第3章 圆锥曲线与方程（单元分层自测·能力提升卷）数学苏教版选择性必修第一册

2026-2027学年高二数学单元自测 第3章 圆锥曲线与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（    ） A．6 B． C． D．12 2．已知椭圆，点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．无法判断 3．已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 5．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．我们知道，对勾函数的图象实际上是双曲线，它是由标准双曲线经过变换得到，它满足双曲线的基本性质．则函数的图象对应的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为2 C．的周长为8 D．的离心率为 10．已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 11．已知点，，曲线：，则下列说法中，正确的有（ ） A．曲线上存在点，使得 B．直线与曲线没有交点 C．若过点的直线与曲线有两个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 13．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____ . 14．平面上到两个不同的定点，的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图所示，曲线 是一条过坐标原点的卡西尼卵形线，其中两定点，．若点 为曲线 上的任意一点，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 16．（15分） 双曲线：的离心率为，其右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设点在双曲线的右支上，以为切点作双曲线的切线，与其两条渐近线分别相交于点，证明：为线段的中点． 17．（15分） 已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 18．（17分） 已知椭圆：（）的离心率为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 19．（17分） 二次曲线是由二次方程描述的曲线，其一般形式为：，其中，，，，，为实数，且，不同时为零.它可以用来描述多种不同的曲线形状，如椭圆、双曲线和抛物线等. (1)分别写出曲线的方程表示椭圆标准方程、双曲线标准方程的充要条件（不需证明）. (2)若曲线方程中的，，，.过作轴的垂线，在第一象限交曲线于点，动直线（不过点）交曲线于点，，直线，与轴分别交于点，. ①求的取值范围； ②证明：是等腰三角形. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第3章 圆锥曲线与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】D 【解析】的周长为， 2．已知椭圆，点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．无法判断 【答案】C 【解析】把点的横、纵坐标代入椭圆的方程左边，得， 所以点在椭圆外. 3．已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为：， 设点到抛物线的准线：的距离为， 则，等号在时成立， 所以的最小值为9. 4．已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【答案】D 【解析】依题意得． 当时，，此时，符合双曲线定义， 因此点的轨迹是双曲线靠近的右支，故点的轨迹为双曲线的一支； 当时，，此时， 说明点满足和、共线，且在的右侧（含点），沿轴正方向延伸， 故点的轨迹为一条射线． 综上，点的轨迹分别是双曲线的一支和一条射线． 5．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，当点位于上顶点（或下顶点）时，的面积取最大值， 因此，由题意得，且，联立得，解得（负值舍去），则， 离心率，故A正确. 6．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设，椭圆的焦距为，则， 由，有，解得或（舍）， 故，，且， 在中，由余弦定理可得， 所以，故，. 7．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法一：由题意可知：，且直线的斜率不为0， 设直线，，， 联立方程，消去x可得， 则，可得，， 则，， 可得， 所以的取值范围为； 解法二：设直线的倾斜角为，点在点上方， 则，， 则， 由题意知，，即， 所以的取值范围为. 8．我们知道，对勾函数的图象实际上是双曲线，它是由标准双曲线经过变换得到，它满足双曲线的基本性质．则函数的图象对应的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：函数有两条渐近线，， 设渐近线的夹角为，，直线的倾斜角为， 则，，可得， 则，整理可得，解得或（舍去）， 即，所以所求双曲线的离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为2 C．的周长为8 D．的离心率为 【答案】BC 【解析】由图知，，因，则是正三角形， 又，则，故椭圆的离心率为，故D错误； 由可得，则， 由可得，解得，故椭圆的短轴长为，故A错误； 焦距为，故B正确；的周长为，故C正确. 10．已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 【答案】ABD 【解析】因为是抛物线的焦点，所以，解得，A正确； 设，因为点在抛物线上，故， 所以，B正确； 当与轴的正半轴夹角为时，此时，又， 故为等边三角形，C错误； 由抛物线性质，可知，故点在的垂直平分线上，D正确． 11．已知点，，曲线：，则下列说法中，正确的有（ ） A．曲线上存在点，使得 B．直线与曲线没有交点 C．若过点的直线与曲线有两个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，，则 【答案】AD 【解析】分情况去掉绝对值符号，进而可作出曲线，再结合每个选项的条件逐项判断即可. 当，时，曲线：； 当，时，曲线：； 当，时，曲线：（不存在）； 当，时，曲线：. 画出图形如图所示： 对于选项A：满足条件的曲线是双曲线的右支， 所以存在曲线上的点，使得成立，故选项A正确； 对于选项B：一、三象限曲线的渐近线方程为， 则直线与曲线有交点，故选项B错误； 对于选项C：设过点的直线：，与曲线有两个交点，显然，故选项C错误； 对于选项D：设，由点到直线距离公式得：，， 所以. 因为点是曲线上在第三象限内的一点，则有， 即，所以，故选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 【答案】 【解析】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 设，则， 因为，所以，所以. 13．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____ . 【答案】14 【解析】由抛物线方程得， 设，， 由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点， 所以， ，， 所以， 即该光线经过的路程为. 14．平面上到两个不同的定点，的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图所示，曲线 是一条过坐标原点的卡西尼卵形线，其中两定点，．若点 为曲线 上的任意一点，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】由题意，曲线过原点，，，则 ，， 根据定义，对曲线上任意点，有 ， 由基本不等式得：， 等号成立当且仅当，结合，得，，满足三角不等式，存在这样的点，等号可取。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 【解析】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，． 16．（15分） 双曲线：的离心率为，其右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设点在双曲线的右支上，以为切点作双曲线的切线，与其两条渐近线分别相交于点，证明：为线段的中点． 【解析】（1）因为右焦点到渐近线的距离，故， 又，且，解得，，， 则曲线C的标准方程为； （2）设，，， 先证该双曲线在点处的切线方程为， 证明过程如下： 联立，整理有， 由于，则，， 故直线与双曲线相切，证毕； 联立得，则为方程的解， 故，故P为线段的中点． 17．（15分） 已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 【解析】（1）因为抛物线经过点，所以，解得， 设直线方程为，，，联立方程组可得， ，且解得，且， 又因为要与轴相交，故直线不能经过点，所以， 所以直线的斜率的取值范围是： （2）， 故直线方程为：，化简可得：. 由于直线过，所以， 同理：方程：；方程：， 令，得，同理可得， ， 所以，所以为定值. 18．（17分） 已知椭圆：（）的离心率为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 【解析】（1）由已知，焦距为，得； 离心率，代入，得； 由，得， 因此椭圆的标准方程为； （2）（ⅰ）由已知，设过的直线方程为， 设，，， 联立，化简得， 由韦达定理得，； 直线的斜率，故 ， 根据对称性可知直线恒过定点位于轴上， 令，并代入，， 化简得， 因此直线恒过轴上的定点； （ⅱ）由可知， 的面积； 的面积； 由题意，得，结合，可知， 将代入韦达定理得， 化简得 解得，即， 因此直线的方程为. 19．（17分） 二次曲线是由二次方程描述的曲线，其一般形式为：，其中，，，，，为实数，且，不同时为零.它可以用来描述多种不同的曲线形状，如椭圆、双曲线和抛物线等. (1)分别写出曲线的方程表示椭圆标准方程、双曲线标准方程的充要条件（不需证明）. (2)若曲线方程中的，，，.过作轴的垂线，在第一象限交曲线于点，动直线（不过点）交曲线于点，，直线，与轴分别交于点，. ①求的取值范围； ②证明：是等腰三角形. 【解析】（1）的方程表示椭圆标准方程的充要条件为，，，且；的方程表示双曲线标准方程的充要条件为，，； （2）①由已知条件可得曲线为：， 联立方程组 消去得， 因为直线与曲线有两个不同交点， 所以，所以，所以. 又过作轴的垂线，在第一象限交曲线于点，则， 由题意知，两点不同于，代入直线，所以， 所以，且. ②由已知得点，设，. 由韦达定理可知，. 又， 同理. 则 . 将韦达定理代入得， 即，所以直线与的倾斜角互补，所以， 从而是等腰三角形，得证. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学单元自测 第3章 圆锥曲线与方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（    ） A．6 B． C． D．12 2．已知椭圆，点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．无法判断 3．已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 5．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．我们知道，对勾函数的图象实际上是双曲线，它是由标准双曲线经过变换得到，它满足双曲线的基本性质．则函数的图象对应的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为2 C．的周长为8 D．的离心率为 10．已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 11．已知点，，曲线：，则下列说法中，正确的有（ ） A．曲线上存在点，使得 B．直线与曲线没有交点 C．若过点的直线与曲线有两个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 13．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____ . 14．平面上到两个不同的定点，的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图所示，曲线 是一条过坐标原点的卡西尼卵形线，其中两定点，．若点 为曲线 上的任意一点，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 16．（15分） 双曲线：的离心率为，其右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设点在双曲线的右支上，以为切点作双曲线的切线，与其两条渐近线分别相交于点，证明：为线段的中点． 17．（15分） 已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值. 18．（17分） 已知椭圆：（）的离心率为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 19．（17分） 二次曲线是由二次方程描述的曲线，其一般形式为：，其中，，，，，为实数，且，不同时为零.它可以用来描述多种不同的曲线形状，如椭圆、双曲线和抛物线等. (1)分别写出曲线的方程表示椭圆标准方程、双曲线标准方程的充要条件（不需证明）. (2)若曲线方程中的，，，.过作轴的垂线，在第一象限交曲线于点，动直线（不过点）交曲线于点，，直线，与轴分别交于点，. ①求的取值范围； ②证明：是等腰三角形. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第3章 圆锥曲线与方程·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B D A C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．14 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为．（6分） （2）联立得． 由题可得， 解得，．（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为右焦点到渐近线的距离，故， 又，且，解得，，， 则曲线C的标准方程为；（6分） （2）设，，， 先证该双曲线在点处的切线方程为， 证明过程如下： 联立，整理有， 由于，则，， 故直线与双曲线相切，证毕； 联立得，则为方程的解， 故，故P为线段的中点．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为抛物线经过点，所以，解得， 设直线方程为，，，联立方程组可得， ，且解得，且， 又因为要与轴相交，故直线不能经过点，所以， 所以直线的斜率的取值范围是：（6分） （2）， 故直线方程为：，化简可得：. 由于直线过，所以， 同理：方程：；方程：， 令，得，同理可得， ， 所以，所以为定值. （15分） 18．（17分） 【解析】（1）由已知，焦距为，得； 离心率，代入，得； 由，得， 因此椭圆的标准方程为；（4分） （2）（ⅰ）由已知，设过的直线方程为， 设，，， 联立，化简得， 由韦达定理得，； 直线的斜率，故 ， 根据对称性可知直线恒过定点位于轴上， 令，并代入，， 化简得， 因此直线恒过轴上的定点；（10分） （ⅱ）由可知， 的面积； 的面积； 由题意，得，结合，可知， 将代入韦达定理得， 化简得 解得，即， 因此直线的方程为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）的方程表示椭圆标准方程的充要条件为，，，且；的方程表示双曲线标准方程的充要条件为，，；（4分） （2）①由已知条件可得曲线为：， 联立方程组 消去得， 因为直线与曲线有两个不同交点， 所以，所以，所以. 又过作轴的垂线，在第一象限交曲线于点，则， 由题意知，两点不同于，代入直线，所以， 所以，且.（9分） ②由已知得点，设，. 由韦达定理可知，. 又， 同理. 则 . 将韦达定理代入得， 即，所以直线与的倾斜角互补，所以， 从而是等腰三角形，得证. （17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $