5.1 认识方程 课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

第五章 一元一次方程 5.1 认识方程 第1课时 认识方程 2026-2027学年北师大版数学七年级上学期 授课教师： 班级： 本章是初中代数学习的第一个方程模型。本节课认识方程、一元一次方程和方程的解。 学习目标 数学 七年级上学期 BS版 02 【学习目标】 1. 能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义； 2. 通过探究，归纳方程和一元一次方程的有关概念，理解方程的解和解方程的概念； 3. 感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，发展模型观念。 【学习重点】 ① 方程的概念； ② 一元一次方程的概念； ③ 方程的解的概念。 【学习难点】 ① 从实际问题中寻找等量关系； ② 用含未知数的代数式表示各个量 （建模的过程）； ③ 理解“一元”“一次”的含义。 明确本节课的三维目标与重难点，重点落在三个概念，难点落在找等量关系列方程。 情境引入 数学 七年级上学期 BS版 03 【天平与等式】 天平平衡时，左盘质量 = 右盘质量。 若左盘放一个质量未知的物体和 5 g 砝码， 右盘放 20 g 砝码，天平恰好平衡。 设物体的质量为 x g，则有： x ＋ 5 ＝ 20 【猜年龄游戏】 老师说：“把我的年龄乘 2 再减 5， 结果是 37。” 你知道老师今年多少岁吗？ 设老师的年龄为 x 岁， 那么“乘 2 再减 5”就是 2x－5， 于是得到： 2x － 5 ＝ 37 像 x＋5＝20、2x－5＝37 这样， 含有未知数的等式，就是方程。 用天平直观体会“相等”，再用猜年龄游戏引出含未知数的等式，点出课题。 探究一 从实际问题到方程 数学 七年级上学期 BS版 04 在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了 45 张门票，学生票每张 10 元， 成人票每张 15 元，总票款 475 元。学生和老师各有多少人？ （1）这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ 涉及的量 等量关系 学生人数、老师人数 学生人数 ＋ 老师人数 ＝ 45 学生票款、成人票款 学生票款 ＋ 成人票款 ＝ 475 （2）如果设学生人数为 x，那么老师人数为 45－x， 总票款可以用含 x 的代数式表示为：10x ＋ 15(45－x)。 分析购票问题中的量，找出两组等量关系，为列式做准备。 探究一 从实际问题到方程 数学 七年级上学期 BS版 05 （3）你能得到怎样的表示量相等的式子？ 总票款可以用两种方式表示，它们表示的量相等： 学生票款 ＋ 成人票款 ＝ 总票款 即： 10x ＋ 15(45－x) ＝ 475 【议一议】 ① 式子 10x＋15(45－x)＝475 中，等号的左边和右边分别表示什么量？ 左边表示“学生票款＋成人票款”，右边表示“总票款”，它们表示同一个量。 ② 它与代数式 10x＋15(45－x) 有什么区别？ 代数式不含等号；这个式子有等号，且含有未知数 x。 突出“用两个不同的代数式表示同一个量”这一方程的本质。 探究一 从实际问题到方程 数学 七年级上学期 BS版 06 某长方形操场的面积是 5850 m²，长比宽多 25 m。这个操场的长与宽各是多少米？ （1）涉及哪些量？有怎样的等量关系？ 涉及的量：操场的长、宽、面积。 等量关系：长 ＝ 宽 ＋ 25 m， 长 × 宽 ＝ 面积。 （2）设宽为 x m，长怎样表示？面积又怎样表示？ x m (x＋25) m 宽为 x m，则长为 (x＋25) m； 面积可以表示为：x(x＋25)； 于是得到： x(x＋25) ＝ 5850 由长方形面积公式得方程 x(x＋25)＝5850，注意这个方程较复杂，暂不求解。 探究一 从实际问题到方程 数学 七年级上学期 BS版 07 甲、乙两地相距 22 km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多走 1 km， 因此提前 12 min 到达乙地。张叔叔原计划每小时走多少千米？ （1）设原计划每小时走 x km，用含 x 的式子表示表中的量： 【原计划】 速度：x km/h 时间 ＝ 路程 ÷ 速度 ＝ 22 ÷ x (h) 【实际】 速度：(x＋1) km/h 时间 ＝ 路程 ÷ 速度 ＝ 22 ÷ (x＋1) (h) （2）等量关系：原计划所用时间 － 实际所用时间 ＝ 12 min ＝ 0.2 h，于是得到： 22 x － 22 x＋1 ＝ 0.2 行程问题用表格梳理量，得到方程。此方程分母含未知数，较复杂，只列不解。 探究一 归纳概念 数学 七年级上学期 BS版 08 上面得到的三个式子： 10x＋15(45－x)＝475 x(x＋25)＝5850 22÷x － 22÷(x＋1)＝0.2 它们有什么共同特点？ 【共同特点】 ① 都是等式（都有等号）； ② 都含有未知数； ③ 等号两边的代数式表示的量相等。 【方程的定义】 含有未知数的表示量相等的等式 叫做方程。 关键词：① 是等式；② 含有未知数。 我国古代称未知数为“元”，只含有一个未知数的方程叫一元方程，一元方程的解也叫根。 由三个具体式子归纳出方程的定义，强调“等式”与“含未知数”两个条件。 辨一辨：哪些是方程？ 数学 七年级上学期 BS版 09 下列各式中，哪些是方程？ 序号 式子 含有未知数 是等式 是否为方程 ① 3x ＋ 5 有 不是 不是 ② x － 2 ＝ 6 有 是 是 ③ 2 ＋ 3 ＝ 5 没有 是 不是 ④ 5x ＞ 3 有 不是（不等式） 不是 ⑤ x÷2 ＋ 1 ＝ 4 有 是 是 ⑥ 3x ＋ 2y ＝ 8 有 是 是 判断一个式子是不是方程，要同时看两点： ① 是不是等式；② 是不是含有未知数。两者缺一不可。 通过正反例辨析方程的两个条件，特别强调“不含未知数的等式不是方程”。 探究二 认识一元一次方程 数学 七年级上学期 BS版 10 观察下面两组方程，它们有什么不同？ 【第一组】 2x － 5 ＝ 37 10x ＋ 15(45－x) ＝ 475 2x ＋ 3 ＝ 7x ＋ 4 【第二组】 x(x＋25) ＝ 5850 22÷x － 22÷(x＋1) ＝ 0.2 比较项目 第一组 第二组 未知数的个数 1 个 1 个 未知数的次数 都是 1 次 左边含 x·x，是 2 次；分母含 x 两边是否为整式 都是整式 x(x＋25) 是整式；22÷x 不是整式 通过对比，发现第一组“只含一个未知数、次数为1、两边都是整式”，为归纳一元一次方程做准备。 探究二 一元一次方程的概念 数学 七年级上学期 BS版 11 在一个方程中，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式， 未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程必须同时满足三个条件： ① 一元 只含有一个未知数 ② 一次 未知数的次数都是 1 ③ 整式 方程两边的代数式 都是整式 一元一次方程的标准形式： ax ＋ b ＝ 0 （a、b 是常数，且 a ≠ 0） 从三个条件理解一元一次方程，并给出标准形式 ax＋b＝0（a≠0）。 探究二 判断要点 数学 七年级上学期 BS版 12 【判断一元一次方程的方法】 ① “一元”指只含一个未知数；“一次”指未知数的次数都是 1。 ② 先看原方程：是否含有未知数、两边是否都是整式； 再看化简后：未知数的次数是否为 1、未知数的系数是否不为 0。 ③ 分母中含有未知数的方程不是整式方程，所以不是一元一次方程。 ④ 若方程中未知数出现在分母里，或出现平方项（如 x²）， 或含两个未知数（如 x＋y＝3），都不是一元一次方程。 梳理判断一元一次方程的要点，为下面的例题和练习做铺垫。 例1 判断一元一次方程 数学 七年级上学期 BS版 13 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. x² ＋ 2x ＝ 6 B. 2x － 5 ＝ 1 C. x ＋ y ＝ 8 D. 3÷x ＝ 7 【分析】 A：未知数 x 的最高次数是 2，不是一次； C：含有 x、y 两个未知数，不是一元； D：未知数在分母中，不是整式方程； B：只含一个未知数 x，次数是 1，两边都是整式，符合条件。 答案：选 B。 2x－5＝1 只含一个未知数，未知数次数为 1，两边都是整式，是一元一次方程。 例 1 用“三个条件”逐一排除，规范判断过程。 即时练习（一） 数学 七年级上学期 BS版 14 【填空与选择】 1. 下列各式中，是方程的是（ ） A. 3＋4＝7 B. 2x－1 C. 5x＋2＝9 D. x－1＞0 2. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. x²＝4 B. 3x－2y＝1 C. 2x＋5＝1 D. 1÷x＝3 3. 若关于 x 的方程 (m－2)x|m|－1 ＋ 6 ＝ 0 是一元一次方程，则 m ＝ ______。 答案：1. C 2. C 3. m＝－2 即时练习巩固方程、一元一次方程的概念。第3题由 |m|－1＝1 得 m＝±2，又 m－2≠0，故 m＝－2。 例2 含字母系数问题 数学 七年级上学期 BS版 15 【例题】 （1）若关于 x 的方程 3xn－2 ＋ 7 ＝ 0 是一元一次方程，则 n ＝ ______； （2）若关于 x 的方程 2x|n|－1 － 9 ＝ 0 是一元一次方程，则 n ＝ ______； （3）若关于 x 的方程 (m－3)x|m|－2 ＋ 6 ＝ 0 是一元一次方程，则 m ＝ ______。 答案：（1）n－2＝1，得 n＝3； （2）|n|－1＝1，|n|＝2，得 n＝±2； （3）|m|－2＝1，|m|＝3，得 m＝±3；又 m－3≠0，故 m＝－3。 含参问题抓住“次数为1”和“未知数系数不为0”两个条件，注意舍去使系数为0的值。 即时练习（二） 数学 七年级上学期 BS版 16 【巩固练习】 1. 若关于 x 的方程 (k－1)x|k| ＋ 3 ＝ 0 是一元一次方程，则 k ＝ ______。 2. 若关于 x 的方程 (a－2)x² ＋ 3x ＋ 5 ＝ 0 是一元一次方程，则 a ＝ ______。 3. 下列方程中，一元一次方程的个数是（ ） ① x²－1＝0 ② 2x＋3＝5 ③ x＋y＝1 ④ x÷3＝2 ⑤ 1÷x＝4 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 答案：1. k＝－1（|k|＝1 且 k－1≠0） 2. a＝2 3. B（②④ 是一元一次方程） 进一步巩固含参问题与一元一次方程的判断。 探究三 方程的解 数学 七年级上学期 BS版 17 你能求出满足方程 10x＋15(45－x)＝475 的未知数 x 的值吗？ 【试一试：把 x 的值代入方程左右两边】 当 x＝40 时：左边 ＝ 10×40＋15×(45－40) ＝ 400＋75 ＝ 475，右边 ＝ 475，左边 ＝ 右边。 当 x＝30 时：左边 ＝ 10×30＋15×(45－30) ＝ 300＋225 ＝ 525 ≠ 475，左边 ≠ 右边。 【方程的解】 使方程左、右两边的值相等 的未知数的值，叫做方程的解。 【解方程】 求方程的解的过程叫做解方程。 一元方程的解也叫做根。 通过代入尝试引出方程的解，区分“方程的解”（数）与“解方程”（过程）。 例3 检验方程的解 数学 七年级上学期 BS版 18 检验下列各数是不是相应方程的解： （1）x ＝ －2 是不是方程 3x ＋ 5 ＝ －1 的解？ （2）x ＝ 3 是不是方程 2x － 1 ＝ 4 的解？ 【（1）】 把 x ＝ －2 代入方程 3x ＋ 5 ＝ －1， 左边 ＝ 3×(－2) ＋ 5 ＝ －1， 右边 ＝ －1， 左边 ＝ 右边， 所以 x ＝ －2 是方程的解。 【（2）】 把 x ＝ 3 代入方程 2x － 1 ＝ 4， 左边 ＝ 2×3 － 1 ＝ 5， 右边 ＝ 4， 左边 ≠ 右边， 所以 x ＝ 3 不是方程的解。 检验方法：把数值分别代入方程的左边和右边计算，再看两边是否相等。 规范检验方程的解的书写格式：代入——计算两边——比较——下结论。 即时练习（三） 数学 七年级上学期 BS版 19 【练习】 1. 下列方程中，解为 x＝3 的是（ ） A. 2x－1＝5 B. x＋2＝4 C. 3x＝6 D. 4x－1＝2x＋3 2. 若 x＝2 是方程 ax＋3＝7 的解，则 a ＝ ______。 3. 下列说法正确的是（ ） A. x＝1 是方程 2x－1＝0 的解 B. x＝2 是方程 x＋1＝5 的解 C. x＝0 是方程 5x＝0 的解 D. x＝－1 是方程 x－1＝0 的解 答案：1. A 2. a＝2 3. C 练习方程的解的判断与含解求字母。 例4 根据题意列方程 数学 七年级上学期 BS版 20 【例4（1）】 小颖种了一株树苗，开始时树苗高 40 cm，栽种后每周长高约 5 cm。 大约几周后树苗长高到 1 m？ 解：1 m ＝ 100 cm。设 x 周后树苗长高到 1 m， 等量关系：开始时的高度 ＋ 长高的高度 ＝ 100， 列方程：40 ＋ 5x ＝ 100。 【例4（2）】 一份试卷共 25 道题，答对一题得 4 分，答错一题扣 1 分。某同学共得 85 分。 设他答对 x 道题。 解：答对 x 道，则答错 (25－x) 道， 等量关系：答对得分 － 答错扣分 ＝ 总分， 列方程：4x － (25－x) ＝ 85。 示范列方程的两个步骤：找等量关系、用代数式表示各量并列出等式。 课堂练习（A 组） 数学 七年级上学期 BS版 21 【选择题】 1. 下列各式中，是方程的是（ ） A. 3x－2 B. 5＋3＝8 C. 2x＋1＝7 D. x－1＞2 2. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. x²＋1＝0 B. x＋y＝3 C. 2x－5＝0 D. 1÷x＝2 3. 若 x＝5 是方程 2x＋a＝17 的解，则 a 的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 4. 下列方程中，解为 x＝－2 的是（ ） A. 3x－2＝2x B. 4x－1＝2x＋3 C. 3x＋1＝2x－1 D. 5x－3＝6x－2 答案：1. C 2. C 3. B 4. C A 组为基础选择，覆盖方程、一元一次方程、方程的解三个知识点。 课堂练习（B 组） 数学 七年级上学期 BS版 22 【填空题】 1. 方程 5x－3＝2 的解是 x ＝ ______。 2. 若关于 x 的方程 2xm－1 ＋ 3 ＝ 0 是一元一次方程，则 m ＝ ______。 3. 若 (a－1)x ＋ 5 ＝ 0 是关于 x 的一元一次方程，则 a 应满足的条件是 ______。 4. 某数的 2 倍减去 3 等于 7，设这个数为 x，则可列方程 ______。 答案：1. x＝1 2. m＝2 3. a≠1 4. 2x－3＝7 B 组为填空，巩固方程的解、一元一次方程的条件及列方程。 课堂练习（C 组） 数学 七年级上学期 BS版 23 【解答题 1】 判断下列各式是不是方程？是不是一元一次方程？ ① 3x＋1＝4 ② x²－1＝0 ③ 2＋5＝7 ④ 2x＋3y＝6 ⑤ 1÷x＝2 解：是方程的有 ①②④⑤（③不含未知数，不是方程）； 是一元一次方程的只有 ①（②次数为2，④含两个未知数，⑤不是整式）。 【解答题 2】 检验 x＝－1 是不是方程 2x＋5＝3 的解。 解：把 x＝－1 代入，左边＝2×(－1)＋5＝3，右边＝3，左边＝右边，所以 x＝－1 是方程的解。 【解答题 3】 甲、乙两班共 90 人，甲班人数比乙班人数的 2 倍少 9 人。设乙班有 x 人，列方程。 解：乙班 x 人，则甲班 (2x－9) 人，列方程：2x－9＋x＝90。 C 组为解答题，训练概念辨析、检验方程的解、列方程三项能力。 易错辨析 数学 七年级上学期 BS版 24 易错点 错 解 正 解 与 辨 析 ① 概念不清 2x＋1 是方程 2x＋1 没有等号，是代数式不是方程 ② 漏看条件 3＋5＝8 是方程 3＋5＝8 不含未知数，不是方程 ③ 判断片面 只看是否含未知数 还要看是否等式、是否为整式、次数是否为1 ④ 混淆整式 1÷x＝2 是一元一次方程 分母含未知数，不是整式方程，故不是 ⑤ 概念混淆 “方程的解”就是“解方程” 方程的解是“数”，解方程是“过程” 集中辨析五个高频易错点，帮助学生建立准确的判断标准。 课堂小结 数学 七年级上学期 BS版 25 【知识网络】 5.1 认识方程 ├── 方程：含有未知数的表示量相等的等式（两个条件：等式 ＋ 含未知数） ├── 一元一次方程：一个未知数、次数为 1、两边都是整式 │ 标准形式：ax＋b＝0（a、b 为常数，a≠0） └── 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值；求方程解的过程叫解方程 【思想方法】 实际问题 ——→ 找等量关系 ——→ 设未知数 ——→ 列方程 体会：方程是刻画现实世界数量关系的有效模型（模型观念）。 用知识网络梳理三个概念，用建模流程总结思想方法。 分层作业 数学 七年级上学期 BS版 26 【必做】 1. 完成教材本课时随堂练习； 2. 教材习题 5.1 第 1、2 题。 【选做】 某长方形的周长是 40 cm，长比宽多 4 cm。设宽为 x cm，列出求宽的方程。 （列方程即可，不必求解） 【实践】 找一找生活中可以用方程表示的一个等量关系，用字母表示未知数， 写出相应的方程，下节课与同学交流。 分层布置作业，必做打基础，选做练列方程，实践体会建模。 谢谢观看 认识方程是一元一次方程的起始课，下一节我们学习等式的基本性质。 结束页，预告下一节等式的基本性质。 $