专题03 圆30大题型90题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材苏科版

专题01 圆 基础·固本强基 题型1 圆的概念辨析 题型2 与圆有关的弦、弧、角的简单计算 题型3 确定圆的条件 题型4 垂径定理及其推论与应用（重点） 题型5 圆周角定理（重点） 题型6 圆的内接四边形（重点） 题型7 点与圆的位置关系（重点） 题型8 直线与圆的位置关系（重点） 题型9 正多边形与圆 题型10 弧长、扇形面积计算（重点） 提升·进阶突破 题型11 三角形外接圆的计算（重点） 题型12 利用垂径定理求值（重点） 题型13 垂径定理的实际应用问题（重点） 题型14 圆周角定理问题（重点） 题型15 直径所对的圆周角是直角问题（重点） 题型16 圆的内接四边形有关计算问题（重点） 题型17 切线的性质定理（重点） 题型18 切线长定理（重点） 题型19 三角形的内接圆问题（重点） 题型20 求某点的弧形运动路径长度 题型21 求不规则扇形面积（重点） 题型22 圆锥的侧面积 拔高·压轴破难 题型23 与圆有关的多结论问题（难点） 题型24 圆与三角形综合（难点） 题型25 圆与四边形综合（难点） 题型26 圆与函数综合（难点） 题型27 圆的切线与判定定理综合（难点） 题型28 圆中最值（隐圆）问题（难点） 题型29 圆中最值（动点）问题（难点） 题型30 圆的新定义与材料理解型问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 圆的概念辨析（共3小题） 【模型】圆上点到圆心距离相等；等弧必同圆，直径是圆内最长弦。 【步骤】紧扣定义辨析，抓半径、弦、弧等关键词，举反例判断命题真假。 【易错】忽略前提条件，混淆等弧与长度相等的弧，误把直径当作最长弦以外结论。 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）下列说法中，不正确的是（     ） A．圆是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C．圆的对称中心只有一个 D．圆的对称中心有无数个 【答案】D 【分析】C、D选项表述矛盾，可优先结合圆的中心对称性质判断对称中心数量． 【详解】解：圆是中心对称图形，对称中心为圆心且仅有1个，故A、C正确，D错误， 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，故B正确． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在下列说法中，正确的有________．（填序号） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做弧． 【答案】② 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．根据圆的相关概念，半圆是扇形的一种，也是弧的一种；但弧不一定是半圆，圆上两点间的线段是弦而非弧。 【详解】解：半圆不是扇形，故①错误； 半圆是圆上一条特殊的弧，故②正确； 弧可以是优弧或劣弧，不一定是半圆，故③错误； 圆上任意两点间的曲线是弧，线段是弦，故④错误． 故答案为：②． 3．（2025九年级上·江苏连云港·期中）下列说法：（1）直径是弦；（2）弧是半圆；（3）经过圆内一点可以作无数条直径；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、直径、等圆和等弧的定义． 根据圆的基本概念逐一判断各说法的正误即可． 【详解】解：直径是经过圆心的弦，说法（1）正确； 弧不一定是半圆，也可能是优弧或劣弧，说法（2）错误； 圆内一点只有是圆心时才能作无数条直径，否则只能作一条直径，说法（3）错误； 半径相等的两个圆是全等的，因此是等圆，说法（4）正确； 能够重合的弧是等弧，仅长度相等不一定能重合，说法（5）错误； ∴错误的说法的个数是3个． 故选：C． 题型2 与圆有关的弦、弧、角的简单计算（共3小题） 【模型】等弧对等弦对等角；垂径垂直平分弦，半径半弦弦心距构成直角三角形。 【步骤】找准对应弧，用圆周角圆心角关系，垂径定理构造直角三角形计算线段角度。 【易错】一条弦对应两段弧两个圆周角，易漏一解；跨弧角不能直接套用定理。 4．（2026·湖北宜昌·一模）如图，点、为上两点，连接、，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接、，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可得平分，再根据，易得，利用三角形内角和定理求出，即可得出结果． 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，为的直径，和是的两条弦，且，，求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】本题考查平行线的性质，半径相等，三角形的外角性质．由平行线的性质，可得，由等边对等角求得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的直径，是上一点，，A为延长线上一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，先证明得到，再由三角形外角的性质得到，根据等边对等角得到，再由，，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴． 由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 题型3 确定圆的条件（共3小题） 7．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求残片所在圆的半径． 【答案】(1) 解：如图，点O即为所求； (2)7.5 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆心的位置的确定，勾股定理： （1）作的垂直平分线交的延长线于点O，即可； （2）连接，设圆的半径为r，则，，再由垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 设圆的半径为r，则，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即圆的半径为 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)直接写出圆弧所在的圆心坐标：__________； (2)的半径为__________； (3)若点，则点在__________．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 【答案】(1) (2) (3)圆内 【分析】本题考查了图形与坐标综合，勾股定理，点与圆的位置关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）作出，的垂直平分线的交点即可求解； （2）利用勾股定理求解； （3）求出、两点的距离与半径比较即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，作出，的垂直平分线的交点为，， 故答案为：； （2）如图，连接，即为半径， ， 故答案为：； （3）∵，， ， ∴点在内． 9．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】本题考查了尺规作图，三角形外接圆的定义，勾股定理，掌握直角三角形外接线圆心为斜边中点时解题的关键． （1）作出的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径画圆，即为所求； （2）先根据勾股定理求出，进而得出，最后根据圆的面积公式，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴根据勾股定理可得， ∴， ∴的面积． 题型4 垂径定理及其推论与应用（共3小题） 【模型】垂直于弦的直径平分弦和弧；半径、半弦、弦心距组成直角三角形。 【步骤】过圆心作弦垂线，平分弦与对应弧，构造直角三角形，勾股定理求解。 【易错】平分弦（非直径）才垂直，易忽略前提；漏考虑弦在圆心两侧双解。 10．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 解：，理由如下， 证明：过点作直径，如图， ，，是的半径，， ， 点D，E分别是，的中点，， ， 在和中， ， ， ； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质． （1）根据弧与圆心角的关系，可得，又由点D，E分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得； （2）由得到，推出，再得到，则． 【详解】（1）略 （2）略 11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，交于点是半径，且于点F．    (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵ ∴是等腰三角形， ∵于点F， ∴ 又∵是的半径， ∴， ∴ ∴； (2)的半径是 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再结合于点F，得出因为是的半径，得出，即可作答． （2）由垂径定理得再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，    ∵为的弦， ∴ ∴ 设的半径是r， ∴， 解得， ∴的半径是 12．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，为水面截线，为桌面截线，．    (1)作于点C，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理： （1）连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案； （2）过O作于点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出与相减即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，    ∵O为圆心，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴的长为； （2）解：过O作于点D，连接，    由题意得，， 在中，， ∴， ∴ ∴水面截线减少了． 题型5 圆周角定理（共3小题） 【模型】同弧所对圆周角相等；圆心角为圆周角两倍，直径所对圆周角是直角。 【步骤】锁定同弧或等弧，转化圆心角圆周角，倒角，结合直角、相似求解角度线段。 【易错】不同弧不可套用二倍关系；一条弦对应两段弧，易遗漏钝角圆周角情况。 13．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得到，即可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 14．（25-26九年级下·江苏盐城·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 【答案】/100度 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，半径，，垂足为D，． (1)求证：； (2)若的半径为5，，则______． 【答案】(1) 证明：， ， ，， ， ； (2)2 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得，再根据垂径定理得和，即可得出结论； （2）连接，根据垂径定理得，由勾股定理求得，进而求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ，， ， ， ， ． 故答案为：2 ． 题型6 圆的内接四边形（共3小题） 【模型】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角，用于角度等量代换。 【步骤】识别四点共圆，用对角互补或外角等于内对角，转移角度，证角相等。 【易错】无共圆不可套用性质；区分内对角，不要把普通四边形当成圆内接四边形。 16．（25-26九年级下·福建漳州·期中）如图，四边形内接于圆O，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（25-26九年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形是菱形，经过点A、C、D，与相交于点E，连接．若，则_____． 【答案】/20度 【分析】先求出，再求出的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， 由圆内接四边形的性质得：， ∴． 18．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到，则，由同弧所对圆周角相等即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型7 点与圆的位置关系（共3小题） 【模型】d＞r 点在圆外，d=r 点在圆上，d＜r 点在圆内。 【步骤】比较点到圆心距离 d 与半径 r 大小，判断位置，利用不等关系求值范围。 【易错】忽略 d=r 时点在圆上；混淆点在圆内、圆外对应的不等号方向。 19．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点P坐标算出的长度d，设圆的半径为r，，则点在圆上． 【详解】解：， 的半径， ， 在上． 20．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，以点为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是___________． 【答案】点在内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，由题意并结合即可得解，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，以点为圆心，为半径画圆，且， ∴， ∴点与的位置关系是点在内， 故答案为：点在内． 21．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm， (1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是______． 【答案】(1)作图如下，点B在圆上，点C和点D在圆外 (2)6<r<10 【分析】（1）根据题意画出图形， 结合图形即可判断点与圆的位置关系． （2）根据勾股定理计算出对角线AC的长度，则半径的取值范围为AB<r<AC． 【详解】（1）由图可知：点B在圆上，点C和点D在圆外． （2）连接AC，在Rt△ABC中，AC=， ∴6<r<10． 故答案为：6<r<10． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 题型8 直线与圆的位置关系（共3小题） 【模型】d＞r 相离无交点，d=r 相切一个交点，d＜r 相交两个交点。 【步骤】求圆心到直线距离 d，对比半径 r，根据 d 与 r 大小判定位置，求解参数范围。 【易错】相切是 d=r；混淆交点个数和 d、r 关系，漏直线过圆心特殊情形。 22．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知的半径为，圆心到直线距离为，则与直线位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系的判定，根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断位置关系，当时直线与圆相离，时相切，时相交． 【详解】∵的半径，圆心到直线的距离，且，即， ∴与直线的位置关系是相离． 故选：A． 23．（24-25九年级上·江苏南京·期中）在中，，以为圆心，为半径画圆，若与边有两个公共点，则的取值范围是 ___________． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键． 作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有两个公共点，即可得出的取值范围． 【详解】解：作于，如图所示： ∵， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， ∴若与斜边有两个公共点，则的取值范围是． 故答案为：． 24．（25-26九年级上·江苏常州·期中）“等弦”的探究． (1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． (2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____． 【答案】(1) ①选择小明． 理由：如图①，过点O分别作，，垂足分别为E、F，连接、， ∵，且过圆心O， ∴， ∵，且经过点O， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即O到、的距离相等； ②选择小红． 证明：如图①，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）小明：根据勾股定理或者全等即可证明；小红：利用等弧所对的圆周角相等，再利用等角对等边即可得证； （2）①利用（1）中小明的结论可知，圆心可到三边距离相等，所以作角平分线的交点即可； ②因为得满足与三边相交，所以找临界值相切时值，再看最短的，就作为另一个临界值． 【详解】（1）略 （2）解：如图②中，即为所求． ∵， ∴， ∴， 当是的内切圆时， 则有， 解得， 当过点时可得， 又因为得满足与三边相交， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，圆心角，弧，弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型9 正多边形与圆（共3小题） 【模型】正多边形内接于圆，半径、边心距、半边长构成直角三角形。 【步骤】连接半径作边心距，拆分成等腰三角形，用勾股、三角函数求边长面积。 【易错】混淆中心角、内角；忘记正多边形计算核心直角三角形模型。 25．（2026·四川成都·二模）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正五边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ∵五边形是正五边形， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 故选：D． 26．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 【答案】9/九 【分析】连接，圆周角定理求出，再根据正多边形的中心角的计算公式，进行求解即可. 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心， ∴这个正多边形是边数为. 27．（25-26九年级上·山西吕梁·期中）如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 【答案】(1) (2) 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识． （1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解； （2）要证明，只要证明即可； （3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，，    ∴ ∵正方形内接于， ∴， ∴； （2）略 （3）解：连接并延长交于点F，    ∵，，∴是线段的垂直平分线， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即点E到的距离为， 故答案为：． 题型10 弧长、扇形面积计算（共3小题） 【模型】；= 【步骤】找准圆心角与半径，代入弧长、扇形面积公式，割补法求阴影面积。 【易错】圆心角单位用度，勿直接代弧度；区分扇形面积两公式，看错半径。 28．（2026·海南·模拟预测）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴的长为，的长为，的长为， ∴这个等宽曲线的周长为． 29．（2025·江苏苏州·一模）苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角．已知，，则该砖雕的面积为_________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积是 故答案为：． 30．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的外接圆，是的直径，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定、扇形的面积公式； （1）由是的直径，得到，由得到，进而得到，再利用切线的判定定理即可证明； （2）根据圆周角定理得到，进而推出是等边三角形，则，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积． 提升·进阶突破 题型11 三角形外接圆的计算（共3小题） 【模型】外心到三顶点距离相等；直角三角形外接圆直径等于斜边长。 【步骤】找外心即三边垂直平分线交点，直角三角形外心在斜边中点，求外接圆半径。 【易错】混淆外心、内心；非直角三角形误用斜边为直径，计算半径出错。 31．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键．过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，则，即点的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，则点是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，连接． ∴四边形为正方形， ∴垂直平分， 又∵垂直平分， ∴和的交点即为的外心M， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 32．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，则以、、为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心．根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：如图，作弦、的垂直平分线， ∵点、、的坐标分别为，，， 所以弦，弦， ∴弦的垂直平分线与轴相交于点，弦的垂直平分线与轴相交于点， ∴两条垂直平分线的交点即为三角形外接圆的圆心，且点的坐标是． 故答案为：． 33．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）将边长为6的正方形和边长为3的正方形如图摆放，使得、、三点共线，此时经过、、三点作一个圆，则该圆的半径为______． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，取的中点O，连接、、，根据勾股定理分别求出、、，得到答案． 【详解】解：取的中点O，连接、、， 由题意得：， 由勾股定理得：，，， ∴， ∴点O为经过B、C、F三点的圆的圆心，该圆的半径为， 故答案为：． 题型12 利用垂径定理求值（共3小题） 34．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的半径，是的弦，且于点．若，，则__________________________． 【答案】 【分析】由，根据垂径定理，可得，在中利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：是的半径，是的弦，且于点， ，， 在中，根据勾股定理可得， ． 35．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 36．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． (1)求证：D是的中点； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接． ∵是的弦，半径， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点； (2)的半径为． 【分析】（1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可得解； （2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图，连接． ∵半径，垂足为H，， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的半径为． 题型13 垂径定理的实际应用问题（共3小题） 【模型】实际拱形类问题转化为圆中弦问题，半径半弦弦心距构成 Rt△。 【步骤】构建圆模型，过圆心作弦垂线，利用垂径定理造直角三角形，勾股求解。 【易错】忽略实际图形存在双解；误把弦心距当成半径，看错线段对应关系。 37．（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 38．（25-26九年级上·山西朔州·期末）项目学习 项目背景：“音乐喷泉”是某市民广场的一个打卡点，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏．现在对喷泉进行测量和规划，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何对音乐喷泉进行测量和规划 活动内容 利用三角形与圆等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 示意图如图所示，点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以点为圆心，为半径作防护栏所在圆（图中虚线所在的圆）． 数据 米，米．图中防护栏的厚度忽略不计． 计算 … 交流展示 … 根据上述数据，若要在防护栏上至少每隔1.5米安装一盏景观灯，最多需要安装多少盏景观灯？（结果取整数，取3.14） 【答案】25 【分析】本题考查垂径定理的推论，勾股定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求出半径，根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进而求解即可． 【详解】解：连接，设喷泉的半径为，则：， ∴， ∵D是弦的中点， ∴，， ∴， ∴， 解得：米， ∴（米）， ∴（盏）． 答：大约需要安装25盏景观灯． 39．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端． (1)求拱门最高点到地面的距离； (2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门． 【答案】(1)拱门最高点到地面的距离为 (2)工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键． （1）设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接，由垂径定理可得，则由勾股定理可得的长，据此求出的长即可得到答案； （2）设弦，且，连接，同理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图②中，设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接， ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， ∴拱门最高点到地面的距离为； （2）解：如图，设弦，且，连接． ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， 答：工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门． 题型14 圆周角定理问题（共3小题） 40．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，内接于，，，为的直径，________ ． 【答案】 【分析】由内接于，，，可得等腰三角形中； 由直径所对的圆周角为直角，可得中；再由同弧所对的圆周角相等可得，进而得出；再由，即可求得的度数． 【详解】解：∵内接于，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴在中， 又∵， ∴， ∵， ∴． 41．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，则，根据角平分线的定义可得，由，推出，即可得证； （2）由题意可得，，则，根据得到，推出，证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形是矩形， ． 42．（2026·江苏盐城·三模）如图，在半径为5的中，弦，点C在优弧上，弦于点G．连接，过点A作弦于点H，交于点F． (1)求证：； (2)若点C在优弧上运动，判断线段的长是否为定值？若是，求出其长度． 【答案】(1)证明：连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． (2)是，6 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质以及圆周角定理等知识． （1）连接，先证明，再根据，推出，结合等腰三角形的性质可证明； （2）过O作、的垂线段，垂足分别为M、N，连接，在中，利用勾股定理求出，再证明四边形是矩形，即有，结合（1）的结论，设，分别表示出，，问题得解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过O作、的垂线段，垂足分别为M、N，连接， 则，， 在中，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 结合（1）的结论，设， ∴， ∴， ∴， ∴的长为定值． 题型15 直径所对的圆周角是直角问题（共3小题） 【模型】直径所对圆周角为 90°；90° 圆周角所对弦为直径，常构造直角。 【步骤】看到直径，连接弦构造直角，利用直角三角形性质倒角、勾股或相似计算。 【易错】必须是直径所对圆周角；顶点不在圆上，不能直接判定为直角。 43．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为的直径得，即得，由平行线的性质得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 44．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，以的边为直径作，点在上，点为上一点，连接，且为的中点，于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)的长为． 【分析】（1）利用直径和垂线证明，利用“等弧所对圆周角相等”证明，进而推出，利用“等角对等边”即可得结论； （2）利用“相等的弧所对的弦也相等”得到，再利用勾股定理计算的长，利用直角三角形的等面积法可计算的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵为的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴． 45．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 题型16 圆的内接四边形有关计算问题（共3小题） 46．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F． (1)当时，求的度数． (2)若，且．请用含有α，β的代数式表示的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据外角的性质求出，根据圆内接四边形对角互补求出，最后根据外角可得答案； （2）根据圆内接四边形的性质和外角的性质可得，可得答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 四边形内接于， ， ， ； （2）解：由题意得， ∵，， ∴， ， ， ， ， ． 47．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，过，，三点的交于点． (1)求证； (2)若点为中点，，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵四边形是的内接四边形 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据圆内接四边形的性质可得，得出，根据等角对等边，即可得证； （2）过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，根据为中点，得出，根据，求得，进而勾股定理求得，设，则，进而在，中，勾股定理分别表示出，根据建立方程，求得的值，进而求得的半径． 【详解】（1）略 （2）如图，过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， ∵为中点， ∴ 由（1）可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ 设，则 ∵， ∴， ∴ 在中，， 在中，, ∵ ∴ ∴ 解得： ∴，即的半径为． 48．（2025·四川德阳·模拟预测）如图，是的直径，，为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，求出，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，求出即可； （2）求出，根据三角形的外角性质求出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ， ． 题型17 切线的性质定理（共3小题） 【模型】圆的切线垂直于过切点的半径，垂直关系为核心条件。 【步骤】见切线连切点半径，得到垂直关系，构造直角三角形，倒角或勾股计算。 【易错】未连接切点与圆心；误把直线和圆交点直接当作切点使用。 49．（2026·江苏盐城·一模）如图，是以为直径的的内接三角形，与相切于点B，与的延长线交于点D，E是的中点，延长，交的延长线于点F． (1)与有怎样的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长和的半径． 【答案】(1)解：与相切．理由如下： 如图，连接， ∵与相切于点B，， ∴，即， ∵为的直径， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； (2)，的半径为 【分析】（1）连接，证明，可得证； （2）根据题意，求得，，设，则，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由（1）得， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． 50．（2026·江苏盐城·二模）如图，在中，，，，点E为边上一点，过点E作交的角平分线于点P．以点P为圆心，长为半径画圆． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：过点P作交于点F， ∵平分，， ∴ ∵为的半径 ∴为的半径， ∴与相切； (2) 【分析】（1）过点P作交于点F，由角平分线的性质得，结合为的半径可证结论成立； （2）连接，利用勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 在中，， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 51．（2026·江苏淮安·一模）如图，在中，，点O为边上一点，平分．以点O为圆心，为半径的与边相交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，由角平分线的性质定理可得，从而可得是的半径，即可得证； （2）由勾股定理可得，由（1）可得是的切线，则，，设的半径为，则，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵平分．， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵在中，，，， ∴， 由（1）可得是的切线， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴的半径为． 题型18 切线长定理（共3小题） 52．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 【答案】 【分析】由切线长定理可得，，，，则的周长为． 【详解】解：∵、切于点、， ∴， 又∵切于点 ∴，， ∴， ∴的周长为． 53．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 54．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F． (1)点O是的_______心； (2)如图1，若，，．设，求的值； (3)如图2，若，的长分别是a，b，c，则半径是_______（用含a，b，c的式子表示）． 【答案】(1)内 (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了三角形内心、切线长定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据内心的定义，即可获得答案； （2）根据切线长定理可得，设，则有，进而可得，解得的值，然后计算的值； （3）连接，设半径为，证明四边形为正方形，易得，进而可得，，结合，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵是的内切圆， ∴点O是的内心． 故答案为：内； （2）解：∵的内切圆与分别相切于点D，E，F， ∴， ∵，，，设， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； （3）解：如下图，连接， ∵的内切圆与分别相切于点D，E，F， ∴，， 设半径为， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型19 三角形的内接圆问题（共3小题） 【模型】内心到三边距离相等；\S=，切线长可分段表示。 【步骤】确定内心为角平分线交点，作三边垂线得半径，用面积法求内切圆半径。 【易错】混淆内心与外心；面积求 r 公式记错，误将边长直接当作切线长。 55．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点，I是的内心，则 （1）_______； （2）点I关于x轴对称的点的坐标是____________． 【答案】 10 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）根据是的内心，利用，，，得出，求解即可． 【详解】解：（1）点，点， ，， ∴在中， ； （2）连接，，，过作，，，垂足分别为，，， 是的内心， ，，， 设，则，， ， 解得：， 的坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是． 56．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在中，． (1)实践与操作：在图1中用尺规作图法作出的内心I；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)证明与应用：如图2，与的三边分别相切于，连接ID、IE， ①判断四边形的形状并证明； ②若，求的半径． 【答案】(1) 解：如图，点I为所求， (2) ①四边形是正方形，理由如下： ∵是的内切圆，即、、都是的切线， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ② 【分析】（1）三角形内心是三条角平分线的交点，用尺规作、的角平分线，交点即为内心I． （2）①由切线性质得，，结合，先证四边形是矩形；再由（半径相等），证得矩形为正方形．②先在中求出，；设半径为，得，；根据切线长定理，列方程求解得． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②已知，，， 则． 在中，，由勾股定理得： 设的半径为， 因为四边形是正方形， 所以，则，． 由切线长定理，，． 因为， 所以： ； 所以，的半径为． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，切线长的性质，勾股定理、角平分线的定义、解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心的含义与性质． 57．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)若，，求外接圆的半径． 【答案】(1) 证明：∵是的内心， ∴，， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， ∴． (2)3 【分析】本题考查了三角形的内心、圆周角定理、勾股定理、弧与弦的关系等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． （1）先根据三角形内心的定义可得，，再根据圆周角定理可得，然后证出，根据等腰三角形的判定即可得证； （2）连接，先根据圆周角定理可得是的直径，，再求出，然后在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵是的外接圆，且， ∴是的直径， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴外接圆的半径为． 题型20 求某点的弧形运动路径长度（共3小题） 58．（2026·江苏盐城·三模）如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【答案】 【分析】先分析得出点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为，在由已知条件根据勾股定理，求出，最后运用弧长公式求出点A经过的路径长． 【详解】∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点A经过的路径长为的长， ∴． 59．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图边长为的正三角形的顶点在一个半径为2的圆上，将正三角形沿圆的内壁作无滑动的滚动．当滚动一周回到原位置时，点运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，首先判断出当滚动一周回到原位置时点滚动四次，每次滚动的弧长是圆心角为半径为的弧长，由此即可解决问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵是正三角形， ∴，， 由正三角形沿圆的内壁作无滑动的滚动，当滚动一周回到原位置时，点滚动四次，每次滚动的弧长是圆心角为半径为的弧长， ∴点运动的路径长， 故选：． 60．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，线段的半径为1，当从点A沿着滚动到D点时圆心O经过的路径长是（   ） A．8 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键． 根据题意，得出圆心O的运动规律，再结合弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示， ， ， 的长为， 因为， 所以， 则． 在中， 因为， 所以， 所以， 所以圆心O经过的路径长是：． 故选：D． 题型21 求不规则扇形面积（共3小题） 61．（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 【答案】 【分析】连接,根据,,可求得,由于与同底等高，用替换，阴影部分的面积就变成了求扇形的面积，所以求出扇形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接． ∵点是切点， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴为等腰三角形， ∴, ∴, ∵与同底等高， ∴， ∵半径，圆心角， ∴扇形面积． 62．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，为的直径，为上一点，过点的直线和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）连接，利用切线的性质，推出，得到，利用等边对等角得到，进而得到，即可； （2）连接，交于点，连接，交于点，分割法求阴影部分面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点，连接，交于点， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 63．（2026·江苏苏州·二模）如图，正方形，点为的中点，以为圆心，6为半径作圆，分别交、于、两点，与切于点．则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质求出和，根据勾股定理求出，再根据阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵圆E与切于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 题型22 圆锥的侧面积（共3小题） 【模型】圆锥侧面展开为扇形，S侧=πrl，底面周长等于扇形弧长。 【步骤】分清母线、底面半径，套用圆锥侧面积公式，转化扇形进行计算求值。 【易错】混淆底面半径与母线；误把全面积当成侧面积，忘记扇形圆心角转换。 64．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形面积公式求解； 【详解】解：设圆锥底面半径为，扇形半径为， 由题意得，， ∴圆锥底面周长， ∴扇形面积． 65．（2026·湖南长沙·三模）草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的面积为_______． (结果含π) 【答案】 【分析】先由圆锥母线长和高，用勾股定理求出底面半径；再计算底面周长（即扇形弧长）；最后根据弧长公式列方程求解圆心角，再由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由圆锥母线长、高，得底面半径为， 底面周长为， 扇形弧长公式为， 化简得， 解得， ∴扇形卡纸的圆心角的度数为， ∴面积为：． 66．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）《九章算术》书中记载着有关屋内墙角处放谷堆的数学问题：墙角处所放谷堆为一个圆锥的四分之一（如图），谷堆底部的半径为4尺，谷堆的高为3尺，需要用布盖住谷堆，那么所需的布的面积至少是_________平方尺．（结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】利用勾股定理求出圆锥的母线长，圆锥的侧面积（其中r为底面圆的半径，l为母线长），而所需的布的面积至少是该圆锥的侧面积的四分之一，据此列式求解即可． 【详解】解：由勾股定理可知，该圆锥的母线长为尺， ∴所需的布的面积至少是平方尺． 拔高·压轴破难 题型23 与圆有关的多结论问题（共3小题） 67．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】由垂径定理，圆周角定理得出，，进而根据等角的余角相等判断①；由点P为的中点，得出，进而证明，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②；连接，根据垂径定理得出，由得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出，继而判断③；由勾股定理得出，则有，由③可得为等边三角形，利用等边三角形的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点P为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 则由③知为等边三角形，又， ∴平分， 即平分，故④正确，符合题意； 故正确的是①②③④． 68．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，正六边形的边长为1，连接并延长至点P，．M是正六边形边上的一个动点，N为该平面内一点，且满足．现有下列结论：①当点M，A重合时；②；③的最小值为1．其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②③ 【分析】连接交于G，连接，根据正六边形的性质得出，，正六边形关于直线对称，根据轴对称的性质得出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，，则当点M，A重合时，，结合，求出，即可判断结论①；连接交于H，同理可求，，证明四边形是平行四边形，得出，则，故当M和B重合时，取最小值为；当M和E重合时，取最大值为，结合，求出的最小值为，的最大值为，即可判断结论②；由②知点N在以P为圆心，大圆半径为4，小圆半径为2的圆环内运动，故当N在的延长线上，且取最小值时，取最小值，即可判断结论③． 【详解】解：连接交于G，连接， ∵正六边形的边长为1， ∴，，正六边形关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴当点M，A重合时，， 又， ∴，故结论①错误； 连接交于H， 同理可求，， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵M是正六边形边上的一个动点， ∴当M和B重合时，取最小值为；当M和E重合时，取最大值为， 又， ∴的最小值为，的最大值为， ∴，故结论②正确； ∴点N在以P为圆心，大圆半径为4，小圆半径为2的圆环内运动， ∴当N在的延长线上，且取最小值时，取最小值， ∴的最小值为，故结论③正确， 综上，正确结论的序号是②③． 69．（2026九年级下·安徽合肥·期中）如图，是直径所在的直线，且平分，垂直，垂直，则：①；②弧等于弧；③；④弧等于弧；⑤；其中结论正确的是_____（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】利用“弧、弦、弦心距之间的关系”，可得①、②正确；证明，得到，可得④、⑤正确，即可找到全部正确答案． 【详解】解：平分，垂直，垂直，则， 即弦，的弦心距相等，因而，弧等于弧，故①、②正确； 在直角三角形中，，故③错误； 如图，连接， ， ， ， ，垂直，垂直， ， ，故⑤正确； ， ， ， ， 弧等于弧，故④正确； 其中结论正确的是①②④⑤． 题型24 圆与三角形综合（共3小题） 70．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在的边上取一点，以为半径作，与交于，两点，过点作，与交于点，与交于点，延长交于点． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)连接，为上一点，且满足，求证：． 【答案】(1) 与相切． 理由：为半径， ． ， ， 与相切； (2) 证明：如图，连接，则． AI， ． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了切线的判定，圆心角定理，圆周角定理，垂径定理逆定理等知识，综合性强，难度较大． （1）根据垂径定理逆定理得到，结合，得到，即可证明与相切； （2）连接，则．根据得到．根据得到，从而得到．再证明，，得到，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 71．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为_______． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为_______． 【答案】 /90度 【分析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定和性质． （1）连接、，说明为等腰直角三角形，可得的度数，即可得到弧的度数； （2）说明，作的外接圆，可知点在上，设为中点，连接并延长，与圆交于点，连接、，可得此时点到的距离最大，说明，再求出的长度即为高，结合求出面积的最大值． 【详解】解：（1）连接、， ∵， ∵，满足， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的度数为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，可知点在上，则， ∵， ∴当点到的距离最大时，的面积最大， 设为中点，连接并反向延长，与圆交于点，此时点到的距离最大， 连接、， ∵，，， ∴， 即， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵点为中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 72．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）【阅读理解】①如图1，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②定义：在所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离． 【方法探究】根据①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法． （1）如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知______，______；根据两点间线段最短，我们可以得到线段______的长度为的费马距离． （2）在图3中，作出的费马点P（要求尺规作图）．如果，的费马距离是______； 【问题解决】已知正方形，P是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长． 【答案】 （阅读理解）证明：在上取一点E，使，连接， ∵三角形是等边三角形， ， 又， 是等边三角形， ， ， ∵， ∴， 又∵， ， ， ∴； （方法探究）（1），，；（2）；（问题解决）正方形的边长为2 【分析】（阅读理解）在上取一点E，使，连接，首先证明是等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （方法探究）（1）根据阅读理解中的结论，结合费马点和费马距离的定义，即可获得答案； （2）分别以点为圆心，以的长度的半径作弧，交于点，易知为等边三角形，再分别作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长度为半径作圆，连接交于点，连接，则点P为的费马点；根据题意易得，然后由勾股定理确定的值，即可确定的费马距离； （问题解决）将沿点B逆时针旋转到，过作，交的延长线于H，连接，易得是等边三角形，进而可知，结合的最小值为，可得的最小值为，即，，P，C在同一直线上，确；设正方形的边长为，在中，可知，，进而可得，，然后在中，由勾股定理得求得的值，即可获得答案． 【详解】解：（阅读理解）①略； （方法探究）（1） 在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知，；根据两点间线段最短，我们可以得到线段的长度为的费马距离． 故答案为：，，； （2）分别以点为圆心，以的长度的半径作弧，交于点，则，易知为等边三角形，再分别作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长度为半径作圆，连接交于点，连接，则点P为的费马点，如下图所示： （方法不唯一） ∵，且为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即的费马距离是； 故答案为：； （问题解决）将沿点B逆时针旋转到， 过作，交的延长线于H，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵的最小值为， ∴的最小值为， ∴，，P，C在同一直线上，即， 设正方形的边长为， ∵，， ， 在中，，，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得，（舍去）， ∴正方形的边长为2． 【点睛】本题主要考查了费马点和费马距离、三角形和圆的综合应用、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 题型25 圆与四边形综合（共3小题） 73．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 【答案】 【特殊体会】 【初步探究】， 证明：如题图2． ∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 【深入探究】①与相切； 理由：如图，连接、． ∵， ∴． ∵与相切， ∴． ∴， 又 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 又 ∵是半径， ∴与相切． ② 【分析】特殊体会：由已知、根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得结论； 初步探究：由已知、根据“圆周角所对的弦是直径”得：是的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”得，根据“同角的余角相等”得，根据“直角三角形两锐角互余”可得，根据“等角对等边”得，再根据“”证明，得到：，等量代换得出结论； 深入探究：① 连接，根据“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得 ，由已知、根据“切线垂直于过切点的半径”得，则四边形是矩形，可得，即，根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线”得出结论； ② 延长交于点，连接，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得：四边形都是矩形，从而得到：，由勾股定理得，从而，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：特殊体会：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 初步探究：略 深入探究：①略 ②． 如图，延长交于点， ∵，， ∴ 四边形、都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与四边形的综合探究，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，切线的性质和判定和勾股定理，综合性很强，对以上知识熟练是解题的关键． 74．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）在图1和图2中，是等边的外接圆． 【阅读】 如图1，连接，延长交弦于点，交于点，连接．求证：； 小明给出了自己的证明方法如下： 三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形， ， ，则为等边三角形， 同理可得：也为等边三角形， ． 【理解】 （1）如图2，若为上任意一点，连结、，则___________， 若的半径为1，则___________． （2）在图2中，问题原型中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 【应用】 （3）如图3，四边形内接于，，平分，且，若的半径为7，求四边形的面积． 【答案】（1），； （2）结论成立，理由如下： 延长到点E，使，连接，如下图， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【分析】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形性质及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质与判定是解题关键， （1）先求出，连接，过点O作于点D，先求出，进而求出结论； （2）延长到点E，使，连接，先证明是等边三角形，再证明即可证明结论； （3）连接，过点C作交延长线于点M，先证明，设，则，求出，连接，过点O作于点F，求出，再根据求出，延长，得出为边上的高，进而求出结论． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ， ， ， 连接，过点O作于点D，如下图： 则， ， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）连接，过点C作交延长线于点M，如下图， 平分， ， ， ， 是等边三角形， 由（2）知，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 连接，过点O作于点F， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 延长， 垂直平分，， 经过点A，即为边上的高， ， ∴四边形的面积． 75．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）； ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆， (2)在图③中，画经过点A，B，C（图⑤）．假设点D落在外，交于点 E，连接，可得，得出矛盾；同理点D也不会落在内（图⑥），即A，B，C，D共圆．结论同理可证．请你利用“反证法”证明结论，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上； (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形的高相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（连接，补全以下证明框图） (4)如图⑩，点P是外部一点，过P作直线的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在的外接圆上． 【答案】(1)直角三角形斜边中线等于斜边的一半； (2) 证明：假设点C落在⊙O外，交于点E，连接， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角． ∴，相互矛盾，故点在圆上； (3)，B、E、D、C，； (4) 证明：如图，连接由结论可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆， 又∵点D，E，F在同一条直线上， ∴， ∴， 由结论可得点A、B、C、P四点共圆即点P在的外接圆上． 【分析】本题考查四边形外接圆的综合问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角性质等知识，解题的关键是掌握以上相关知识点，并能够综合运用． （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； （2）根据结论可知，再利用得到，利用外角性质可得，相互矛盾即可证明点C在圆上； （3）以四点作圆，以四点作圆，连接，得到，，再利用，得到，即可证明； （4）连接，由结论可得点四点共圆，点四点共圆，证明，由结论可得点四点共圆，即点在的外接圆上． 【详解】（1）解：由题意可得：根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得，即A，B，C，D共圆， 故答案为：直角三角形斜边中线等于斜边的一半； （2）略 （3）证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、四点作圆，连接，如图： ∵A、E、H、D四点共圆， ∴， ∵B、E、D、C四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是的高， 故答案为：，B、E、D、C，； （4）略 题型26 圆与函数综合（共3小题） 76．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径的，交轴于点，点是上的一个动点，作点关于点的对称点，连接． (1)当点刚好落在轴上时，点的坐标为_________； (2)点在运动过程中，若线段与反比例函数有交点，求交点横坐标的取值范围； (3)若由点所组成的图形与直线有且仅有一个交点时，请直接写出的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由条件得点，再根据中点坐标求出点的横坐标为，由点和点的横坐标相同得两个点在同一竖直方向上，则，点的纵坐标为； （2）线段与反比例函数有交点的临界状态为点在反比例函数图象上，设点，利用中点坐标表示出点，利用和勾股定理建立方程即可解出的取值范围，即的取值范围； （3）连接，为直径，则直径所对的圆周角，结合得垂直平分，，可判断点所组成的图形是以点为圆心，4为半径的圆，则直线与相切；直线过定点，设直线与轴交于点，与轴交于点，与切于点，连接，利用勾股定理得，再通过三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点，的半径为2； 当点刚好落在轴上时，点的横坐标为0， ∵点为线段中点， ∴点的横坐标为， 此时点和点在同一竖直方向，则点或， 故答案为：或． （2）当点在反比例函数图象上时，设点， 则点， ∵点在圆上， ∴，， 解得或， ∵， ∴或， ∴， 即交点横坐标的取值范围为． （3）如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 则点所组成的图形是以点为圆心，4为半径的圆， 由条件得直线与该圆相切， ∵， ∴直线过定点， 设直线与轴交于点，与轴交于点，与切于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题是圆与函数的综合题，主要考查了圆的性质，中点坐标，勾股定理，切线的性质定理等，熟练掌握“到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆”以及数形结合的思想是解题的关键． 77．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）【阅读】平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式之一，若 ，则． 【理解】请用所学知识解决问题：已知的半径为3． (1)如图1，为圆上任意一点，请探究x，y的关系式； (2)如图2，已知为切线，，且，求b与a的函数关系式； 【运用】如图3，点P在圆心为，半径为1的圆上运动，点A的坐标为，点B的坐标为，求当面积最大值时P点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】（1）根据两点间距离公式可得答案； （2）连，根据切线的性质，得方程，化简即可得到答案； （3）过上一点作，则与相切，与轴交于点，此时的面积最大为，过点作，延长与交于点，求得直线的表达式为；再计算得；可证，即，可得，根据，得横坐标为 ，设直线的表达式为：过点，代入即可求得纵坐标，即为所求坐标. 【详解】解：（1）由题可得， 即； （2）如图；连， ∵为切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， 整理得：． （3）如图，过上一点作，则与相切，与轴交于点，此时的面积最大为，作点作延长与交于点， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴设直线的表达式为：； 解得：， ∴直线的表达式为 ； ∴， ∴在， ∴， ∵在中，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴即， 则， 在中，， 过点 作轴于点， ∵ ， ∴，解得：； ∴横坐标为 ； ∵，设直线的表达式为：过点， ∴， 将横坐标为 代入得 ， ∴， 即. 【点睛】本题考查了新定义两点间的距离公式，一次函数，三角函数，勾股定理，相似三角形，圆的综合，辅助线的画法等以及对各个知识点的综合运用，题目难度较大，熟练掌握各个知识点时解题的关键. 78．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【答案】(1)，； (2) (3)或或5 【分析】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分三种情况：①当时，②当时，③当时分类讨论即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； （2）连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式 （3）解：设， ，， 解得：，， ， ①当时，连接 ，， ， ， ， ， ， ， 点E和点P横坐标相同, ， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， ③当时，如图： ， 即， ， ， 综上所述：得长度为或或5． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用； 题型27 圆的切线与判定定理综合（共3小题） 79．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， ∵是的直径，且点在上， ∴是的切线 (2) 【分析】（1）由是直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到，结合条件，可知既是边上的高，又是边上的中线，由此得到，设，结合已知角的倍数关系得到，利用等腰三角形内角和求出，计算推出，根据切线的判定定理证明是的切线； （2）已经得到，设，利用勾股定理列方程，求解得到与的长度，连接，再次利用直径所对圆周角是直角，得，用直角三角形面积的两种表达方式，面积法求出线段，最后在中，再通过勾股定理计算的长． 【详解】（1）略； （2）解：设， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，且， ∴， 解得， ∴，， 连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得， ∵在中，， ∴． 【点睛】三角形同一条边上高线与中线重合，可以判定该三角形为等腰三角形，题目出现直径优先使用直径所对圆周角为直角，直角三角形可以利用面积法求斜边上的高． 80．（2026·四川内江·模拟预测）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 【答案】(1)证明：如图中，连接． 是切线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵为半径， 是的切线． (2)证明：如图中，设． ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 平分． (3) 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）设，通过导角计算证明，即可解决问题； （3）图中，设交于点，、是的切线，推出平分，因为平分，推出点是的内心，设的内切圆交于，点到上各点的最大距离为，求出即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图中，设交于点． 是的切线， 平分， 平分， 点是的内心，设的内切圆交于， 的直径为， ， 垂直平分， ， ， ， ， 点到上各点的最大距离为， 最大距离． 81．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在y轴上，边与x轴交于点D，平分交边于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，与y轴相交于另一点G． (1)求证：是的切线； (2)若点A、D的坐标分别为，． ①求的半径； ②直接写出的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． (2)①；② 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论； （2）①连接，设的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可； ②过点F作于点R，连接，根据垂径定理求出，证明四边形为矩形，求出，根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，连接， ∵，， ∴， 设的半径为r，即，则 ∵在中，， ∴， 解得，即的半径为． ②过点F作于点R，连接， ∵，， ∴在中，， ∵过圆心F，且， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 题型28 圆中最值（隐圆）问题（共3小题） 82．（2026·江苏镇江·一模）如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】设以为直径的半圆的圆心为点O，连接，可求出，则，进而可证明；作的外接圆，其圆心为点，在优弧上取一点G，连接，可证明，证明，得到，则，根据，可得当三点共线时，有最小值，最小值为的值，即为． 【详解】解：如图所示，设以为直径的半圆的圆心为点O，连接， ∵是弧的中点，是半圆的直径， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 如图所示，作的外接圆，其圆心为点，在优弧上取一点G，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的值，即为． 83．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的边相等、内角为直角的性质，结合证明，进而推出，从而确定点G的运动轨迹是以为直径的圆弧， 将求线段最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题，当O，G，D共线时，有最小值，用点到圆心的距离减去半径即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是以为直径的圆弧，当O，G，D共线时，有最小值， 如图，以为直径作，连接， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】“定弦定角”模型是发现隐圆、进而求解最值的关键核心． 84．（26-27九年级上·山东日照·期中）在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】连接，得出，点D在以为直径的圆上运动，当点D在与的交点处时，最短，求出，进而求出结论． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∴点D在以为直径的上运动，当点D在与的交点处时，最短，如图所示， ， ， ， ， ， ∴的最小值为2． 题型29 圆中最值（动点）问题（共3小题） 85．（2026·北京朝阳·模拟预测）如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，，利用三角形中位线定理求出的长，确定点的轨迹，再求出点到的距离，从而得到点到距离的取值范围，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：取的中点，连接，取的中点，连接，， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点在半径为4的上， ∴， ∴，即点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 设点到的距离为， ∵点在以为圆心，2为半径的圆上，且圆心到的距离为4 ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 86．（2026·黑龙江·模拟预测）如图，矩形中，，，P为边的中点，M，N分别为边，上的动点．若，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】延长交的延长线与点，由矩形的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，再得出，作的外接圆，连接，，，由圆周角定理得出，过点O作，由等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质得出，故当点P，点O，和点H三点共线时，x最小， 此时，即，求出x的值，即可进一步求出答案． 【详解】解：延长交的延长线与点， ∵矩形中，，，P为边的中点， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 作的外接圆，连接，，， ∵， ∴， 过点O作， ∵， ∴，， ∴ 设，则， ∴， ∴， 要使最小，则x最小， 故当点P，点O，和点H三点共线时，x最小， 此时，即， 解得， ∴， 即的最小值为． 87．（2026·江苏盐城·三模）如图，在矩形中，，，的半径为2，E为上一点，，垂足为F，则的最小值为________． 【答案】 【分析】以点B为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设点E的坐标为，从而得出，设，则，从而得出当直线与y轴交点的纵坐标最小时，的值最小，即最小，最小，根据，得出直线可以看作过点E且与直线平行的一条直线，根据图形得出当直线与相切于点E时，直线与y轴交点的纵坐标最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：以点B为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ∵在矩形中，，， ∴，，， 设点E的坐标为， ∵，即轴， ∴，， ∴， 设，则， ∴当直线与y轴交点的纵坐标最小时，的值最小，即最小，最小， ∵， ∴直线可以看作过点E且与直线平行的一条直线， ∴当直线与相切于点E时，直线与y轴交点的纵坐标最小，即最小，如图所示： 连接，设此时直线与y轴交于点G，与x轴交于点H，与交于点K， 则， ∴， 把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型30 圆的新定义与材料理解型问题（共3小题） 88．（2026·江苏盐城·中考真题）小明看到一个有趣的现象：在如图1所示的装置中，带电粒子绕圆运动． 【新定义】 人站在射线端点处，看向射线的延伸方向时，人的右侧称为这条射线的右侧． 一个动点，从一条确定的射线端点出发，在射线的右侧，以该射线所在的直线为切线，端点为切点，顺时针方向做圆周运动，称这个点的运动为“射线·圆”运动，这个点运动所形成的图形叫作“射线·圆”． 如图2，动点从确定的射线的端点出发，在射线的右侧，沿顺时针方向做圆周运动，圆与射线所在的直线相切于点，那么点的运动就是“射线·圆”运动，图中的圆就是“射线·圆”． 【理解】 (1)请用直尺和圆规作图，探索下列问题．（不写作法，保留作图痕迹） ①如图3，任作一条端点为的射线，再作动点关于射线的半径为的“射线·圆”． ②如图4，已知端点为的射线和直线，．动点从点出发做“射线·圆”运动，当动点落在直线上时停止运动．在直线上作出到点距离最大的点的位置． 【运用】 (2)如图5，点到直线的距离为．从点出发的动点做半径为的“射线·圆”运动，当动点落在直线上时停止运动．在动点落在直线上的所有可能的位置中，求间距最大的两个位置之间的距离． 【答案】(1)①如图即为所求； ②如图即为所求． (2) 【分析】（1）①理解“射线·圆”的两个要素是相切和右侧，以P为端点，作一条射线，反向延长该射线，过点P作这条射线的垂线，再在垂线上截取长为的线段即可得到圆心，最后画圆即可，注意圆的位置要在射线的右侧； ②当点M为“射线·圆”与直线a的切点时，的长最大，易证此时“射线·圆”的圆心，点M，N，l与a的交点组成的四边形是正方形，故补全射线l，以该交点为圆心作半径为点N到直线a的距离的圆，圆与直线a的交点即为点M的位置． （2）由题意可知“射线·圆”的圆心在以点A为圆心，为半径的圆上运动，由于点Q是顺时针旋转，所以点Q始终为与直线的交点中靠右侧的点，分两种情况讨论，当点Q在点A左侧时，过点A作直线b的垂线，只需要找到一侧点Q到该垂线的距离的最大值时的位置即可，同（1）的思路，根据图象，利用圆的性质判断出“射线·圆”与直线b相切时取得最大值，再计算对应间距即可；当点Q在点A右侧时，根据点圆最值，可知的最大值为直径，计算此时的间距，然后相加即可得到结果． 【详解】（1）解：①略； ②如答案所示，补全射线l，得到l与a的交点，以该交点为圆心，点N到直线a的距离为半径作弧，交点即为点M的位置，理由如下： 如图，补全射线l，交直线a于点A，作“射线·圆”，记圆心为O，连接，过点M作， 由题意，，设两平行线间的距离为h，则，设“射线·圆”的半径为r， 又M为“射线·圆”与直线的交点， ∴， 设，则， ∴， ∵，， 又， ∴当越大，即当越大，越大，越小， 又h是定值，， ∴当时，最大，此时，， ∴四边形是正方形，，故在直线a上作即可得到点M； （2）解：如图，设“射线·圆”的圆心为O，由题意可知，，故点O在以A为圆心，半径为的圆上运动， 当圆心O在点A的左侧时，按照题意作与直线相切，切点记为Q，作，与直线b的交点（靠近点A处）为点，作， 由图，及圆的性质可知，当在O的下方时，点始终在Q的右侧， ∴当与直线b相切时，取得最大值， 如图，作，则四边形是矩形， ∴，， ∴，， 当圆心O在点A的右侧时，由圆的性质，可知，当为直径时，的值最大，即的值最大， 此时， 故间距最大的两个位置之间的距离为． 89．（2026·江苏镇江·中考真题）综合与实践：起跑线中的数学 有些长跑比赛是以图1中这样的曲线为起跑线的． 体育老师提供了模拟跑道的示意图（图2）和局部图（图3），供数学兴趣小组探究．在图3中，弯道跑道的内、外侧线都是以点O为圆心的半圆，与直线跑道垂直．最内道的跑步路线（图3中的虚线，称为“标准路线”）与跑道的最内侧线处处等宽．起跑点是与标准路线的交点，．从比赛公平角度看，不管从起跑线上的哪个点起跑，跑到终点的总路程都应该相等． 【认识原理】 C是起跑线上异于点的任意一点，过点C作虚线半圆的切线，T为切点． (1)M是上异于点T的一点．线段与的长度之和__________切线的长．（填“>”“<”或“=”） (2)从点出发的选手沿标准路线跑完全程，从点C出发的选手沿切线方向跑到点T后，再沿标准路线跑完全程．小组成员发现：切线的长与的长相等．他们的发现是否正确？为什么？ (3)过起跑线上一点（点在点C的外侧）作虚线半圆的切线，切点为．判断切线，的长度之差与的长是否相等？请说明理由． 【理解原理】 (4)是起跑线上的一点，经测量，点与圆心O的距离为10．设从点出发的选手沿切线方向跑到点后，再沿标准路线跑完全程，求的度数．（结果保留） 【设计方案】 (5)请在第5跑道外侧线上确定起跑点的位置．（无需具体求解与画图，只需要写出确定起跑点的步骤） 【答案】(1) (2)他们的发现正确．理由如下： 由题意可得， 从点出发的总路程 的长 点之后的标准路线长度； 从点出发的总路程 切线的长 点之后的标准路线长度． 不管从起跑线上的哪个点起跑，跑到终点的总路程都应该相等， 切线的长与的长相等， 他们的发现正确． (3)切线，的长度之差与的长相等．理由如下： 由（1）可得，从点出发的最短路程切线 点之后的标准路线长度； 从点出发的总路程切线 点之后的标准路线长度； 由（2）可得，切线的长与的长相等，同理可得，切线的长与的长相等， ， 即切线，的长度之差与的长相等． (4) (5)解：确定起跑点的步骤如下： ①设第5跑道外侧线对应的圆以 为圆心、半径为，先测量的长度； ②设切线切点为，根据（2）的结论，； ③设 ，由弧长公式得 ，由勾股定理得切线长 ； ④列方程求解 ，，，得到圆心角 的度数； ⑤以 为始边，作度数为的角，终边与标准路线的交点，即为点 ； ⑥过作的垂线，与第5跑道外侧线的交点即为起跑点． 【分析】（1）根据“两点之间线段最短”，判断即可． （2）分别表示出从和出发的总路程，再根据比赛的公平性，即可得到切线长与弧长相等的结论． （3）利用（2）中得出的结论“切线长等于对应的弧长”，即可得出切线长之差等于两切点之间弧长的结论． （4）先利用勾股定理求出切线长；然后根据（2）的结论，建立弧长与圆心角的等量关系，最后代入弧长公式求出圆心角的度数． （5）利用“切线长等于对应弧长”这一几何原理，通过计算圆心角度数，反向作图确定起跑点的位置． 【详解】（1）解：根据“两点之间线段最短”，是点到点的线段，是最短路径； 而是折线加曲线路径， 线段与的长度之和切线的长． （2）略 （3）略 （4）解：如图，连接， 是标准半圆的切线，为切点， ，即为直角三角形． 由题意得：，， 由勾股定理： ， 由（2）的结论：． 设的度数为，根据弧长公式： ，令， 解得， 的度数为． （5）略 90．（2026·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． (1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（     ） A．    B．    C．   D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 【答案】(1)； (2)①A； ②证明：过点作，垂足为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是的半径， ∴与相切，即与有且只有一个公共点． (3)如图所示，圆弧五边形即为所求作的图形： 【分析】（1）圆弧三角形的周长由，，三段弧长构成，由，，利用弧长公式计算即可；圆弧三角形的面积可通过计算三个扇形的面积，但是中间的等边三角形的面积被多算了两次，只需减两次等边三角形的面积即可求出； （2）①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，而无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的，即在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的，所以最高点形成的图形是一条直线；②过点作，垂足为，利用正方形的性质可得，得出是的半径，结论即可得证； （3）先画出使其对角线长为的正五边形，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形，再通过圆弧五边形画出正方形． 【详解】（1）解：由题意可得：圆弧三角形是由三段圆弧围成的， ∴圆弧三角形的周长为， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴圆弧三角形的周长为， 过点作，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴圆弧三角形的面积为． （2）解：①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，如图所示： ∵， ∴无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的， ∴在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的， ∴最高点形成的图形是一条直线； ②略 （3）解：如图，画正五边形，使其对角线，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形， 连接，分别过点、点作的垂线，过点作的平行线，与过点、点作的的垂线分别交于点，过点作的垂线交于点，过点作的平行线，与过点、点作的垂线分别交于点， ∴，，， ∴四边形是边长为的正方形， ∴圆弧五边形可以在正方形中转动，并且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点，所作图形符合题意． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆 基础·固本强基 题型1 圆的概念辨析 题型2 与圆有关的弦、弧、角的简单计算 题型3 确定圆的条件 题型4 垂径定理及其推论与应用（重点） 题型5 圆周角定理（重点） 题型6 圆的内接四边形（重点） 题型7 点与圆的位置关系（重点） 题型8 直线与圆的位置关系（重点） 题型9 正多边形与圆 题型10 弧长、扇形面积计算（重点） 提升·进阶突破 题型11 三角形外接圆的计算（重点） 题型12 利用垂径定理求值（重点） 题型13 垂径定理的实际应用问题（重点） 题型14 圆周角定理问题（重点） 题型15 直径所对的圆周角是直角问题（重点） 题型16 圆的内接四边形有关计算问题（重点） 题型17 切线的性质定理（重点） 题型18 切线长定理（重点） 题型19 三角形的内接圆问题（重点） 题型20 求某点的弧形运动路径长度 题型21 求不规则扇形面积（重点） 题型22 圆锥的侧面积 拔高·压轴破难 题型23 与圆有关的多结论问题（难点） 题型24 圆与三角形综合（难点） 题型25 圆与四边形综合（难点） 题型26 圆与函数综合（难点） 题型27 圆的切线与判定定理综合（难点） 题型28 圆中最值（隐圆）问题（难点） 题型29 圆中最值（动点）问题（难点） 题型30 圆的新定义与材料理解型问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 圆的概念辨析（共3小题） 【模型】圆上点到圆心距离相等；等弧必同圆，直径是圆内最长弦。 【步骤】紧扣定义辨析，抓半径、弦、弧等关键词，举反例判断命题真假。 【易错】忽略前提条件，混淆等弧与长度相等的弧，误把直径当作最长弦以外结论。 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）下列说法中，不正确的是（     ） A．圆是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C．圆的对称中心只有一个 D．圆的对称中心有无数个 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在下列说法中，正确的有________．（填序号） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做弧． 3．（2025九年级上·江苏连云港·期中）下列说法：（1）直径是弦；（2）弧是半圆；（3）经过圆内一点可以作无数条直径；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 与圆有关的弦、弧、角的简单计算（共3小题） 【模型】等弧对等弦对等角；垂径垂直平分弦，半径半弦弦心距构成直角三角形。 【步骤】找准对应弧，用圆周角圆心角关系，垂径定理构造直角三角形计算线段角度。 【易错】一条弦对应两段弧两个圆周角，易漏一解；跨弧角不能直接套用定理。 4．（2026·湖北宜昌·一模）如图，点、为上两点，连接、，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接、，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，为的直径，和是的两条弦，且，，求的度数． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的直径，是上一点，，A为延长线上一点，且，求的度数． 题型3 确定圆的条件（共3小题） 7．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求残片所在圆的半径． 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)直接写出圆弧所在的圆心坐标：__________； (2)的半径为__________； (3)若点，则点在__________．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 9．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，．    (1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 题型4 垂径定理及其推论与应用（共3小题） 【模型】垂直于弦的直径平分弦和弧；半径、半弦、弦心距组成直角三角形。 【步骤】过圆心作弦垂线，平分弦与对应弧，构造直角三角形，勾股定理求解。 【易错】平分弦（非直径）才垂直，易忽略前提；漏考虑弦在圆心两侧双解。 10．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，交于点是半径，且于点F．    (1)求证：； (2)若，求的半径． 12．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，为水面截线，为桌面截线，．    (1)作于点C，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 题型5 圆周角定理（共3小题） 【模型】同弧所对圆周角相等；圆心角为圆周角两倍，直径所对圆周角是直角。 【步骤】锁定同弧或等弧，转化圆心角圆周角，倒角，结合直角、相似求解角度线段。 【易错】不同弧不可套用二倍关系；一条弦对应两段弧，易遗漏钝角圆周角情况。 13．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级下·江苏盐城·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 15．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，半径，，垂足为D，． (1)求证：； (2)若的半径为5，，则______． 题型6 圆的内接四边形（共3小题） 【模型】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角，用于角度等量代换。 【步骤】识别四点共圆，用对角互补或外角等于内对角，转移角度，证角相等。 【易错】无共圆不可套用性质；区分内对角，不要把普通四边形当成圆内接四边形。 16．（25-26九年级下·福建漳州·期中）如图，四边形内接于圆O，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形是菱形，经过点A、C、D，与相交于点E，连接．若，则_____． 18．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型7 点与圆的位置关系（共3小题） 【模型】d＞r 点在圆外，d=r 点在圆上，d＜r 点在圆内。 【步骤】比较点到圆心距离 d 与半径 r 大小，判断位置，利用不等关系求值范围。 【易错】忽略 d=r 时点在圆上；混淆点在圆内、圆外对应的不等号方向。 19．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 20．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，以点为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是___________． 21．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm， (1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是______． 题型8 直线与圆的位置关系（共3小题） 【模型】d＞r 相离无交点，d=r 相切一个交点，d＜r 相交两个交点。 【步骤】求圆心到直线距离 d，对比半径 r，根据 d 与 r 大小判定位置，求解参数范围。 【易错】相切是 d=r；混淆交点个数和 d、r 关系，漏直线过圆心特殊情形。 22．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知的半径为，圆心到直线距离为，则与直线位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 23．（24-25九年级上·江苏南京·期中）在中，，以为圆心，为半径画圆，若与边有两个公共点，则的取值范围是 ___________． 24．（25-26九年级上·江苏常州·期中）“等弦”的探究． (1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． (2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____． 题型9 正多边形与圆（共3小题） 【模型】正多边形内接于圆，半径、边心距、半边长构成直角三角形。 【步骤】连接半径作边心距，拆分成等腰三角形，用勾股、三角函数求边长面积。 【易错】混淆中心角、内角；忘记正多边形计算核心直角三角形模型。 25．（2026·四川成都·二模）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 27．（25-26九年级上·山西吕梁·期中）如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 题型10 弧长、扇形面积计算（共3小题） 【模型】；= 【步骤】找准圆心角与半径，代入弧长、扇形面积公式，割补法求阴影面积。 【易错】圆心角单位用度，勿直接代弧度；区分扇形面积两公式，看错半径。 28．（2026·海南·模拟预测）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是（    ） A． B． C． D． 29．（2025·江苏苏州·一模）苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角．已知，，则该砖雕的面积为_________．（结果保留） 30．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的外接圆，是的直径，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 提升·进阶突破 题型11 三角形外接圆的计算（共3小题） 【模型】外心到三顶点距离相等；直角三角形外接圆直径等于斜边长。 【步骤】找外心即三边垂直平分线交点，直角三角形外心在斜边中点，求外接圆半径。 【易错】混淆外心、内心；非直角三角形误用斜边为直径，计算半径出错。 31．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 32．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，则以、、为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是______． 33．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）将边长为6的正方形和边长为3的正方形如图摆放，使得、、三点共线，此时经过、、三点作一个圆，则该圆的半径为______． 题型12 利用垂径定理求值（共3小题） 34．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的半径，是的弦，且于点．若，，则__________________________． 35．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 36．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． (1)求证：D是的中点； (2)若，，求的半径． 题型13 垂径定理的实际应用问题（共3小题） 【模型】实际拱形类问题转化为圆中弦问题，半径半弦弦心距构成 Rt△。 【步骤】构建圆模型，过圆心作弦垂线，利用垂径定理造直角三角形，勾股求解。 【易错】忽略实际图形存在双解；误把弦心距当成半径，看错线段对应关系。 37．（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 38．（25-26九年级上·山西朔州·期末）项目学习 项目背景：“音乐喷泉”是某市民广场的一个打卡点，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏．现在对喷泉进行测量和规划，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何对音乐喷泉进行测量和规划 活动内容 利用三角形与圆等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 示意图如图所示，点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以点为圆心，为半径作防护栏所在圆（图中虚线所在的圆）． 数据 米，米．图中防护栏的厚度忽略不计． 计算 … 交流展示 … 根据上述数据，若要在防护栏上至少每隔1.5米安装一盏景观灯，最多需要安装多少盏景观灯？（结果取整数，取3.14） 39．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端． (1)求拱门最高点到地面的距离； (2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门． 题型14 圆周角定理问题（共3小题） 40．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，内接于，，，为的直径，________ ． 41．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 42．（2026·江苏盐城·三模）如图，在半径为5的中，弦，点C在优弧上，弦于点G．连接，过点A作弦于点H，交于点F． (1)求证：； (2)若点C在优弧上运动，判断线段的长是否为定值？若是，求出其长度． 题型15 直径所对的圆周角是直角问题（共3小题） 【模型】直径所对圆周角为 90°；90° 圆周角所对弦为直径，常构造直角。 【步骤】看到直径，连接弦构造直角，利用直角三角形性质倒角、勾股或相似计算。 【易错】必须是直径所对圆周角；顶点不在圆上，不能直接判定为直角。 43．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 44．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，以的边为直径作，点在上，点为上一点，连接，且为的中点，于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 45．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 题型16 圆的内接四边形有关计算问题（共3小题） 46．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F． (1)当时，求的度数． (2)若，且．请用含有α，β的代数式表示的大小． 47．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，过，，三点的交于点． (1)求证； (2)若点为中点，，，求的半径． 48．（2025·四川德阳·模拟预测）如图，是的直径，，为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型17 切线的性质定理（共3小题） 【模型】圆的切线垂直于过切点的半径，垂直关系为核心条件。 【步骤】见切线连切点半径，得到垂直关系，构造直角三角形，倒角或勾股计算。 【易错】未连接切点与圆心；误把直线和圆交点直接当作切点使用。 49．（2026·江苏盐城·一模）如图，是以为直径的的内接三角形，与相切于点B，与的延长线交于点D，E是的中点，延长，交的延长线于点F． (1)与有怎样的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长和的半径． 50．（2026·江苏盐城·二模）如图，在中，，，，点E为边上一点，过点E作交的角平分线于点P．以点P为圆心，长为半径画圆． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 51．（2026·江苏淮安·一模）如图，在中，，点O为边上一点，平分．以点O为圆心，为半径的与边相交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 题型18 切线长定理（共3小题） 52．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 53．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 54．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F． (1)点O是的_______心； (2)如图1，若，，．设，求的值； (3)如图2，若，的长分别是a，b，c，则半径是_______（用含a，b，c的式子表示）． 题型19 三角形的内接圆问题（共3小题） 【模型】内心到三边距离相等；\S=，切线长可分段表示。 【步骤】确定内心为角平分线交点，作三边垂线得半径，用面积法求内切圆半径。 【易错】混淆内心与外心；面积求 r 公式记错，误将边长直接当作切线长。 55．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点，I是的内心，则 （1）_______； （2）点I关于x轴对称的点的坐标是____________． 56．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在中，． (1)实践与操作：在图1中用尺规作图法作出的内心I；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)证明与应用：如图2，与的三边分别相切于，连接ID、IE， ①判断四边形的形状并证明； ②若，求的半径． 57．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)若，，求外接圆的半径． 题型20 求某点的弧形运动路径长度（共3小题） 58．（2026·江苏盐城·三模）如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 59．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图边长为的正三角形的顶点在一个半径为2的圆上，将正三角形沿圆的内壁作无滑动的滚动．当滚动一周回到原位置时，点运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 60．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，线段的半径为1，当从点A沿着滚动到D点时圆心O经过的路径长是（   ） A．8 B．9 C． D． 题型21 求不规则扇形面积（共3小题） 61．（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 62．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，为的直径，为上一点，过点的直线和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，．求图中阴影部分的面积． 63．（2026·江苏苏州·二模）如图，正方形，点为的中点，以为圆心，6为半径作圆，分别交、于、两点，与切于点．则图中阴影部分的面积是__________． 题型22 圆锥的侧面积（共3小题） 【模型】圆锥侧面展开为扇形，S侧=πrl，底面周长等于扇形弧长。 【步骤】分清母线、底面半径，套用圆锥侧面积公式，转化扇形进行计算求值。 【易错】混淆底面半径与母线；误把全面积当成侧面积，忘记扇形圆心角转换。 64．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 65．（2026·湖南长沙·三模）草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的面积为_______． (结果含π) 66．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）《九章算术》书中记载着有关屋内墙角处放谷堆的数学问题：墙角处所放谷堆为一个圆锥的四分之一（如图），谷堆底部的半径为4尺，谷堆的高为3尺，需要用布盖住谷堆，那么所需的布的面积至少是_________平方尺．（结果用含的式子表示） 拔高·压轴破难 题型23 与圆有关的多结论问题（共3小题） 67．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 68．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，正六边形的边长为1，连接并延长至点P，．M是正六边形边上的一个动点，N为该平面内一点，且满足．现有下列结论：①当点M，A重合时；②；③的最小值为1．其中所有正确结论的序号是__________． 69．（2026九年级下·安徽合肥·期中）如图，是直径所在的直线，且平分，垂直，垂直，则：①；②弧等于弧；③；④弧等于弧；⑤；其中结论正确的是_____（填序号） 题型24 圆与三角形综合（共3小题） 70．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在的边上取一点，以为半径作，与交于，两点，过点作，与交于点，与交于点，延长交于点． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)连接，为上一点，且满足，求证：． 71．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为_______． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为_______． 72．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）【阅读理解】①如图1，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②定义：在所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离． 【方法探究】根据①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法． （1）如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知______，______；根据两点间线段最短，我们可以得到线段______的长度为的费马距离． （2）在图3中，作出的费马点P（要求尺规作图）．如果，的费马距离是______； 【问题解决】已知正方形，P是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长． 题型25 圆与四边形综合（共3小题） 73．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 74．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）在图1和图2中，是等边的外接圆． 【阅读】 如图1，连接，延长交弦于点，交于点，连接．求证：； 小明给出了自己的证明方法如下： 三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形， ， ，则为等边三角形， 同理可得：也为等边三角形， ． 【理解】 （1）如图2，若为上任意一点，连结、，则___________， 若的半径为1，则___________． （2）在图2中，问题原型中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 【应用】 （3）如图3，四边形内接于，，平分，且，若的半径为7，求四边形的面积． 75．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）； ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆， (2)在图③中，画经过点A，B，C（图⑤）．假设点D落在外，交于点 E，连接，可得，得出矛盾；同理点D也不会落在内（图⑥），即A，B，C，D共圆．结论同理可证．请你利用“反证法”证明结论，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上； (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形的高相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（连接，补全以下证明框图） (4)如图⑩，点P是外部一点，过P作直线的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在的外接圆上． 题型26 圆与函数综合（共3小题） 76．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径的，交轴于点，点是上的一个动点，作点关于点的对称点，连接． (1)当点刚好落在轴上时，点的坐标为_________； (2)点在运动过程中，若线段与反比例函数有交点，求交点横坐标的取值范围； (3)若由点所组成的图形与直线有且仅有一个交点时，请直接写出的值． 77．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）【阅读】平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式之一，若 ，则． 【理解】请用所学知识解决问题：已知的半径为3． (1)如图1，为圆上任意一点，请探究x，y的关系式； (2)如图2，已知为切线，，且，求b与a的函数关系式； 【运用】如图3，点P在圆心为，半径为1的圆上运动，点A的坐标为，点B的坐标为，求当面积最大值时P点的坐标． 78．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 题型27 圆的切线与判定定理综合（共3小题） 79．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 80．（2026·四川内江·模拟预测）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 81．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在y轴上，边与x轴交于点D，平分交边于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，与y轴相交于另一点G． (1)求证：是的切线； (2)若点A、D的坐标分别为，． ①求的半径； ②直接写出的长． 题型28 圆中最值（隐圆）问题（共3小题） 82．（2026·江苏镇江·一模）如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（     ） A．4 B． C． D． 83．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 84．（26-27九年级上·山东日照·期中）在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 题型29 圆中最值（动点）问题（共3小题） 85．（2026·北京朝阳·模拟预测）如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 86．（2026·黑龙江·模拟预测）如图，矩形中，，，P为边的中点，M，N分别为边，上的动点．若，则的最小值为__________． 87．（2026·江苏盐城·三模）如图，在矩形中，，，的半径为2，E为上一点，，垂足为F，则的最小值为________． 题型30 圆的新定义与材料理解型问题（共3小题） 88．（2026·江苏盐城·中考真题）小明看到一个有趣的现象：在如图1所示的装置中，带电粒子绕圆运动． 【新定义】 人站在射线端点处，看向射线的延伸方向时，人的右侧称为这条射线的右侧． 一个动点，从一条确定的射线端点出发，在射线的右侧，以该射线所在的直线为切线，端点为切点，顺时针方向做圆周运动，称这个点的运动为“射线·圆”运动，这个点运动所形成的图形叫作“射线·圆”． 如图2，动点从确定的射线的端点出发，在射线的右侧，沿顺时针方向做圆周运动，圆与射线所在的直线相切于点，那么点的运动就是“射线·圆”运动，图中的圆就是“射线·圆”． 【理解】 (1)请用直尺和圆规作图，探索下列问题．（不写作法，保留作图痕迹） ①如图3，任作一条端点为的射线，再作动点关于射线的半径为的“射线·圆”． ②如图4，已知端点为的射线和直线，．动点从点出发做“射线·圆”运动，当动点落在直线上时停止运动．在直线上作出到点距离最大的点的位置． 【运用】 (2)如图5，点到直线的距离为．从点出发的动点做半径为的“射线·圆”运动，当动点落在直线上时停止运动．在动点落在直线上的所有可能的位置中，求间距最大的两个位置之间的距离． 89．（2026·江苏镇江·中考真题）综合与实践：起跑线中的数学 有些长跑比赛是以图1中这样的曲线为起跑线的． 体育老师提供了模拟跑道的示意图（图2）和局部图（图3），供数学兴趣小组探究．在图3中，弯道跑道的内、外侧线都是以点O为圆心的半圆，与直线跑道垂直．最内道的跑步路线（图3中的虚线，称为“标准路线”）与跑道的最内侧线处处等宽．起跑点是与标准路线的交点，．从比赛公平角度看，不管从起跑线上的哪个点起跑，跑到终点的总路程都应该相等． 【认识原理】 C是起跑线上异于点的任意一点，过点C作虚线半圆的切线，T为切点． (1)M是上异于点T的一点．线段与的长度之和__________切线的长．（填“>”“<”或“=”） (2)从点出发的选手沿标准路线跑完全程，从点C出发的选手沿切线方向跑到点T后，再沿标准路线跑完全程．小组成员发现：切线的长与的长相等．他们的发现是否正确？为什么？ (3)过起跑线上一点（点在点C的外侧）作虚线半圆的切线，切点为．判断切线，的长度之差与的长是否相等？请说明理由． 【理解原理】 (4)是起跑线上的一点，经测量，点与圆心O的距离为10．设从点出发的选手沿切线方向跑到点后，再沿标准路线跑完全程，求的度数．（结果保留） 【设计方案】 (5)请在第5跑道外侧线上确定起跑点的位置．（无需具体求解与画图，只需要写出确定起跑点的步骤） 90．（2026·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． (1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（     ） A．    B．    C．   D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $