专题03 统计图表（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第三册

专题03 统计图表 题型一：频率分布直方表和频率分布直方图 一、单选题 1．如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（    ） A．平均数=中位数=众数 B．众数<中位数<平均数 C．平均数<众数<中位数 D．平均数<中位数<众数 2．2025年某市教育主管部门组织该市教师春季学期在线培训，培训后统一进行测试．随机抽取100名教师的测试成绩进行统计，得到频率分布直方图，如图所示．已知这100名教师的成绩都在区间[75，100]内，则下列说法正确的是（   ） A．这100名教师的测试成绩的极差一定是25分 B．这100名教师的测试成绩的众数是87分 C．这100名教师的测试成绩的中位数是85分 D．这100名教师中测试成绩不低于90分的人数约占30％ 3．随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2024年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游比例，如图所示，则估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的（    ）    A．45% B．30% C．13.5% D．13% 二、填空题 4．某品牌电动汽车公司为了解车主使用电动车辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了100位车主进行抽样分析，得出这100位车主每人在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的频率分布直方图如图，则 ． 5．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩（单位：分）都在内，按照分组，得到如下频率分布直方图： 则 ，该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取100人，估计应该把录取的分数线定为 分． 6．我市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在五个层次内，根据抽样结果得到如图的统计图表，则样本中人数最多的是 层，样本中层的男生人数为 人.    三、解答题 7．近年来，中学生的体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间．某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示． (1)求的值以及该地区中学生日均体育活动时间的平均数； (2)求这人日均体育活动时间不少于的人数； (3)现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在和的中学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求至多有1人体育活动时间超过的概率． 8．从某校高二随机抽取100名学生的期中考试的数学成绩进行调查，发现他们的成绩都在分之间，将成绩分为五组，画出频率分布直方图，如图所示：    (1)若该校高二有1500名学生，估计该段学生的数学成绩不低于80分的学生有多少名？ (2)估计高二学生的数学成绩的平均数和中位数； (3)用分层抽样的方法在区间中抽取一个容量为6的样本，将该样本看作一个总体，从中抽取2名学生的数学成绩，求这两名学生中至少有一人的数学成绩在区间的概率． 9．为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，，，，，，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在，，内应各抽取多少人？ 题型二：茎叶图 一、单选题 1．如图是2024年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m、n均为数字中的一个），在去掉一个最高分和一个最低分后，下列说法正确的是（    ） A．甲选手得分的方差与n的值无关 B．甲选手得分的中位数一定不大于乙选手得分的中位数 C．甲选手得分的众数与m的值无关 D．甲选手得分的平均数一定小于乙选手得分的平均数 2．某校高一年级的某次月考后，随机统计了甲、乙两个班各10名学生的物理成绩（满分100分），得到茎叶图如图所示，则下列说法不正确的是（   ）    A．甲班10名学生物理成绩的中位数是86 B．乙班10名学生物理成绩的众数是77 C．甲班10名学生物理成绩的方差比乙班10名学生物理成绩的方差小 D．乙班10名学生物理成绩的极差是24 3．下图是甲、乙两个新能源汽车4S店2023年前10个月每个月汽车销量（单位：辆）的茎叶图，则（    ）    A．甲店汽车的平均月销量高于乙店汽车的平均月销量 B．甲店汽车月销量的极差比乙店汽车月销量的极差大 C．甲店与乙店的汽车月销量中位数相等 D．甲店汽车月销量的方差小于乙店汽车月销量的方差 二、填空题 4．某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到班培训，低于130分的人到班培训，如果用分层抽样的方法从到班的人和到班的人中共选取5人，则5人中到班的有 人. 5．如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6名球员某份比赛的得分数据（单位：分）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 .    6．如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出，的数据）和频率分布直方图，则 ． 7．已知甲乙两组数据如茎叶图所示，其中，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则 ． 三、解答题 8．某教育行政部门为了解某校男、女党员教师的“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的18位党员教师，其中男党员教师有9人，女党员教师有9人，这18位党员教师10月份的日均得分（单位：分）如表： 男党员教师日均得分 10 12 16 29 23 25 38 38 41 女党员教师日均得分 11 17 17 28 34 36 37 40 41 根据以上数据完成下面的茎叶图，利用茎叶图判断男党员教师的“学习强国”的积极性是否比女党员教师高，并说明理由. 男党员教师日均得分 女党员教师日均得分 6 2 0 1 1 7 7 9 5 3 2 8 8 8 3 4 6 7 1 4 0 1 9．为吸引更多优秀人才来乐山干事创业，2023年10月27日，乐山市招才引智系列活动——教育人才专场在西南大学北碚校区招聘大厅举行，其中，甲、乙两名大学生参加了面试，10位评委打分如茎叶图所示： (1)写出甲得分的中位数和乙得分的众数； (2)现有两种方案评价选手的最终得分： 方案一：直接用10位评委评分的平均值； 方案二：将10位评委评分去掉一个最低分和一个最高分之后，取剩下8个评分的平均值. 请分别用以上两种方案计算两位同学的最终得分，并判断哪种评价方案更好？为什么？ 10．为了比较两种治疗某病毒的药 (分别称为甲药， 乙药) 的疗效， 某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究， 并从服用甲药的治愈.患者和服用乙药的治愈患者中， 分别抽取了10名， 记录他们的治疗时间 (单位：天)， 统计 并绘制了如下茎叶图，    (1)从茎叶图看， 哪一种药的疗效更好， 并说明理由； (2)标准差除了可以用来刻画一组数据的离散程度外， 还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度， 如果出现了治疗时间在之外的患者， 就认为病毒有可能发生了变异， 需要对该患者进行进一步检查， 若某服用甲药的患者已经治疗了 26 天还末痊愈， 请茎叶图中甲药的数据， 判断是否应该对该患者进行进一步检查? 参考数据：. 题型三：散点图 一、单选题 1．在统计学中，月度同比是指本月份和上一年同月份相比较的增长率，月度环比是指本月份和上一个月份相比较的增长率.如图是国家统计局发布的2023年全国居民消费价格月度涨跌幅度折线图，则下列说法正确的是（    ） A．2023年2月至6月居民的消费价格持续下降 B．2023年7月居民消费价格高于2022年同期 C．2023年4月居民消费价格环比上涨0.1%，同比下降0.1% D．2023年8月的居民消费价格是全年最高的 2．在以下4幅散点图中，和成正线性相关关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．空气质量指数（Air Quality Index，简称）等级表： 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 空气质量指数 （AQI） 以下是某市2024年4月1日至22日空气质量指数分布的散点图，下列关于这22天空气质量的描述，不正确的是（    ） A．空气质量为“良”的天数最多 B．空气质量为“优”和“良”的天数超过一半 C．17日空气质量为“重度污染” D．该市这22天空气质量越来越差 4．下列图中，线性相关性系数最大的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．观察下列散点图，具有相关关系的是 （填序号）.    6．已知某次考试之后，班主任从全班同学的成绩中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩（单位：分）如下表所示． 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩（分） 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩（分） 72 77 80 84 88 90 93 95 再给出如图所示的散点图． 根据以上信息，有下列三个说法： ①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系； ③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高． 其中，正确的说法为 ．（写出所有满足条件的说法序号） 三、解答题 7．某饮料店为了推广“秋天的第一杯奶茶”，需了解一天的平均气温与奶茶销量之间的关系，为此记录了周一至周五的平均气温与奶茶销量（杯）的数据，如表所示： 9 11 12 10 8 23 26 30 25 21 (1)画出散点图； (2)根据上表提供的数据，求出关于的经验回归方程； (3)试根据（2）中求出的经验回归方程，预测平均气温约为时该饮料店的奶茶销量. 8．通过随机抽样，我们获得某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的一组调查数据，如表所示． 消费者年需求量与商品每千克价格 每千克价格/百元 4.0 4.0 4.6 5.0 5.2 5.6 6.0 6.6 7.0 10.0 年需求量/千克 3.5 3.0 2.7 2.4 2.5 2.0 1.5 1.2 1.2 1.0 请绘制上述数据的散点图，并依据散点图观察两组数据的相关性． 题型一：频率分布表和频率分布直方图 一、单选题 1．遵义羊肉粉是黔北民众最喜爱的小吃之一．2024年12月16日，遵义市第七届羊肉粉节在凤凰山文化广场盛大开幕，某商家为了调研顾客对本店就餐的满意度，从用过餐的顾客中随机抽取100名进行评分．整理评分数据，将收集到的顾客满意度分值数据（满分100分）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（   ） A．这100名顾客评分的极差介于40分至50分之间 B．这100名顾客评分的中位数小于80分 C． D．这100名顾客评分的平均值介于60分到70分之间 2．“数九”从每年“冬至”当天开始计算， 每九天为一个单位，冬至后的第 81 天， “数九”结束， 天气就变得温暖起来. 如图， 以温江国家基准气候站为代表记录了 2023 一 2024 年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温” (单位: )，下列说法正确的是（    ）    A．“四九”以后成都市“平均气温”一直上升 B．“四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 低 0.1 ” C．“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差 D．“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差 3．国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（居民消费水平）（    ）    A．2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高 B．2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高 C．2018年至2022年我国居民消费水平数据的极差为6463元 D．2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多 4．某市教育主管部门为了解高三年级学生学业达成的情况，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的学业达成情况按照从高到低都分布在五个层次内，分男､女生统计得到以下样本分布统计图，则下列叙述正确的是（    ） A．样本中层次的女生比相应层次的男生人数多 B．估计样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小 C．层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等 D．样本中层次的学生数和层次的学生数一样多 二、填空题 5．为了了解某地高一年级学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率直方图（如图），则 ；估计被抽取的学生跳绳次数的中位数是 ． 6．2022年春天我国东部片区降水量出现近年新低，旱情严重，城市缺水问题显得较为突出，某市政府为了节约生活用水，科学决策，在全市随机抽取了100位居民某年的月均用水量（单位：）得到如图所示的频率分布直方图，在统计中我们定义一个分布的分位数为满足的，则估计本例中 .（结果保留小数点后两位有效数字） 7．北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，将在太空“出差”半年的翟志刚､王亚平､叶光富送回到阔别已久的祖国大地.神舟十三号载人飞行任务的圆满成功，标志着空间站关键技术验证阶段任务圆满完成，中国空间站即将进入建造阶段.某机构研究室通过随机抽样的方式，对18岁及以上人群进行了“你是否曾有过航天梦想”的调查研究，得到如下的统计结果： 根据调查结果，以下说法正确的是 . ①在“曾有过航天梦想”的人群中，54岁及以上的人数最少 ②在“曾有过航天梦想”的人群中，年龄越大，在航天相关方面的人均消费越少 ③在“曾有过航天梦想”的人群中，18-29岁在航天相关方面的总消费最多 三、解答题 8．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，长沙市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的平均数和众数； (3)用分层抽样的方法在分数落在内的答卷中随机抽取一个容量为5的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取2份，求至多有1份答卷的分数在内的概率． 9．为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）： 根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)求本次被调查的学生人数． (2)将条形统计图补充完整． (3)若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数． 10．为了深入了解学生的军训效果，某高校对参加军训的2000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取100名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图.    (1)根据频率分布直方图，求出的值并估计这100名学生测试成绩的平均数. (2)现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“军体拳”“伤病救援”，规则如下：三个项目均需参与，三个项目通过各奖励300元、200元、100元，不通过则不奖励.学生甲在每个项目中通过的概率依次为，假设学生甲在各项目中是否通过是相互独立的，记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量，求的分布列和. (3)若该高校军训学生的综合成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定军训成绩不低于98分的为＂优秀标兵＂，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）. 0 100 200 300 400 500 600 P 题型二：茎叶图 一、单选题 1．某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额（单位：百元）情况，得到了如下的茎叶图（其中茎表示十位数，叶表示个位数），关于这5天的营业额情况，下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两家商店营业额的极差相同 B．甲、乙两家商店营业额的中位数相同 C．从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高 D．甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差 2．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两位同学的6次数学模拟考试成绩（单位：分），下列说法正确的是（    ）    A．甲成绩的众数大于乙 B．甲成绩的极差小于乙 C．甲的成绩比乙更稳定 D．甲成绩的平均数大于乙 3．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（    ） A．第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟 B．第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高 C．这40名工人完成任务所需时间的中位数为80 D．无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟 二、填空题 4．甲乙两个样本的茎叶图如图所示，将甲中的一个数据调入乙，使调整后两组数据的平均值都比调整前提高，则这个数据可以是 ．（填写满足要求的一个数据） 三、解答题 5．甲、乙两位气步枪运动员在射击队内的选拔赛成绩茎叶图如右： (1)求甲、乙两名选手射击的平均环数； (2)请用具有统计意义的数量来刻画甲、乙两位运动员的射击成绩的稳定性，并帮助射击队选拔一名运动员外出参加比赛． 6．昭通苹果因其“成熟早、甜度好、香味浓、口感脆、富含硒”等特点，被众多消费者所认可，畅销全国各地.现昭通各合作农场的果园进入盛果期，苹果单果直径不同单价不同，某苹果收购商为比较甲、乙两个农场苹果的直径，现从两个农场的苹果树上各随机摘下了20个苹果测量其直径，经统计，其单果直径分布在区间内（单位：mm），统计的茎叶图如图所示： (1)根据茎叶图判断哪个农场产出的苹果直径更大？并说明理由； (2)以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率，若甲农场的果园有20万个苹果约5万千克待出售，该收购商提出两种收购方案：方案A：所有苹果均以5.5元/千克收购；方案B：按苹果单果直径大小分3类装箱收购，每箱装25个苹果，定价收购方式为：单果直径在内按35元/箱收购，在内按45元/箱收购，在内按55元/箱收购.包装箱与分拣装箱费用为5元/箱（该费用由合作农场承担）.请你通过计算为甲农场推荐收益最好的方案. 7．已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计这两种鱼的数量，养殖者从池塘中捕出这两种鱼各1 000条，给每条鱼做上不影响其存活的标记，然后放回池塘，待完全混合后，再每次从池塘中随机地捕出1 000条鱼，记录下其中有记号的鱼的数目，立即放回池塘中.这样的记录做了10次，并将记录获取的数据制作成如图所示的茎叶图. (1)根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数，并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量； (2)为了估计池塘中鱼的总质量，现按照（1）中的比例对100条鱼进行称重，根据称重鱼的质量介于(单位:千克)之间，将测量结果按如下方式分成九组:第一组，第二组，…，第九组.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. ①估计池塘中鱼的质量在3千克以上(含3千克)的条数； ②若第三组鱼的条数比第二组多7条、第四组鱼的条数比第三组多7条，请将频率分布直方图补充完整； ③在②的条件下估计池塘中鱼的质量的众数及池塘中鱼的总质量.    题型三：散点图 一、单选题 1．某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（    ）      A．400，32 B．400，36 C．480，32 D．480，36 2．某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表： 身高（单位： 167 173 175 177 178 180 181 体重（单位： 90 54 59 64 67 72 76 由表格制作成如图所示的散点图：    由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．变量x，y的几组实验测量数据如下表所示： 0.50 0.99 2.01 2.98 1.42 1.99 3.98 8.00 则根据上表数据，在下列函数中，拟合变量，关系的最佳函数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．高三年级有267名学生参加期末考试，某班37名学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况的散点图如图所示．甲、乙为该班的两名学生，从这次考试成绩看，甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ． 三、解答题 5．某出版社单册图书的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下： x 1 2 3 5 7 10 11 20 25 30 y 9.02 5.27 4.06 3.03 2.59 2.28 2.21 1.89 1.80 1.75 (1)根据以上数据画出散点图（可借助统计软件），并根据散点图判断：与中哪一个适宜作为回归方程模型? (2)根据（1）的判断结果，试建立成本费y关于印刷册数x的回归方程； (3)利用回归方程估计印刷26000册图书的单册成本（结果保留两位小数）． 6．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些缺损．按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示： 转速x(转/秒) 16 4 12 8 每小时生产有缺损零件数y(个) 11 9 8 5 (1)作出散点图； (2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程； (3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？ i 1 2 3 4 xi 16 14 12 8 yi 11 9 8 5 xiyi 176 126 96 40 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 统计图表 题型一：频率分布直方表和频率分布直方图 一、单选题 1．如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（    ） A．平均数=中位数=众数 B．众数<中位数<平均数 C．平均数<众数<中位数 D．平均数<中位数<众数 【答案】B 【分析】利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可. 【详解】众数是最高矩形底边中点对应的数值，位于左边第二个矩形底边中点， 所有矩形的面积之和为，显然前两个矩形的面积之和小于， 即众数＜中位数； 又频率分布直方图呈现右拖尾形态，使得平均数受极端值影响会被拉向右侧，大于中位数， 所以众数＜中位数＜平均数. 故选：B. 2．2025年某市教育主管部门组织该市教师春季学期在线培训，培训后统一进行测试．随机抽取100名教师的测试成绩进行统计，得到频率分布直方图，如图所示．已知这100名教师的成绩都在区间[75，100]内，则下列说法正确的是（   ） A．这100名教师的测试成绩的极差一定是25分 B．这100名教师的测试成绩的众数是87分 C．这100名教师的测试成绩的中位数是85分 D．这100名教师中测试成绩不低于90分的人数约占30％ 【答案】D 【分析】A选项，频率分布直方图不确定最高分和最低分，故不能确定极差；B选项，众数为最高一组的组中值；C选项，中位数通过计算面积为0.5的数值；D选项，计算出成绩大于90分所占的比重即可. 【详解】这100名教师的测试成绩的最高分和最低分都无法确定，则极差不确定，故A错误； 由题图可知，这100名教师的测试成绩的众数是87.5分，故B错误； 前两组的频率和为，前三组的频率和为， 故中位数在第三组，设这100名教师的测试成绩的中位数为， 则， 解得，故C错误； 估计这100名教师中测试成绩不低于90分的人数占. 故选：D 3．随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2024年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游比例，如图所示，则估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的（    ）    A．45% B．30% C．13.5% D．13% 【答案】C 【分析】根据青年人的占比和青年人中选择自助游人数的占比可得答案. 【详解】设2024年到该地旅游的游客总人数为，则游客中青年人的人数为， 其中选择自助游的青年人的人数为， 所以估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5%. 故选：C 二、填空题 4．某品牌电动汽车公司为了解车主使用电动车辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了100位车主进行抽样分析，得出这100位车主每人在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的频率分布直方图如图，则 ． 【答案】0.010 【分析】应用频率和为1计算求解参数. 【详解】由，得． 故选： 5．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩（单位：分）都在内，按照分组，得到如下频率分布直方图： 则 ，该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取100人，估计应该把录取的分数线定为 分． 【答案】 0.020 75 【分析】根据频率总和为1可构造方程求得的值；计算可知录取比例为0.5，从分数自高到低进行运算，可计算得到频率和为0.5所对应的分数． 【详解】因为，所以； 由题意得：，设分数线定为， 则，解得， 即分数线应该定为75分． 故答案为：0.020；75. 6．我市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在五个层次内，根据抽样结果得到如图的统计图表，则样本中人数最多的是 层，样本中层的男生人数为 人.    【答案】 【分析】运用条形统计图得到女生人数，进而得到男生人数，最后按照比例求出各层人数即可. 【详解】解析：由图可知女生人数为60，则男生人数为40， 样本中层的人数为；样本中层的人数为； 样本中层的人数为；样本中层的人数为； 样本中层的人数为.故样本中层的人数最多． 样本中层的男生人数为. 故答案为：；6. 三、解答题 7．近年来，中学生的体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间．某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示． (1)求的值以及该地区中学生日均体育活动时间的平均数； (2)求这人日均体育活动时间不少于的人数； (3)现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在和的中学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求至多有1人体育活动时间超过的概率． 【答案】(1)， (2)人 (3) 【分析】（1）利用频率直方图的性质求解，并计算平均数； （2）利用频率直方图得出不少于的是两组，再利用频率直方图的性质计算求出人数； （3）先结合频率直方图计算出分层抽样在和中分别抽取的学生数，再利用组合公式计算概率． 【详解】（1）频率分布直方图小矩形面积为1，即，解得， 所求平均数为：． （2）频率分布直方图中不少于的是两组， 这人日均体育活动时间不少于的人数为：人． （3）日均体育活动时间在和的中学生频率之比为， ，，则日均体育活动时间在和的中学生分别抽取4人和2人， 方法一：设从这6人中抽取3人，至多有1人体育活动时间超过为事件A，则 ， 至多有1人体育活动时间超过的概率为． 方法二：设从这6人中抽取3人，至多有1人体育活动时间超过为事件A， ， 至多有1人体育活动时间超过的概率为． 8．从某校高二随机抽取100名学生的期中考试的数学成绩进行调查，发现他们的成绩都在分之间，将成绩分为五组，画出频率分布直方图，如图所示：    (1)若该校高二有1500名学生，估计该段学生的数学成绩不低于80分的学生有多少名？ (2)估计高二学生的数学成绩的平均数和中位数； (3)用分层抽样的方法在区间中抽取一个容量为6的样本，将该样本看作一个总体，从中抽取2名学生的数学成绩，求这两名学生中至少有一人的数学成绩在区间的概率． 【答案】(1)450 (2)平均数为，中位数为 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图先求出，进而可确定数学成绩不低于80分的学生人数. （2）根据平均数和中位数的定义进行求解即可. （3）先求出数学成绩分别在的容量，然后求出至少有一人的数学成绩在的概率即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得， 解得. 所以该校学生的数学成绩不低于80分的学生有： 名. （2）高二学生的数学成绩的平均数为： . 因为前两组的频率为，前三组的频率为. 所以中位数在内，设中位数为， 则，解得. （3）因为数学成绩在的频率之比为， 因样本容量为6，所以数学成绩在的容量为3，2，1. 所以抽取2名学生中至少有一人的数学成绩在的概率是： . 9．为进一步增强学生的疫情防控意识，友实学校组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，，，，，，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在，，内应各抽取多少人？ 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）由各小矩形的高之和为求解； （2）由比例求解. 【详解】（1）. （2）因为， 所以在，，内应各抽取： ，，. 故在，，内分别抽取，，人. 题型二：茎叶图 一、单选题 1．如图是2024年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m、n均为数字中的一个），在去掉一个最高分和一个最低分后，下列说法正确的是（    ） A．甲选手得分的方差与n的值无关 B．甲选手得分的中位数一定不大于乙选手得分的中位数 C．甲选手得分的众数与m的值无关 D．甲选手得分的平均数一定小于乙选手得分的平均数 【答案】A 【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，根据茎叶图可以分别求出甲选手和乙选手得分的平均数、中位数、众数的值或表达式，再逐项判断可得答案. 【详解】对于A，甲选手去掉一个最高分和一个最低分后，只有， 所以甲选手得分的方差与n的值无关，故A正确； 对于B，甲选手去掉一个最高分和一个最低分， 乙选手去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手得分的中位数是， 乙选手得分的中位数是，故B错误； 对于C，甲选手去掉一个最高分和一个最低分后， 当，甲选手得分的众数是，当，甲选手得分的众数是和，故C错误； 对于D，甲选手去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手得分的平均数是 ，乙选手去掉一个最高分和一个最低分后， 乙选手得分的平均数是，因为其中m为数字中的一个， 所以，故D错误. 故选：A. 2．某校高一年级的某次月考后，随机统计了甲、乙两个班各10名学生的物理成绩（满分100分），得到茎叶图如图所示，则下列说法不正确的是（   ）    A．甲班10名学生物理成绩的中位数是86 B．乙班10名学生物理成绩的众数是77 C．甲班10名学生物理成绩的方差比乙班10名学生物理成绩的方差小 D．乙班10名学生物理成绩的极差是24 【答案】C 【分析】根据中位数的计算可判断A；根据众数的概念可判断B；根据方差的意义可判断C；根据极差的计算可判断D. 【详解】选项A：由茎叶图知甲班10名学生物理成绩的中位数为，故A正确． 选项B：由茎叶图知乙班10名学生物理成绩的众数为77，故B正确． 选项C：根据茎叶图可知甲班10名学生物理成绩的离散程度比乙班10名学生物理成绩的离散程度大， 所以甲班10名学生物理成绩的方差比乙班10名学生物理成绩的方差大，故C错误． 选项D：乙班10名学生物理成绩的极差是，故D正确． 故选：C. 3．下图是甲、乙两个新能源汽车4S店2023年前10个月每个月汽车销量（单位：辆）的茎叶图，则（    ）    A．甲店汽车的平均月销量高于乙店汽车的平均月销量 B．甲店汽车月销量的极差比乙店汽车月销量的极差大 C．甲店与乙店的汽车月销量中位数相等 D．甲店汽车月销量的方差小于乙店汽车月销量的方差 【答案】D 【分析】分别求出甲、乙店汽车月销量的平均数、中位数、极差、方差，由此可得结果. 【详解】甲店汽车月销量的平均数为：， 乙店汽车月销量的平均数为：， 所以甲店汽车的平均月销量等于乙店汽车的平均月销量，A错误； 甲店汽车月销量的极差为：,乙店汽车月销量的极差为：, 所以甲店汽车月销量的极差比乙店汽车月销量的极差小，B错误； 甲店汽车月销量的中位数为：，乙店汽车月销量的中位数为：, 所以甲店销量中位数大于乙店的汽车月销量中位数，C错误； 甲店汽车月销量的方差为， 乙店汽车月销量的方差为， 所以甲店汽车月销量的方差小于乙店汽车月销量的方差,D正确. 故选：D 二、填空题 4．某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到班培训，低于130分的人到班培训，如果用分层抽样的方法从到班的人和到班的人中共选取5人，则5人中到班的有 人. 【答案】2 【分析】先根据茎叶图求得到A班的人数和到B班的人数，再利用分层抽样的定义求解即可. 【详解】由题意结合茎叶图的数据可知，这20名学生有8人到A班培训，12人到B班培训， 根据分层抽样的定义知：5人中到A班的有人人， 故答案为：2. 5．如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6名球员某份比赛的得分数据（单位：分）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 .    【答案】 【分析】根据茎叶图进行数据分析，列方程求出x、y即可求解. 【详解】由题意，甲的中位数为：，故乙的中位数① ， ， 因为平均数相同，所以②， 由①②可得，， 所以， 故答案为：. 6．如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出，的数据）和频率分布直方图，则 ． 【答案】 【分析】根据茎叶图可得相应的频数，根据频率分布直方图可得相应的频率，根据频率与频数之间的关系列式求解. 【详解】由茎叶图可知：，的频数分别为5，2； 由频率分布直方图可得：每组的频率依次为， 设样本容量为， 则，解得， 故. 故答案为：. 7．已知甲乙两组数据如茎叶图所示，其中，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则 ． 【答案】/0.375 【分析】先得到甲乙的中位数，可得到，再利用平均数相同即可求解 【详解】通过茎叶图可发现甲的中位数为，乙的中位数为 因为两组数据的中位数相同，则， 又因为平均数相同，则， ∴． 故答案为： 三、解答题 8．某教育行政部门为了解某校男、女党员教师的“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的18位党员教师，其中男党员教师有9人，女党员教师有9人，这18位党员教师10月份的日均得分（单位：分）如表： 男党员教师日均得分 10 12 16 29 23 25 38 38 41 女党员教师日均得分 11 17 17 28 34 36 37 40 41 根据以上数据完成下面的茎叶图，利用茎叶图判断男党员教师的“学习强国”的积极性是否比女党员教师高，并说明理由. 【答案】茎叶图见解析，由茎叶图可以看出，男党员教师的“学习强国”的积极性不比女党员教师高.理由见解析 【分析】根据已知画出茎叶图，对比茎叶图数据即可得出结论. 【详解】如图所示： 男党员教师日均得分 女党员教师日均得分 6 2 0 1 1 7 7 9 5 3 2 8 8 8 3 4 6 7 1 4 0 1 由茎叶图可以看出，男党员教师的“学习强国”的积极性不比女党员教师高. 理由如下： 男党员教师的“学习强国”的日均得分集中在茎1，2上，而女党员教师日均得分集中在茎1，3上，由此可以判断女党员教师学习“学习强国”的积极性更高. 9．为吸引更多优秀人才来乐山干事创业，2023年10月27日，乐山市招才引智系列活动——教育人才专场在西南大学北碚校区招聘大厅举行，其中，甲、乙两名大学生参加了面试，10位评委打分如茎叶图所示： (1)写出甲得分的中位数和乙得分的众数； (2)现有两种方案评价选手的最终得分： 方案一：直接用10位评委评分的平均值； 方案二：将10位评委评分去掉一个最低分和一个最高分之后，取剩下8个评分的平均值. 请分别用以上两种方案计算两位同学的最终得分，并判断哪种评价方案更好？为什么？ 【答案】(1)甲得分的中位数为，乙得分的众数为78 (2)答案见解析 【分析】 （1）根据中位数、众数的求法求得正确答案. （2）求得两个方案的最终得分，并对方案进行评价. 【详解】（1）甲得分的中位数为；乙得分的众数为78； （2）若使用方案一： ， ， 因为，所以甲的得分较高. 若使用方案二： ， ， 因为，所以乙的得分较高. 方案二更好，因为有一个评委给甲选手评分为99，高出其他评委的评分很多， 方案二可以规避个别极端值对平均值的影响，评选结果更公平、更正. 10．为了比较两种治疗某病毒的药 (分别称为甲药， 乙药) 的疗效， 某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究， 并从服用甲药的治愈.患者和服用乙药的治愈患者中， 分别抽取了10名， 记录他们的治疗时间 (单位：天)， 统计 并绘制了如下茎叶图，    (1)从茎叶图看， 哪一种药的疗效更好， 并说明理由； (2)标准差除了可以用来刻画一组数据的离散程度外， 还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度， 如果出现了治疗时间在之外的患者， 就认为病毒有可能发生了变异， 需要对该患者进行进一步检查， 若某服用甲药的患者已经治疗了 26 天还末痊愈， 请茎叶图中甲药的数据， 判断是否应该对该患者进行进一步检查? 参考数据：. 【答案】(1)甲药，理由见解析 (2)应该 【分析】（1）根据茎叶图对疗效进行分析，由此来说明理由. （2）通过计算来进行判断. 【详解】（1）甲药的疗效更好, 理由一：从茎叶图可以看出, 有的叶集中在茎0,1上, 而服用乙药患者的治疗时间有的叶集中在茎1,2上, 还有的叶集中在茎3上, 所以甲药的疗效更好. 理由二：从茎叶图可以看出, 服用甲药患者的治疗的时间的中位数为 10 天, 而服用乙药患者的治疗时间的中位数为 12.5天, 所以甲药的疗效更好. 理由三: 从茎叶图可以看出, 服用甲药患者的治疗的时间的平均值为 10 天, 而服用乙药患 者的治疗时间的平均值为 15 天，所以甲药的疗效更好. （2）由茎叶图可知, 服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为 ， ， 则，而,应该对该患者进行进一步检查. 题型三：散点图 一、单选题 1．在统计学中，月度同比是指本月份和上一年同月份相比较的增长率，月度环比是指本月份和上一个月份相比较的增长率.如图是国家统计局发布的2023年全国居民消费价格月度涨跌幅度折线图，则下列说法正确的是（    ） A．2023年2月至6月居民的消费价格持续下降 B．2023年7月居民消费价格高于2022年同期 C．2023年4月居民消费价格环比上涨0.1%，同比下降0.1% D．2023年8月的居民消费价格是全年最高的 【答案】A 【分析】由月度同比、月度环比折线图逐个判断即可. 【详解】对于A：2月至6月环比增长率分别是，故消费价格持续下降；正确 对于B：由月度同比图可知2023年7月居民消费价格低于2022年同期；错误 对于C：2023年4月居民消费价格环比下降0.1%，同比上升0.1%，错误 对于D：虽然2023年8月的月度环比上涨幅度较大，但仅根据环比数据不能直接得出8月的居民消费价格是全年最高的，因为前面的月份价格也有变化情况，例如1月同比上涨,且后续月份价格变化复杂，不能简单判断8月价格最高，​错误​. 故选：A 2．在以下4幅散点图中，和成正线性相关关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】利用散点图可直观看出是否线性相关和正相关． 【详解】对于A，由于散点图分散，估计没有线性相关关系，故A错误； 对于B，根据散点图集中在一条递增的直线附近，说明它们线性相关且是正相关，故B正确； 对于C，根据散点图集中在一条递减的直线附近，说明它们线性相关且是负相关，故C错误； 对于D，根据散点图集中在一条曲线附近，说明它们非线性相关，故D错误； 故选：B． 3．空气质量指数（Air Quality Index，简称）等级表： 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 空气质量指数 （AQI） 以下是某市2024年4月1日至22日空气质量指数分布的散点图，下列关于这22天空气质量的描述，不正确的是（    ） A．空气质量为“良”的天数最多 B．空气质量为“优”和“良”的天数超过一半 C．17日空气质量为“重度污染” D．该市这22天空气质量越来越差 【答案】D 【分析】根据空气质量指数分布的散点图，逐项分析各选项，即可得答案. 【详解】从该市4月1日至22日空气质量指数分布的散点图可以看出， 空气质量为“良”的天数有8天，相比其它情况天数最多；为“优”和“良”的天数15天，超过一半； 17日的空气质量指数位于之间，属于“重度污染”，所以A，B，C都正确， 而这22天的空气质量有变化，16,17,18,19日这几天污染严重些， 但后几天污染情况又有所减轻好转，不完全是越来越差，所以D错误. 故选：D. 4．下列图中，线性相关性系数最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的分布特征可直接判断 【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1. 故选：A 二、填空题 5．观察下列散点图，具有相关关系的是 （填序号）.    【答案】②③ 【分析】根据散点图中散点的分别规律，结合相关关系的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】散点图①中，所以的散点都在曲线上，所以①具有函数关系，不符合题意； 散点图②中，所有的散点分布在一条直线的附近，所以②具有相关关系，符合题意； 散点图③中，所有散点都分布在一条曲线的附近，所以③具有相关关系，符合题意； 散点图④中，所有的散点杂乱无章，没有分布在一条曲线的附近，所以④不具有相关关系，不符合题意. 故答案为：②③ 6．已知某次考试之后，班主任从全班同学的成绩中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩（单位：分）如下表所示． 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩（分） 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩（分） 72 77 80 84 88 90 93 95 再给出如图所示的散点图． 根据以上信息，有下列三个说法： ①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系； ③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高． 其中，正确的说法为 ．（写出所有满足条件的说法序号） 【答案】① 【分析】由散点图知两变量间是相关关系，不是函数关系；利用概率的知识进行预测，得到的结论有一定的随机性． 【详解】解：对于①，根据散点图知，各点分布在一条直线附近，两变量间是线性相关关系，所以①正确； 对于②，根据散点图知，两变量不是确定的一次函数关系，所以②错误； 对于③，利用概率的知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，所以③错误． 故答案为：①． 三、解答题 7．某饮料店为了推广“秋天的第一杯奶茶”，需了解一天的平均气温与奶茶销量之间的关系，为此记录了周一至周五的平均气温与奶茶销量（杯）的数据，如表所示： 9 11 12 10 8 23 26 30 25 21 (1)画出散点图； (2)根据上表提供的数据，求出关于的经验回归方程； (3)试根据（2）中求出的经验回归方程，预测平均气温约为时该饮料店的奶茶销量. 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)46杯 【分析】（1）根据表格数据画出散点图即可； （2）求出、、、得、可得答案； （3）代入可得答案. 【详解】（1）画出散点图如下. （2）， ， ， ， 所以，， 所以； （3）当时，. 故预测平均气温约为时该饮料店的奶茶销量为46杯. 8．通过随机抽样，我们获得某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的一组调查数据，如表所示． 消费者年需求量与商品每千克价格 每千克价格/百元 4.0 4.0 4.6 5.0 5.2 5.6 6.0 6.6 7.0 10.0 年需求量/千克 3.5 3.0 2.7 2.4 2.5 2.0 1.5 1.2 1.2 1.0 请绘制上述数据的散点图，并依据散点图观察两组数据的相关性． 【答案】答案见解析 【分析】由于这两组数据分别来自同一商品的两个变量：“每千克价格”与“年需求量”，因此来自这两个变量的两组数据可以看作成对数据．把“每千克价格”作为横坐标（自变量），“年需求量”作为纵坐标（因变量），在平面直角坐标系中绘制相应的点，就得到年需求量和每千克价格的散点图（图8-1-1），根据散点图可分析两组数据的相关性． 【详解】    从图8-1-1可以看出，消费者对该商品的年需求量大体上随着价格的上升而减少，但也有一些例外的情况．例如，价格都是4百元，但不同年份的需求量分别是3.5千克和3千克，说明在价格不变的情况下，需求量仍可能发生变化．类似地，价格改变，需求也可能基本不变． 从散点图整体上看，所有点都在一条直线的附近波动，在这种情况下，我们说两个变量之间具有一种线性相关关系．此时可以用一条直线来拟合这两组数据（图8-1-1）． 题型一：频率分布表和频率分布直方图 一、单选题 1．遵义羊肉粉是黔北民众最喜爱的小吃之一．2024年12月16日，遵义市第七届羊肉粉节在凤凰山文化广场盛大开幕，某商家为了调研顾客对本店就餐的满意度，从用过餐的顾客中随机抽取100名进行评分．整理评分数据，将收集到的顾客满意度分值数据（满分100分）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（   ） A．这100名顾客评分的极差介于40分至50分之间 B．这100名顾客评分的中位数小于80分 C． D．这100名顾客评分的平均值介于60分到70分之间 【答案】C 【分析】由极差的概念可得A错误；由频率分布直方图的面积和为1可得C正确；由后两个矩形的面积大于可得B错误；由频率分布直方图平均值的求法可得D错误. 【详解】对于A，由频率分布直方图可知，这100名顾客评分的极差最小不低于，最大为，故A错误； 对于C，由面积和为可得，故C正确； 对于B，后两个矩形的面积为，所以这100名顾客评分的中位数应该在倒数第二个区间内，不小于80分，故B错误； 对于D，这100名顾客评分的平均值为，故D错误； 故选：C. 2．“数九”从每年“冬至”当天开始计算， 每九天为一个单位，冬至后的第 81 天， “数九”结束， 天气就变得温暖起来. 如图， 以温江国家基准气候站为代表记录了 2023 一 2024 年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温” (单位: )，下列说法正确的是（    ）    A．“四九”以后成都市“平均气温”一直上升 B．“四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 低 0.1 ” C．“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差 D．“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差 【答案】D 【分析】由图表数据分析可判断A，B；由方差的意义可判断C；由极差的计算公式分析D. 【详解】对于A，“八九”、“九九”的平均气温比“七九”的“平均气温”低，故A错误； 对于B，“四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 高”，故B错误； 对于C，由图表，“平均气温”的波动比“多年平均气温” 的波动大， 则“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差大于“多年平均气温”的方差，故C错误； 对于D，“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差为：， “多年平均气温”的极差为， 则“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差，故D正确. 故选：D. 3．国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（居民消费水平）（    ）    A．2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高 B．2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高 C．2018年至2022年我国居民消费水平数据的极差为6463元 D．2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多 【答案】D 【分析】对于AB选项，由统计图可得答案；对于C选项，结合题目数据可得答案；对于D选项，由统计图数据结合居民消费水平计算公式可得答案. 【详解】对于A，2019年的居民消费水平比2020年的居民消费水平高，故A错误； 对于B， 2018年至2022年我国城镇居民消费水平不是逐年提高，故B错误； 对于C，2018年至2022年我国居民消费水平数据的极差为6473元，故C错误； 对于D，设我国农村人口数为，城镇人口数为， 则，化简得， 所以2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多，故D正确． 故选：D 4．某市教育主管部门为了解高三年级学生学业达成的情况，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的学业达成情况按照从高到低都分布在五个层次内，分男､女生统计得到以下样本分布统计图，则下列叙述正确的是（    ） A．样本中层次的女生比相应层次的男生人数多 B．估计样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小 C．层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等 D．样本中层次的学生数和层次的学生数一样多 【答案】B 【分析】频率分布直方图，得女生学业达成在各层次的频率，对选项中的频率频数问题进行判断. 【详解】对于AC，设女生学业达成频率分布直方图中的组距为， 由，得， 所以女生学业达成频率分布直方图中层次频率为，层次频率为， 层次频率为，层次频率为，层次频率为， 因为男､女生样本数未知，所以层次中男､女生人数不能比较，即A选项错误； 同理，层次女生在女生样本数中频率与层次男生在男生样本数中频率相等，都是， 但因男､女生人数未知，所以在整个样本中频率不一定相等，即C选项错误； 对于D，设女生人数为，男生人数为，但因男､女生人数可能不相等， 则层次的学生数为， 层次的学生数为， 因为不确定，所以与可能不相等，即D选项错误； 对于B，女生两个层次的频率之和为， 所以女生的样本学业达成的中位数为B，C层次的分界点， 男生两个层次的频率之和为，显然中位数落在C层次内， 所以样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小，B选项正确． 故选：B． 二、填空题 5．为了了解某地高一年级学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率直方图（如图），则 ；估计被抽取的学生跳绳次数的中位数是 ． 【答案】 0.015/ 122 【分析】根据频率之和等于1即可求出，根据在频率分布直方图中中位数得计算方法计算即可求出中位数. 【详解】解：，解得， 因为，， 所以中位数在区间中， 设中位数为y， 则，解得， 即中位数为122. 故答案为：0.015；122 6．2022年春天我国东部片区降水量出现近年新低，旱情严重，城市缺水问题显得较为突出，某市政府为了节约生活用水，科学决策，在全市随机抽取了100位居民某年的月均用水量（单位：）得到如图所示的频率分布直方图，在统计中我们定义一个分布的分位数为满足的，则估计本例中 .（结果保留小数点后两位有效数字） 【答案】2.45 【分析】根据频率分布直方图进行数据分析，结合定义即可求得. 【详解】由题意可知：就是满足的横坐标的值， 因为对应的频率为， 对应的频率为， 对应的频率为， 对应的频率为， 对应的频率为， 所以落在内，设距离2.5的距离为， 所以，所以，所以. 故答案为：2.45 7．北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，将在太空“出差”半年的翟志刚､王亚平､叶光富送回到阔别已久的祖国大地.神舟十三号载人飞行任务的圆满成功，标志着空间站关键技术验证阶段任务圆满完成，中国空间站即将进入建造阶段.某机构研究室通过随机抽样的方式，对18岁及以上人群进行了“你是否曾有过航天梦想”的调查研究，得到如下的统计结果： 根据调查结果，以下说法正确的是 . ①在“曾有过航天梦想”的人群中，54岁及以上的人数最少 ②在“曾有过航天梦想”的人群中，年龄越大，在航天相关方面的人均消费越少 ③在“曾有过航天梦想”的人群中，18-29岁在航天相关方面的总消费最多 【答案】①③ 【分析】观察“曾有过航天梦想”的人年龄分布图和在航天相关方面的人均消费可判断①②，再把各年龄阶段在航天相关方面的总消费算出，即可求出答案. 【详解】对于①，从曾有过航天梦想的年龄分布图可知，在“曾有过航天梦想”的人群中，54岁及以上的人数最少，所以①正确； 对于②，在“曾有过航天梦想”的人群中，岁的消费最多，所以②错误； 对于③，设总人数为 ，18-29岁在航天相关方面的总消费约为：， 30-40岁在航天相关方面的总消费约为：， 41-53岁在航天相关方面的总消费约为：， 54岁及以上在航天相关方面的总消费约为：. 所以在“曾有过航天梦想”的人群中，18-29岁在航天相关方面的总消费最多. 故选：①③. 三、解答题 8．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，长沙市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的平均数和众数； (3)用分层抽样的方法在分数落在内的答卷中随机抽取一个容量为5的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取2份，求至多有1份答卷的分数在内的概率． 【答案】(1)； (2)；； (3). 【分析】（1）由各矩形对应频率之和为1，可得答案； （2）由频率分布直方图计算平均数，众数可得答案； （3）由题可得应从中抽2个，从中抽3个，然后设中的样本为：，中的样本为：，由列举法可得答案. 【详解】（1）由题，，则； （2）由（1），平均数为：； 由频率分布直方图这组频率最高，则中众数为：； （3）落在内的样本容量为：， 落在内的样本容量为：. 则应从中抽2个，从中抽3个. 设中的样本为：，中的样本为：. 则从中任取2份的情况有： ，，共10种. 分数在内有：共7种， 则至多有1份答卷的分数在内的概率为：. 9．为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）： 根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)求本次被调查的学生人数． (2)将条形统计图补充完整． (3)若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数． 【答案】(1)200 (2)答案见解析 (3)560 【分析】（1）结合题中给出的条形图和扇形图，选择劳技的人数和百分率都知道，即可求出被调查的学生人数； （2）有了总体，由扇形图可知选择文学的百分率是，即可求出选择文学的人数，再用学生总人数减去艺术、劳技、文学、其他的人数，得到选择体育的人数，并据此画完该条形图； （3）根据用样本估计总体的方法，先计算选择体育类的百分率，再乘以全校总人数即可. 【详解】（1）由条形图和扇形图，选择劳技的人数为60人，百分率是， 则被调查学生的总人数为：（人）； （2）选择文学的百分率是，由（1）知被调查学生的总人数为人； 则选择文学的学生人数为：（人）， 选择体育的学生人数：（人）， 完成的条形图如下： （3）选择体育类的百分比为， 所以估计全校选择体育类的学生有（人） . 10．为了深入了解学生的军训效果，某高校对参加军训的2000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取100名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图.    (1)根据频率分布直方图，求出的值并估计这100名学生测试成绩的平均数. (2)现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“军体拳”“伤病救援”，规则如下：三个项目均需参与，三个项目通过各奖励300元、200元、100元，不通过则不奖励.学生甲在每个项目中通过的概率依次为，假设学生甲在各项目中是否通过是相互独立的，记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量，求的分布列和. (3)若该高校军训学生的综合成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定军训成绩不低于98分的为＂优秀标兵＂，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）. 【答案】(1)，平均数为76 (2)分布列见解析， (3)46人 【分析】(1)由频率分布直方图的性质可得； (2)由题意得到随机变量的所有可能取值，求出概率，列表即可； (3)根据正态分布性质可得. 【详解】（1）依题意，得（频率之和为1）， 解得． 由频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数为 ． （2）随机变量的所有可能取值为0，100，200，300，400，500，600． ， ， ， ， ， ， ． 所以的分布列为 0 100 200 300 400 500 600 P 所以． （3）由（1）可知，所以，， 所以， 所以，即该高校军训学生中“优秀标兵”的人数约为46. 题型二：茎叶图 一、单选题 1．某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额（单位：百元）情况，得到了如下的茎叶图（其中茎表示十位数，叶表示个位数），关于这5天的营业额情况，下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两家商店营业额的极差相同 B．甲、乙两家商店营业额的中位数相同 C．从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高 D．甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差 【答案】C 【分析】对于A，由极差的定义，即最大值减最小值即可判断；对于B，由中位数的定义判断即可（从小到大排列数据）；对于C，直接由茎叶图即可判断；对于D，由方差公式运算即可判断. 【详解】A选项：甲商店营业额的极差为10，乙商店营业额的极差为8，故A错误； B选项：甲商店营业额的中位数为32，乙商店营业额的中位数为30，故B错误； C选项：甲商店营业额超过3000元的天数为3，乙商店营业额超过3000元的天数为2，故从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高，故C正确； D选项：甲商店营业额的平均值为，乙商店营业额的平均值为， 故甲商店营业额的方差， 乙商店营业额的方差，则，故甲商店营业额的方差大于乙商店营业额的方差，故D错误. 故选：C. 2．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两位同学的6次数学模拟考试成绩（单位：分），下列说法正确的是（    ）    A．甲成绩的众数大于乙 B．甲成绩的极差小于乙 C．甲的成绩比乙更稳定 D．甲成绩的平均数大于乙 【答案】C 【分析】根据茎叶图得出甲、乙次模拟的成绩，分别计算中位数、众数、极差、平均数即可求解. 【详解】A选项：甲成绩的众数为137，乙成绩的众数为145，故A错误； B选项：甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，故B错误； C选项：从数据分布来看，甲的成绩更集中，乙的成绩更分散，所以甲的成绩比乙更稳定，故C正确； D选项：甲成绩的平均数为， 乙成绩的平均数为，故D错误. 故选：C 3．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（    ） A．第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟 B．第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高 C．这40名工人完成任务所需时间的中位数为80 D．无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟 【答案】D 【分析】根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择． 【详解】第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人，占，故A正确； 第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为 ， 第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为 ， 所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，故B正确； 这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为79，81，中位数为，故C正确； 第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为84，第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为74.7，故D错误； 故选：D． 二、填空题 4．甲乙两个样本的茎叶图如图所示，将甲中的一个数据调入乙，使调整后两组数据的平均值都比调整前提高，则这个数据可以是 ．（填写满足要求的一个数据） 【答案】76/77/78 【分析】计算出数据调整前甲组和乙组的数据之和以及平均数，设甲中的一个数据调入乙的数据为，根据已知条件可得出关于的不等式组，求出的取值范围即可得解. 【详解】数据调整前，甲组的数据之和为，平均数为， 乙组的数据之和为，平均数为. 设甲中的一个数据调入乙的数据为，由已知条件可得，解得. 故答案为：76（或77，78均可）. 三、解答题 5．甲、乙两位气步枪运动员在射击队内的选拔赛成绩茎叶图如右： (1)求甲、乙两名选手射击的平均环数； (2)请用具有统计意义的数量来刻画甲、乙两位运动员的射击成绩的稳定性，并帮助射击队选拔一名运动员外出参加比赛． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用平均数公式求解即可. （2）利用方差公式分别求解方程，依据方差大小分析稳定性，再选人即可. 【详解】（1） （2） 由可知甲、乙两位运动员的平均成绩一致； 而即甲的射击成绩的离散程度较小，乙的射击成绩的离散程度较大， 因此甲的成绩较稳定，所以选甲代表射击队出去参加比赛. 6．昭通苹果因其“成熟早、甜度好、香味浓、口感脆、富含硒”等特点，被众多消费者所认可，畅销全国各地.现昭通各合作农场的果园进入盛果期，苹果单果直径不同单价不同，某苹果收购商为比较甲、乙两个农场苹果的直径，现从两个农场的苹果树上各随机摘下了20个苹果测量其直径，经统计，其单果直径分布在区间内（单位：mm），统计的茎叶图如图所示： (1)根据茎叶图判断哪个农场产出的苹果直径更大？并说明理由； (2)以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率，若甲农场的果园有20万个苹果约5万千克待出售，该收购商提出两种收购方案：方案A：所有苹果均以5.5元/千克收购；方案B：按苹果单果直径大小分3类装箱收购，每箱装25个苹果，定价收购方式为：单果直径在内按35元/箱收购，在内按45元/箱收购，在内按55元/箱收购.包装箱与分拣装箱费用为5元/箱（该费用由合作农场承担）.请你通过计算为甲农场推荐收益最好的方案. 【答案】(1)甲农场，理由见解析； (2)方案B. 【分析】（1）可以利用茎叶图的数字特征众数，例如：中位数，平均数，任意一个进行说明； （2）分别算出方案一与方案二的收益，即可得到答案 【详解】（1）甲农场的苹果直径较大其理由如下： （i）由茎叶图可知：甲农场有的苹果直径至少为，乙农场有75%的苹果直径至多79mm.因此甲农场的苹果直径较大. （ii）由茎叶图可知：甲农场苹果直径的中位数为，乙农场苹果直径的中位数为.因此甲农场的苹果直径较大. （iii）由茎叶图可知：甲农场苹果直径的平均数高于；乙农场苹果直径的平均数低于，因此甲农场的苹果直径较大. （iv）由茎叶图可知：甲农场苹果直径分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；乙农场苹果直径分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又因苹果直径分布的区间相同，故可以认为甲农场的苹果直径较大. 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）按方案A：甲农场收益为：（万元）                         按方案B：依题意可知甲农场的果园共万箱，即8000箱苹果， 则该合作农场收益为：元，          即为32万元 因为，所以甲农场推荐收益最好的方案是B. 7．已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计这两种鱼的数量，养殖者从池塘中捕出这两种鱼各1 000条，给每条鱼做上不影响其存活的标记，然后放回池塘，待完全混合后，再每次从池塘中随机地捕出1 000条鱼，记录下其中有记号的鱼的数目，立即放回池塘中.这样的记录做了10次，并将记录获取的数据制作成如图所示的茎叶图. (1)根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数，并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量； (2)为了估计池塘中鱼的总质量，现按照（1）中的比例对100条鱼进行称重，根据称重鱼的质量介于(单位:千克)之间，将测量结果按如下方式分成九组:第一组，第二组，…，第九组.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. ①估计池塘中鱼的质量在3千克以上(含3千克)的条数； ②若第三组鱼的条数比第二组多7条、第四组鱼的条数比第三组多7条，请将频率分布直方图补充完整； ③在②的条件下估计池塘中鱼的质量的众数及池塘中鱼的总质量.    【答案】(1)答案见解析 (2)①2400条；②答案见解析；③答案见解析. 【分析】（1）根据茎叶图可知，鲤鱼与鲫鱼的平均数目分别为80，20．由题意知，求出池塘中鱼的总数目，由此能求出估计鲤鱼数目和鲫鱼数目． （2）①根据题意，结合直方图能求出池塘中鱼的重量在3千克以上的条数． ②设第二组鱼的条数为，则第三、四组鱼的条数分别为，由此能求出第二、三、四组的频率分别为0.08、0.15、0.22，从而将频率分布直方图补充完整． ③由频率分布直方图能求出众数和平均数，从而得到鱼的总重量． 【详解】（1）根据茎叶图可知，鲤鱼平均数目为， 鲫鱼的平均数目为， 由题意知，池塘中鱼的总数目为(条)， 则估计鲤鱼数目为(条)，鲫鱼数目为(条). （2）①根据题意，结合直方图可知， 池塘中鱼的质量在3千克以上(含3千克)的条数约为(条). ②设第二组鱼的条数为，则第三、四组鱼的条数分别为， 则有，解得， 故第二、三、四组的频率分别为0.08，0.15，0.22， 它们在频率分布直方图中的小矩形的高度分别为0.16，0.30，0.44， 据此可将频率分布直方图补充完整(如图所示).      ③众数为2.25(千克)， 平均数为(千克)， 所以鱼的总质量为(千克). 题型三：散点图 一、单选题 1．某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（    ）      A．400，32 B．400，36 C．480，32 D．480，36 【答案】A 【分析】根据图（1）及分层抽样可得样本容量及抽取的四居室户主人数，再结合图（2）可得抽取的户主对四居室满意的人数. 【详解】由图（1）得该小区户主总人数为人， 所以样本容量为人，其中四居室户主有人， 由图（2）得抽取的户主中对四居室满意的有人， 故选：A. 2．某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表： 身高（单位： 167 173 175 177 178 180 181 体重（单位： 90 54 59 64 67 72 76 由表格制作成如图所示的散点图：    由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的特点判断斜率和截距；由于去掉，其它点的线性关系更强，从而可判断相关系数． 【详解】身高的平均数为， 因为离群点的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相对过大， 所以去掉后经验回归直线的截距变小而斜率变大，故 去掉后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关， ， 故选：A． 3．变量x，y的几组实验测量数据如下表所示： 0.50 0.99 2.01 2.98 1.42 1.99 3.98 8.00 则根据上表数据，在下列函数中，拟合变量，关系的最佳函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由散点图或代入值计算可知结果. 【详解】画出散点图，如图， 由图知，BC函数关系不合适，将分别代入A、D解析式计算可知最适合． 故选：A. 二、填空题 4．高三年级有267名学生参加期末考试，某班37名学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况的散点图如图所示．甲、乙为该班的两名学生，从这次考试成绩看，甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ． 【答案】乙 【分析】根据散点图分别数出甲乙的总成绩和语文成绩排名即可. 【详解】甲的总成绩排名为第14名，语文成绩的排名为第15名， 乙的总成绩排名为第29名，语文成绩的排名为第14名， 乙的语文成绩排名比总成绩排名更靠前； 故答案为：乙. 三、解答题 5．某出版社单册图书的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下： x 1 2 3 5 7 10 11 20 25 30 y 9.02 5.27 4.06 3.03 2.59 2.28 2.21 1.89 1.80 1.75 (1)根据以上数据画出散点图（可借助统计软件），并根据散点图判断：与中哪一个适宜作为回归方程模型? (2)根据（1）的判断结果，试建立成本费y关于印刷册数x的回归方程； (3)利用回归方程估计印刷26000册图书的单册成本（结果保留两位小数）． 【答案】(1)绘图见解析，适宜作为回归方程模型； (2)； (3)成本约为元. 【分析】（1）根据表格数据绘制散点图，由各点的变化趋势确定合适的模型即可； （2）利用最小二乘法求回归方程； （3）由（2）所得回归方程估计时对应的单册成本费用. 【详解】（1）由表格数据可得如下散点图，    显然，两者之间是某种非线性关系，故适宜作为回归方程模型. （2）令且，则，， ，，则， 所以，故. （3）由（2），将代入回归方程得元. 6．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些缺损．按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示： 转速x(转/秒) 16 4 12 8 每小时生产有缺损零件数y(个) 11 9 8 5 (1)作出散点图； (2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程； (3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？ 【答案】（1）见解析（2）＝0.73x－0.875.（3）15 【详解】解：(1)根据表中的数据画出散点图如图： (2)设回归直线方程为：＝bx＋a，并列表如下： i 1 2 3 4 xi 16 14 12 8 yi 11 9 8 5 xiyi 176 126 96 40 ＝12.5，＝8.25，＝660，＝438， ∴b＝≈0.73， a＝8.25－0.73×12.5＝－0.875， ∴＝0.73x－0.875. (3)令0.73x－0.875≤10，解得x≤14.9≈15.故机器的运转速度应控制在15转/秒内． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $