培优专题06 极值点偏移问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027 届高三数学一轮复习培优专题 06　极值点偏移问题 （详细解析版） 满分 100 分　·　建议用时 90 分钟　·　适用：2026—2027 学年高三一轮复习（中档题及以上） 本专题聚焦极值点偏移：设函数在 处取得极值，若 （），则 与 的大小、 与某定值的大小即为“偏移方向”。全卷用对称差值、反比对称、韦达不变量、换元四大手法全新命制 16 题，建议先限时完成学生版，再逐题对照解析复盘。 方法导航 对称差值法　判断 与 的大小，构造 ： 说明右侧同距离处函数值更大，等值点被“推”向更远，据此定出偏移方向； 的单调性由求导证实。 反比对称法　判断 与定值 ，构造 ，证明 在 与 上异号且 ，再借极值点两侧的单调性把 与 比大小。 韦达不变量法　三次方程 的根之和 、根之对称式 、 都与参数无关；利用“不变量”可秒判与参数无关的结论。 换元法　含 、、 的等值问题，先换元化成标准形式再讨论；换元后注意新变量的范围与原变量的对应关系。 单调夹逼收尾法　偏移证明的收尾动作固定：在极值点某一侧的单调区间上，由“函数值相等或更大”反推“自变量更大或更小”，一气呵成完成证明。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知函数 ，若 且 ，则 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：易） 【解析】二次函数的图象关于直线 对称，函数值相等的两点必关于对称轴对称，故 。 代数验证：设 ，则 ，即 ，而 ，故 。故选 B。 【方法点睛】二次函数“等值点对称”是偏移问题的零点基准：二次不偏移（和恰为 ），三次及超越函数才会偏移。本题的因式分解 也是高次等值问题的常用变形。 2．已知函数 ，若 且 （），则 与 的大小关系是 A． B． C． D．随 变化，无法确定 【答案】C　（难度：中档） 【解析】， 在 上递减、在 上递增，极小值 ，故等值点满足 。 构造 （）：，，故 ，即当 时 。 于是 。若 ，由 在 上递减得 ，矛盾；故 ，即 。故选 C。 【方法点睛】 的等值点偏移方向是“左远右近”：，即 。证明的引擎是不等式 （），它由 求导（）得到，建议熟记。 3．已知函数 ，若 且 （），则 与 的大小关系是 A． B． C． D．随 变化，无法确定 【答案】A　（难度：中档） 【解析】， 在 上递减、在 上递增，极小值点 ，故 。 构造 （）：，，故 ，即 。 设 ，。若 ，则 ，与 矛盾；故 ，即 。故选 A。 【方法点睛】对数型载体 的偏移方向是“左近右远”：。对称差值 的判号依赖 （）这一常用不等式。 4．已知函数 ，若 且 （），则 与 的大小关系是 A． B． C． D．随 变化，无法确定 【答案】C　（难度：中档） 【解析】， 在 上递减、在 上递增，极小值点 ，故 。 构造 （）：由第 2 题的引擎不等式 ，得 ，即 。 设 ，。若 ，则 ，矛盾；故 ，即 。故选 C。 【方法点睛】 是 的平移伸缩版，偏移方向仍为“左远右近”：。指数型载体与对数型载体方向相反，对照第 3 题记忆。 5．已知函数 ，若 且 （），则 与 的大小关系是 A． B． C． D．随 变化，无法确定 【答案】A　（难度：中档） 【解析】， 在 上递减、在 上递增，极小值点 ，故 。 构造 （）：，，故 ，即 ，也即 。 于是 （）。设 ，，同第 3 题的夹逼逻辑得 ，即 。故选 A。 【方法点睛】幂与对数混合的载体 偏移方向仍由对称差值判号决定；这里 的完全有理化形式是计算亮点。对数项“占上风”时偏移方向与纯对数载体一致。 6．已知函数 （），若 且 （），则 与 的大小关系是 A． B． C．随 变化，无法确定 D． 【答案】D　（难度：中档偏难） 【解析】， 在 上递减、在 上递增，极小值 ，故 。 构造 （）：，，故 。于是 即 。设 ，，同前得 ，即 。故选 D。 【方法点睛】比商载体 的对称差值化简后分子是 ，其导数 一步判负。分式载体的差值通分后“分子定号、分母恒正”是标准动作。 7．已知函数 的两个不同零点为 ，（），则 与 的大小关系是 A． B． C． D．随零点位置变化，无法确定 【答案】C　（难度：中档偏难） 【解析】， 在 上递增、在 上递减，极大值 ，且 ，当 趋于 时 趋于 ，故两零点满足 。 构造 ，则 ，（仅 处为零），故 在 上单调递减。 由 得 ，即 ，也就是 ；而 ，，两者同在递减区间上，故 ，即 。故选 C。 【方法点睛】积型偏移的标配是反比对称： 在 处归零、单调递减（或递增），再把 、 分别放到 两侧，用单调性夹出 。本题 ， 恰为极大值点。 8．若关于 的方程 （）的三个实数根分别为 ，，，则 A． B． C． D． 【答案】A　（难度：中档） 【解析】方程即 ，缺二次项，故三根之和 。 由韦达定理， 等于一次项系数，即 ，与 无关。 背景核对： 的极大值 、极小值 ， 时确有三个实根，前提成立。故选 A。 【方法点睛】三次方程根的对称式（根和、两两积、根积）只由方程系数决定，与参数 的具体取值无关——“不变量”视角下， 只是保证三根存在的背景条件。 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．已知函数 ，则下列结论正确的是 A． 的极小值为 B．若 且 （），则 C． 在 上单调递增 D．对任意实数 ， 【答案】ABD　（难度：中档） 【解析】， 处导数由负变正，极小值 ，A 正确。 由第 2 题的完整论证（引擎不等式 ），等值点满足 ，即 ，B 正确。 在 上递减、 上递增，并非在 上单调递增，C 错误。 由 A，最小值为 ，故对任意实数 有 ，D 正确。故选 ABD。 选项 A．极小值 ，正确。 选项 B．偏移方向左远右近，，正确。 选项 C．在 上递减，错误。 选项 D．最小值 ，恒成立，正确。 【方法点睛】 是“极小值为正”的基准载体：无零点、有唯一极小值、等值点左远右近。三个特征（极值、偏移、最值）可互相推导，多选题常把它们混编。 10．已知函数 ，则下列结论正确的是 A． 的极大值为 B． 的极小值为 C．方程 恰有三个实数根 D． 的图象关于点 对称 【答案】ABD　（难度：中档偏难） 【解析】， 处导数由正变负，极大值 ，A 正确； 处导数由负变正，极小值 ，B 正确。 方程 ：，因式分解得 ，只有两个不同实数根 （二重）与 ，C 错误。 令 ，则 ，其非常数部分 为奇函数，故图象关于点 对称，D 正确。故选 ABD。 选项 A． 处导数由正变负，极大值 ，正确。 选项 B． 处导数由负变正，极小值 ，正确。 选项 C． 只有两个不同实根，错误。 选项 D．平移后非常数部分为奇函数，对称中心 ，正确。 【方法点睛】三次函数必有对称中心（拐点）， 的对称中心 恰在两极值点正中间；正因对称性完美，三次载体的“偏移”问题常转化为根的对称式计算（如第 8 题）。 11．已知函数 （），则下列结论正确的是 A． 的极小值为 B．若 且 （），则 C．对任意 ， D．对任意 ， 【答案】ABC　（难度：较难） 【解析】， 处由负变正，极小值 ，A 正确。 由第 6 题的论证（对称差值分子 ），等值点满足 ，B 正确。 在 上单调递减，故 （极限意义），即对任意 有 ，C 正确。 等价于 ，即 ；取 ：，不成立，D 错误。故选 ABC。 选项 A．极小值 ，正确。 选项 B．偏移方向左近右远，，正确。 选项 C． 上递减且 ，恒有 ，正确。 选项 D． 时 ，不等式不成立，错误。 【方法点睛】比商载体 集中了“极值、偏移、比大小”三种考法；D 选项提醒：指数与幂的比大小不能凭直觉，代特殊值（如 ）即可快速证伪。 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．已知函数 有两个不同零点 ，（），则 与 的大小关系是________（填 、 或 ）。 【答案】　（难度：较难） 【解析】，令 得 ； 在 上递增、在 上递减，极大值 。又 ，，故两零点满足 。 构造 ，则 ，，故 在 上单调递减。 由 得 ，即 ，也就是 ；而 ，，两者同在递减区间 上，故 ，即 。故填 。 【方法点睛】积型偏移定值取 时反比对称最简洁：，对称中心 恰为极大值点， 的完全平方结构保证单调。证明时盯紧两句： 在 处归零、单调定号，剩下的夹逼与和型偏移完全同构。 13．已知函数 ，若 且 ，则 的取值范围是________。 【答案】　（难度：较难） 【解析】定义域 ，，令 得 ； 在 上递减、在 上递增，极小值 。等值的两点必满足 。 构造 ，则 ，（），故 在 上单调递增。 由 得 ，即 ，也就是 ；而 ，， 在 上递增，故 ，即 ；又 ，故 。故填 。 【方法点睛】幂与对数混合载体 的等值点积恒小于 （本题 的特例）： 的分子是完全平方，方向恒定。与第 12 题对照：对数占主导时积偏小，二次项占主导时结论同向，反比对称一律适用。 14．已知函数 ，若存在 （）使得 ，则 的取值范围是________。 【答案】　（难度：中档偏难） 【解析】设 （），则 ，在 （即 ）处取得极小值 ，且 在 上递减、在 上递增， 趋于 时 趋于 。 设 ，。由 得 ，即 ；而 ，故 。 由 得 ；于是 。 两不同等值点要求 ，不妨 ，则 ，即 ；故 。故填 。 【方法点睛】含 的等值问题先换元： 把载体化成关于 的二次型，等值条件直接因式分解出 （新变量的“对称和”），再回头用韦达把 表成 的函数。换元法与韦达不变量法在此合流：和在新变量下不变，积用参数表示。 四、解答题（本大题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知函数 。(1) 求 的极小值；(2) 若关于 的方程 有两个不同的实数根 ，（），证明：。 【答案】(1) 极小值为 ；(2) 证明见解析　（难度：中档偏难） 【解析】(1) 定义域 ，，令 得 ； 在 上递减、在 上递增，故极小值 。 (2) 极小值 ，且 趋于 时 趋于 、 趋于 时 趋于 ，故两实根满足 。 构造对称差值 ，。 ，故 在 上单调递减，。 取 ，则 ，即 。又 ， 与 同在递减区间 上，由 得 ，即 ，得证。 【方法点睛】本题是对称差值法的完整示范：以极值点 为对称中心， 的导数化成 的负定结构，一步定出“右移同距函数值更小”；收尾时把 的函数值与对称点 的函数值比较，再借左侧区间的单调性夹出 。全流程“构造—求导—判号—夹逼”四步固定，可直接迁移到其他 型载体。 16．已知函数 （ 为实数）。(1) 若 在 处取得极小值，求 的值与该极小值；(2) 在(1)的条件下，若 且 ，证明：。 【答案】(1) ，极小值为 ；(2) 证明见解析　（难度：较难） 【解析】(1) 定义域 ，。 在 处取得极小值，须 ，即 。此时 ： 在 上递减、在 上递增，极小值 。 (2) 由(1)知 ，等值的两点满足 。构造 ，则 。 ，且仅当 时 ，故 在 上单调递增。 由 得 ，即 ，也就是 ；而 ，， 在 上递增，故 ，即 ，得证。 【方法点睛】 型等值点满足 （本题 ）：反比对称函数 的导数分子 恒非负， 严格递增、在 处归零，这是幂占主导载体“积偏小”的通性。与第 13 题合并记忆： 积型偏移的结论与证法完全平行，只是定值随参数 变化。 专题结语 极值点偏移的本质是比较等值点偏离极值点的距离：对数型载体偏向“左近右远”（），指数型载体常反向。复盘时优先重温第 4、7、12、14、16 题，体会对称差值与反比对称两条主线的完整流程。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027 届高三数学一轮复习培优专题 06　极值点偏移问题 （学生版） 满分 100 分　·　建议用时 90 分钟　·　适用：2026—2027 学年高三一轮复习（中档题及以上） 本卷共 16 题（8 单选、3 多选、3 填空、2 解答），围绕极值点偏移全新命制，均为中档题及以上，建议 90 分钟限时独立完成。完成后对照《详细解析版》逐题复盘，重点体会“构造对称差值—判号—单调夹逼”的完整链条。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知函数 ，若 且 ，则 A． B． C． D． 2．已知函数 ，若 且 （），则 与 的大小关系是 A． B． C． D．随 变化，无法确定 3．已知函数 ，若 且 （），则 与 的大小关系是 A． B． C． D．随 变化，无法确定 4．已知函数 ，若 且 （），则 与 的大小关系是 A． B． C． D．随 变化，无法确定 5．已知函数 ，若 且 （），则 与 的大小关系是 A． B． C． D．随 变化，无法确定 6．已知函数 （），若 且 （），则 与 的大小关系是 A． B． C．随 变化，无法确定 D． 7．已知函数 的两个不同零点为 ，（），则 与 的大小关系是 A． B． C． D．随零点位置变化，无法确定 8．若关于 的方程 （）的三个实数根分别为 ，，，则 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．已知函数 ，则下列结论正确的是 A． 的极小值为 B．若 且 （），则 C． 在 上单调递增 D．对任意实数 ， 10．已知函数 ，则下列结论正确的是 A． 的极大值为 B． 的极小值为 C．方程 恰有三个实数根 D． 的图象关于点 对称 11．已知函数 （），则下列结论正确的是 A． 的极小值为 B．若 且 （），则 C．对任意 ， D．对任意 ， 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．已知函数 有两个不同零点 ，（），则 与 的大小关系是________（填 、 或 ）。 13．已知函数 ，若 且 ，则 的取值范围是________。 14．已知函数 ，若存在 （）使得 ，则 的取值范围是________。 四、解答题（本大题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知函数 。(1) 求 的极小值；(2) 若关于 的方程 有两个不同的实数根 ，（），证明：。 16．已知函数 （ 为实数）。(1) 若 在 处取得极小值，求 的值与该极小值；(2) 在(1)的条件下，若 且 ，证明：。 1 学科网（北京）股份有限公司 $