四川达州市万源市城南中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

万源市城南中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各选项中，矩形具有而菱形不一定有的性质是（     ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻角互补 D．对角线互相平分 3．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长是（ ） A．12　　 B．15　 　C．12或15　 　D．无法确定 4. 矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若，则BD的长为（ ） A．2　 　B．4　　 C．　 　D． 5．若 是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 6．如图，在正方形中，对角线与交于点O，E是边上一点，连接，过点O作的垂线交于点F，若，，则正方形的边长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 8．如图，点为菱形的对角线的中点，点，分别在边，上，的延长线交线段于点，的延长线交线段于点，连接，，，．下列命题中属于假命题的是（     ） A．无论的大小如何，总有 B．若，则 C．存在无数个点，使得四边形为菱形 D．若四边形为矩形，则 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若关于x的方程（a﹣2）x|a|+3x﹣4＝0是一元二次方程，则a＝ 　 　 ． 10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若，则的度数为          . 11.菱形的两条对角线分别为6cm，8cm，则它的面积是           12．若关于 的一元二次方程 通过配方法可以化成 的形式，则 的值可以是　 　.(写出一个符合要求的 值). 13．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角度数，正方形ABCD变为菱形 ，若 ，且菱形 的面积为16，则正方形ABCD的面积为　 　． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）用适当方法解下列一元二次方程：（1）x2﹣6x＝1； （2）x2﹣4＝3（x﹣2）． 15.（8分）如图，在四边形ABCD中，，，过点A作，交CB的延长线于点E，连接DB， 求证：四边形ABCD是菱形; 过点D作于点F，延长DF交AE于点G，若，，求DF的长. 16．（10分）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，且，求实数的值． 17．（10分）某超市销售一种进价为40元/件的商品，经市场调查发现：当售价为50元/件时，平均每天可售出200件；售价每降低1元，平均每天可多售出50件． (1)设每件商品降价x元，则平均每天的销售量是______件，每件商品的利润是______元；（用含x的代数式表示） (2)超市要想平均每天销售这种商品的利润达到2250元，且让顾客得到更多实惠，每件商品应降价多少元？ 18．（12分）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G． （1）求证：DF∥AC； （2）连接DE、CF，若2AB＝BF，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形； （3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且BC＝80，求AB的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，在用配方法解一元二次方程时，有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是_______． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点是线段上一点，过点作轴于点，轴于点．若矩形的周长为8，则点的坐标为_________．   21．已知 α、 β 是方程的两根，则___________ . 22．如图，在矩形中，，，，连接．以点为圆心，小于的长度为半径画弧，分别交，于，两点；再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，连接并延长交边于．若点为线段上任意一点，则的最小值为_________________． 23．如图，已知正方形ABCD的边长为2，在BC的延长线上取点B1，使∠CB1D＝60°，分别过点D，B1作DB1，BC的垂线，两垂线交于点A1，再以A1B1为边向右侧作正方形A1B1C1D1；在BC1的延长线上取点B2，使∠C1B2D1＝60°，分别过点D1，B2作D1B2，BC1的垂线，两垂线交于点A2，再以A2B2为边向右侧作正方形A2B2C2D2；……，按此规律继续作下去，则正方形A2026B2026C2026D2026的面积为　 　． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24.（8分）如图，在中，，EA，FA为的外角平分线，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足.           直接写出结果，不写解答过程 ①求证：四边形ABCD是正方形;②若，求DF的长. 借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形PQR中，，一条高是PH，它的长度为6，，直接写出HR的长度. 25．（10分）我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请说明方程是倍根方程； （2）若是倍根方程，则，具有怎样的关系？ （3）若一元二次方程是倍根方程，则，，的等量关系是　 　（直接写出结果） 26．（12分）我们把有一组对角都是直角的四边形，叫做“对直四边形”.例如图1，四边形 中， ，那么四边形 就是对直四边形. （1）在已经学过的“①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形”中，一定是对直四边形是　 　；（填序号） （2）如图2，四边形 是对直四边形，若 ， ，，， ，求四边形 的面积； （3）如图3，在正方形 中，点 ， ， 分别从点 ， ， 同时出发，并分别以每秒1，1，2个单位长度的速度，分别沿正方形的边 ，， 方向运动（保持 ，再分别过点 ， 作 ， 的垂线交于点 ，连结 ， .求证：四边形 为对直四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $