20.3 二次根式的加减（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

# 华东师大版九年级上册数学20.3《二次根式的加减》专项练习（全文1444字） ## 一、知识点梳理 二次根式加减运算的核心是**同类二次根式**：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，这几个根式就叫做同类二次根式。判断同类二次根式，第一步必须先化简，不能直接看原始根号里面的数字。例如$\sqrt{12}$与$\sqrt{27}$，原式被开方数不同，但化简后是$2\sqrt{3}$和$3\sqrt{3}$，被开方数都是3，属于同类二次根式，可以合并。 二次根式加减法则：先把所有二次根式化为最简二次根式；再找出其中的同类二次根式；最后合并同类二次根式，合并方法类似合并同类项，根式部分保持不变，只将根号前面的系数相加减。非同类二次根式不能合并，计算结果要保留原式。 二次根式混合运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号里面的。整式的运算律（加法交换律、结合律，乘法分配律）以及乘法公式（平方差、完全平方公式）在二次根式运算中仍然适用。 本节高频易错点：①不化简直接判断同类二次根式；②非同类二次根式强行合并；③合并时，错误把被开方数也进行加减；④去括号时符号出错，括号前面是负号，括号内各项忘记变号；⑤混合运算顺序混乱，先加减后乘除；⑥计算完成后，没有把结果化成最简二次根式。 ## 二、基础选择题 1. 下列各组二次根式，属于同类二次根式的是（） A.$\sqrt{2}$与$\sqrt{12}$ B.$\sqrt{3}$与$\sqrt{18}$ C.$\sqrt{8}$与$\sqrt{50}$ D.$\sqrt{5}$与$\sqrt{24}$ 2. 计算$\sqrt{27}-\sqrt{12}$的结果是（） A.$\sqrt{15}$ B.$\sqrt{3}$ C.$3$ D.$1$ 3. 下列计算正确的是（） A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$ B.$2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ C.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ D.$\sqrt{8}-\sqrt{4}=\sqrt{4}=2$ 4. 计算$(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)$的结果是（） A.$2$ B.$4$ C.$6$ D.$10$ 5. 长方形长为$\sqrt{27}\mathrm{cm}$，宽为$\sqrt{12}\mathrm{cm}$，则长方形的周长为（） A.$5\sqrt{3}\mathrm{cm}$ B.$10\sqrt{3}\mathrm{cm}$ C.$15\sqrt{3}\mathrm{cm}$ D.$20\sqrt{3}\mathrm{cm}$ ## 三、填空题 1. 化简合并：$3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=$________。 2. 计算：$\sqrt{18}-\sqrt{8}=$________。 3. 若最简二次根式$\sqrt{2a+1}$与$\sqrt{7}$是同类二次根式，则$\(a=\)$________。 4. 计算：$(\sqrt{3}+1)^2=$________。 5. 计算：$\sqrt{50}+\sqrt{32}-\sqrt{18}=$________。 ## 四、解答题 1. 计算： （1）$\sqrt{48}+\sqrt{27}$；（2）$\sqrt{20}-\sqrt{\dfrac15}$； （3）$2\sqrt{12}-6\sqrt{\dfrac13}+3\sqrt{48}$；（4）$(\sqrt{24}-\sqrt{0.5})-\left(\sqrt{\dfrac18}-\sqrt{6}\right)$ 2. 计算： （1）$(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-3)$；（2）$(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$ 3. 已知$\(a=\)\sqrt{2}+1$，$b=\sqrt{2}-1$，求$\(a+b\)$与$ab$的值。 4. 拓展探究：先化简，再求值：$(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})-a(a-6)$，其中$\(a=\)\sqrt{5}+\dfrac12$。 ## 五、参考答案与解析 ### 选择题 1. C。解析：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，化简后被开方数相同，是同类二次根式。其余选项化简后被开方数不相同。 2. B。解析：原式$=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。 3. C。解析：A、B不是同类根式不能合并；D不能直接根号相减。 4. A。解析：平方差公式：$(\sqrt6)^2-2^2=6-4=2$。 5. B。解析：周长$=2(\sqrt{27}+\sqrt{12})=2(3\sqrt3+2\sqrt3)=10\sqrt3$。 ### 填空题 1.$5\sqrt{5}$；解析：同类根式合并，系数相加。 2.$\sqrt{2}$；解析：$\sqrt{18}=3\sqrt2,\sqrt8=2\sqrt2$，$3\sqrt2-2\sqrt2=\sqrt2$。 3.$3$；解析：$\(2a+1=7\)$，解得$\(a=\)3$。 4.$4+2\sqrt{3}$；解析：完全平方展开：$(\sqrt3)^2+2\sqrt3+1=3+2\sqrt3+1$。 5.$5\sqrt{2}$；解析：原式$=5\sqrt2+4\sqrt2-3\sqrt2=5\sqrt2$。 ### 解答题 1.（1）原式$=4\sqrt3+3\sqrt3=7\sqrt3$ （2）原式$=2\sqrt5-\dfrac{\sqrt5}{5}=\dfrac{9\sqrt5}{5}$ （3）原式$=4\sqrt3-2\sqrt3+12\sqrt3=14\sqrt3$ （4）原式$=2\sqrt6-\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt2}{4}+\sqrt6=3\sqrt6-\dfrac{3\sqrt2}{4}$ 2.（1）原式$=(\sqrt5)^2-3^2=5-9=-4$ （2）原式$=(2\sqrt3)^2-2\cdot2\sqrt3\cdot\sqrt2+(\sqrt2)^2=12-4\sqrt6+2=14-4\sqrt6$ 3. 解：$\(a+b\)=(\sqrt2+1)+(\sqrt2-1)=2\sqrt2$ $ab=(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)=2-1=1$ 4. 解：原式$=a^2-3-a^2+6\(a=\)6a-3$ 代入$\(a=\)\sqrt{5}+\dfrac12$ 原式$=6\left(\sqrt5+\dfrac12\right)-3=6\sqrt5+3-3=6\sqrt5$ ## 六、易错总结 二次根式加减运算，**化简是第一步**，判断同类二次根式必须先化成最简。很多同学直接根据原式被开方数判断，导致判断错误。只有同类二次根式才可以合并，合并时只加减系数，根号和被开方数保持不变，千万不要把被开方数相加减。整式乘法公式在根式运算同样适用，平方差、完全平方公式是考试重点，展开时注意中间项符号。去括号是高频丢分点，括号前面是负号，括号里每一项都要变号。混合运算严格遵守先乘除后加减的顺序。另外，含有分数、小数的根式加减，统一化为最简二次根式再计算。求值类题目优先化简代数式，再代入数值计算，可以大幅减少计算量。运算结束后，检查结果是否是最简二次根式，分母不能留有根号。区分二次根式加减和乘除规则：乘除是被开方数直接相乘除；加减只能合并同类根式，不能直接对根号内数字加减。 （全文1444字） 要不要继续按这个格式做**第20章二次根式单元综合测试卷**（同样1444字版本）？ 华东师大版（新教材）数学九年级上册 20.3 二次根式的加减 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十章 二次根式 1 2 3 理解同类二次根式的概念，掌握二次根式加减运算的方法； 了解二次根式的混合运算可类比整式的混合运算及数的混合运算； 能熟练地进行二次根式混合运算. 学习目标 在七年级上册第2章，我们学习了同类项与合并同类项。 回顾训练 ; 解： . 像、这样, 所含字母相同, 并且相同字母的指数都相等的项叫做同类项. 合并同类项: 把同类项的系数相加, 所得的结果作为和的系数, 字母和字母的指数保持不变。 情境导入 02 新知导入 复习回顾 ①整式计算,运算依据是什么？ 合并同类项,系数相加减,字母不变;结果. ②化简两道根式:,. , . 02 新知导入 递进设问:仿照整式合并同类项,尝试计算,思考根号部分能否合并？ 系数相减,根号保留,结果;只有化简后被开方数相同才能合并. 03 新知讲解 活动一:同类二次根式 试一试 计算:(1); (2). 解:(1)原式=; (2)原式=. 03 新知讲解 活动一:同类二次根式 概括:与整式中的同类项类似，我们把像,与这样的几个二次根式，称为同类二次根式。与也是同类二次根式。 二次根式的加减,与整式的加减类似,关键是将同类二次根式合并。 03 新知讲解 例1 计算:. 解: = . 活动一:同类二次根式 03 新知讲解 方法总结 1.判定前提:必须先将所有二次根式化为最简形式，未化简不能直接判断； 2.判定标准:化简后被开方数完全相同的二次根式，就是同类二次根式； 3.系数无关:根式前面数字系数不影响是否同类，只看根号内部被开方数； 4.核心用途:只有同类二次根式才可以进行加减合并运算。 03 新知讲解 活动二:二次根式的加减法 思考:计算:. 问题:这里的三个“加数”中有同类二次根式吗？将它们化简后看一看，再完成本题的解答。 03 新知讲解 活动二:二次根式的加减法 分析:先将各二次根式化简: , , . 解: = =. 二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。 知识点1 同类二次根式 1. 下列二次根式中，是同类二次根式的是( ) A A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. [成都锦江区期中] 若和最简二次根式 是同类 二次根式，则 可以为( ) A A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 返回 举一反三 12 知识点2 二次根式的加减运算 3. 下列运算正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 13 4. 如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长 为 ，宽为 的矩形，若将这根铁丝展开重新首尾相 接围成一个圆形，则该圆的面积是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 14 03 新知讲解 活动二:二次根式的加减法 例2 计算:(1); (2). 解:(1). (2). 03 新知讲解 方法总结 1.运算三步法:①一化:全部化为最简二次根式；②二找:筛选出全部同类二次根式；③三合并:同类根式系数相加减，根号与被开方数保持不变； 2.处理规则:不是同类二次根式，保留原式，不能合并； 3.含分数根式:先分母有理化再化简，最后合并同类根式； 4.书写要求:化简、分组、合并三步完整书写，不可跳步省略化简过程。 03 新知讲解 活动三:二次根式的混合运算 解:(1). (2). 例3 计算: (1); (2) 03 新知讲解 总结归纳 1.运算顺序:先乘除、后加减，有括号先算括号内； 2.公式通用:平方差, 完全平方在根式中完全适用； 3.运算细节:公式展开后所有根式必须再次化简，再合并同类根式； 4.区分要点:乘法不分同类均可运算，加减仅能合并同类根式。 1.计算： (1)－＋ (2) － 基础过关(P11) 当堂检测 2. 计算： (1)( ( (2) (² 基础过关(P11) 当堂检测 能力提升 解：根据题意，得 解得 3.若最简二次根式与是同类二次根式，则 的值为 ( ) 　 A. 2 B. 4 C. -1 D. 1 C 当堂检测 4.计算：（1） （2） 能力提升 解：(1) 原式＝ （2） 当堂检测 能力提升 5.先化简，再求值：，其中。 解： 当 时，原式 当堂检测 5. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . 举一反三 24 （3） . 原式 . 返回 举一反三 25 知识点3 二次根式的混合运算 6. 化简 的结果为( ) A A. B. C. D. 7. 观察下列等式： ； ； ；… 请你写出第⑥个等式：_______________________. 返回 举一反三 26 8. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 举一反三 27 9. 设,,,则 , , 之间的大小关系是( ) C A. B. C. D. 【点拨】,, , , , ., .故选C. 返回 举一反三 28 10. 把四张形状、大小完全相 同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放 在一个底面为长方形（长为 ，宽为 D A. B. C. D. ）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部 分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是( ) 举一反三 29 08 板书设计 谢谢观看 THANKS $