专题07 统计（压轴题专项训练）高二数学沪教版必修第三册

专题07 统计 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、抽样方法 题型二、统计图表信息的读取 题型三、频率分布直方图的频率、频数等计算 题型四、频率直方图中的平均数、中位数、众数 题型五、百分位数的计算 题型六、分层方差计算总体方差 题型七、频率分布直方图与概率的综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 统计是高中数学核心重难点，所有题型均围绕抽样方法、统计图表、频率分布直方图、百分位数、统计与概率综合五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是读懂图表横纵坐标含义，区分频数、频率、组距三者概念；二是计算百分位数、中位数等统计量时，严格按照定义分步计算。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、抽样方法 题型模版 1.特征：主要考查简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三类基础抽样模型，结合实际总体抽样场景出题。核心考查抽样规则辨析与抽样数量计算，易错点为混淆三类抽样适用条件，分层抽样比例计算出错。 2.方法：依据总体特征选择抽样方式，牢记分层抽样核心公式，每层抽取数量=该层总体数×抽样比。严格遵循抽样随机性、等概率原则，保证抽样结果具备统计代表性。 【例1】在哈尔滨市2024年第一次市模考试中，三所学校高三年级的参考人数分别为、.现按比例分层抽样的方法从三个学校高三年级中抽取样本，经计算得三所学校高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则三所学校学生数学成绩的总平均数约为（    ） A．101 B．100 C．99 D．98 【答案】B 【详解】由题意得可供参考的总人数为人， 故三所学校学生数学成绩的总平均数约为， 故选：B 【例2】某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则______． 【答案】13 【详解】由题意，根据分层抽样的特点，可得， 解方程得. 【变式1-1】某工厂生产了一批口罩，其中甲类口罩有10万个，乙类口罩有6万个，丙类口罩有4万个，质量监督部门为检测这批口罩的质量，拟用分层抽样的方法从这批口罩中抽取100个，应从甲类口罩中抽取的个数为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】B 【详解】甲类口罩有10万个，乙类口罩有6万个，丙类口罩有4万个，用分层抽样的方法从这批口罩中抽取100个， 则从甲类口罩中抽取的个数为． 【变式1-2】某学校调查学生对学校食堂意见情况，该学校分高一，高二，高三三个年级，统计可得这三个年级的人数比例为．现用分层随机抽样的方法从这些学生中抽取n名学生进行调研，若高一年级抽到80人，则以下不正确的是（    ）． A．高二年级抽到60人 B．高三年级抽到90人 C． D．抽取的高二与高三人数之和比高一多40人 【答案】B 【详解】根据题意，已知高一、高二、高三人数比例为， 设抽取的高一、高二、高三人数分别为、、． 因为高一抽到80人，即，解得． 所以高二抽到人数为人，故A正确； 高三抽到人数为人，故B错误； 所以，故C正确； 高二与高三人数之和为人，比高一多人，故D正确． 故选：B． 【变式1-3】为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则_________. 【答案】 【详解】因为感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为， 所以，抽取样本量为的样本中，型血的人数为， 型血的人数为， 所以，，解得. 故答案为：. 题型二、统计图表信息的读取 题型模版 1.特征：依托扇形图、条形图、折线图等常规统计图表出题，核心考查数据提取与换算。高频易错点为看错图例、混淆部分与整体关系、误用扇形图圆心角与频率的对应换算规则。 2.方法：先核对图表图例、坐标轴含义，牢记扇形图换算公式。精准提取有效数据，梳理部分量与总量的对应关系，剔除无效信息，规范列式完成数据运算与推导。 【例3】为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（） A．这400名学生中，高一人数比高二人数多40 B．成绩前200名的高一学生有90人 C．成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64 D．成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】D 【详解】由饼图可知，高一人数比高二人数多选项正确； 由条形图可知，成绩前200名中高一人数为人，B选项正确； 成绩前100名的学生中，高一人数为人， 故高三人数不超过人，C选项正确； 成绩第101名到第名的学生中，高一人数为人， 故高二最多有人，因此高二人数比高一少，D选项错误， 故选：D 【例4】某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么?（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据.图1是根据这组数据绘制的条形统计图.由条形统计图可知本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的占被调查人数的百分比是____，若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，则全校学生中最喜欢跳绳活动的人数估计为____.    【答案】 36% 160 【详解】最喜欢篮球活动的占被调查人数的百分比是， 由图2可知，九年级学生人数占全校学生总人数的， 则全校总人数为人， 则全校学生中最喜欢跳绳活动的人数估计为人. 故答案为：36%；160 【变式2-1】为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是（    ）    A．选择足球的女生比选择篮球的女生多 B．选择篮球的女生比选择足球的男生多 C．选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多 D．选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多 【答案】C 【详解】全年级有1000人参与该活动，由饼状图可知： 选择篮球的学生有： 人， 选择乒乓球的学生有： 人， 选择足球的学生有： 人， 由条形图可知： 选择篮球的学生中，女生 人，男生 人， 选择乒乓球的学生中，女生 人，男生 人， 选择足球的学生中，女生 人，男生 人. 故选：C． 【变式2-2】三次产业增加值占国内生产总值的比重是衡量一个国家或地区经济发展阶段、产业结构优化程度以及未来经济发展潜力的重要指标、其中第一产业包括农业、林业、渔业等；第二产业涵盖制造业、建筑业等；第三产业则包括服务业、金融业、信息技术等.如图为我国2020-2024年三次产业增加值占国内生产总值比重的等高堆积条形图，则（    ） A．2020-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重逐年递增 B．2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重的中位数为36.9% C．2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重的平均数为55.1% D．2020-2024年三次产业中增加值占国内生产总值比重极差最大的是第二产业 【答案】B 【详解】选项A，年第一产业增加值占国内生产总值比重为， 年第一产业增加值占国内生产总值比重为， 年第一产业增加值占国内生产总值比重为， 年第一产业增加值占国内生产总值比重为， 年第一产业增加值占国内生产总值比重为， 从数据上看，2020-2021年第一产业增加值占国内生产总值比重递减，2021-2022年第一产业增加值占国内生产总值比重持平，2022-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重递减， 故选项A错误； 选项B，2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重依次为， 将这个数从小到大排列为，则这个数的中位数为， 故2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重的中位数为36.9%，故答案B正确； 选项C，2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重依次为， 则这个数的平均数为， 2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重的平均数为，故答案C错误； 选项D，2020-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重依次为， 这个数中的最小值为，最大值为，故极差为， 2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重依次为， 这个数中的最小值为，最大值为，故极差为， 2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重依次为，这个数中的最小值为，最大值为，故极差为， 故2020-2024年三次产业中增加值占国内生产总值比重极差最大的是第三产业， 故选项D不正确. 故选：B. 【变式2-3】某地政府为了促进当地旅游，从到达该地旅游的游客中随机选取了人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的占比饼状图如图①所示，各年龄段游客的性别占比条形图如图②所示，则下列说法正确的是（    ） A．估计到达该地旅游的女性占比约为 B．从调查的游客中，随机抽取一位进行深入调研，则抽到中年男性的概率为 C．若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从调查的游客中抽出人分发纪念品，则中年人中应抽取人 D．从调查的游客中选取一位作为幸运游客，在已知该幸运游客是青年人的条件下，其是女性的概率为 【答案】C 【详解】对于A，抽取的人中，女性人数为（人）， 用样本估计总体，估计到达该地旅游的女性占比约为，A错误； 对于B，抽取的人中，中年男性的人数为（人）， 则从调查的游客中，随机抽取一位，抽到中年男性的概率，B错误； 对于C，抽取的游客中，中年人占比为， 则用分层抽样抽取人，中年人中应抽取（人），C正确； 对于D，记事件：抽取的游客为青年人；事件：抽取的游客是女性； 则，， ，D错误. 故选：C. 题型三、频率分布直方图的频率、频数等计算 题型模版 1.特征：以频率分布直方图为载体，考查频率、频数、样本容量、组距的相互换算。最易出错点是误将矩形纵轴高度当作频率，忽略直方图核心定义，混淆各统计量之间的对应关系。 2.方法：牢记核心公式：、。明确矩形面积为对应组频率，所有组频率总和为1，依次换算各统计量，规避概念混淆错误。 【例5】某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了100头仔猪的体重（单位：斤），经数据处理得到如图①的频率分布直方图，其中体重最轻的14头仔猪的体重的频数分布表如图②，为了将这批仔猪分栏喂养，需计算频率分布直方图中的一些数据，其中a＋b的值为（    ） 体重 22 24 26 27 28 29 31 频数 1 1 2 3 3 2 2 图② A．0.144 B．0.152 C．0.76 D．0.076 【答案】B 【详解】由题意得，且 ， 所以，所以. 故选：B. 【例6】八年级（1）班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理成如下两幅不完整的统计图表： 月均用水量x（t） 频数（户） 频率 6 0.12 m 0.24 16 0.32 10 0.20 4 n 2 0.04 请根据以上信息，解答以下问题： (1)直接写出频数分布表中的m、n的值并把频数直方图补充完整； (2)求出该班调查的家庭总户数是多少？ (3)求该小区用水量不超过15的家庭的频率． 【答案】(1)， (2)50； (3)0.68. 【分析】 【详解】（1）∵频数为6，频率为, ∴总频数为, ∴, ∴, 数据求出后，即可将频数直方图补充完整，如下图所示： （2）根据（1）中即可得知，总频数为, 答：该班调查的家庭总户数是50户； （3）根据统计图表，该小区用水量不超过15的家庭的频率即为 【变式3-1】2019年1月1日，“学习强国”学习平台在全国上线，某单位组织全体党员登录学习统计学习积分得到的频率分布直方图如图所示.若学习积分在（单位:万分）的人数是32人，则该单位共有____名党员，若学习积分超过2万分的党员可获得“学习达人”称号，则该单位有____名党员能获得该称号.    【答案】 80 8 【详解】由频率分布直方图得：学习积分在（单位:万分）的频率为， 因为学习积分在（单位:万分）的人数是32人，所以该单位有（人）； 因为学习积分超过2万分的党员可获得“学习达人”称号，且学习积分超过2万分的频率为， 所以该单位有名党员能获得该称号. 故答案为：80；8. 【变式3-2】某学校为了提高高三年级学生的某学科成绩，在第一次联考后采取了“培优补短”等一系列举措．为了更好地总结经验，现从高三年级1000名学生中随机抽取100名学生，将其前后两次联考成绩(满分150分)分别按照[50,70)，[70,90)，…，[130,150]分成五组，绘制成频率分布直方图，如图所示．下列说法不正确的是（   ） A． B．估计该年级第二次联考成绩在130分以上的学生比第一次联考对应分数段的多10人 C．第二次联考学生的成绩波动更小 D．与第一次联考相比，第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数减少，在[110,150]内的学生人数增加 【答案】A 【详解】因为，所以，A错误． 因为第一次联考成绩在130分以上的学生人数大约占， 第二次联考成绩在130分以上的学生人数大约占， 所以增加，则增加的学生人数为10，B正确． 第一次联考成绩集中于70～110分的学生人数占比为， 第二次联考成绩集中于90～130分的学生人数占比为， 第二次联考成绩数据更集中，所以方差更小，C正确． 第一次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为，在[110,150]内的学生人数占比为， 第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为，在[110,150]内的学生人数占比为，D正确． 故选：A 【变式3-3】某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组：.抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示.则实数______.这1000名学生阅读古典名著的时间不少于8小时的人数为______. 【答案】 / 【详解】根据频率分布直方图的几何意义，坐标系内的所有矩形的高度之和乘以组距为定值1， 所以，得， 阅读时间不少于小时的人数为. 故答案为：①，②. 题型四、频率直方图中的平均数、中位数、众数 题型模版 1.特征：针对频率分布直方图，求解数据三大数字特征，三类统计量计算逻辑差异较大。易错点为混淆中位数、平均数计算公式，误用区间端点值代替组中值参与运算，导致结果偏差。 2.方法：众数取最高矩形底边中点；中位数为累计频率等于0.5的对应横坐标；平均数套用公式，全程使用组中值运算，严格区分三类特征数的计算规则。 【例7】某校在知识测试活动中，随机抽取30名学生，统计了他们的测试成绩（单位：分），得到如下统计图．设这30名学生测试成绩的中位数为，众数为，平均数为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由统计图可知，测试成绩为分的人数最多，有人，所以众数， 测试成绩为分的人数1人，50分1人，60分1人，70分2人， 所以这30人的成绩从小到大排序第15位同学的成绩为80分，第16位同学的成绩为90分， 所以中位数， 平均数， 所以. 【例8】某校为了了解高一年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后作出如下统计图，甲同学计算出前两组的频率和是，乙同学计算出跳绳次数不少于次的同学占，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为，结合统计图回答下列问题： (1)这次共抽调了多少人？ (2)如果这次测试成绩的中位数是次，那么这次测试中，成绩为次的学生至少有多少人？ 【答案】(1)150人. (2)人． 【分析】 【详解】（1）由题意知：跳绳次数少于次的学生的频率为， 则第二组的频率为． 由统计图知：第二组的频数为，则此次共抽调了人； （2）由（1）得：第一组的人数为人， 因为第二组的人数为，第二、三、四组的频数比为， 所以第三组的人数为人，前三组共人， 所以从第个数据开始为次及以上． 又因为中位数是第和第个数的平均数， 第四组数据满足，中位数是次， 所以从第个数据到第个数据都必须是， 所以成绩为次的学生至少有人． 【变式4-1】某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损，使部分图形缺失，如图，在该频率分布直方图中，下列说法正确的是（     ）    A．第三组的频数为16人 B．估计样本的众数为85分 C．估计样本的平均数为73.5分 D．估计样本的中位数为75.5分 【答案】C 【详解】选项 A：分数在内的频率为， 所以第三组的频数为，A 错误； 选项 B：众数为最高矩形中点，最高组是，中点是，B 错误； 选项 C：样本的平均数估计值为 C 正确； 选项 D：因为 所以中位数位于，所以中位数的估计值为，D 错误. 【变式4-2】某市文旅局在该市随机挑选了100名游客进行旅游体验满意度打分评价，满分100分，分值为整数值，90分及以上为优秀等级，80至89分为良好等级，根据这100名游客的评分绘制如图所示的频率分布直方图，根据该直方图，下列说法正确的有（    ） A． B．样本数据的众数可能为95 C．样本数据的中位数估计值小于平均数估计值 D．从评分等级为优秀和良好的游客中，采用分层抽样的方法抽取21人进行座谈交流，则抽到评分为优秀的游客有15人 【答案】B 【详解】选项A：由频率分布直方图的性质可知，所有矩形的面积之和为1， 即，解得，所以，故选项A错误； 选项B：在频率分布直方图中，众数通常取最高矩形底边的中点值，图中最高的矩形对应区间，其中点为，所以样本数据的众数估计值为95，故选项B正确； 选项C：平均数的估计值为各组中点值与对应频率乘积之和：； 中位数的估计值：前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 所以中位数位于第四组内，设中位数为，则，解得， 因为，所以中位数估计值大于平均数估计值， 故选项C错误； 选项D：评分为优秀（）的频率为，人数为人， 评分为良好（）的频率为，人数为人， 优秀和良好等级的总人数为人，采用分层抽样抽取21人，抽样比例为， 则抽到评分为优秀的游客人数为人， 故选项D错误. 【变式4-3】某工厂抽检120个机械零件的外径尺寸（单位：mm），分组数据如下表： 尺寸区间 频数 8 13 22 37 24 16 根据表中数据，下列结论不正确的有（     ） A．这120个零件外径尺寸的中位数不小于 B．这120个零件外径尺寸不低于的零件所占比例不足 C．这120个零件外径尺寸的极差介于到之间 D．这120个零件外径尺寸的平均值介于至之间 【答案】D 【详解】对于A，将零件外径尺寸从小到大排列，则第60个，61个数据均不小于34，则中位数不小于34，故A正确； 对于B，不低于的零件占比为：，故B正确； 对于C，由表格数据可得：零件外径尺寸最小值在内，最大值在内，则零件外径尺寸极差，即外径尺寸最大值与最小值差值范围在20到30之间，故C正确； 对于D，由表格数据，每组数据均取最小值，可得零件外径尺寸平均值不低于： ， 每组数据均取区间的右侧端点，可得零件外径尺寸平均值低于： ， 即零件外径尺寸平均值介于至之间，故D错误. 题型五、百分位数的计算 题型模版 1.特征：依托有序原始数据或频率分布直方图，求解指定百分位数，是高二统计重难点。易错点为未排序直接计算、累计频率定位区间失误，忽略线性插值步骤，直接取值导致答案错误。 2.方法：先将数据从小到大排序，计算累计频率精准定位百分位数所在区间。结合区间上下界与累计频率差，利用线性插值法分步计算，严格遵循百分位数定义，杜绝主观近似取值。 【例9】若一组整数数据：，2，1，3，4，5，4，6，8，9的第75百分位数是，则可以是_______（写出其中一个即可）． 【答案】6（6或7或8写出其中一个即可） 【详解】将除的9个已知数据按从小到大顺序排列：1，2，3，4，4，5，6，8，9. 因为，可知第75百分位数为第8位数，所以必须大于或等于第7个数， 所以可以为6或7或8. 【例10】下表为“某地区年的生产总值（）”相关数据（其中该地区生产总值是逐年递增的）． 年份 年 年 年 年 年 年 生产总值（）/万亿元 由于不小心，该地区的年生产总值（）数据被污染了，但知道表中数据的第百分位数与第百分位数之和为，则该地区的年生产总值（）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该地区的年生产总值为，数据升序排列为： ， ，向上取整为4，则第百分位数为第4个数据，即为， ，向上取整为5，则第百分位数为第5个数据，即为， ，解得． 【变式5-1】已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（   ） A．8个 B．6个 C．4个 D．1个 【答案】B 【详解】因为数据中最小数据为，可得且， 将7个数据从小到大排序， 因为，则该组数据的第75百分位数为第6个数据，可得， 所以，则的可能取值有，共6个. 【变式5-2】某小组在试验中得到了一组样本数据：8，6，10，8，5，9，11，12，若这组数据的第百分位数恰为这组数据的众数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将数据从小到大排列为5，6，8，8，9，10，11，12，众数为8， 则这组数据的第百分位数为8， 又 ， 若为整数，则，解得； 若不为整数，则或， 解得或，综上，. 【变式5-3】直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一．某村统计了一合作社最近天通过直播带货销售农产品的日销售额（单位：万元），并绘制成右侧的频率分布直方图，则的第百分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设销售额的第百分位数为， 由已知，解得， 又， ， 所以， 且， 解得， 即销售额的第百分位数为. 题型六、分层方差计算总体方差 题型模版 1.特征：以分层抽样数据为背景，已知各层样本容量、层内平均数与层内方差，求解总体的平均数和总方差。属于高二统计难点题型，易错点为直接叠加层方差、忽略层间均值偏差，误用单一方差公式计算。 2.方法：先利用加权平均公式求总体均值，再套用分层总方差公式，兼顾层内方差与层间偏差，分步精准计算。 【例11】某研究性学习小组为了研究中学生身高与性别的关系，对郑州市区一所中学的高一学生展开调查．该校高一年级共有1000人，其中男生400人，女生600人，学习小组采用样本量比例的分层随机抽样抽取50个样本数据，其中抽取到的男生身高的平均数和方差分别为170和10，抽取到的女生身高的平均数和方差分别为160和15，则抽取数据的总样本方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】确定样本中男女生人数：按比例分层抽样， 男生样本量，女生样本量， 则总样本均值， 根据分层总方差计算公式， 代入数值计算 . 【例12】某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，，，，，六组，得到频率分布直方图（如图），请完成下列问题： (1)求频率分布直方图中的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分（每个区间内的值以该组区间的中点值为代表）； (2)求参加挑战赛的学生成绩的分位数； (3)已知落在区间，的样本平均分是63，方差是5；落在区间，的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 【答案】(1)，； (2)86； (3)，. 【分析】 【详解】（1）根据题意可得， 解得； 所以平均分的估计值为： ； （2）因为前几组的频率依次为0.1，0.1，0.2，0.3，0.25， 所以分位数一定位于区间,，设为, 则， 解得x=86; （3）因为,，,的频率之比为， 又落在区间,的样本平均分是63，方差是5； 落在区间,的样本平均分是78，方差是4， 两组样本成绩合并后的平均分． 所以两组样本成绩合并后的方差. 【变式6-1】为调查某地区中学生的身高情况，采用样本量比例分配的分层随机抽样.现抽取男生 600 人，其平均身高为 170 cm，方差为 10；抽取女生 400 人，其平均身高为 160 cm，方差为 15.则估计该地区中学生身高的总方差为（    ） A．36 B．42 C．49 D．55 【答案】A 【详解】平均身高为：， 则该地区中学生身高的总方差为． 【变式6-2】某学校有学生5000人，其中男生3000人，女生2000人，希望获得全体学生的身高信息，按照比例分配的分层抽样原则抽取了容量为500的样本．经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为；女生身高样本均值为160cm，方差为．下列说法中正确的是（    ） A．女生样本容量为2000 B．每个男生被抽入到样本的概率均为 C．所有样本的均值为168cm D．所有样本的方差为 【答案】D 【详解】由题可知：男生身高样本均值，方差； 女生身高样本均值，方差. A：由人，故A错误； B：由人，故每个男生被抽入到样本的概率为，故B错误； C：所有样本的均值为，故C正确； D：所有样本的方差故D正确. 【变式6-3】某校高一学生有男生300人，女生200人，为了解该校高一学生的身高信息，按性别采用样本量按比例分配的分层随机抽样，共抽取50人，计算得到样本中男生、女生的平均身高分别为170和160（单位：厘米），方差分别为20和30，则下列结论不正确的是（   ） A．该校每一名高一学生被抽到的概率为0.1 B．男生、女生应抽取的人数分别为30和20 C．样本的平均数为165 D．根据上述数据，估计该校高一学生身高的方差为48 【答案】C 【详解】每一名高一学生被抽到的概率为，A正确； 按比例分配抽样，，，B正确； 样本总平均数的计算公式为：，代入数据得： ，C错误； 在分层抽样中，总样本方差的计算公式为：，代入数据： ，D正确. 题型七、频率分布直方图与概率的综合 题型模版 1.特征：属于统计压轴基础题型，融合直方图运算与古典概型知识，先通过直方图统计数据，再转化为概率问题求解。易错点为前期统计量计算失误，连锁导致后续概率结果出错。 2.方法：分步解题，先利用直方图公式求出对应区间频率，将频率等价为对应事件的概率。再结合概率基本性质、古典概型公式列式求解，全程分步验算，保证统计、概率两步运算准确无误。 【例13】为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩（满分100分）整理成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中a的值以及师生竞赛成绩的中位数； (2)利用频率直方图的组中值求2000名师生的平均成绩； (3)从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求2人的成绩来自同一区间的概率． 【答案】(1)，； (2)80； (3)． 【分析】 【详解】（1）根据频率分布直方图性质，可得， 所以， 因为共五组，前四组的频率和且最后一组的频率， 设中位数为x，则 根据中位数的定义，可得， 所以； （2）根据平均数定义，可得， 即2000名师生的平均成绩为80. （3）因为第四组与第五组的频率之比为2:1， 故按照分层抽样第四组抽取人数为4人，记为a，b，c，d；第五组抽取人数为2人，记为e，f， 从6人中选出2人，共有， 共有15种， 其中选出的2人来自同一组有7种， 则选出的2人中来自同一组的概率为． 【例14】为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息： (1)①求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数； ②用分层抽样的方法在[20，25)和[25，30]中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率. (2)①估计这40名同学周末学习时间的25%分位数； ②将该班学生周末学习时间从低到高排列，那么估计第10名同学的学习时长； 【答案】(1)①人，② (2)①小时，②小时 【分析】 【详解】（1）①由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为， 则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为人． ②由图可知，则40名学生中周末的学习时间在的人数为人， 则40名学生中周末的学习时间在的人数为人， 从中用分层抽样抽取6人，即周末的学习时间在的有4人，周末的学习时间在的有2人，再从中选派3人接受检测， 设检测的3人来自同一区间的事件为A，则; （2）①学习时间在5小时以下的频率为， 学习时间在10小时以下的频率为， 所以25%分位数在区间内，则， 所以这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75小时． ②第10名是40名同学的25%，因而问题相当于求25%分位数，也就是估计第10名同学的学习时长为8.75小时． 【变式7-1】在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物资，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求出直方图中m的值，并利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）； (2)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口门罩中恰好有1个口罩为一等品的概率． 【答案】(1)，平均数为71，中位数为73.33 (2) 【分析】 【详解】（1）由得， 所以该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为， 设中位数为n， 因为， 所以中位数位于， 则，得， 故，可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33． （2）由频率分布直方图可知，100个口罩中一等品，二等品分别有个，个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品，二等品分别有3个，2个， 记3个一等品为a，b，c，2个二等品为d，e， 则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：，共10种， 其中，恰好有1个口罩为一等品的可能结果有：，共6种， 故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为． 【变式7-2】第24届冬奥会于2022年2月4-20日在北京胜利召开，“一起向未来”的主题口号掀起了全民冰雪运动的热潮，北京冬奥会上，数字媒体技术的创新性应用，让每一个项目的特点与运动员的精彩瞬间都会被镜头完美地捕捉，北京冬奥会也成为奥运史上首次实现8K视频技术直播和重要体育赛事转播的冬奥会，贵阳市某学校课外兴趣小组为了解本市市民奥运会期间平均每天观看奥运比赛节目时间的情况，随机抽取了1000名市民，收集相关数据如下表所示： 每天观看奥运比赛节目的时间/小时 人数 120 180 280 120 已知这1000名市民中平均每天观看奥运比赛节目时间不少于2小时的市民占80%. (1)求x和y的值，并将样本频率直方图补全； (2)根据以上数据，试估计该市市民每周阅读时间的平均值； (3)我们把每天观看奥运比赛节目时间不少于4小时的市民成为“奥运迷”，用分层抽样的方法从这1000名市民中抽出5人.现从这5人中任选2人，求其中至少有一名“奥运迷”的概率. 【答案】(1)，，表格见解析； (2)小时； (3). 【分析】 【详解】（1）由题意，，解得. 而，解得. 从而数据在的频率为，数据在的频率为， 直方图如下图示： （2）， 所以该市市民每周阅读时间的平均值约为小时. （3）样本中“奥运迷”有名，“非奥运迷”有名， 因为，故抽出5人中，有2人为“奥运迷”. 设“奥运迷”分别为，“非奥运迷”分别为， 则样本空间 记事件：从这5人中任选2人，其中至少有一名“奥运迷”， 则， 现从这5人中任选2人的基本事件共有10个，而事件包含的基本事件有7个，故，即为所求. 【变式7-3】某市政府随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350度之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示． (1)求直方图中x的值，并估计居民月用电量的众数； (2)为了既满足居民的基本用电需求，又能提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，请确定第一档用电标准的度数（精确到个位数字）； (3)用分层抽样的方法在和两组中抽取5户居民作为节能代表，从节能代表中随机选取2户进行采访，求这2户来自不同组的概率． 【答案】(1)0.0044，175 (2)234 (3) 【分析】 【详解】（1）解：， 解得 ，居民月用电量的众数为； （2）在内的居民数为， 第一档用电标准的度数在内， 设第一档用电标准的度数为，则， 解得； （3）在内的居民数为：， 在内的居民数为， 从两组中抽取5户居民作为节能代表，则从抽取户，记为A，B， 从抽取户，记为a，b，c， 从中随机选取2户的基本事件有：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc共10种， 其中这2户来自不同组的有：Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc共6种， 所以这2户来自不同组的概率为. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．某高中三个年级共有学生900人，其中男生528人，高一学生312人，高一男生l92人，共青团员670人，男团员336人，高一团员247人，高一男团员147人，则高二、高三女生中非团员的总人数为_______ 【答案】18 【详解】因为三个年级共有学生900人，其中男生528人，故女生共372人， 又高一学生312人，高一男生l92人，故高一女生120人， 由共青团员670人，男团员336人知女团员共有334人，其中高一女团员247-147=100人， 所以高二高三女生共372-120=252人，其中女团员共有334-100=234人， 所以高二、高三女生中非团员的总人数为252-234=18人. 故答案为18 【点睛】本题主要考查了学生对实际问题的分析能力，属于中档题. 2．图1为某省某年1～4月份快递业务量统计图，图2为该省当年1～4月份快递业务收入统计图． 根据对以上统计图的理解，有下列四个说法： ①当年1～4月份快递业务量，3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件； ②当年1～4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，可能与春节后快递恢复网购迎来喷涨有关； ③从两图中看，快递业务量与业务收入的同比增长率并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致； ④从1～4月份来看，快递业务量与快递业务收入有波动，但整体保持高速增长． 其中，正确的说法为______．（写出所有满足条件的说法序号） 【答案】①②③ 【分析】 【详解】对于①，当年1～4月份快递业务量，3月份最高，有4397万件，2月份最低，有2411万件，其差值接近2000万件，所以①正确； 对于②，当年1～4月份快递业务量的同比增长率分别为55%，53%，62%，58%，均超过50%，在3月份最高，可能与春节后快递恢复网购迎来喷涨有关，所以②正确； 对于③，由两图易知，快递业务量与业务收入的同比增长率并不完全一致，而其业务量从高到低变化是3月→4月→1月→2月，业务收入从高到低变化也是3月→4月→1月→2月，保持高度一致，所以③正确； 对于④，由图知，快递业务收入2月对1月减少，4月对3月减少，整体不具备高速增长之说，所以④不正确． 3．1000名高一学生参加数学质量监测，从中随机抽取200名学生的成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中，不正确的序号有（   ） A．频率分布直方图中的值为0.005 B．估计这200名学生成绩的第60百分位数为80 C．估计总体中成绩落在内的学生人数为150 D．估计这200名学生成绩的众数为78 【答案】D 【详解】对于A：因为 ，可得，故A正确； 对于B：前三组的频率和为 ， 所以这200名学生成绩的第60百分位数为80，故B正确； 对于C：总体中成绩落在内的学生人数为，故C正确． 对于D：因为的频率最大，所以这200名学生成绩的众数为75，故D错误； 4．我国关于人工智能领域的研究十分密集，发文量激增，在视觉、语音、自然语言处理等基础智能任务实现全球领先，并且拥有一批追求算法技术极致优化的人工智能企业，如图是过去十年人工智能领域高水平论文发表量前十国家及发表的论文数．现有如下说法： ①这十个国家的论文发表数量平均值为0.87； ②这十个国家的论文发表数量的中位数为0.4； ③这十个国家的论文发表数量的众数为0.4； ④德国发表论文数量约占美国的32%． 其中正确的是______．（填序号） 【答案】①② 【详解】解：由题知，论文数的平均数为，故①正确； 这十个国家的论文发表数量的中位数为0.4，故②正确； 这十个国家的论文发表数量的众数为0.3，故③错误； 德国发表论文数量约占美国的，故④错误. 故说法正确的是：①② 故答案为：①② 5．某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1，乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.5，则这20个人的视力的方差为______. 【答案】0.86 【详解】设甲班12个人视力检测数据分别为，乙班8个人的视力检测数据分别为. 甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1，，； 乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.5，，. 这20个人的视力的平均数为； 方差 . 6．为了解某企业员工对党史的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占，则下列结论中，正确结论的个数是______. ①男、女员工得分在A区间的占比相同； ②在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数； ③得分在C区间的员工最多； ④得分在D区间的员工占总人数的20%. 【答案】 【详解】根据题意，设员工总人数为个， 因为女员工人数为， 所以，解得，所以男员工人数为， 对于①，女员工得分在A区间的占比为，男员工得分在A区间的占比为，故①正确； 对于②，女员工在A区间有20人，区间有60人，区间有70人，区间有50人； 男员工在A区间有人，区间有人，区间有人，区间有人； 所以区间男员工少于女员工，故②错误； 对于③，区间有人，区间有人，所以区间人数比区间多，故③错误； 对于④，区间有人，所以得分在区间的员工占总人数的，故④错误； 综上：①正确，②③④错误，故正确结论的个数是. 故答案为：. 7．为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的有（    ） A．对应矩形的高度为 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为 D．样本成绩的第70百分位数落在内 【答案】D 【详解】设对应矩形的高度为，则， 解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，D选项错误. 8．某批零件共160个，其中，一级品有48个，二级品64个，三级品32个，次品16个．从中抽取一个容量为20的样本．请说明分别用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样法抽取时总体中的每个个体被取到的概率均相同． 【答案】（1）简单随机抽样法：可采取抽签法，将160个零件按编号，相应地制作号的160个签，从中随机抽20个，显然每个个体被抽到的概率为． （2）系统抽样法：将160个零件从1~160编上号，按编号顺序分成20组，每组8个， 先在第1组用抽签法抽到号， 则在其余组中分别抽取第号，此时每个个体被抽到的概率为． （3）分层抽样法：按比例，分别在一级品、二级品、三级品、次品中抽取个，个，个，个， 每个个体被抽到的概率分别为，，，，即都是． 综上可知，无论采取哪种抽样，总体的每个个体被抽到的概率都是． 【详解】略 9．人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷（每份试卷包含文科、理科共30个题），收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图. (1)求图中a的值； (2)求这组数据的中位数； (3)若将准确率不低于90%定义为“优秀表现”，且已知：①每份试卷中，文科题（语文、英语、历史）与理科题（数学、物理、化学）各占比50%，DeepSeek解答理科题的平均正确率比文科题高5%；②理科题每题6分，文科题每题4分，请计算： ①DeepSeek在“优秀表现”试卷中，理科题和文科题的平均正确率分别是多少（结果用分数表示）？ ②一份“优秀表现”的试卷，DeepSeek的平均得分是多少（最后结果保留小数点后两位）？ 【答案】(1) (2)92.5% (3)①，；② 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得； （2）设中位数为，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 所以，则，解得， 所以估计准确率的中位数为92.5%； （3）①设“优秀表现”试卷中文科题平均正确率为x，则理科题平均正确率为， 优秀表现的准确率区间为， 其平均准确率为：， 则，解得， 则理科题平均正确率为； ②文科得分为，理科得分为， 则DeepSeek的平均得分为分． 10．中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门对全市4万名初中生的视力状况进行一次抽样调查统计，所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图，从左至右五个小组的频率之比是2∶4∶9∶7∶3，第五小组的频数是30．    (1)本次调查共抽调了多少名学生？ (2)如果视力在属正常，那么全市初中生视力正常的约有多少人？ 【答案】(1)250 (2)11200（人）． 【分析】 【详解】（1）因为频率之比等于频数之比，设第一小组的频数为，所以各组的频数依次为， 于是，所以． 所以本次调查共抽调的学生人数为． （2）因为视力在范围内的有70人， 所以频率为， 所以全市初中生视力正常的约有（人） 11．某科技公司研发新一代智能芯片，为测试芯片综合性能，实验室对批量芯片进行性能评分（满分分，最低分），并将所有芯片的性能得分整理，绘制得到频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中的值； (2)求该芯片性能得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (3)设该芯片性能得分的平均值为，若按得分是否在区间内进行分层抽样，且抽取枚芯片进行性能测试，得分在区间内的至少抽取枚，试估计的最小值（保留两位小数）． 【答案】(1) (2)74 (3)15.43. 【分析】 【详解】（1）由，解得. （2）. 即平均值为74. （3）由（2）可知. 要使抽取的100枚芯片的得分在内的不低于75枚，则得分在区间内的频率不低于0.75. 若，则 频率； 若，则， 频率； 当b最小时，， 且， 解得，即b的最小值约为15.43. 12．今年五一期间兰州市成为了新的网红打卡城市，各地游客纷沓而至，到兰州品尝以兰州牛肉面为代表的兰州美食．某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来兰州旅游的100名游客进行了有关兰州旅游知识的调查，为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图： (1)求的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷得分的众数、平均数和中位数．（求平均数时同一组中的数据用该组区间的组中值作代表） 【答案】(1) (2)众数为，平均数为，中位数为 【分析】 【详解】（1）根据所有组的频率之和为1，组距为4，可得： ，解得. （2）频率分布直方图中，众数为最高矩形的中点横坐标，最高矩形对应区间， 中点为，因此众数为. 设这100名游客调查问卷中得分的平均数为，则： ， 前两组频率和为：， 前三组频率和为：， 因此中位数在区间内，设中位数为， ， 解得. 13．某次比赛100名参赛选手的成绩统计后分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)若比赛成绩前的选手被评为一等奖，请估计一等奖选手成绩的最低分． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，，解得； （2）由（1）及图知，的频率为，的频率为， 故成绩前的选手（分数从高到低）的最低分位于区间， 设为，由，可得， 即一等奖选手成绩的最低分约为． 14．人工智能正在从技术概念全面渗透进我们生活的方方面面，重塑着人们的生活方式．为了让中学生全面了解人工智能与人们生活的关系，某市举办了“AI与生活”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数（）分成六组：，……，，并作出如图所示的频率分布直方图．    (1)求的值； (2)求样本数据的第75百分位数； (3)已知落在内样本数据的平均数是55，方差是6；落在内样本数据的平均数是64，方差是，且这两组数据的总方差是22，求落在内样本数据的方差． 【答案】(1) (2)84 (3) 【分析】 【详解】（1）由题意， 解得； （2）由频率分布直方图知， 前3组数的频率为， 前4组数的频率为， 因此第75百分位数在第5组即区间上， 设第75百分位数为，则， 解得； （3）样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为， 所以， 而， 解得. 15．某电视台为了解一档节目在某地区的满意度情况，随机向该地市民分发满意度调查问卷(满分100分)，共收集统计了1 000份问卷，并将满意度得分按区间，，，，，分为六组，绘制如下频率分布直方图： (1)补全频率分布直方图； (2)将参与问卷调查的市民分为老年人、中年人、年轻人三个群体，其人数之比为．统计得到老年人的满意度平均数为，方差为，中年人的满意度方差为，年轻人的满意度平均数为，方差为． （i）估计该地中年人的满意度平均数； （ii）估计该地市民的满意度方差． （参考数据：） 【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【分析】 【详解】（1）设得分在对应的矩形高度为，则 由，得， 补全频率分布直方图，如图所示． （2）（i）因为老年人、中年人、年轻人三个群体，其人数之比为，所以老年人、中年人、年轻人分别收集300份，300份，400份调查问卷， 设总样本平均得分为，方差为，则由频率分布直方图得： ． 老年人的满意度平均得分为，方差为，中年人的满意度平均得分为，方差 为，年轻人的满意度平均得分为，方差为， 因为，所以， 用样本估计总体，可以估计该地中年人的满意度的平均数为. （ii）因为 . 用样本估计总体，可以估计该地市民的满意度方差为． 16．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值； （2）求续驶里程在的车辆数； （3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有2辆车的续驶里程在内的概率． 【答案】（1）0.003；（2）5；（3）． 【详解】解：(1)由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1可得： ，解得：； (2)续驶里程在的车辆的频率为， 故续驶里程在的车辆数为：（辆）； (3)设“恰有一辆车的续驶里程在内”为事件M，       由(2)知续驶里程在的车辆数为5辆，其中落在内的车辆数为3辆，分别记为A、B、C，落在内的车辆数2辆，分别记为a、b, 从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况如下：，，，，，，，，，，共10种，且每种情况都等可能被抽到，事件M包含的情况有：，，，，，共6种， 由古典概型概率公式有：， 所以恰有一辆车的续驶里程在内的概率为. 【点睛】方法点睛： 利用古典概型概率公式求概率时，基本事件的求解方法有 ：(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生. 17．为了解消费者购物情况，某购物中心在电脑小票中随机抽取张进行统计，将结果分成6组，分别是：，，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在元的区间内）. (1)若在消费金额为元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票来自元和元区间（两区间都有）的概率； (2)为做好春节期间的商场促销活动，商场设计了两种不同的促销方案. 方案一：全场商品打八五折. 方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免.利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由. 【答案】(1)； (2)方案二的优惠力度更大.理由如下： 由直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05. 方案一购物的平均费用为： （元）. 方案二购物的平均费用为： （元）. ∴方案二的优惠力度更大. 【分析】 【详解】（1）由直方图可知，按分层抽样在内抽6张， 则内抽4张，记为，在内抽2张，记为， 设两张小票来自和为事件， 从中任选2张，有以下选法：共15种. 其中，满足条件的有，共8种， ∴. （2）略 18．为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图. 根据直方图所提供的信息： (1)用分层抽样的方法在和中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率； (2)估计这40名同学周末学习时间的分位数. 【答案】(1)； (2)8.75小时. 【分析】 【详解】（1）由图可知，40名学生中周末的学习时间在的人数为人， 周末的学习时间在的人数为人， 从中用分层抽样抽取6人，则周末的学习时间在的有4人，记为； 周末的学习时间在的有2人，记为； 则再从中选派3人接受检测的基本事件有， ，共有20个， 其中检测的3人来自同一区间的基本事件有，共有4个， 所以检测的3人来自同一区间的概率； （2）学习时间在5小时以下的频率为， 学习时间在10小时以下的频率为， 所以分位数在区间内， 则， 所以这40名同学周末学习时间的分位数为8.75小时. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 统计 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、抽样方法 题型二、统计图表信息的读取 题型三、频率分布直方图的频率、频数等计算 题型四、频率直方图中的平均数、中位数、众数 题型五、百分位数的计算 题型六、分层方差计算总体方差 题型七、频率分布直方图与概率的综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 统计是高中数学核心重难点，所有题型均围绕抽样方法、统计图表、频率分布直方图、百分位数、统计与概率综合五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是读懂图表横纵坐标含义，区分频数、频率、组距三者概念；二是计算百分位数、中位数等统计量时，严格按照定义分步计算。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、抽样方法 题型模版 1.特征：主要考查简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三类基础抽样模型，结合实际总体抽样场景出题。核心考查抽样规则辨析与抽样数量计算，易错点为混淆三类抽样适用条件，分层抽样比例计算出错。 2.方法：依据总体特征选择抽样方式，牢记分层抽样核心公式，每层抽取数量=该层总体数×抽样比。严格遵循抽样随机性、等概率原则，保证抽样结果具备统计代表性。 【例1】在哈尔滨市2024年第一次市模考试中，三所学校高三年级的参考人数分别为、.现按比例分层抽样的方法从三个学校高三年级中抽取样本，经计算得三所学校高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则三所学校学生数学成绩的总平均数约为（    ） A．101 B．100 C．99 D．98 【例2】某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则______． 【变式1-1】某工厂生产了一批口罩，其中甲类口罩有10万个，乙类口罩有6万个，丙类口罩有4万个，质量监督部门为检测这批口罩的质量，拟用分层抽样的方法从这批口罩中抽取100个，应从甲类口罩中抽取的个数为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【变式1-2】某学校调查学生对学校食堂意见情况，该学校分高一，高二，高三三个年级，统计可得这三个年级的人数比例为．现用分层随机抽样的方法从这些学生中抽取n名学生进行调研，若高一年级抽到80人，则以下不正确的是（    ）． A．高二年级抽到60人 B．高三年级抽到90人 C． D．抽取的高二与高三人数之和比高一多40人 【变式1-3】为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则_________. 题型二、统计图表信息的读取 题型模版 1.特征：依托扇形图、条形图、折线图等常规统计图表出题，核心考查数据提取与换算。高频易错点为看错图例、混淆部分与整体关系、误用扇形图圆心角与频率的对应换算规则。 2.方法：先核对图表图例、坐标轴含义，牢记扇形图换算公式。精准提取有效数据，梳理部分量与总量的对应关系，剔除无效信息，规范列式完成数据运算与推导。 【例3】为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（） A．这400名学生中，高一人数比高二人数多40 B．成绩前200名的高一学生有90人 C．成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64 D．成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多 【例4】某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么?（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据.图1是根据这组数据绘制的条形统计图.由条形统计图可知本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的占被调查人数的百分比是____，若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，则全校学生中最喜欢跳绳活动的人数估计为____.    【变式2-1】为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是（    ）    A．选择足球的女生比选择篮球的女生多 B．选择篮球的女生比选择足球的男生多 C．选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多 D．选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多 【变式2-2】三次产业增加值占国内生产总值的比重是衡量一个国家或地区经济发展阶段、产业结构优化程度以及未来经济发展潜力的重要指标、其中第一产业包括农业、林业、渔业等；第二产业涵盖制造业、建筑业等；第三产业则包括服务业、金融业、信息技术等.如图为我国2020-2024年三次产业增加值占国内生产总值比重的等高堆积条形图，则（    ） A．2020-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重逐年递增 B．2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重的中位数为36.9% C．2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重的平均数为55.1% D．2020-2024年三次产业中增加值占国内生产总值比重极差最大的是第二产业 【变式2-3】某地政府为了促进当地旅游，从到达该地旅游的游客中随机选取了人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的占比饼状图如图①所示，各年龄段游客的性别占比条形图如图②所示，则下列说法正确的是（    ） A．估计到达该地旅游的女性占比约为 B．从调查的游客中，随机抽取一位进行深入调研，则抽到中年男性的概率为 C．若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从调查的游客中抽出人分发纪念品，则中年人中应抽取人 D．从调查的游客中选取一位作为幸运游客，在已知该幸运游客是青年人的条件下，其是女性的概率为 题型三、频率分布直方图的频率、频数等计算 题型模版 1.特征：以频率分布直方图为载体，考查频率、频数、样本容量、组距的相互换算。最易出错点是误将矩形纵轴高度当作频率，忽略直方图核心定义，混淆各统计量之间的对应关系。 2.方法：牢记核心公式：、。明确矩形面积为对应组频率，所有组频率总和为1，依次换算各统计量，规避概念混淆错误。 【例5】某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了100头仔猪的体重（单位：斤），经数据处理得到如图①的频率分布直方图，其中体重最轻的14头仔猪的体重的频数分布表如图②，为了将这批仔猪分栏喂养，需计算频率分布直方图中的一些数据，其中a＋b的值为（    ） 体重 22 24 26 27 28 29 31 频数 1 1 2 3 3 2 2 图② A．0.144 B．0.152 C．0.76 D．0.076 【例6】八年级（1）班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理成如下两幅不完整的统计图表： 月均用水量x（t） 频数（户） 频率 6 0.12 m 0.24 16 0.32 10 0.20 4 n 2 0.04 请根据以上信息，解答以下问题： (1)直接写出频数分布表中的m、n的值并把频数直方图补充完整； (2)求出该班调查的家庭总户数是多少？ (3)求该小区用水量不超过15的家庭的频率． 【变式3-1】2019年1月1日，“学习强国”学习平台在全国上线，某单位组织全体党员登录学习统计学习积分得到的频率分布直方图如图所示.若学习积分在（单位:万分）的人数是32人，则该单位共有____名党员，若学习积分超过2万分的党员可获得“学习达人”称号，则该单位有____名党员能获得该称号.    【变式3-2】某学校为了提高高三年级学生的某学科成绩，在第一次联考后采取了“培优补短”等一系列举措．为了更好地总结经验，现从高三年级1000名学生中随机抽取100名学生，将其前后两次联考成绩(满分150分)分别按照[50,70)，[70,90)，…，[130,150]分成五组，绘制成频率分布直方图，如图所示．下列说法不正确的是（   ） A． B．估计该年级第二次联考成绩在130分以上的学生比第一次联考对应分数段的多10人 C．第二次联考学生的成绩波动更小 D．与第一次联考相比，第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数减少，在[110,150]内的学生人数增加 【变式3-3】某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组：.抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示.则实数______.这1000名学生阅读古典名著的时间不少于8小时的人数为______. 题型四、频率直方图中的平均数、中位数、众数 题型模版 1.特征：针对频率分布直方图，求解数据三大数字特征，三类统计量计算逻辑差异较大。易错点为混淆中位数、平均数计算公式，误用区间端点值代替组中值参与运算，导致结果偏差。 2.方法：众数取最高矩形底边中点；中位数为累计频率等于0.5的对应横坐标；平均数套用公式，全程使用组中值运算，严格区分三类特征数的计算规则。 【例7】某校在知识测试活动中，随机抽取30名学生，统计了他们的测试成绩（单位：分），得到如下统计图．设这30名学生测试成绩的中位数为，众数为，平均数为，则（     ） A． B． C． D． 【例8】某校为了了解高一年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后作出如下统计图，甲同学计算出前两组的频率和是，乙同学计算出跳绳次数不少于次的同学占，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为，结合统计图回答下列问题： (1)这次共抽调了多少人？ (2)如果这次测试成绩的中位数是次，那么这次测试中，成绩为次的学生至少有多少人？ 【变式4-1】某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损，使部分图形缺失，如图，在该频率分布直方图中，下列说法正确的是（     ）    A．第三组的频数为16人 B．估计样本的众数为85分 C．估计样本的平均数为73.5分 D．估计样本的中位数为75.5分 【变式4-2】某市文旅局在该市随机挑选了100名游客进行旅游体验满意度打分评价，满分100分，分值为整数值，90分及以上为优秀等级，80至89分为良好等级，根据这100名游客的评分绘制如图所示的频率分布直方图，根据该直方图，下列说法正确的有（    ） A． B．样本数据的众数可能为95 C．样本数据的中位数估计值小于平均数估计值 D．从评分等级为优秀和良好的游客中，采用分层抽样的方法抽取21人进行座谈交流，则抽到评分为优秀的游客有15人 【变式4-3】某工厂抽检120个机械零件的外径尺寸（单位：mm），分组数据如下表： 尺寸区间 频数 8 13 22 37 24 16 根据表中数据，下列结论不正确的有（     ） A．这120个零件外径尺寸的中位数不小于 B．这120个零件外径尺寸不低于的零件所占比例不足 C．这120个零件外径尺寸的极差介于到之间 D．这120个零件外径尺寸的平均值介于至之间 题型五、百分位数的计算 题型模版 1.特征：依托有序原始数据或频率分布直方图，求解指定百分位数，是高二统计重难点。易错点为未排序直接计算、累计频率定位区间失误，忽略线性插值步骤，直接取值导致答案错误。 2.方法：先将数据从小到大排序，计算累计频率精准定位百分位数所在区间。结合区间上下界与累计频率差，利用线性插值法分步计算，严格遵循百分位数定义，杜绝主观近似取值。 【例9】若一组整数数据：，2，1，3，4，5，4，6，8，9的第75百分位数是，则可以是_______（写出其中一个即可）． 【例10】下表为“某地区年的生产总值（）”相关数据（其中该地区生产总值是逐年递增的）． 年份 年 年 年 年 年 年 生产总值（）/万亿元 由于不小心，该地区的年生产总值（）数据被污染了，但知道表中数据的第百分位数与第百分位数之和为，则该地区的年生产总值（）为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（   ） A．8个 B．6个 C．4个 D．1个 【变式5-2】某小组在试验中得到了一组样本数据：8，6，10，8，5，9，11，12，若这组数据的第百分位数恰为这组数据的众数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一．某村统计了一合作社最近天通过直播带货销售农产品的日销售额（单位：万元），并绘制成右侧的频率分布直方图，则的第百分位数为（   ） A． B． C． D． 题型六、分层方差计算总体方差 题型模版 1.特征：以分层抽样数据为背景，已知各层样本容量、层内平均数与层内方差，求解总体的平均数和总方差。属于高二统计难点题型，易错点为直接叠加层方差、忽略层间均值偏差，误用单一方差公式计算。 2.方法：先利用加权平均公式求总体均值，再套用分层总方差公式，兼顾层内方差与层间偏差，分步精准计算。 【例11】某研究性学习小组为了研究中学生身高与性别的关系，对郑州市区一所中学的高一学生展开调查．该校高一年级共有1000人，其中男生400人，女生600人，学习小组采用样本量比例的分层随机抽样抽取50个样本数据，其中抽取到的男生身高的平均数和方差分别为170和10，抽取到的女生身高的平均数和方差分别为160和15，则抽取数据的总样本方差为（    ） A． B． C． D． 【例12】某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，，，，，六组，得到频率分布直方图（如图），请完成下列问题： (1)求频率分布直方图中的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分（每个区间内的值以该组区间的中点值为代表）； (2)求参加挑战赛的学生成绩的分位数； (3)已知落在区间，的样本平均分是63，方差是5；落在区间，的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 【变式6-1】为调查某地区中学生的身高情况，采用样本量比例分配的分层随机抽样.现抽取男生 600 人，其平均身高为 170 cm，方差为 10；抽取女生 400 人，其平均身高为 160 cm，方差为 15.则估计该地区中学生身高的总方差为（    ） A．36 B．42 C．49 D．55 【变式6-2】某学校有学生5000人，其中男生3000人，女生2000人，希望获得全体学生的身高信息，按照比例分配的分层抽样原则抽取了容量为500的样本．经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为；女生身高样本均值为160cm，方差为．下列说法中正确的是（    ） A．女生样本容量为2000 B．每个男生被抽入到样本的概率均为 C．所有样本的均值为168cm D．所有样本的方差为 【变式6-3】某校高一学生有男生300人，女生200人，为了解该校高一学生的身高信息，按性别采用样本量按比例分配的分层随机抽样，共抽取50人，计算得到样本中男生、女生的平均身高分别为170和160（单位：厘米），方差分别为20和30，则下列结论不正确的是（   ） A．该校每一名高一学生被抽到的概率为0.1 B．男生、女生应抽取的人数分别为30和20 C．样本的平均数为165 D．根据上述数据，估计该校高一学生身高的方差为48 题型七、频率分布直方图与概率的综合 题型模版 1.特征：属于统计压轴基础题型，融合直方图运算与古典概型知识，先通过直方图统计数据，再转化为概率问题求解。易错点为前期统计量计算失误，连锁导致后续概率结果出错。 2.方法：分步解题，先利用直方图公式求出对应区间频率，将频率等价为对应事件的概率。再结合概率基本性质、古典概型公式列式求解，全程分步验算，保证统计、概率两步运算准确无误。 【例13】为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩（满分100分）整理成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中a的值以及师生竞赛成绩的中位数； (2)利用频率直方图的组中值求2000名师生的平均成绩； (3)从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求2人的成绩来自同一区间的概率． 【例14】为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息： (1)①求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数； ②用分层抽样的方法在[20，25)和[25，30]中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率. (2)①估计这40名同学周末学习时间的25%分位数； ②将该班学生周末学习时间从低到高排列，那么估计第10名同学的学习时长； 【变式7-1】在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物资，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求出直方图中m的值，并利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）； (2)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口门罩中恰好有1个口罩为一等品的概率． 【变式7-2】第24届冬奥会于2022年2月4-20日在北京胜利召开，“一起向未来”的主题口号掀起了全民冰雪运动的热潮，北京冬奥会上，数字媒体技术的创新性应用，让每一个项目的特点与运动员的精彩瞬间都会被镜头完美地捕捉，北京冬奥会也成为奥运史上首次实现8K视频技术直播和重要体育赛事转播的冬奥会，贵阳市某学校课外兴趣小组为了解本市市民奥运会期间平均每天观看奥运比赛节目时间的情况，随机抽取了1000名市民，收集相关数据如下表所示： 每天观看奥运比赛节目的时间/小时 人数 120 180 280 120 已知这1000名市民中平均每天观看奥运比赛节目时间不少于2小时的市民占80%. (1)求x和y的值，并将样本频率直方图补全； (2)根据以上数据，试估计该市市民每周阅读时间的平均值； (3)我们把每天观看奥运比赛节目时间不少于4小时的市民成为“奥运迷”，用分层抽样的方法从这1000名市民中抽出5人.现从这5人中任选2人，求其中至少有一名“奥运迷”的概率. 【变式7-3】某市政府随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350度之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示． (1)求直方图中x的值，并估计居民月用电量的众数； (2)为了既满足居民的基本用电需求，又能提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，请确定第一档用电标准的度数（精确到个位数字）； (3)用分层抽样的方法在和两组中抽取5户居民作为节能代表，从节能代表中随机选取2户进行采访，求这2户来自不同组的概率． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．某高中三个年级共有学生900人，其中男生528人，高一学生312人，高一男生l92人，共青团员670人，男团员336人，高一团员247人，高一男团员147人，则高二、高三女生中非团员的总人数为_______ 2．图1为某省某年1～4月份快递业务量统计图，图2为该省当年1～4月份快递业务收入统计图． 根据对以上统计图的理解，有下列四个说法： ①当年1～4月份快递业务量，3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件； ②当年1～4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，可能与春节后快递恢复网购迎来喷涨有关； ③从两图中看，快递业务量与业务收入的同比增长率并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致； ④从1～4月份来看，快递业务量与快递业务收入有波动，但整体保持高速增长． 其中，正确的说法为______．（写出所有满足条件的说法序号） 3．1000名高一学生参加数学质量监测，从中随机抽取200名学生的成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中，不正确的序号有（   ） A．频率分布直方图中的值为0.005 B．估计这200名学生成绩的第60百分位数为80 C．估计总体中成绩落在内的学生人数为150 D．估计这200名学生成绩的众数为78 4．我国关于人工智能领域的研究十分密集，发文量激增，在视觉、语音、自然语言处理等基础智能任务实现全球领先，并且拥有一批追求算法技术极致优化的人工智能企业，如图是过去十年人工智能领域高水平论文发表量前十国家及发表的论文数．现有如下说法： ①这十个国家的论文发表数量平均值为0.87； ②这十个国家的论文发表数量的中位数为0.4； ③这十个国家的论文发表数量的众数为0.4； ④德国发表论文数量约占美国的32%． 其中正确的是______．（填序号） 5．某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1，乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.5，则这20个人的视力的方差为______. 6．为了解某企业员工对党史的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占，则下列结论中，正确结论的个数是______. ①男、女员工得分在A区间的占比相同； ②在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数； ③得分在C区间的员工最多； ④得分在D区间的员工占总人数的20%. 7．为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的有（    ） A．对应矩形的高度为 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为 D．样本成绩的第70百分位数落在内 8．某批零件共160个，其中，一级品有48个，二级品64个，三级品32个，次品16个．从中抽取一个容量为20的样本．请说明分别用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样法抽取时总体中的每个个体被取到的概率均相同． 9．人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷（每份试卷包含文科、理科共30个题），收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图. (1)求图中a的值； (2)求这组数据的中位数； (3)若将准确率不低于90%定义为“优秀表现”，且已知：①每份试卷中，文科题（语文、英语、历史）与理科题（数学、物理、化学）各占比50%，DeepSeek解答理科题的平均正确率比文科题高5%；②理科题每题6分，文科题每题4分，请计算： ①DeepSeek在“优秀表现”试卷中，理科题和文科题的平均正确率分别是多少（结果用分数表示）？ ②一份“优秀表现”的试卷，DeepSeek的平均得分是多少（最后结果保留小数点后两位）？ 10．中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门对全市4万名初中生的视力状况进行一次抽样调查统计，所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图，从左至右五个小组的频率之比是2∶4∶9∶7∶3，第五小组的频数是30．    (1)本次调查共抽调了多少名学生？ (2)如果视力在属正常，那么全市初中生视力正常的约有多少人？ 11．某科技公司研发新一代智能芯片，为测试芯片综合性能，实验室对批量芯片进行性能评分（满分分，最低分），并将所有芯片的性能得分整理，绘制得到频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中的值； (2)求该芯片性能得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (3)设该芯片性能得分的平均值为，若按得分是否在区间内进行分层抽样，且抽取枚芯片进行性能测试，得分在区间内的至少抽取枚，试估计的最小值（保留两位小数）． 12．今年五一期间兰州市成为了新的网红打卡城市，各地游客纷沓而至，到兰州品尝以兰州牛肉面为代表的兰州美食．某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来兰州旅游的100名游客进行了有关兰州旅游知识的调查，为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图： (1)求的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷得分的众数、平均数和中位数．（求平均数时同一组中的数据用该组区间的组中值作代表） 13．某次比赛100名参赛选手的成绩统计后分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)若比赛成绩前的选手被评为一等奖，请估计一等奖选手成绩的最低分． 14．人工智能正在从技术概念全面渗透进我们生活的方方面面，重塑着人们的生活方式．为了让中学生全面了解人工智能与人们生活的关系，某市举办了“AI与生活”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数（）分成六组：，……，，并作出如图所示的频率分布直方图．    (1)求的值； (2)求样本数据的第75百分位数； (3)已知落在内样本数据的平均数是55，方差是6；落在内样本数据的平均数是64，方差是，且这两组数据的总方差是22，求落在内样本数据的方差． 15．某电视台为了解一档节目在某地区的满意度情况，随机向该地市民分发满意度调查问卷(满分100分)，共收集统计了1 000份问卷，并将满意度得分按区间，，，，，分为六组，绘制如下频率分布直方图： (1)补全频率分布直方图； (2)将参与问卷调查的市民分为老年人、中年人、年轻人三个群体，其人数之比为．统计得到老年人的满意度平均数为，方差为，中年人的满意度方差为，年轻人的满意度平均数为，方差为． （i）估计该地中年人的满意度平均数； （ii）估计该地市民的满意度方差． （参考数据：） 16．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值； （2）求续驶里程在的车辆数； （3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有2辆车的续驶里程在内的概率． 17．为了解消费者购物情况，某购物中心在电脑小票中随机抽取张进行统计，将结果分成6组，分别是：，，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在元的区间内）. (1)若在消费金额为元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票来自元和元区间（两区间都有）的概率； (2)为做好春节期间的商场促销活动，商场设计了两种不同的促销方案. 方案一：全场商品打八五折. 方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免.利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由. 18．为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图. 根据直方图所提供的信息： (1)用分层抽样的方法在和中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率； (2)估计这40名同学周末学习时间的分位数. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $