21.2.1.2 直接开平方法和因式分解法（2） 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

# 华东师大版九年级上册数学21.2.1.2《直接开平方法和因式分解法（2）》专项练习（全文1444字） ## 一、知识点梳理 本节在直接开平方法基础上\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)学习**因式分解法**解一元二次方程。因式分解法核心原理：如果两个因式的积等于0\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)那么至少其中一个因式等于0\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)即若$\(a\(b=0\)\)$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)则$\(a=0\)$或$\(b=0\)$。这种方法适合方程右边为0\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)左边可以分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。 因式分解法解题步骤：第一步移项\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)把方程所有项移到左边\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)使方程右边等于0；第二步\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)对左边多项式因式分解\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)常用方法有提公因式法、平方差公式、完全平方公式；第三步\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)令每一个因式分别等于0\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)得到两个一元一次方程；第四步\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)解一元一次方程\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)得到一元二次方程的两个根。 对比两种解法：直接开平方法适合形如$x^2=p$或$(mx+n)^2=p$的方程；因式分解法适合容易分解因式的方程\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)如$x^2+b\(x=0\)$（提公因式）、$a^2x^2-b^2=0$（平方差）。部分方程两种方法都可以解\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)可灵活选择。 重要注意点：解方程时\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)**不能随意在方程两边同时除以含有未知数的代数式**\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)否则会丢失一个根。例如$x(x-2)=3x$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)不能直接两边同除以$x$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)否则漏掉$\(x=0\)$这个根。移项是前提\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)必须化为“左边因式\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)右边等于0”的形式。 本节高频易错点：①没有移项\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)右边不为0就分解因式；②方程两边直接约去含未知数因式\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)造成丢根；③因式分解不彻底；④使用平方差、完全平方公式时符号出错；⑤混淆“或”与“且”\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)两个因式是只要一个为0即可；⑥书写根的时候\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)相等的根写成$x_1=x_2$；⑦分不清什么时候用直接开平方法\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)什么时候用因式分解法。 ## 二、基础选择题 1. 解方程$x(x-3)=0$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)正确结果是（） A.$\(x=0\)$ B.$\(x=3\)$ C.$x_1=0,x_2=3$ D.$x_1=0,x_2=-3$ 2. 方程$x^2-16=0$用因式分解法\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)正确分解是（） A.$(x-4)^2=0$ B.$(x+4)(x-4)=0$ C.$x(x-16)=0$ D.$(x-8)(x+2)=0$ 3. 解方程$\((\(x+1\))\)^2=2\((\(x+1\))\)$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)两边不能直接除以$\((\(x+1\))\)$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)原因是（） A.$\(x+1\)$可能等于0\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)会丢根 B.$\(x+1\)$是正数 C.$\(x+1\)$是负数 D.等式不能做除法 4. 方程$(2x-1)^2=9$的根是（） A.$\(x=2\)$ B.$x=-1$ C.$x_1=2,x_2=-1$ D.$x_1=4,x_2=-2$ 5. 下列方程适合用因式分解法求解的是（） A.$x^2-4x-1=0$ B.$(x-2)^2=12$ C.$x^2-6\(x=0\)$ D.$2x^2+3x=7$ ## 三、填空题 1. 方程$x^2-5\(x=0\)$因式分解得$x(x-5)=0$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)根为____________。 2. 方程$(x-2)^2=3(x-2)$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)移项后因式分解为____________。 3. 方程$4x^2-9=0$的根是________________。 4. 若$(x-3)(x+5)=0$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)则$x_1=$____\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)$x_2=$____。 5. 方程$x^2-4x+4=0$的根是____________。 ## 四、解答题 1. 选用合适方法解方程（直接开平方法或因式分解法）： （1）$x^2-7\(x=0\)$；（2）$x^2-25=0$； （3）$(x+3)^2=16$；（4）$(x-2)^2=3(x-2)$ 2. 解方程： （1）$4(x-1)^2-9=0$；（2）$x^2-6x+9=0$ 3. 已知一元二次方程$x^2+kx-12=0$有一个根是$\(x=3\)$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)求$k$的值与方程另一个根。 4. 拓展探究：解方程$(2x-1)^2=(x+2)^2$。 ## 五、参考答案与解析 ### 选择题 1. C。解析：两个因式乘积为0\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)$\(x=0\)$或$x-3=0$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)两根$\(0,3\)$。 2. B。解析：平方差公式$x^2-4^2=(x+4)(x-4)$。 3. A。解析：$\(x+1\)$有可能等于0\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)等式两边不能除以0\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)直接除会丢失$x=-1$这个根。 4. C。解析：直接开平方\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)$2x-1=\pm3$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)解得$x_1=2,x_2=-1$。 5. C。解析：提取公因式$x$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)$x(x-6)=0$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)适合因式分解。 ### 填空题 1.$x_1=0,x_2=5$ 2.$(x-2)(x-5)=0$；解析：移项$(x-2)^2-3(x-2)=0$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)提公因式$(x-2)(x-2-3)=0$。 3.$x_1=\dfrac32,x_2=-\dfrac32$；解析：$(2x+3)(2x-3)=0$。 4.$3\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)-5$ 5.$x_1=x_2=2$；解析：完全平方$(x-2)^2=0$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)两个相等实数根。 ### 解答题 1.（1）$x(x-7)=0$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)$x_1=0,x_2=7$ （2）$(x+5)(x-5)=0$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)$x_1=-5,x_2=5$ （3）直接开方：$x+3=\pm4$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)$x_1=1\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)x_2=-7$ （4）移项：$(x-2)^2-3(x-2)=0$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)$(x-2)(x-5)=0$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)$x_1=2,x_2=5$ 2.（1）$4(x-1)^2=9$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)$(x-1)^2=\dfrac94$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)$x-1=\pm\dfrac32$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)$x_1=\dfrac52\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)x_2=-\dfrac12$ （2）$(x-3)^2=0$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)$x_1=x_2=3$ 3. 解：把$\(x=3\)$代入方程\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)$9+3k-12=0$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)解得$\(k=1\)$。 方程为$x^2+x-12=0$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)因式分解$(x+4)(x-3)=0$\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)另一根$x=-4$。 4. 解：移项：$(2x-1)^2-(x+2)^2=0$ 平方差分解：$[(2x-1)+(x+2)][(2x-1)-(x+2)]=0$ $(3\(x+1\))(x-3)=0$ $3\(x+1\)=0$或$x-3=0$ $x_1=-\dfrac13\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)x_2=3$ ## 六、易错总结 因式分解法第一步必须移项\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)把方程右边化为0\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)很多同学不等右边为0就分解\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)直接出错。最容易丢分的陷阱：方程两边不能同时除以含有未知数的式子\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)因为这个式子有可能等于0\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)会丢掉一个根\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)必须移项提公因式。因式分解要熟练掌握提公因式、平方差、完全平方公式\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)分解一定要分解到不能再分解为止。区分两种解法：有完全平方等于常数\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)优先直接开平方法；多项式容易分解成两个一次因式\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)优先因式分解法。做题时注意“或”的含义\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)两个因式只需要一个等于0即可\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)不是同时等于0。遇到完全平方式等于0\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)结果要写两个相等实数根\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)不能只写一个解。求出根之后可以代入原方程检验\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)验证左右两边相等。当方程两边都是平方形式\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)既可以直接开平方\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)也可以移项后用平方差因式分解\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)两种方法都可以\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)可选择计算简单的一种。计算时注意符号\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)去括号、移项时符号极易出错。本节是一元二次方程基础解法\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)熟练选择合适方法\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)能大幅提升解方程速度\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)为后面配方法、公式法打好基础。 （全文1444字） 下一节：**21.2.2配方法**\(3\(x_1=1\(x_1=\dfrac52\(x_1=-\dfrac13，x_2=3\)x_2=-\dfrac12\)x_2=-7\)-5\)继续同规格1444字专项练习吗？ 华东师大版（新教材）数学九年级上册 21.2.1.2 直接开平方法和因式分解法（2） 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 一元二次方程 02 新知导入 【思考】 直接开平方法、因式分解法的适用标准方程形式是什么？ 直接开平方法 基本形式：x2=p( p≥0 )或(ax+b)2=p(p≥0)。 适用条件：方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是非负数。若p<0，则方程无实数根。 02 新知导入 【思考】 直接开平方法、因式分解法的适用标准方程形式是什么？ 因式分解法 基本形式：方程右边为0，左边为两个一次因式的乘积，即ax2+bx+c=0且左边能成功因式分解(如提公因式、平方差、完全平方、十字相乘等)为(px+q)(mx+n)=0的形式。 适用条件：方程必须整理为一般式，且右边必须化为0，左边易于分解。 03 新知探究 【例3】解下列方程: (1)(x+1)2-4=0; (2)12(2-x)2-9=0. 【分析】两个方程都可以通过简单的变形，化为（ )2=a (a≥0) 的形式，用直接开平方法求解. 03 新知探究 【例3】解下列方程: (1)(x+1)2-4=0; (2)12( 2-x )2-9=0. 解：(1)原方程可以变形为(x +1 )2=4. 直接开平方，得 x+1=±2. 所以x1=1， x2=-3. 还 有 其 他 解 法吗？ 03 新知探究 【例3】解下列方程: (1)(x+1)2-4=0; (2)12( 2-x )2-9=0. 解：(1)原方程可以变形为(x +1 )2-22=0. 方程左边分解因式，得 （x+1+2）（x+1-2）=0. （x+3）（x-1）=0 所以x1=1， x2=-3. 03 新知探究 【例3】解下列方程: (1)(x+1)2-4=0; (2)12( 2-x )2-9=0. 解：(2)原方程可以变形为 ( 2-x )2= . 直接开平方，得 2-x =± . 所以x1= ， x2= . 这个题目能用因式分解法吗？ 03 新知探究 【例3】解下列方程: (1)(x+1)2-4=0; (2)12( 2-x )2-9=0. 解：(2)原方程可以变形为( 2-x )2 - =0 . 方程左边分解因式，得 （2-x+ ）（2-x- ）=0. 所以x1=1， x2=-3. 你觉得哪种方法更简单？ 知识点1 用因式分解法解一元二次方程的依据 1. 用因式分解法解方程,下列过程正确的是( ) A A. 化为或 B. 化为或 C. 化为或 D. 化为 返回 举一反三 9 2. 已知某一元二次方程的两根分别为, ，则这 个方程可能为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 10 知识点2 用因式分解法解一元二次方程 3. 一元二次方程 的根是( ) A A. , B. , C. , D. , 返回 举一反三 11 总结归纳 解一元二次方程时观察方程结构，合理选择变形方式与解题方法： ①含整体平方、无复杂一次项，优先变形用直接开平方法； ②可整理为整式乘积型、含一次项，优先变形用因式分解法。 观察结构→判断变形方向→规范变形→选择方法→降次求解。 03 新知探究 【做一做】用适当的方法解下列方程： （1）9x2-16=0； （2）（y-1）2=2（1-y） 解：(1)原方程可以变形为x2= . 直接开平方，得 x=± . 所以x1= ， x2= . 03 新知探究 【做一做】用适当的方法解下列方程： （1）9x2-16=0； （2）（y-1）2=2（1-y） 解：(2)方程左边分解因式，得 （y-1）2-2（1-y）=0 . （y-1）（y-1+2）=0 （y-1）（y+1）=0 所以y1=1， y2=-1 . 提取公因式 03 新知探究 【你知道吗？】 小明和小亮一起解方程：x(3x+2)-6(3x+2)=0. 小明将方程左边分解因式，得(3x + 2)(x - 6)=0. 所以3x+2=0 或 x-6=0， 得x1= ，x2=6. 03 新知探究 小亮的解法是这样的: 移项，得x(3x + 2)=6(3x + 2). 方程两边都除以3x+2，得 x=6. 小亮说:“我的方法多简便!” 可另一个根x= 哪里去了?小亮的解法对吗?你能解开这个谜吗? 03 新知探究 小林的解法不全面，因为等式的性质2规定：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。若除以的数为0，该运算无意义，等式不成立。 小林得到x(3x+2)=6(3x+2)后，直接对等式两边同时除以3x+2， 未验证3x+2是否等于0。 当3x+2=0时，3x+2是0，不能作为除数，因此该操作丟失了3x+2=0对应的解。 4. 已知一元二次方程的两个根分别是点 的横坐标、纵坐标，则点 在( ) D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第一象限或第三象限 D. 第二象限或第四象限 【点拨】， ， ， ， ，或， ， 点的坐标是或 点 在第二象限或 第四象限. 返回 举一反三 18 5. 定义一种新运算“ ”： ,则方程 的实数根是_____________. 6. 小明在与 对话中输入如下的文字： “有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再 加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验证， 给出的这个数应该是___. 2 返回 举一反三 19 7. 如图，数轴上点代表的数为 ， 点代表的数为，已知，且点 在数轴的负半 轴上，则 的值为____. 举一反三 20 【点拨】根据题意得 ，整理得 ，即，所以 或 ，所以，.因为点 在数轴的负半轴上， 所以，所以，所以 . 返回 举一反三 21 8. 解下列方程： （1） ； 【解】， . 或，解得， . 举一反三 22 （2） ； ， . . 或 ， 解得， . 举一反三 23 （3） ； 原方程可化为 ， 或 ， 解得， . （4） . 原方程可化为 ， 即， . 返回 举一反三 24 9. [武汉汉阳区期中] 菱形的一条对角线长为5，边 的长是方程的一个根，则菱形 的周长 为( ) C A. 8 B. 11 C. 12 D. 12或8 【点拨】，， 或，解得，.当时， ， 不能构成三角形，不符合题意，舍去；当 时， ，符合题意， 菱形的周长为 . 返回 举一反三 25 10. 已知实数 满足 ,那么 的值为( ) D A. 或1 B. 1 C. 2 D. 0或2 【点拨】设 , ,解得或1.当 时, ,即,此方程无解;当 时, ,此时方程有解.解得, . 返回 举一反三 26 11. 已知一元二次方程 的 一个根与方程 的一个根互为 相反数，那么 的根是( ) A A. 0， B. 0， C. ，2 D. 1， 举一反三 27 谢谢观看 THANKS $