1.4 4 数列在日常经济生活中的应用课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第二册

1.4 数列在日常经济生活中的应用 课时1 零存整取模型 和定期自动转存模型的应用 1. 单利（等差数列模型）： 单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息. 其公式为： 利息 = 本金×利率×存期. 以符号 P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本金与利息和（以下简称本利和），则有： S = P (1 + nr). 2. 复利（等比数列模型）： 复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法. 复利的计算公式是： S = P(1+r)n 探究活动 1：小明手里有一笔钱，想选择一种存款方式进行理财. 银行提供了“零存整取”和“定期自动转存”两种存款方式供小明选择. 零存整取：零存：每月定时存入一笔相同数目的现金；整取：到约定日期，可以取出全部本利和；规定每次存入的钱不计复利（单利）. 定期自动转存：储户某日存入一笔 1 年期定期存款，1 年后，如果储户不取出本利和，则银行按存款到期时的 1 年期定期存款利率自动办理转存业务，第 2 年的本金就是第 1 年的本利和（复利）. 请你根据所学知识，帮小明选择一种获利最多的存款方式，并说说两种存款方式的优劣. 【方式1 选择零存整取】 (1 年、3 年、5 年期限的存款年利率分别为 1.35%， 1.55%， 1.55%) （1）若每月存入金额为 x 元，月利率 r 保持不变，存期为 n 个月，试推导出到期整取时本利和的公式； （2）若每月初存入 500 元，到第 3 年整取时的本利和是多少？(精确到0.01元） （3）若每月初存入一定金额，希望到 1 年后整取时取得本利和 2 000 元，则每月初应存入的金额是多少？（精确到0.01元） 解：（1）根据题意，第 1 个月存入的金额为 x 元，到期利息为 xrn 元；第 2 个月存入的金额为 x 元，到期利息为 xr(n-1) 元 ······ 第 n 个月存入的金额为 x 元，到期利息为 xr 元. 因此，各月利息之和为 xr (1 + 2 + ··· + n) = ，而本金为 nx 元， 这样就得到本利和公式 ，即 ① 【方式1 选择零存整取】 (1 年、3 年、5 年期限的存款年利率分别为 1.35%， 1.55%， 1.55%) （2）若每月初存入 500 元，到第 3 年整取时的本利和是多少？(精确到0.01元） （3）若每月初存入一定金额，希望到 1 年后整取时取得本利和 2 000 元，则每月初应存入的金额是多少？（精确到0.01元） （2）根据题意知，x = 500，r = ，n = 36，代入 ① 式，本利和为 （元）. （3）根据题意知，y = 2000，r = ，n = 12，代入①式，得 所以每月初应存入 165.46 元. （元）. 【方式2 选择定期自动转存】（假定自动转存业务中，无利率变化调整因素） （1）如果储户存入定期为 1 年的 P 元存款，定期年利率为 r，连存 n 年后，再取出本利和. 试求岀储户 n 年后所得本利和的公式； （2）如果存入 1.8 万元定期存款，存期 1 年，年利率为 1.75 %，那么 3 年后共得本利和多少元？(精确到0.01元) 解：（1）记 n 年后得到的本利和为 an. 根据题意知： 第 1 年存入的本金 P 元，1 年后到期利息为 Pr 元，1 年后本利和为 a1 = P + Pr = P(1+r) (元)； 2 年后到期利息为 P(1 + r)r 元，2 年后本利和为 a2 = P(l + r) + P(l + r)r = P(l + r)2 (元)； 所以各年的本利和是一个首项 a1 = P(l + r)、公比 q = l + r 的等比数列 {an}，故 n 年后到期的本利和为 an = a1qn - 1 = P(l + r)(l + r)n - 1 = P(l + r)n (元). 【方式2 选择定期自动转存】（假定自动转存业务中，无利率变化调整因素） （2）如果存入 1.8 万元定期存款，存期 1 年，年利率为 1.75 %，那么 3 年后共得本利和多少元？(精确到0.01元) （2） n 年后到期的本利和为 an = a1qn - 1 = P(l + r)(l + r)n - 1 = P(l + r)n (元). 3 年后本利和为 a3 = 18000×(1 + 0.0175)3 ≈ 18961.63（元）. 因此，3 年后得本利和约为 18961.63 元. 思考：比较选择零存整取模型（每月初存入 500 元，到第 3 年整取）和选择定期自动转存（ 一次性存入 1.8 万元定期存款，存期 1 年，自动转存到 3 年后）哪种方式获利更多？ 两种存款方式特征对比 存款方式 零存整取 （等差数列的求和问题） 定期自动转存 （等比数列的求和问题） 年利率 本金 利息 本利和 资金流动性 操作便捷性 结论 三年利率 1.55 % 每月 500 元，3 年本金 18000 元 430.13 元（单利） 18430.13 元 较高 （分批存入，可随时调用） 较为繁琐，需每月操作 1.75 % 一次性存入定期 18000 元 961.63 元（复利） 18961.63 元 较低 （一次性存入，若提前支取，会按活期计息） 一次性操作，自动转存 “灵活度高则收益低、收益高则灵活度低” ，可根据实际情况进行选择 练一练：小明 2021 年元旦在银行存款 1 万元，办理一年定期储蓄，年利率为 1.75 %，以后按约定自动转存. 请计算小明到 2026 年元旦得到的本利和. 解：已知 n 年后到期的本利和为 an = a1qn - 1 = P(l + r)(l + r)n - 1 = P(l + r)n (元). 所以到 2026 年元旦 (共 5 年) 的本利和为 a5 = 10000×(1 + 0.0175)5 ≈ 10906.17 (元). 因此，小明到 2026 年元旦得到的本利和 10906.17 元. 存款方式 零存整取 （等差数列的求和问题） 定期自动转存 （等比数列的求和问题） 本利和公式 资金流动性 操作便捷性 结论 an = P(l + r)n 每月存入金额：x 元；月利率： r ； 存期：n 个月. 一次性存入金额：P 元；年利率： r ； 存期：n 年. 较高 （分批存入，可随时调用） 较低 （一次性存入，若提前支取，会按活期计息） 较为繁琐，需每月操作 一次性操作，自动转存 “灵活度高则收益低、收益高则灵活度低” ，可根据实际情况进行选择 储蓄收益对比教学计算器：https://www.doubao.com/share/code/351677797d64bd2f?is_code=1 探究：试着利用下列储蓄收益计算器，进一步体会单利和复利的区别. 课时2 分期付款模型的应用 情 景 导 入 探究活动 ：小明准备向银行贷一笔款，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款. 银行提供了“等额本金”和“等额本息”两种分期付款方式供小明选择. 等额本金：在还款期内将贷款总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息； 等额本息：等额本息是指在还款期内，每月偿还同等数额的贷款 (包括本金和利息)； （1）了解分期方式后，小明选择贷款 P 元，在第 n 月还请所有贷款，约定每月利率为 r，请列出两种方式下每期还款金额的等式； 问 题 探 究 ① 选择等额本金还款方式：还款期内将贷款总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息； 由题可知，每月还款本金为 ， 每月还款金额= + (贷款本金-已还本金总额)×利率，则 第 1 月还款金额 = + P×r； 第 2 月还款金额 = + (P - )×r； … 第 n 月还款金额 = + (P - (n-1))×r； 由此可以看出，等额本金还款方式是一个递减的等差数列. ∴ 每月还款金额 = + [P - (n - 1)]×r ① 问 题 探 究 ② 选择等额本息还款方式：还款期内，每月偿还同等数额的贷款 (包括本金和利息)； 银行不亏原则：银行借给小明本金 P 元 (现在的钱)，需确保：小明在 n 个月里每月还的 A 元 (未来的钱 = 每月本金 + 利息)，加起来刚好等于 P 元. 即 P = + + + ··· + ，由此可以看出等式右侧是一个首项为 a1 = ，公比 q = 的等比数列求和，将等比数列前 n 项和公式代入 可得 P = · = A·，解得 A = ，即为每月还款金额. 问 题 探 究 （2）假设小明贷款 5000 元，预计 12 个月还请所有贷款，约定每月利率为 0.6 %，请你帮小明想一想，该选择那种分期付款方式更划算. (精确到0.01) 分期方式 等额本金（等差数列模型） 等额本息（等比数列模型） 月利率 0.6 % 贷款本金 5000 元 每月还款金额 利息 结论 等额本金：每月还款本金固定，利息逐月递减，总利息较低； 等额本息：每月还款金额固定，前期利息占比大，总利息较高. 首月：446.67 元；末月：419.17 元； 每月所还本金不变，月供逐月减少 433.09 元； 每月月供不变，所还本金逐渐增加 195.00 197.14 问 题 探 究 还款方式选择： 知 识 梳 理 练一练1：小杨向银行贷款 40 万元用于购房. 银行住房贷款的年利率为 3.7 %. 若小杨计划用 10 年时间完成还款，请你帮小杨想一想，该选择等额本息还是等额本金更划算. 分期方式 等额本息 等额本金 年利率 3.7 % 贷款金额 400 000 元 每月还款额 总还款额 总利息 结论 3993.02 元 首月还款额：4566.67 元 末月还款额：3343.61 元 479162.33 元 474616.67 元 79162.33 元 74616.67 元 长期来说，使用等额本金还款更加划算. 当 堂 检 测 思考：如果小杨想提前完成还款，该选择那种还款方式. 维度 等额本息（等额还款） 等额本金（递减还款） 提前还款 提前还款不划算 （前期偿还利息多，本金偿还少，提前还款时已支付大量利息） 提前还款更划算 （前期偿还本金多，剩余本金减少快，利息节省幅度大） 当 堂 检 测 分期方式 等额本金 等额本息 数列模型 月供变化趋势 本金偿还方式 利息偿还方式 总利息支出 前期还款压力 后期还款压力 适用人群 数学特征 等差数列 逐月递减（首月最高，每月减少固定金额） 每月固定（总本金 ÷ 还款月数） 逐月递减 （按剩余本金计算，固定金额减少） 较低（前期还本金多，占用资金时间短） 较大（首月月供远高于等额本息） 较小（月供逐月递减） 前期现金流充足，或有提前还款计划者 差值恒定 （月供相邻两项差值=固定公差） 等比数列 固定不变（整个还款期金额恒定） 前期少、后期多（随剩余本金减少递增） 前期多、后期少 （按剩余本金计算，固定比例减少） 较高（前期还本金少，占用资金时间长） 较小（月供固定且偏低） 稳定（始终保持固定月供） 收入稳定但不高，需固定月度预算规划者 比值恒定 （利息 / 剩余本金相邻两项比值 = 固定公比） 课 堂 总 结 分期付款教学计算器：https://www.doubao.com/share/code/9622940d4595142f?is_code=1 探究：试着利用下列分期付款计算器，进一步体会两种分期方式的区别. 课 外 拓 展 $