精品解析：四川成都实验外国语学校2026-2027学年八年级上学期9月阶段学情自测数学试卷（甲卷）

2026-2027成都实验外国语学校八年级（上）九月月考试卷（甲卷） A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（ ） A. 0.6，0.8，1.0 B. 1，， C. 5，12，13 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数的含义，勾股数是满足勾股定理的三个正整数，因此需检查各组数是否均为正整数且满足 . 【详解】解：∵ 勾股数必须是正整数且满足勾股定理， A：0.6， 0.8， 1.0 不是正整数，故不是勾股数； B：1，，中和不是正整数，故不是勾股数； C：5， 12， 13 均为正整数，且 ，故是勾股数； D：， ， 不是正整数，故不是勾股数. 故选： C 2. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为（ ） A. 米 B. 米 C. 4米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故树高为米. 3. 下列哪个条件不能判定为直角三角形（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：A、设，，， ， ， 是直角三角形； B、，， ，即， ， 是直角三角形； C、，， ∴，三边不能构成三角形， 不能判定是直角三角形； D、，， ， 是直角三角形． 故选：C ． 4. 如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ） A. 13米 B. 15米 C. 16米 D. 17米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵树高14米，米， ∴米， ∵米， ∴米， 故选：B． 5. 如图，将一根长的筷子，置于一个底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的值最小为（ ） A. 7 B. 8 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短．然后利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， 的值最小为是． 故选：A． 6. 如图是“赵爽弦图”，其中，，，是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果，，那么小正方形的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的证明，关键是直角三角形中勾股定理的运用． 根据勾股定理求得，进而求得的值即可． 【详解】解：∵，，，，，是四个全等的直角三角形， ∴， ， ∵、、和是四个全等的直角三角形， ∴， ， ∴小正方形的面积是4 故选：C． 7. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（ ） A. 35 B. 40 C. 50 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，进一步求解即可． 【详解】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即为红莲的长． 设水深，由题意得： 中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：． 即：水深是 故选：D． 8. 我国的“春节”申遗成功，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱的点处缠绕到圆柱的点处（点在下底面，点在上底面，点在点的正上方），若圆柱的底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为（ ）dm． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高，在展开图中，根据题意，利用两点之间线段最短，求出即可． 【详解】解：圆柱体的侧面展开图如图所示， 在中，， 同理，得：， ∴最短长度为（）． 二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了，然后向正北方向航行了，这时他离出发点____． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质及勾股定理的应用．两段航行的路线正好互相垂直，构成直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：根据题意，这艘船航行路线可以构成一个直角三角形， 此时两直角边的长分别是和， ， 故此时这艘船离出发点． 故答案为：26． 10. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E解得即可． 【详解】解：由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E， ∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C， ∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18， ∴S正方形B+4=18-6， ∴S正方形B=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 11. 如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是________． 【答案】234 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．连接，先利用勾股定理可得的值，再根据勾股定理的逆定理可得，然后根据四边形的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积等于 ； 故答案为：234． 12. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 米，米，米， （米）． 在中，由勾股定理得到（米）， 故答案为：． 13. 如图，在中，于点D，E在上，连接，．若，则长为_______ 【答案】## 【解析】 【分析】先求出，设，则，求解，再进一步求解即可．本题考查的是勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 【详解】解：，，， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的乘法运算法则化简后，再合并计算； （2）分别计算负整数指数幂、零次幂、绝对值、立方根，再合并计算； （3）利用二次根式的除法运算法则化简后，再合并计算； （4）利用平方差公式和完全平方公式展开后，再合并计算． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式． ． 【小问4详解】 解：原式 ． 15. 已知：的立方根是的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，无理数的估算． （1）由立方根的定义可求得a的值，由算术平方根的定义可求得b的值，根据无理数的估算可确定c的值； （2）把a、b、c的值代入代数式中求得代数式的值，即可求得其平方根； 【小问1详解】 解：∵的立方根是， ∴， 解得，， ∵的算术平方根是3， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的整数部分为6， 即， 因此，，，； 【小问2详解】 解：当，，时， ， ∴． 16. 已知，如图，中，，，，以斜边为底边作等腰三角形，腰刚好满足，并作腰上的高． （1）求证：； （2）求等腰三角形的腰长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得，由等腰三角形的性质得，可证，再根据证明可得结论； （2）由（1）得：，，设，在中由勾股定理得出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：，， 设，则， 在中,由勾股定理得, ， 即， 解得：， 即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 17. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且． （1）试说明：； （2）该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】（1） 证明：∵， 又∵ ∴， ∴是直角三角形，且． （2）7200元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且即可； （2）过A作于点E，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，后求出阴影部分的面积，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过A作于点E， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴种植花卉共需花费元， 答：此块空地全部种植花卉共需花费7200元． 18. 【问题解决】 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高，救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两处个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离为多少米才能把完成处救援任务？ 【答案】消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：过点作， 由题意，得， A，B，D三点在同一直线上． ，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得 ． 答：消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务． B卷（20分） 一、填空题（每小题4分，共12分） 19. 已知，，记为的整数部分，为的小数部分，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，无理数的估算，先有理化分母化简和，得到，；再确定的整数部分和的小数部分，最后计算．掌握化简的方法和计算的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ， 又∵， ∴， ∴，， ∴的整数部分，的整数部分为， ∴的小数部分， ∴． 故答案为：． 20. 如图，一个底面为正方形的无盖长方体盒子的长、宽、高分别为，，，即，，现在顶点处有一滴蜜糖，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从顶点爬到处去吃蜜糖，则需要爬行的最短距离为________． 【答案】##50厘米 【解析】 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算不同路径长度并比较． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，如图所示， 此时三点共线．在中，直角边，直角边，根据勾股定理得：． 情况二：将长方体的底面和右面展开在同一平面内，如图2所示， 此时三点共线，在中，直角边，直角边，根据勾股定理得． ， ，即情况一的爬行距离更短． 综上所述，蚂蚁爬行的最短距离为． 21. 如图，在四边形中，，，对角线与相交于点E，若，则 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理等知识点，解题的关键是构造辅助线，熟练掌握以上性质． 过点作于点，过点作于点，连接，利用平行线和等边三角形的性质，求出相关线段的长度和数量关系，利用直角三角形斜边中线定理求出长度，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，连接. ， ． ，根据同高， ， 将看作两个三角形的同底，且，则等于的高， ． ，， 为等边三角形， ． ， ． ∴， ， ， ，点为中点， ∴， ． ． 故答案为：． 二、解答题（共8分） 22. 如图1，在中，． （1）求的长； （2）点D为线段上一动点，将绕点A逆时针旋转得到线段； ①如图2，当点E在线段上时，求证：； ②连接，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）①证明：如图，过点A作交于N，连接， ∵， ∴， ∴， ∵绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②或或 【解析】 【分析】（1）过点A作于点M，利用等腰三角形的性质、勾股定理及含30度角直角三角形的性质即可求解； （2）①过点A作交于N，连接，则得，再证明，从而得，继而得，再由含30度角直角三角形的性质即可证明； ②分三种情况：；；；利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点M， 则， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②解：如图，过点A作交于N，连接， 与①证明同，，且， 则，， ∴， 即； 当时，则， 如图，连接， 则， ∵， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， 解得：， 即， ∴； 当时，如图， 此时，， ∴； 当时，点C、D重合，此时， ∴； 综上，的值为或或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，构造三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027成都实验外国语学校八年级（上）九月月考试卷（甲卷） A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（ ） A. 0.6，0.8，1.0 B. 1，， C. 5，12，13 D. ，， 2. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为（ ） A. 米 B. 米 C. 4米 D. 米 3. 下列哪个条件不能判定为直角三角形（ ） A. B. C. ，， D. 4. 如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ） A. 13米 B. 15米 C. 16米 D. 17米 5. 如图，将一根长的筷子，置于一个底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的值最小为（ ） A. 7 B. 8 C. 16 D. 17 6. 如图是“赵爽弦图”，其中，，，是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果，，那么小正方形的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（ ） A. 35 B. 40 C. 50 D. 45 8. 我国的“春节”申遗成功，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱的点处缠绕到圆柱的点处（点在下底面，点在上底面，点在点的正上方），若圆柱的底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为（ ）dm． A. B. C. D. 二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了，然后向正北方向航行了，这时他离出发点____． 10. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为__________． 11. 如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是________． 12. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 13. 如图，在中，于点D，E在上，连接，．若，则长为_______ 三、解答题（共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3） （4） 15. 已知：的立方根是的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 16. 已知，如图，中，，，，以斜边为底边作等腰三角形，腰刚好满足，并作腰上的高． （1）求证：； （2）求等腰三角形的腰长． 17. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且． （1）试说明：； （2）该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 18. 【问题解决】 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高，救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两处个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离为多少米才能把完成处救援任务？ B卷（20分） 一、填空题（每小题4分，共12分） 19. 已知，，记为的整数部分，为的小数部分，则________． 20. 如图，一个底面为正方形的无盖长方体盒子的长、宽、高分别为，，，即，，现在顶点处有一滴蜜糖，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从顶点爬到处去吃蜜糖，则需要爬行的最短距离为________． 21. 如图，在四边形中，，，对角线与相交于点E，若，则 ________________． 二、解答题（共8分） 22. 如图1，在中，． （1）求的长； （2）点D为线段上一动点，将绕点A逆时针旋转得到线段； ①如图2，当点E在线段上时，求证：； ②连接，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $