ③ 偏移方向 以极值点 为基准作对称构造，差函数常可配平方（结论 3.3） 例题精讲 例 6（解答题） 已知函数 （  ）有两个零点 。证明：。 ●解析 由 得 ；由 得 。由结论 3.1，两式相除消去 ： ，即 ，取对数得 。 【答案】证毕（见解析）。 例 7（解答题） 接例 6：证明 ，并判断两根相对极值点 的偏移方向。 ●解析 由例 6，。由结论 3.2 代入对数平均不等式 ：左端分子与分母相等，比值为 ，故 ，即 。 偏移方向按结论 3.3 用对称构造：极值点为 ，且 （极小值 ，两零点分居两侧）。构造 （  ），， （  ）。 递增，，即 ；结合 与右侧递增得 ，即 ，两根向左偏移。 【答案】证毕：；两根相对极值点 向左偏移（  ）。 变式训练 变 6（单项选择题） 接例 7： 说明两根相对极值点 的偏移方向为（  ） A．向左偏移　　B．向右偏移　　C．不偏移　　D．随 变化 ●解析 由结论 1.4， 即中点 ，两根整体偏在极值点左侧，向左偏移。 【答案】A 单元四 等值线视角与参数反求 4.1 识别特征 （同一条水平线与图象的两个交点），需判断交点的位置、求 的范围；或由等值条件与极值条件联立反求参数。 4.2 结论与推导 结论 4.1（两交点的存在与位置）　 的极大值为 ，当 趋近于定义域两端时 的趋势值都低于 ，则对任意 高于两端趋势值且低于 ，水平线 与图象恰有两个交点，分居 两侧； 的范围即由两端趋势值与极值夹出。 推导：两侧各单调一段，水平线在每段内恰有一个交点； 超出范围时交点个数减少。 结论 4.2（等值联立消参）　已知 且 （  已知， 未知），两式联立消去参数，得到 满足的分解式；结合辅助函数的单调性舍去增根，定出 ，回代求参数。 推导：两个方程消去一个未知参数，剩下一个关于 的方程；分解后的各因式用单调性逐一排查。 结论 4.3（极值属性的复核）　 且 在 附近连续时： 则 在 的左侧附近为正、右侧附近为负， 为极大值点； 时为极小值点。 推导： 且 连续，则 在 附近为负， 在附近单调递减；结合 ，左侧附近 、右侧附近 。 4.3 方法决策表 工具 内容 水平线视角 在趋势值与极值之间移动，两交点随之变动； 的范围由两端夹出（结论 4.1） 等值联立 与 消参，单调性舍根后回代（结论 4.2） 属性复核 用 在极值点处的符号复核极大（小）值点属性（结论 4.3） 例题精讲 例 8（单项选择题） 已知函数 （  ），其极大值点为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 。 时 ， 时 ，极大值点 。 【答案】A 例 9（单项选择题） 接例 8：设 且 （  ），则下列一定成立的是（  ） A．　　B． C．　　D． ●解析 在 上递增、 上递减，由结论 1.1，函数值相等的两点分居 两侧，A 成立。 当 从上方趋近于 时， 趋近于 、 趋近于 （  ）：此时 趋近于 ，B 错误； 趋近于 ，C 错误； 趋近于 ，D 错误。 【答案】A 例 10（解答题） 接例 8：设 且 。证明：。 ●解析 在 上单调递增、 上单调递减。由结论 1.1：若 ，则 ，两点同在递增段，，与 矛盾；同理 不可能。故 。 【答案】证毕（见解析）。 例 11（单项选择题） 已知函数 （  ）， 是 的一个极大值点，且存在 使 。由 与 联立消去 ，可得（  ） A．　　B． C．　　D． ●解析 ，故 ；由结论 4.2，与 联立： ， 。 第一式乘 ，与第二式相减消去 ： 的系数合并为 ，其余项合并为 ，整理得 ，即 。 【答案】A 例 12（单项选择题） 接例 11：记 （  ），则 在 上的性态为（  ） A．单调递增，且 　　B．单调递减，且 C．先减后增，最小值小于 　　D．先增后减 ●解析 ，仅 处为零且零点孤立， 严格递增，且 。 【答案】A 例 13（解答题） 接例 11 与例 12：求满足条件的 值。 ●解析 由例 12， 严格递增且 ，故 ；而 ，由例 11 的分解式得 。代入 ： ，即 ，解得 。 按结论 4.2 复核：，等值条件成立。，（  ），由结论 4.3， 确为极大值点。 【答案】。 变式训练 变 7（单项选择题） 接例 10： 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 任意 ●解析 的极大值为 ；当 从右侧趋近于 时 趋于 ；当 趋于 时 趋于 。由结论 4.1，水平线与图象有两个交点当且仅当 。 【答案】A 变 8（单项选择题） 接例 13：，由此可判定（  ） A． 是极大值点　　B． 是极小值点 C． 不是极值点　　D．无法判定 ●解析 且 ， 连续，故 在 的左侧附近为正、右侧附近为负（结论 4.3）， 是极大值点。 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 $