29.2圆的有关性质（分层作业，21大题型）数学新教材人教版九年级上册

分层作业 29.2 圆的有关性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用垂径定理求值 题型02 垂径定理的推论 题型03 圆心角的概念辨析 题型04 利用弦、弧、圆心角的关系求解 题型05 圆周角的概念辨析 题型06 圆周角定理的应用 题型07 同弧或等弧所对的圆周角 题型08 半圆（直径）所对的圆周角是直角的应用 题型09 90度的圆周角所对的弦是直径的应用 题型10 圆内接四边形性质的应用 B组 能力进阶 题型01 垂径定理在作图中的应用 题型02 用垂径定理进行证明 题型03 用垂径定理解决同心圆问题 题型04 用垂径定理解决平行弦问题 题型05 垂径定理的实际应用 题型06 利用垂径定理求其他问题 题型07 利用弦、弧、圆心角的关系证明 题型08 求弧的度数 题型09 圆周角定理及推理在作图中的应用 题型10 求四边形外接圆的半径 C组 思维拔高 题型 巧构圆形图解决问题 利用垂径定理求值题型01 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，则    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查垂径定理，即垂直于弦的直径平分这条弦，根据垂径定理得即可解答． 【详解】解：∵为直径，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，是的弦，于点若，，则的半径是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理. 由垂径定理可得的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 是的弦，于点C， ， ， ， 的半径是5. 故选：B． 3．（25-26九年级上·天津·期中）如图，在⊙中，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理．首先连接，根据垂径定理可知，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ． 故选：B． 4．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程中需要用到几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图所示．当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图是正确使用该工具时的示意图．如图，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点．若mm，mm，则这个紫砂壶的壶口半径的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，在中，利用勾股定理进行求解即可．掌握垂径定理，是解题的关键． 【详解】解：∵直线过点，且于点， ∴， 连接，则， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故选：A． 5．在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的相关直线．例如，点的相关直线为．已知点，点．点为直线上的动点．以为圆心，6为半径作圆．在点运动过程中，当点的相关直线与圆交于，两点时，的最小值为8，则的值为________． 【答案】或##或1 【分析】求出直线的解析式为：，求出点M的关联直线经过定点；如图所示，过点C作于H，连接，则，得出，说明要想最小，则要使最大，根据的最小值为8，得出的最小值为4，求出，根据当点H与点重合时，最大，得出，解方程即可． 【详解】解：设直线的解析式为：，把点，点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∴点M的关联直线为， ∴点M的关联直线经过定点； 如图所示，过点C作于H，连接，则， ∴， ∴要想最小，则要使最大， ∵的最小值为8，即的最小值为4， ∴， 当点H与点重合时，最大， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解一元二次方程，一次函数与几何综合等，正确推出点M的关联直线经过定点是解题的关键． 垂径定理的推论题型02 1．下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 【答案】D 【分析】根据垂径定理对选项A、C进行判断，根据垂径定理的推论对B、D选项进行判断． 【详解】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误； B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误； C．垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误； D．弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理及垂径定理的推论，掌握并理解定理的内容是解答此题的关键 2．（2025·广东湛江·模拟）如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（   ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的推论以及勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据垂径定理的推论得到，再对运用勾股定理即可求解半径． 【详解】解：∵为半径，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（2025·河北石家庄·一模）是的外接圆，在弧上找一点，使点平分弧．对图中的三种作法，下列说法正确的是（   ） A．三种作法均正确 B．只有作法一和作法二正确 C．只有作法二和作法三正确 D．只有作法二正确 【答案】A 【分析】本题考查角平分线作法及性质，垂直平分线作法及性质，垂径定理等．根据题意逐一对作法进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：由作图可知平分， ∴， ∴，即作法一正确， 由作图可知平分， ∵， ∴， ∵经过圆心， ∴，即作法二正确， 由作图可知垂直平分选段，经过圆心， ∴，故作法三正确， 故选：A． 4．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 【答案】 【分析】设月洞门所在圆的半径为，则，，由垂径定理得到，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 设月洞门所在圆的半径为，则， ∴， 由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴月洞门所在圆的半径为． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点，的半径为． （1）若，则的长为______； （2）的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，中位线定理，圆的有关性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分为当在外部时，当在内部时，然后通过垂径定理，勾股定理，直角三角形性质即可求解； （）取中点，连接，由为的中点，则有是中位线，所以，故有点在以为圆心，为半径的圆上运动，则当三点共线时，的值最大，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：（）当在外部时，连接，如图， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在内部时，连接，如图， 同理可得：； 故答案为：； （）如图，取中点，连接， ∵为的中点， ∴是中位线， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当三点共线时，的值最大，如图， ∵为的中点， ∴， 由勾股定理得：， ∴，即的最大值为， 故答案为：． 圆心角的概念辨析题型03 1．下列图形中的是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆心角是角的顶点在圆心的角，由此进行判断即可． 【详解】解：图中的符合圆心角的特征． 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东济南·月考）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴O到、的距离相等， 所以A、C、D选项正确， 不能证明是等边三角形，不一定成立， 故选：B． 3．如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（    ） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【分析】连接AC，由AB是圆的直径可得∠ACB=90°，由∠BCD=100°可得∠ACD=10°，再由圆周角定理可得结论． 【详解】解：如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BCD=100°， ∴∠ACD=10°， ∵∠AOD与∠ACD都对着， ∴∠AOD=2∠ACD=2×10°=20°． 故选∶B． 【点睛】此题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记圆周角定理． 4．如图所示，边长为4的正方形内接于⊙O，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积不随点E位置的变化而变化；③周长的最小值为．其中正确的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】解：如图，连接,由正方形知，可证，得，得，①正确；求证，证得，得，于是，是等腰直角三角形；②正确；求证，得，可得③正确；由知，，可证周长，④错误． 【详解】解：如图，连接, ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴①正确； ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形；②正确； 如图，， ∴． ∴． ∴四边形的面积；故③正确； 由知，， ∴周长，④错误； 故选：A    【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理；添加辅助线构造全等三角形，从而得到相等线段、相等角是解题的关键． 5．直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是______． 【答案】##60度 【分析】连接、，证明为等边三角形得到即可． 【详解】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 利用弦、弧、圆心角的关系求解题型04 1．如图，半径为10的⊙中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于(　　) A．18 B．16 C．10 D．8 【答案】B 【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3，再利用勾股定理，可求得BH的长，继而求得答案． 【详解】作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图， ∵∠BAC+∠EAD=180°， 而∠BAC+∠BAF=180°， ∴∠DAE=∠BAF， ∴弧长DE=弧长BF， ∴DE=BF=12， ∵AH⊥BC， ∴CH=BH， ∵CA=AF， ∴AH为△CBF的中位线， ∴AH=BF=6. ∴BH===8， ∴BC=2BH=16. 故选B. 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦、弦心距的关系和勾股定理，解题的关键是掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系和勾股定理. 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在中，，，则=________． 【答案】 【分析】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，解题的关键是熟知此知识点． 【详解】∵ ∴ 故答案为 3．如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则____________________ ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，分当点P在线段延长线上时，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当点P在线段延长线上时，连接， ∵点C为半圆上的四等分点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在线段上时， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在线段延长线上时， ∵， ∴， 设，则 ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 4．如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA=BC，∠C=24°.求∠A的度数. 【答案】48° 【分析】连接OB，利用等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系解答即可． 【详解】连接OB 则OA=OB ∵OA=BC ∴OB=BC ∴∠C=∠BOC=24° ∴∠A=∠OBA=∠C+∠BOC=24°+24°=48° 【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系．关键是利用等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系解答． 5．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）探究圆中折叠． 如图1，是圆的直径，是圆上一点（不与，重合），连接，沿着把翻折交于点，连接，． (1)小浩发现并展示了两种思维方式，请帮他补充完整： 依据：同弧或等弧所对的弦相等 思维方式1 思维方式2 对于，所对两个圆中的弧分别是和______，所以，所以． 如图2，找到点折叠前的对应点，由折叠的性质可知，，所以=______，即可证． (2)如图3，E是的中点． ①若的半径为，连接，的长度是否改变，若不改变，求出的长度，若改变，请说明理由． ②连接，若的最小值为，求的半径． 【答案】(1)， (2)①的长度不变，为 ②的半径为 【分析】（1）思维方式1：由圆周角定义可知：对于，所对两个圆中的弧分别是和； 思维方式2：，由圆周角定义可知所对的弧是，所对的，由圆周角定理的推论可得； （2）①的长度不会改变，如图3，作交于点，作交于点，连接，，，由是的中点，是的中点，是直径，可得，由勾股定理可得长，由折叠得即可得出； ②由三角形两边之差小于第三边可得，当、、三点共线时，最小，设的半径为，则，由，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：思维方式1：对于，所对两个圆中的弧分别是和，所以，所以． 思维方式2：如图2，找到点折叠前的对应点，由折叠的性质可知，，所以，即可证． 故答案为：，； （2）①的长度不会改变，如图3，作交于点，作交于点，连接，，， 由（1）知：是的中点， ∵是的中点，是直径， ∴， ∵， ∴， 由折叠得：； ②如图4，连接，中，，当，，三点共线时，有最小值， 设的半径为，则，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴的半径为． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，折叠问题、圆心角的计算，勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 圆周角的概念辨析题型05 1．下列说法正确的是（   ） A．顶点在圆周上的角叫做圆周角 B．两边都和圆相交的角叫做圆周角 C．等于圆心角一半的角叫做圆周角 D．顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定义，熟记圆周角定义是解决问题的关键． 根据圆周角定义：顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； B、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； C、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； D、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义，可以判断哪个选项是正确的． 【详解】解：∵顶点在圆上，角的两条边都与圆相交的角叫做圆周角， ∴选项A、C、D中的角不是圆周角，选项B中的角是圆周角． 3．如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，，是圆周角，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断． 4．如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 5．观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【答案】 (a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角； (c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角． (d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角； (e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【详解】略 【点睛】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 圆周角定理的应用题型06 1．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴ 故选：C 2．如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角，三角形外角的性质．根据题意可得，然后根据三角形外角的性质可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 3．（25-26九年级上·期末）如图，将三角板角的顶点A放置在上，量出三角板与圆的另两个交点的距离，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，由圆周角定理得到，则此时为等腰直角三角形，再由勾股定理即可求解半径． 【详解】解：连接， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 4．如图，四边形，则_______．    【答案】##100度 【分析】根据可知三点在以点A为圆心，以为半径的圆上，然后根据“同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍”即可求解． 【详解】解：∵， ∴三点在以点A为圆心，以为半径的圆上，    ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同弧上的圆心角与圆周角之间的关系，解题的关键是理解“三点在以点A为圆心，以为半径的圆上”． 5．（2025·河北·模拟）如图1是工业上用的一款切割铁皮的铡刀，图2是其侧面示意图，其中矩形是切割槽，刀刃与手柄下边缘在同一条弧上，即，经测量可知,．将手柄向下压，直至所在的圆（）与相切于点M，如图3所示，此时恰好经过点D． (1)求的半径． (2)如图4所示，将手柄往上抬，使点E恰好落在的延长线上，与交于点F．经研究发现，此时与相切于点E，连接，，求的值． 【答案】(1)1.5m (2) 【分析】（1）连接交于点N，则，得，连接，设的半径为r ，则，根据勾股定理得，解方程即可解答． （2）连接，则，．过点O作于点H，由矩形的判定与性质得到，连接，，则，，再根据圆周角定理得到即可解答． 本题考查了矩形的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握作辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图（1），连接交于点N，则， ∴，， ∴ 连接，设的半径为r ，则． 由勾股定理，得， ∴，解得． 故的半径为． （2）如图（2），连接，则，． 过点O作于点H． 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 连接，，则， ∴． 又∵， ∴， ∴． 同弧或等弧所对的圆周角题型07 1．（25-26上·期末）如图，内接于圆，是上一点，连接．下列角中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵与都是所对的圆周角， ∴， 故选：A 2．（2025·黑龙江大庆·二模）下列说法不正确的是（ ） A．斜边相等的两个等腰直角三角形一定全等 B．一款跑步鞋在进价的基础上提高标价，商场为了促销打八折销售，仍可获利元， 则这款跑步鞋的进价为元 C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 D．甲、乙两组数据的方差，则这两组数据的标准差 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形，一元一次方程的应用，圆周角定理，方差与标准差，根据全等三角形，一元一次方程的应用，圆周角定理，方差与标准差逐一判断即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵斜边相等的两个等腰直角三角形， ∴直角边也对应相等， ∴这两个等腰直角三角形一定全等，原选项说法正确，不符合题意； 、设进价为元，则标价为（元），售价为（元）， ∴， 解得：， ∴原选项说法正确，不符合题意； 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补 ，原选项说法错误，符合题意； 、甲、乙两组数据的方差，则这两组数据的标准差，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数． 【答案】∠ABD=102°． 【分析】根据∠CAB＝60°，可得，再由点D是的中点可得，由圆周角定理可知∠CBD＝30°，由此即可求出∠ABD的度数． 【详解】解：∠AOB＝96°， ∴∠ACB＝48°， ∵∠CAB＝60°， ∴∠ABC＝180°-∠ACB-∠CAB=72°，， 又∵点D是的中点， ∴， ∴∠CBD＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝102°． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，找准同弧所对圆周角和圆心角是解题关键． 4．已知，在中，设所对的圆周角为．求证： 证明；圆心O可能在的一边上，内部和外部（如图①、②和③）． 如图①，当圆心O在的一边上时． ∵， ∴， ∵， ∴，即 请你完成图②、图③的证明． 【答案】 图②证明：如图②所示，连接并延长交圆O于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 图③证明：如图③所示，延长交圆O于E， ∴， 由图①的证明可知， ∴． 【分析】图②证明：如图②所示，连接并延长交圆O于D，根据，得到，利用三角形外角的性质得到，由此证明即可； 图③证明：如图③所示，延长交圆O于E，由同弧所对的圆周角相等得到，再由图①的证明等量代换即可证明图③． 【详解】解：略． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等等等，熟知相关知识是解题的关键． 5． 素材1：平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形称为四边形，其中作出一条边所在的直线，其余各边均在其同侧的四边形称为凸四边形，其余各边中有不在同侧的四边形称为凹四边形，换句话说就是，凸四边形的每个内角都小于，凹四边形中有内角大于． 素材2：我们把一组对角相等且只有一组对边相等的凸四边形称为F−四边形．小亮按下列步骤操作得到的四边形ABDE就是F−四边形： 第1步：画，，； 第2步：在边上取一异于B，C的点D，； 第3步；以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点； 第4步：连结、．    活动一：素材反思 思考1：素材2中操作的第2步中为什么要说明“”？ 任务1：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．判断四边形是否为F−四边形，并说明理由； 思考2：素材2中操作的第1步中为什么要说明“”？ 任务2：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．若四边形为F−四边形，求的取值范围；    活动二：图形应用 如图，四边形为F−四边形，，，且． 任务3：记的面积为S，直接写出S的取值范围．    【答案】 任务1：四边形不是F−四边形， 理由：当时，根据作图可得，，， ∴四边形是平行四边形，此时有两组对边相等，与题中只有一组对边相等不符， 所以不是F−四边形； 任务2：，且； 任务3：且 【分析】任务1：当时，根据作图可得，，再根据F−四边形的定义，即可判断答案； 任务2：设，列不等式及求解，即得答案； 任务3：以点M为圆心长为半径画弧，交的延长线于点G，连结，过点M作于点H，先证明，得到，再根据变化过程中的临界位置可知，分别对两个临界位置求面积，并注意的情况，即可得到答案． 【详解】任务1： 略 任务2： 当时，易得， ， ， 设， ， 又作图可得，， 又， ， ，， 凸四边形的每一个内角都小于， ， ， ， ， ， 综上，且；    任务3： 且． 理由如下： 以点M为圆心长为半径画弧，交的延长线于点G，连结，过点M作于点H，      则， ， ， ， P，G，Q，M四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形为F−四边形， ，， 由图a和图b中的位置可知， 在图a中， ， ， ， ， ， ， 在图b中， ， ， 当点P在的中点时，， 此时，不符合题意， S的取值范围是且．      【点睛】本题考查了动态几何问题，圆周角、弧、弦之间的关系，平行四边形的判定与性质，一元一次不等式的应用，全等三角形的判定与性质，几何最值问题等知识，应用一元一次不等式解题及添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 半圆（直径）所对的圆周角是直角的应用题型08 1．如图，是的直径，是圆上一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角，根据直径所对的圆周角为即可作答． 【详解】是的直径 故选：D． 2．如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（    ）    A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】连接，根据作图知垂直平分，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，根据作图知垂直平分，    ∴，， ∴， 即， ∵线段是半圆O的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 故选B． 【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点． 3．如图，矩形中，，，点为矩形内一动点，且满足，则线段的最小值为（    ） A．5 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】通过矩形的性质和等角的条件可得∠BPC=90°，所以P点应该在以BC为直径的圆上，即OP=4，根据两边之差小于第三边及三点共线问题解决. 【详解】如图，∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD=3，∠BCD=90°, ∴∠PCD+∠PCB=90°, ∵, ∴∠PBC+∠PCB=90°, ∴∠BPC=90°, ∴点P在以BC为直径的圆⊙O上， 在Rt△OCD中，OC=,CD=3， 由勾股定理得，OD=5， ∵PD≥ , ∴当P,D,O三点共线时，PD最小， ∴PD的最小值为OD-OP=5-4=1. 故选：B. 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，线段最小值问题及圆的性质，分析出P点的运动轨迹是解答此题的关键. 4．（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，是的直径，，是上两点，若，则的度数为______． 【答案】##40度 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，连接，利用圆周角定理得到，则，然后利用同弧所对的圆周角相等求的度数． 【详解】如图，连接， 为的直径， ， ， ． 故答案为：． 5．如图，为的直径，点C在上，延长至点D，使，延长与的另一个交点为E，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)32° (2)12 【分析】（1）由为的直径，可得，又由，即可证得，然后由等边对等角，证得：，即可求证； （2）首先设，可得方程，继而求得的值，又由，则可得． 【详解】（1）解：是直径， ，    ， 是的中垂线． ，          ， ， ，           ， ． （2）解：设，则， 在中，， ∴（舍）     ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查直径所对圆周角，等边对等角，及勾股定理解直角三角形，熟练掌握基本定理，灵活计算是解题关键． 90度的圆周角所对的弦是直径的应用题型09 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，用制作的表盘模型，其中点A，B分别与整钟点“3时”，“11时”重合，要使，则点C应位于表盘的（    ） A．“7时”处 B．“8时”处 C．“9时”处 D．“10时”处 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握直径对直角是解题的关键；根据直径对直角可知，当是直径时，，据此即可得解． 【详解】解：连接，延长交于C，连接， 是直径， ， 点C应位于表盘的“9时”处， 故选：． 2．在中，，则外接圆的半径是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】直径所对的圆周角为，又知，所以所对的边为圆的直径．再用勾股定理求出所需的边长即可． 【详解】解：，，， ， ， 是外接圆的直径， 外接圆半径． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，的直径为8，P是上一动点，半径垂直于，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆上动点恒直角问题，勾股定理，圆周长公式，根据得到，即可得到点H是以为直径的圆上运动，根据勾股定理求出，最后利用周长公式求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴点H是以为直径的圆上运动， ∵的直径为8， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，过原点，且与轴、轴交于点A，，点A的坐标为，的直径为10．则点的坐标为______． 【答案】 【分析】连接AB，根据90°的圆周角所对的弦是直径可知，AB是直径；再根据勾股定理求出OB的长，可得出答案． 【详解】连接AB, ∵∠AOB=90°， ∴AB是直径， ∴AB=10． 又∵∠AOB=90°，点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的定理是90°的圆周角所对的弦是直径，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 5．（2026·河南周口·模拟）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，点是反比例函数的图像上一点，以为圆心，长为半径作，与坐标轴分别交于点，，连接． (1)求证：点是线段的中点； (2)若的面积为12，求反比例函数的解析式； (3)在（2）的条件下，若，将绕着点顺时针旋转，使点落在双曲线上的点，则点的坐标为_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据可证明是的直径，结合点是圆心，即可证明结论； （2）设点的坐标为，过点作于点，作于点，由垂径定理可得，，进而可得，，结合的面积为12，可解得，即可获得答案； （3）设点的坐标为，由题意可得，，利用完全平方公式可得，，进而可知，结合，可得，易得或，求解即可获得答案． 【详解】（1）证明：， 是的直径， 点是圆心， 点是线段的中点； （2）设点的坐标为，如图，过点作于点，作于点， 由垂径定理可得，， ，， 的面积为12， ，即， ， ， ， 反比例函数的解析式为； （3）设点的坐标为， 由题意可得，， ， ， ∴， ，， ∴， 或， 解得或， 点的坐标为或． 圆内接四边形性质的应用题型10 1．如图，四边形内接于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是根据圆内接四边形，两对角互补，求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质可得，结合可得． 【详解】解：四边形为圆内接四边形， ， 又， ， 故选C． 3．如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质，得，根据圆周角定理求出，，进而求出，计算即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， 是的直径， ， ， ∵ ， 故选：D．    4．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（　　） A．80° B．80°或100° C．100° D．160°或20° 【答案】B 【详解】如图 ， ∠ABC=∠AOC=160°=80°， ∠ABC+∠AB′C=180°， ∠AB′C=100°， 故选B． 点睛：本题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质，本题难度不大，注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想，不能遗漏. 5．（2025·陕西·模拟）如图，点均在上，且，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据题意求出，根据在同圆（或等圆）中，圆心角所对的弧度数是其所对圆周角的 2 倍求出的度数． 【详解】解：如图，连接， 四边形为的内接四边形， ，即， ，即， ， ， 故选：D 垂径定理在作图中的应用题型01 1．如图，已知⊙O和弦AB请你利用尺规作⊙O的内接△ABC，使AC＝BC，（作出一个即可，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】过点O作弦AB的垂线，交⊙O于点C，C′连接AC，BC．AC′，BC′，△ABC，△ABC′即为所求． 【详解】解：过点O作弦AB的垂线，交⊙O于点C，C′连接AC，BC．AC′，BC′，△ABC，△ABC′即为所求． 【点睛】此题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点、、、在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系，画出过、、三点的圆，圆心为点． (1)两点的坐标分别为（___________）（___________）； (2)圆心的坐标为（___________）； (3)求出圆的半径． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理，勾股定理，根据垂径定理确定圆心的位置是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系写出坐标即可； （2）连接、，分别作、的垂直平分线交于点，则点是过、、三点的圆的圆心，根据平面直角坐标系写出坐标即可； （3）连接，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可得，，， 故答案为：，； （2）解：如图，连接、，分别作、的垂直平分线交于点，则点是过、、三点的圆的圆心， 由坐标系可知，圆心的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图，连接， 由勾股定理得， 即圆的半径为． 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线． 【答案】 如图①中，PA是∠BPC的平分线．    如图②中，PE是∠BPC的平分线．    【分析】如图①中连接PA，根据等弧所对得圆周角相等，易知∠APB=∠APC，所以PA就是∠BPC的平分线；如图②中，连接AO延长交⊙O于E，连接PE，由垂径定理和圆周角定理易知∠EPB＝∠EPC． 【详解】如图①中，连接PA，PA就是∠BPC的平分线． 理由：∵AB＝AC， ∴＝， ∴∠APB＝∠APC． 如图②中，连接AO延长交⊙O于E，连接PE，PE就是∠BPC的平分线． 理由：∵AB＝AC， ∴＝， ∴＝， ∴∠EPB＝∠EPC． 【点睛】本题主要考查圆周角定理和垂径定理，根据等弧所对的圆周角相等得到角平分线是关键. 4．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点． （1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹） （2）若AP＝2，CD＝8，求⊙O的半径． 【答案】（1）如图，CD就是所求的弦；依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦； （2）⊙O的半径为5． 【分析】（1）过P点作AB的垂线即可，作图依据是垂径定理的推论． （2）设⊙O的半径为r，在Rt△OPD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）过P点作AB的垂线交圆与C、D两点， CD就是所求的弦，如图． 依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦； （2）如图，连接OD， ∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径， ∴∠OPD＝90°，PD＝CD， ∵CD＝8， ∴PD＝4． 设⊙O的半径为r，则OD＝r，OP＝OA﹣AP＝r﹣2， 在Rt△ODP中，∠OPD＝90°， ∴OD2＝OP2+PD2， 即r2＝（r﹣2）2+42， 解得r＝5， 即⊙O的半径为5． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 5．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．    (1)如图1，点是矩形边的中点，过点画矩形的一条对称轴交于； (2)如图2，△ABC和△DEF的顶点分别与小正方形的顶点重合，若△DEF是△ABC绕点O旋转得到的，请在图中画出旋转中心； (3)如图3，圆经过两个格点，以及格线上的点，作劣弧的中点；并在优弧上找一点，使得； 【答案】(1) 如图 (2) 如图 (3) 如图 【分析】（1）先连接交于点，再根据矩形的性质即可； （2）分别作，的垂直平分线交于点即可； （3）先连接交格线于点， 连接，再作直线交于点，交于点，然后作直线交于点，连接即可． 【详解】（1）解：作法：1．连接交于点， （2）2．作直线交于点， 故直线即为所求． 证明：在矩形中， 点是矩形边的中点， ，即垂直平分； 解：作法：1．连接，， 用垂径定理进行证明题型02 1．分别作，的垂直平分线交于点， 故点即为所求， 证明：点和点是对称点，点和点是对称点，四边形均为正方形， 垂直平分，垂直平分， 点为旋转中心； （3）解：作法：  1．连接交格线于点， 连接， 2．作直线交于点，交于点， 3．作直线交于点，连接, 故点即为所求， 证明：过点作直线的垂线，垂足为点， ， ， ， ，即垂直平分， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，中心对称图形的性质，圆的基本性质，熟练运用以上知识作图是本题的关键． 4．（24-25九年级上·湖北丹江口·期末）如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：． 【答案】 证明：∵是直径，点是劣弧的中点， ∴垂直平分， ∴． 【分析】本题考查垂径定理的推论及垂直平分线的性质，根据“是直径，点是劣弧的中点”可得垂直平分，再根据垂直平分线的性质即可得证．解题的关键是掌握：一条直线如果具有“．经过圆心，．垂直于弦，．平分弦（被平分的弦不是直径），．平分弦所对的优弧，．平分弦所对的劣弧”这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”． 【详解】略． 5．（25-26九年级·期末）如图，是的外接圆，是的直径，于点．求证：． 【答案】 证明：∵是的直径，， ∴由垂径定理可知，， ∴． 【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理的推论等知识，熟记垂径定理及圆周角定理的推论是解决问题的关键． 先由垂径定理可得，再由圆周角定理的推论：等弧所对的圆周角相等即可得证． 【详解】略． 用垂径定理解决同心圆问题题型03 1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，半径，，垂足为D，． (1)求证：； (2)若的半径为5，，则______． 【答案】(1) 证明：， ， ，， ， ； (2)2 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得，再根据垂径定理得和，即可得出结论； （2）连接，根据垂径定理得，由勾股定理求得，进而求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ，， ， ， ， ． 故答案为：2 ． 2．（2025·安徽淮北·三模）如图，是的直径，点 C 在上，弦，过点O作交于点 D，连接交于点 E，交于点 F． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ． 【分析】（1）由垂径定理得，从而，然后由三角形外角的性质即可求解； （2）先求出，进而得出，，证明是等腰直角三角形得，进而可证结论成立． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴； （2）略 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用圆的性质是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）已知：如图，是的两条直径，E为半径上一点（不与点O，C重合），作交于点F，过点F，D分别作的垂线，垂足为点H，G，连接． (1)当点E是的中点时，求的度数； (2)当时，求的值； (3)求证：． 【答案】(1)的度数为； (2)； (3) 证明：延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，如图， ∵， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵为直径，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）推出是线段的垂直平分线，得到，证明是等边三角形，据此即可求解； （2）设，，，设的半径为，则，在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可； （3）延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，利用垂径定理，三角形的中位线定理得到，利用垂径定理得到，再利用四边形的内角和定理和邻补角的性质得到，再利用相等的圆心角所对的弧相等的性质，等弧对等弦的性质得到则结论可得． 【详解】（1）解：连接，， ∵，点E是的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， ∴设，，，设的半径为， ∴， 在中，，即， 解得， 在中，， ∴； （3）略 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，添加适当的辅助线和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 4．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容. 5．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 用垂径定理解决平行弦问题题型04 1．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 【答案】 证明：过作，垂足为E， ，， ， ． 【分析】本题考查了垂径定理，根据垂径定理证明即可． 【详解】略 2．（25-26九年级上·上海·期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 即； (2) 【分析】（）过点作于点，由垂径定理得，，进而即可求证； （）连接、，可得，，即得，设，则，，利用勾股定理求出的值进而即可求解； 本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 即小圆半径的值为． 3．综合与实践． 主题活动 探究窗花图案的几何知识 文化背景 窗花的历史可以追溯到汉代，当时人们用各种材料制作薄片，通过镂空雕刻的艺术形式创造出各种图案，贴在窗户上作为装饰．随着造纸术的发明和普及，纸张逐渐成为窗花的主要材料，使得窗花艺术得到更广泛的发展．如图1的窗花寓意着团圆平安，欢乐祥和． 实践探究 从图1的窗花图案中可抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形(如图2)，我们称这种图形为“环花”，设直线l与“环花”从左到右依次交于点A，B， C， D． 探究1：写出图2中线段与的数量关系：____________；小明经过观察认为当直线l 不经过中心O时(如图3)，结论仍然成立；请给出证明． 探究2：若图3中，且大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长． 拓展迁移 探究3：将两个同心圆替换成两个菱形，如图4，点O是这两个菱形对角线的公共交点， 且F，B，D，H 四点均在对角线上，直线l不经中心O，与两个菱形从左到右依次交于点M，N，P，Q，求的值． 【答案】探究1：； 当直线l 不经过中心O时(如图3)，结论仍然成立，证明如下： 如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． 探究2：； 探究3：1 【分析】探究1：根据，，再利用线段的和差即可求解；过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； 探究2：同理探究1得：，，连接，设，根据大圆面积是小圆面积的3倍，得到，在中，，即，在中，，即，由此建立方程求解即可； 探究3：连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】探究1： 解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：（相等） 探究2： 同理探究1得：，， ∵， ∴，， 连接， 设， 则大圆面积为，小圆面积为， ∵大圆面积是小圆面积的3倍， ∴，即， 在中，，即， 在中，，即， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴，即大圆的半径长为； 探究3： 解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、勾股定理，平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．若弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为13，AB=10，CD=24，则AB，CD之间的距离为 A．7 B．17 C．5或12 D．7或17 【答案】D 【分析】过O作OE⊥AB交AB于E点，过O作OF⊥CD交CD于F点，连接OA、OC，由题意可得：OA=OC=13，AE=EB=12，CF=FD=5，E、F、O在一条直线上，EF为AB、CD之间的距离，再分别解Rt△OEA、Rt△OFC，即可得OE、OF的长，然后分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离． 【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时； 过O作OE⊥AB交AB于E点，过O作OF⊥CD交CD于F点，连接OA、OC，如图所示： ∵半径r=13，弦AB∥CD，且AB=24，CD=10 ∴OA=OC=13，AE=EB=12，CF=FD=5，E、F、O在一条直线上 ∴EF为AB、CD之间的距离 在Rt△OEA中，由勾股定理可得： OE2=OA2-AE2 ∴OE==5 在Rt△OFC中，由勾股定理可得： OF2=OC2-CF2 ∴OF==12 ∴EF=OE+OF=17 AB与CD的距离为17； ②当AB、CD在圆心同侧时； 同①可得：OE=5，OF=12； 则AB与CD的距离为：OF-OE=7； 故答案为：17或7． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． 5．（26-27九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 垂径定理的实际应用题型05 1．如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 【答案】 ∵E为AB中点，MN过圆心O， ∴MN⊥AB ， ∴∠MEB＝90°， ∵AB∥CD ， ∴∠MFD＝∠MEB＝90°， 即MN⊥CD ， ∴CF＝DF． 【分析】根据垂径定理进行解答即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 2．如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【答案】（1）7；（2）8 【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长； （2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长． 【详解】解：（1）连接AO和DO， ∵，且EF过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ， ∴； （2）如图，连接BO和DO， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ，解得，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解． 3．关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题： (1)求证：关于x的“勾系方程”必有实数根. (2)如图，已知、是半径为5的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“勾系方程”. ①求的度数， ②直接写出的长：_____________（用含a、b的式子表示）. 【答案】(1) 证明：关于的一元二次方程是“勾系方程”， 且，， ， ， ， 方程必有实数根； (2)①；② 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可判断； （2）①由勾股定理，圆周角定理，垂径定理即可求解． ②过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，根据，得出，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①，理由如下： 作于，延长交于，连接， ， ， ， ， ， 是“勾系方程”， ， ； ， ； ， ， ， ， ． ②如图所示，过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形， ∴， ∵，则 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了“勾系方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，三角形全等，解题的关键是明白“勾系方程”的定义． 4．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】先根据垂径定理得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 故选A． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解题的关键． 5．某桥是典型的圆弧形石拱桥，如图，小雅同学测得水面宽为8m，拱顶到水面的距离也为8m，则这座桥的桥拱半径为（    ） A．4m B．5m C．6m D．8m 【答案】B 【分析】连接，设，则，根据垂径定理得出，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：连接， 由题意可得：，设半径， 则， 由勾股定理可得：， 解得：． 则桥拱半径为． 故选：B． 【点睛】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意作出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理． 利用垂径定理求其他问题题型06 1．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 2．根据素材解决问题： 设计货船通过拱桥的方案 素材1 左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离． 素材2 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【答案】(1) (2) 10吨 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，任务1，设 圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，设桥拱的半径为，则，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题； 任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数． 【详解】解：任务1，设圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，如图， 设桥拱的半径为，则， ， ， ， ， ， 圆形拱桥的半径为． 任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由： 当是的弦时，与的交点为，连接，，如图， 四边形为矩形， ， ， ∵，， ． ， ， ， ， 根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱， 船在水面部分可以下降的高度为． 货船的载重量每增加吨，则船身下降， 吨， 至少要增加10吨的货物才能通过． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探究铁锅内放蒸笼的问题 素材1 民以食为天，我们常见的大铁锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆弧面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形（如图1）．蒸笼可以看成是若干个圆柱体叠加起来． 素材2 如图2，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖口直径视为相同），把锅盖纵断面所在的圆记作． 素材3 如图3，圆柱体蒸笼底面直径，高度为，若干个这种规格的蒸笼叠加起来不需要考虑叠加缝隙． 问题解决 任务1 求弧所在的的半径； 任务2 锅中原有水的最大深度为（如图4），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高了，求此时的水面宽度； 任务3 在这个大铁锅中最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 任务4 为加工更大的食材，现需要将一个底面直径为，高度为的圆柱体蒸笼放入铁锅内，原本的锅盖无法正常使用，需要寻找一个新的圆弧形锅盖，使得新的蒸笼放入后，锅盖能恰好盖上（且锅口直径与锅盖口直径相同）请直接写出新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径． 【答案】任务1： 的半径为；任务2：水面宽度为；任务3：最多可以放入这种规格的蒸笼3个；任务4：新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径 【分析】本题主要考查了二次函数综合运用、垂径定理，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 任务1：在 中，由勾股定理和垂径定理列方程求解即可； 任务2：先求出抛物线解析式为 ，再说明水位升高后水面距锅沿的竖直的高度为，即当时，x的2倍即为水面宽度； 任务3：由题意可知：当时，；根据题意可得，运用勾股定理可得、，进而求得，最后根据的范围即可解答； 任务4：当时，则，进而得到，设锅盖纵断面圆弧所在圆的半径为R，根据勾股定理可得，，再根据列方程求得R，进而求得直径即可． 【详解】解：（1）如图：圆心为 ，连接 ， 设 ，则 ， ， ， ∵，过圆心， ∴， 在 中， 由勾股定理可得： ， 即 ，解得：， ∴ 的半径为． （2）由题意知抛物线的顶点为，且过 ， ∴设抛物线解析式为： ， ，解得： ， ∴抛物线解析式为： ， ∵锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高 ， ∴加水后水面水的最大深度为， ∴水面距锅沿的竖直高度为， 当时，，解得：， ∴水面宽度为． （3）解：对于抛物线，如图所示： 当时，，则 ， 对于，如图所示： ∵， ， ， ， ， ∵ ∵圆柱体蒸笼底面直径，高度为， ∴为了让锅盖能够盖上，最多可以放入这种规格的蒸笼3个． （4）解：对于抛物线，如图所示： 当时，，则 ， ∵底面直径为，高度为的圆柱体蒸笼放入铁锅内， ∴ 设锅盖纵断面圆弧所在圆的半径为R， ∴，， ∵， ∴，解得：（舍弃负值）， ∴新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径． 4．如图，中，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂径定理都出，然后根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】∵OC⊥AB， ∴， ∴∠APC=∠BOC， ∵∠APC=28°， ∴∠BOC=56°， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，得出是解题关键． 5．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（　　） A．6.5 B．5.5 C．3.5 D．2.5 【答案】C 【分析】连接OB，作OM⊥AB与M．根据垂径定理和勾股定理，求出OP的取值范围即可判断． 【详解】解：连接OB，作OM⊥AB与M． ∵OM⊥AB， ∴AM=BM=AB=4， 在直角△OBM中，∵OB=5，BM=4， ∴． ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解． 利用弦、弧、圆心角的关系证明题型07 1．如图，是的弦，根据下列条件填空： （1）如果是的直径，且于点，那么有_____，_____，_____； （2）如果是的直径，且，那么有_____，_____，_____； （3）如果，且，那么有_____，_____，_____．    【答案】 是的直径 【分析】（）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧求解即可； （）根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可； （）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可． 【详解】解：（）∵是的直径，且于点， ∴，，； （）∵是的直径，且， ∴，，； （）∵，且， ∴是的直径，，． 【点睛】此题考查了垂径定理和垂径定理的推论，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 2．如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________． 【答案】7 【分析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， A、B、C是上的点，， ， D为OC的中点， ， 四边形是菱形，， ． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键． 3．在平衡直角坐标系中，线段，点，在线段上，且，为的中点，如果任取一点，将点绕点顺时针旋转得到点，则称点为点关于线段的“旋平点”．    (1)如图1，已知，，，知果为点关于线段的“旋平点”，画出示意图，写出的取值范围； (2)如图，的半径为，点，在上，点，如果在直线上存在点关于线段的“旋平点”，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋平点的定义，找到点，即可； （2）由点Q在x轴上，当点P也在x轴上时，点的横坐标有最值，由长求出弦心距长，在求出长，分两种情况求出点坐标即可． 【详解】（1）解：设，，且， ∵点、在线段上，且，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵点与点关于点对称， ∴，， ∴， ∴的取值范围为：； （2） 解：∵点Q在x轴上， ∴当点P也在x轴上时，点的横坐标有最值， 如图，作弦心距， ， 半径3， ， ， ， 当点P在x轴负半轴时，， ， ， ； 当点P在x轴正半轴时， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查新定义圆和对称的知识，解题的关键是理解旋平点的定义，根据定义，进行解题． 4．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 解：； ∵，，， ∴ (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 5．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，弦、于点E，且．求证：．    【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【分析】本题考查圆的相关性质，解题的关键是利用在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等这一性质进行推理。 先根据已知弦相等得出弧相等，再通过弧的运算得到，最后根据弧与弦的关系得出弦相等。 【详解】略 求弧的度数题型08 1．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在圆O中，，于E． (1)求证：． (2)若圆O的半径为5，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)3 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系、垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键． （1）由题意得，进而得到即可证明结论； （2）如图：连接，则，易得，再根据垂径定理得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图：连接，则， ∵，． ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·上海·月考）如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 【答案】 连接、、、， ，， ，． ， ． 在和中 ． ． 在和中 ． ． 平分． 【分析】本题主要考查同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，全等三角形的判定和性质，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，可得，则，再证，可得，即平分． 【详解】略 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为的直径，点A在上且，为上的一点，连接，过A作于点，交于点，交于点，连接并延长交于点，连． (1)请判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)当时，求与的面积之比． 【答案】(1)等腰直角三角形， 理由：如图，连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； (2) 证明：过O作于G，于P， 则，，， ∴四边形是矩形， 由（1）得，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，又， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，即平分； (3) 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，再证明，进而可得结论； （2）过O作于G，于P，利用垂径定理可得，，易证，证明四边形是正方形，得到即可得结论； （3）设，，证明得到，，则，，进而可求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴设，， 由（2）中四边形是正方形可得， 在中，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、弧与弦的关系、垂径定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 4．（25-26九年级·浙江丽水·期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理(直径所对的圆周角为直角，圆周角的度数等于所对弧度数的一半)，关键是利用直径的性质和圆周角与弧的度数关系求解． 【详解】解：如图，连接． ∵是半圆的直径， ∴． ∵， 在中，． ∴的度数为； 故选：C． 5．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，连接，由三角形内角和求，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：C． 圆周角定理及推理在作图中的应用题型09 1．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角_________. 【答案】 【分析】的度数即为所对圆心角的度数； 【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数； ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系；正确理解圆心角的定义是解题的关键． 2．如图，是直径，，，的度数是______． 【答案】##度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图①，在中，劣弧的度数为，点是优弧上的动点，且不与点重合，弦的垂直平分线分别交射线，弦于点． (1)求证：是等边三角形； (2)能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； (3)若的半径为2，则面积的最大值是______． 【答案】(1) 证明：连接，， ∵劣弧的度数为， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形； (2)的度数为，，． (3) 【分析】（1）连接，，证明，，从而可得结论； （2）如图，连接，，由为等边三角形，，结合，可得，如图，当重合时，，为等腰三角形，可得，如图，当时，连接，由，可得， （3）解：如图，连接，证明，可得，取的中点，连接，，，，，过作于，当过时，最大，可得最大，则最大，再进一步解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，， ∵是的垂直平分线， ∴在上， ∵为等边三角形， ∴， ∵为等腰三角形，此时， ∴， 如图，当重合时，，为等腰三角形， ∴同理可得：， ∴， 如图，当时，连接， ∴， 同理：在上， ∵， ∴， 综上：的度数为，，． （3）解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴在上，， ∵，， ∴， ∴， 取的中点，连接，，，，， ∵由等边三角形可得， ∴， ∴在以为圆心，为半径的上， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴在上， 过作于，当过时，最大， ∴最大，则最大， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大面积为． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，弦，弧，圆心角的关系的应用，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．（2026·福建厦门·一模）古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________． 【答案】的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，根据的圆周角所对的弦是直径解答即可． 【详解】解：这种方法的数学依据是的圆周角所对的弦是直径． 故答案为：的圆周角所对的弦是直径． 5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点；圆经过，，三个格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出圆心； (2)在图2中，在劣弧上找一点，使． 【答案】(1) 如图，点即为所求 (2) 如图，点即为所求 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了尺规作图—作角平分线，格点作图，圆周角定理，掌握以上知识点是解题的关键． （1）由表格可知，，故圆心在上，利用网格找到的中点即可． （2）使，根据等弧所对的圆周角相等，利用网格找到劣弧的中点即可． 【详解】（1）略 （2）略 求四边形外接圆的半径题型10 1．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图1，为的内接三角形，点为延长线上一点，点在上（与点位于弦的两侧）． (1)若，，求的度数； (2)作图：在图2中，请用无刻度的直尺和圆规在上找出点，使得． 【答案】(1) (2) 如图，作的角平分线交圆于点，点即为所求；   【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论（同弧所对圆周角相等）和角平分线的作法， （1）根据同弧所对圆周角相等可得，，结合已知即可求出， （2）由（1）可知，进而可得，即是的角平分线，由此即可作图， 【详解】（1）解：∵，， ， 又， ， ∵ ∴. （2）略 2．如图，中，． (1)请仅用无刻度的直尺和圆规在内求作点D，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，延长交于点H，若H为中点且，求的面积． 【答案】(1) 如图，点即为所求， (2)的面积为2 【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，综合运用以上知识是解题的关键． （1）先作的垂直平分线，再以的中点为圆心，为半径画圆，再以点为圆心，为半径画圆，交于点，连接、； （2）由（1）易得由直角三角形斜边中线的性质可得，证明是等边三角形，可得，根据勾股定理求出的长度，即可计算的面积． 【详解】（1）证明：根据作图可得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ， ， ，且为中点， ， ， ∴是等边三角形，． ， ， ， ∴的面积为． 3．【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为______度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在弧上（点P不与点A、C重合），连接、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接BE． ∵四边形ABCP是的内接四边形，∴， ∴，∴， ∵是等边三角形，∴， ∴． 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接、、，若，则的值为多少？ 【答案】感知：45； 探究： 解：， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形， ； 应用： 【分析】感知：根据圆周角定理即可得出答案； 探究：先构造出，得出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； 应用：先构造出，进而判断出，进而得出是等腰直角三角形，即可得出结论； 【详解】感知：解：∵，， ∴， 故答案为：45； 探究：略 应用：解：如图③， 延长至点，使，连接． 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 4．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 5．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，利用方程解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，设的半径为，根据垂径定理得，列关于半径的方程求解即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 则，， ，， ， 是的中点， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为， 故选：C． 巧构圆形图解决问题题型 1．图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆的中点，（即当支架水平放置时直线平行于水平线，支撑杆垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节的高度．当经过圆心O时，它的宽度达到最大值，在支架水平放置的状态下： (1)当滑动杆的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆的高度． (2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（），求该手机的宽度． 【答案】(1)支撑杆的高度为9cm． (2)手机的宽度为8cm． 【分析】（1）如图，连结OA，由题意可得：的直径为10， 由 先求解 从而可得答案； （2）如图，记圆心为O，连结OA，证明 设则则 再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，连结OA，由题意可得：的直径为10， 即 所以此时支撑杆的高度为9cm． （2）解：如图，记圆心为O，连结OA， 由题意可得： ∴四边形为正方形， 设 则 由勾股定理可得： 解得 经检验不符合题意，舍去，取 （cm）， 即手机的宽度为8cm． 【点睛】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，建立方程解题是关键． 2．【问题提出】 （1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________； 【问题解决】 （2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离； 【问题探究】 （3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离． 【答案】（1）； （2）； （3）小明的说法正确，理由：   如图③，过点A作BC的平行线AF，延长DE交AF于点F． 点E为BC中点，， 所在的圆的圆心O在直线DF上． 设圆O半径为r，连接BO． 在中，， 且， ，得． 连接AO并延长交于点，则为最大距离． 在中，，且， 小明的说法正确．                                   点A到的最大距离为 【分析】（1）连接BD，交AC于点E，根据题意BD是AC的垂直平分线，通过解直角三角形解出BE与DE的长，两者相加即可解题． （2）结合图形，可知B，O，D三点共线时，BD有最大值，根据解直角三角形解出BO的长，加上半圆的半径，即可解答． （3）作辅助线如图，证明，即说明小明的说法正确；可知弓形的圆心在上，当通过勾股定理求出半径的长度，再算出的长，即可解答． 【详解】解：（1） 如图，连接BD交AC于点E ， 是等腰直角三角形，为等边三角形， ，, 在与中，      ， ， ，， 根据三线合一，可得垂直平分， ， ， ， ，， ． （2）如图②，连接BO并延长交于点D，则此时BD最大． 在上取一点异于点D的点，连接、． 在中，， ， ，即． 最大 在等腰直角中，，O为AC的中点， 且． ． ． 点B、D之间的最大距离为．                                  （3）小明的说法正确，理由略 ．                        在中，． ． ． 点A到的最大距离为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 29.2 圆的有关性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用垂径定理求值 题型02 垂径定理的推论 题型03 圆心角的概念辨析 题型04 利用弦、弧、圆心角的关系求解 题型05 圆周角的概念辨析 题型06 圆周角定理的应用 题型07 同弧或等弧所对的圆周角 题型08 半圆（直径）所对的圆周角是直角的应用 题型09 90度的圆周角所对的弦是直径的应用 题型10 圆内接四边形性质的应用 B组 能力进阶 题型01 垂径定理在作图中的应用 题型02 用垂径定理进行证明 题型03 用垂径定理解决同心圆问题 题型04 用垂径定理解决平行弦问题 题型05 垂径定理的实际应用 题型06 利用垂径定理求其他问题 题型07 利用弦、弧、圆心角的关系证明 题型08 求弧的度数 题型09 圆周角定理及推理在作图中的应用 题型10 求四边形外接圆的半径 C组 思维拔高 题型 巧构圆形图解决问题 利用垂径定理求值题型01 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，则    ） A． B． C． D． 2．如图，是的弦，于点若，，则的半径是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 3．（25-26九年级上·天津·期中）如图，在⊙中，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程中需要用到几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图所示．当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图是正确使用该工具时的示意图．如图，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点．若mm，mm，则这个紫砂壶的壶口半径的值为（  ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的相关直线．例如，点的相关直线为．已知点，点．点为直线上的动点．以为圆心，6为半径作圆．在点运动过程中，当点的相关直线与圆交于，两点时，的最小值为8，则的值为________． 垂径定理的推论题型02 1．下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 2．（2025·广东湛江·模拟）如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（   ） A． B．6 C．8 D．10 3．（2025·河北石家庄·一模）是的外接圆，在弧上找一点，使点平分弧．对图中的三种作法，下列说法正确的是（   ） A．三种作法均正确 B．只有作法一和作法二正确 C．只有作法二和作法三正确 D．只有作法二正确 4．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点，的半径为． （1）若，则的长为______； （2）的最大值为______． 圆心角的概念辨析题型03 1．下列图形中的是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东济南·月考）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 3．如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（    ） A．15° B．20° C．25° D．30° 4．如图所示，边长为4的正方形内接于⊙O，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积不随点E位置的变化而变化；③周长的最小值为．其中正确的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 5．直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是______． 利用弦、弧、圆心角的关系求解题型04 1．如图，半径为10的⊙中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于(　　) A．18 B．16 C．10 D．8 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在中，，，则=________． 3．如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则____________________ ． 4．如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA=BC，∠C=24°.求∠A的度数. 5．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）探究圆中折叠． 如图1，是圆的直径，是圆上一点（不与，重合），连接，沿着把翻折交于点，连接，． (1)小浩发现并展示了两种思维方式，请帮他补充完整： 依据：同弧或等弧所对的弦相等 思维方式1 思维方式2 对于，所对两个圆中的弧分别是和______，所以，所以． 如图2，找到点折叠前的对应点，由折叠的性质可知，，所以=______，即可证． (2)如图3，E是的中点． ①若的半径为，连接，的长度是否改变，若不改变，求出的长度，若改变，请说明理由． ②连接，若的最小值为，求的半径． 圆周角的概念辨析题型05 1．下列说法正确的是（   ） A．顶点在圆周上的角叫做圆周角 B．两边都和圆相交的角叫做圆周角 C．等于圆心角一半的角叫做圆周角 D．顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角 2．下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    5．观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 圆周角定理的应用题型06 1．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·期末）如图，将三角板角的顶点A放置在上，量出三角板与圆的另两个交点的距离，则的半径为（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形，则_______．    5．（2025·河北·模拟）如图1是工业上用的一款切割铁皮的铡刀，图2是其侧面示意图，其中矩形是切割槽，刀刃与手柄下边缘在同一条弧上，即，经测量可知,．将手柄向下压，直至所在的圆（）与相切于点M，如图3所示，此时恰好经过点D． (1)求的半径． (2)如图4所示，将手柄往上抬，使点E恰好落在的延长线上，与交于点F．经研究发现，此时与相切于点E，连接，，求的值． 同弧或等弧所对的圆周角题型07 1．（25-26上·期末）如图，内接于圆，是上一点，连接．下列角中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江大庆·二模）下列说法不正确的是（ ） A．斜边相等的两个等腰直角三角形一定全等 B．一款跑步鞋在进价的基础上提高标价，商场为了促销打八折销售，仍可获利元， 则这款跑步鞋的进价为元 C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 D．甲、乙两组数据的方差，则这两组数据的标准差 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数． 4．已知，在中，设所对的圆周角为．求证： 证明；圆心O可能在的一边上，内部和外部（如图①、②和③）． 如图①，当圆心O在的一边上时． ∵， ∴， ∵， ∴，即 请你完成图②、图③的证明． 5． 素材1：平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形称为四边形，其中作出一条边所在的直线，其余各边均在其同侧的四边形称为凸四边形，其余各边中有不在同侧的四边形称为凹四边形，换句话说就是，凸四边形的每个内角都小于，凹四边形中有内角大于． 素材2：我们把一组对角相等且只有一组对边相等的凸四边形称为F−四边形．小亮按下列步骤操作得到的四边形ABDE就是F−四边形： 第1步：画，，； 第2步：在边上取一异于B，C的点D，； 第3步；以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点； 第4步：连结、．    活动一：素材反思 思考1：素材2中操作的第2步中为什么要说明“”？ 任务1：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．判断四边形是否为F−四边形，并说明理由； 思考2：素材2中操作的第1步中为什么要说明“”？ 任务2：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．若四边形为F−四边形，求的取值范围；    活动二：图形应用 如图，四边形为F−四边形，，，且． 任务3：记的面积为S，直接写出S的取值范围．    半圆（直径）所对的圆周角是直角的应用题型08 1．如图，是的直径，是圆上一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（    ）    A．4 B． C．6 D． 3．如图，矩形中，，，点为矩形内一动点，且满足，则线段的最小值为（    ） A．5 B．1 C．2 D．3 4．（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，是的直径，，是上两点，若，则的度数为______． 5．如图，为的直径，点C在上，延长至点D，使，延长与的另一个交点为E，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 90度的圆周角所对的弦是直径的应用题型09 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，用制作的表盘模型，其中点A，B分别与整钟点“3时”，“11时”重合，要使，则点C应位于表盘的（    ） A．“7时”处 B．“8时”处 C．“9时”处 D．“10时”处 2．在中，，则外接圆的半径是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，的直径为8，P是上一动点，半径垂直于，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，过原点，且与轴、轴交于点A，，点A的坐标为，的直径为10．则点的坐标为______． 5．（2026·河南周口·模拟）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，点是反比例函数的图像上一点，以为圆心，长为半径作，与坐标轴分别交于点，，连接． (1)求证：点是线段的中点； (2)若的面积为12，求反比例函数的解析式； (3)在（2）的条件下，若，将绕着点顺时针旋转，使点落在双曲线上的点，则点的坐标为_______． 圆内接四边形性质的应用题型10 1．如图，四边形内接于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（　　） A．80° B．80°或100° C．100° D．160°或20° 5．（2025·陕西·模拟）如图，点均在上，且，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 垂径定理在作图中的应用题型01 1．如图，已知⊙O和弦AB请你利用尺规作⊙O的内接△ABC，使AC＝BC，（作出一个即可，不写作法，保留作图痕迹） 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点、、、在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系，画出过、、三点的圆，圆心为点． (1)两点的坐标分别为（___________）（___________）； (2)圆心的坐标为（___________）； (3)求出圆的半径． 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线． 4．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点． （1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹） （2）若AP＝2，CD＝8，求⊙O的半径． 5．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．    (1)如图1，点是矩形边的中点，过点画矩形的一条对称轴交于； (2)如图2，△ABC和△DEF的顶点分别与小正方形的顶点重合，若△DEF是△ABC绕点O旋转得到的，请在图中画出旋转中心； (3)如图3，圆经过两个格点，以及格线上的点，作劣弧的中点；并在优弧上找一点，使得； 用垂径定理进行证明题型02 1．分别作，的垂直平分线交于点， 故点即为所求， 证明：点和点是对称点，点和点是对称点，四边形均为正方形， 垂直平分，垂直平分， 点为旋转中心； （3）解：作法：  1．连接交格线于点， 连接， 2．作直线交于点，交于点， 3．作直线交于点，连接, 故点即为所求， 证明：过点作直线的垂线，垂足为点， ， ， ， ，即垂直平分， ， ， ， ， ． 4．（24-25九年级上·湖北丹江口·期末）如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：． 5．（25-26九年级·期末）如图，是的外接圆，是的直径，于点．求证：． 用垂径定理解决同心圆问题题型03 1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，半径，，垂足为D，． (1)求证：； (2)若的半径为5，，则______． 2．（2025·安徽淮北·三模）如图，是的直径，点 C 在上，弦，过点O作交于点 D，连接交于点 E，交于点 F． (1)求的度数； (2)求证：． 3．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）已知：如图，是的两条直径，E为半径上一点（不与点O，C重合），作交于点F，过点F，D分别作的垂线，垂足为点H，G，连接． (1)当点E是的中点时，求的度数； (2)当时，求的值； (3)求证：． 4．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 5．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 用垂径定理解决平行弦问题题型04 1．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 2．（25-26九年级上·上海·期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 3．综合与实践． 主题活动 探究窗花图案的几何知识 文化背景 窗花的历史可以追溯到汉代，当时人们用各种材料制作薄片，通过镂空雕刻的艺术形式创造出各种图案，贴在窗户上作为装饰．随着造纸术的发明和普及，纸张逐渐成为窗花的主要材料，使得窗花艺术得到更广泛的发展．如图1的窗花寓意着团圆平安，欢乐祥和． 实践探究 从图1的窗花图案中可抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形(如图2)，我们称这种图形为“环花”，设直线l与“环花”从左到右依次交于点A，B， C， D． 探究1：写出图2中线段与的数量关系：____________；小明经过观察认为当直线l 不经过中心O时(如图3)，结论仍然成立；请给出证明． 探究2：若图3中，且大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长． 拓展迁移 探究3：将两个同心圆替换成两个菱形，如图4，点O是这两个菱形对角线的公共交点， 且F，B，D，H 四点均在对角线上，直线l不经中心O，与两个菱形从左到右依次交于点M，N，P，Q，求的值． 4．若弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为13，AB=10，CD=24，则AB，CD之间的距离为 A．7 B．17 C．5或12 D．7或17 5．（26-27九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 垂径定理的实际应用题型05 1．如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 2．如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 3．关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题： (1)求证：关于x的“勾系方程”必有实数根. (2)如图，已知、是半径为5的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“勾系方程”. ①求的度数， ②直接写出的长：_____________（用含a、b的式子表示）. 4．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（    ） A．3 B．4 C． D．6 5．某桥是典型的圆弧形石拱桥，如图，小雅同学测得水面宽为8m，拱顶到水面的距离也为8m，则这座桥的桥拱半径为（    ） A．4m B．5m C．6m D．8m 利用垂径定理求其他问题题型06 1．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 2．根据素材解决问题： 设计货船通过拱桥的方案 素材1 左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离． 素材2 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探究铁锅内放蒸笼的问题 素材1 民以食为天，我们常见的大铁锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆弧面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形（如图1）．蒸笼可以看成是若干个圆柱体叠加起来． 素材2 如图2，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖口直径视为相同），把锅盖纵断面所在的圆记作． 素材3 如图3，圆柱体蒸笼底面直径，高度为，若干个这种规格的蒸笼叠加起来不需要考虑叠加缝隙． 问题解决 任务1 求弧所在的的半径； 任务2 锅中原有水的最大深度为（如图4），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高了，求此时的水面宽度； 任务3 在这个大铁锅中最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 任务4 为加工更大的食材，现需要将一个底面直径为，高度为的圆柱体蒸笼放入铁锅内，原本的锅盖无法正常使用，需要寻找一个新的圆弧形锅盖，使得新的蒸笼放入后，锅盖能恰好盖上（且锅口直径与锅盖口直径相同）请直接写出新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径． 4．如图，中，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（　　） A．6.5 B．5.5 C．3.5 D．2.5 利用弦、弧、圆心角的关系证明题型07 1．如图，是的弦，根据下列条件填空： （1）如果是的直径，且于点，那么有_____，_____，_____； （2）如果是的直径，且，那么有_____，_____，_____； （3）如果，且，那么有_____，_____，_____．    2．如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________． 3．在平衡直角坐标系中，线段，点，在线段上，且，为的中点，如果任取一点，将点绕点顺时针旋转得到点，则称点为点关于线段的“旋平点”．    (1)如图1，已知，，，知果为点关于线段的“旋平点”，画出示意图，写出的取值范围； (2)如图，的半径为，点，在上，点，如果在直线上存在点关于线段的“旋平点”，求的取值范围． 4．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 5．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，弦、于点E，且．求证：．    求弧的度数题型08 1．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在圆O中，，于E． (1)求证：． (2)若圆O的半径为5，，求的长． 2．（25-26九年级上·上海·月考）如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为的直径，点A在上且，为上的一点，连接，过A作于点，交于点，交于点，连接并延长交于点，连． (1)请判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)当时，求与的面积之比． 4．（25-26九年级·浙江丽水·期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 圆周角定理及推理在作图中的应用题型09 1．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角_________. 2．如图，是直径，，，的度数是______． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图①，在中，劣弧的度数为，点是优弧上的动点，且不与点重合，弦的垂直平分线分别交射线，弦于点． (1)求证：是等边三角形； (2)能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； (3)若的半径为2，则面积的最大值是______． 4．（2026·福建厦门·一模）古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________． 5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点；圆经过，，三个格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出圆心； (2)在图2中，在劣弧上找一点，使． 求四边形外接圆的半径题型10 1．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图1，为的内接三角形，点为延长线上一点，点在上（与点位于弦的两侧）． (1)若，，求的度数； (2)作图：在图2中，请用无刻度的直尺和圆规在上找出点，使得． 2．如图，中，． (1)请仅用无刻度的直尺和圆规在内求作点D，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，延长交于点H，若H为中点且，求的面积． 3．【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为______度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在弧上（点P不与点A、C重合），连接、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接BE． ∵四边形ABCP是的内接四边形，∴， ∴，∴， ∵是等边三角形，∴， ∴． 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接、、，若，则的值为多少？ 4．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 5．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 巧构圆形图解决问题题型 1．图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆的中点，（即当支架水平放置时直线平行于水平线，支撑杆垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节的高度．当经过圆心O时，它的宽度达到最大值，在支架水平放置的状态下： (1)当滑动杆的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆的高度． (2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（），求该手机的宽度． 2．【问题提出】 （1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________； 【问题解决】 （2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离； 【问题探究】 （3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $