专题05 一元二次方程实际应用问题（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

专题05 一元二次方程实际应用问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、—元二次方程应用——数字相关问题 题型二、一元二次方程应用——营销利润问题 题型三、一元二次方程应用——图形相关问题 题型四、一元二次方程应用——图表信息实际问题 题型五、一元二次方程应用——分式方程转化类实际问题 题型六、一元二次方程应用——动态几何问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程实际应用是八年级数学核心重难点，所有题型均围绕审题建模、设数列式、求解运算、验根作答四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是所列方程必须贴合题目等量关系，保证建模准确；二是必须舍去不符合生活实际、题干情境的增根与无效解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、—元二次方程应用——数字相关问题 题型模版 1.特征：以多位数、连续整数、平方关系为背景，给出数字间的数量关系，求对应的数值。这类题目文字条件简单，容易混淆数位上数字的表示方法，常误把数位直接当成数值列式。 2.方法：合理设未知数，用代数式正确表示多位数或连续数字，根据数量关系列出一元二次方程。求出方程的根后，检验解是否符合数字的实际意义，舍去不合理解。 【例1】在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 【例2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 【变式1-1】数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数的和，例如：，，，…．他们进一步研究其中连续奇数中的最小奇数的规律时又发现：，，，…． （1）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是_______； （2）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，则的值为_______． 【变式1-2】如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)如图，若圈出的4个数、、、中，最小的数，则，________，________．（用含的代数式表示） (2)在小组活动中，小轩通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 【变式1-3】第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME−14的举办年份． (1)八进制数123换算成十进制数是___________； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 题型二、一元二次方程应用——营销利润问题 题型模版 1.特征：结合商品销售场景，给出进价、售价、销量变化、涨价或降价条件，求解定价、销售量。核心是价格变动会引起销量反向变化，学生容易搞错销量增减的数量。 2.方法：牢记利润公式，单件利润×销售量=总利润。设涨价或降价的金额为未知数，分别表示单件利润与销量，列方程求解。检验结果，结合题意取舍，兼顾价格合理性。 【例3】西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了更多地让利消费者，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 【例4】某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，为了适当增加销售，商店决定从第二周开始降价销售．根据市场调查，单价降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价．设单价降低元销售一周后，商店对剩余纪念品进行清仓处理，以每个4元的价格全部售出． (1)根据题意，填写如下表格： 售价（元个） 销售量（个） 第一周 10 200 第二周 第三周 4 (2)如果旅游纪念品共获利1250元，问：第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【变式2-1】长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【变式2-2】综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 (1)若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； (2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； (3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 【变式2-3】请完成“问题解决”中的任务1和任务2． “广西桂林三日游”调研分析 背景 10月份报名参加“广西桂林三日游”的人数为1000人，到12月份报名的人数将达到1440人． 素材1 该旅行社提供的“广西桂林三日游”旅行活动的初步方案为20人组团，每人的团费为800元． 素材2 经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不能低于600元． 问题解决： (1)任务1：求10月份至12月份“广西桂林三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率； (2)任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为24000元，求降低团费后每人的团费． 题型三、一元二次方程应用——图形相关问题 题型模版 1.特征：依托矩形、正方形等几何图形，涉及面积、边长，常包含道路、边框、裁剪拼接等情境，求线段长度。容易在平移转化图形时，错误计算长与宽的剩余长度。 2.方法：利用图形面积、周长公式，通过平移法简化图形，找出等量关系列一元二次方程。求解后检验边长必须为正数，剔除不符合几何实际意义的根。 【例5】某农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设平行于墙的一边的长为． (1)如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边、、由篱笆围成，当菜地的面积为时，求x的值； (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一节篱笆构成，另三边、、由篱笆围成，当菜地面积为时，求x的值． 【例6】现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分别为，的正方形，C类纸片是长、宽分别为，的矩形纸片． (1)若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求的值； (2)若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图； ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长． 【变式3-1】如图，在由数字0和1组成的无限数阵中，每行中相邻两个数字的间距为，每列中相邻两个数字的间距也为．每过1秒，与数字1的间距为的数字将变为1．图①是初始状态（由一个1和无数个0组成），1秒后变为图②状态，2秒后变为图③状态，若秒后得到的图中数字之和为1861，则的值是______． 【变式3-2】如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 【变式3-3】观察下列由小黑点组成的图形： 图1中矩形框内小黑点个数为4，小黑点总数为， 图2中矩形框内小黑点个数为6，小黑点总数为， 图3中矩形框内小黑点个数为8，小黑点总数为， 照此规律，解答下列问题： (1)图4中矩形框内小黑点个数为________，小黑点总数为________； (2)当小黑点总数为132个时，矩形框内小黑点个数是多少？ 题型四、一元二次方程应用——图表信息实际问题 题型模版 1.特征：以表格、图像呈现数据，包含价格、数量、费用等多组信息，需要自主提取条件建立方程。难点在于读懂图表，容易看错行列数据，遗漏限制条件。 2.方法：仔细读取图表中的已知量，筛选有效信息，分析变量之间的等量关系，设未知数列一元二次方程。求出根后代回图表验证，判断解是否匹配表格数据范围。 【例7】某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 【例8】为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【变式4-1】根据绍兴市某风景区的旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？ 【变式4-2】近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 【变式4-3】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (3)求8月份该户居民应交电费多少元? 题型五、一元二次方程应用——分式方程转化类实际问题 题型模版 1.特征：实际问题先列出分式方程，去分母后转化为一元二次方程求解。这类题型容易忘记分式方程的检验步骤，忽略分母不能为零的限制条件。 2.方法：先根据题意列出分式方程，去分母化为一元二次方程，解整式方程。双重检验：既要检验根使分母不为0，又要保证解符合题目的实际情境。 【例9】暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱．已知某电影院，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元，用525元购买《奥德赛》电影票数量与用450元购买《牛来》电影票数量一样多． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额要达到1820元，单价应降低多少元？ 【例10】某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3200元，售价每套40元，服装厂向25名家庭贫困学生免费提供．经核算，这25套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服生产了多少套？ 【变式5-1】甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 【变式5-2】立足科教兴国发展战略，助力青少年机器人大赛筹备工作，某科创工坊加工甲、乙两款智能巡线小车配件．已知单件甲型小车耗材成本比乙型多元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同． (1)分别求出甲、乙两款小车单件耗材成本是多少元？ (2)工坊原定计划安排生产甲型小车台，乙型台．为适配赛事升级要求，提升成品性能，工坊优化了生产工艺．甲型小车精简内部线路，单件成本下降元，制作数量增加台；乙型小车加装避障感应配件，单件成本增加元，制作数量减少台，这样全部耗材总费用为元，求的值． 【变式5-3】某商店用元购买一批新款书包进行销售． (1)当该款书包每个的进价降低元后，商店又用元购买了相同数量的书包，该书包原来每个的进价是多少元？ (2)根据（1）中的进价，把每个书包按元的定价销售，平均每天可售出个．调查发现，若每个书包每降价元，销量就增加个．若该商店希望每天的销售利润为元，但又能让顾客得到实惠，则每个书包的定价应为多少元？ 题型六、一元二次方程应用——动态几何问题 题型模版 1.特征：几何图形上的点随时间运动，结合速度、线段长度，求运动时间，常以面积、线段长作为等量关系。动点运动方向、线段表达式容易写错，属于压轴题型。 2.方法：用含时间的代数式表示动点移动后的线段长度，结合图形面积或勾股定理列一元二次方程。求解后检验时间为正数，舍去超出运动范围的无效解。 【例11】如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 【例12】如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【变式6-1】如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【变式6-2】综合与探究 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】如图，在直角中，，cm，cm．点P从点A出发，沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿向点C以的速度移动，设运动时间为t（秒）． (1)用t的代数式表示：_______，_______． (2)线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．甲、乙两人同时从地出发，骑自行车去地，已知甲比乙每小时多走千米，结果比乙早到小时，若两地相距千米，则乙每小时_______千米． 2．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 3．如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点移动到点处停止，点也随之停止运动．当四边形的面积为时，点运动的时间是（     ） A． B．或 C． D． 4．如图所示，在中，，，，点以的速度从点开始沿边向点移动，点以的速度从点开始沿边向点移动，且点，分别从点，同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使，两点之间的距离等于，则需要经过___________． 5．如图1所示的是一张面积为的长方形薄纸板，纸板的四角上是边长相等的正方形．如果按图1中的实线剪开，虚线折叠，恰好将其折叠成一个长为、宽为的长方体文件盒，如图2所示，那么这个文件盒的厚度为多少厘米？ 6．某福州文创网店售卖2026闽超联赛吉祥物福小龙纪念手办．进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于30元，日销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）之间满足一次函数的关系．销售期间获得部分数据如下表： 销售单价x/元 40 41 42 43 44 45 日销售量y/个 500 490 480 470 460 450 (1)请求出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8000元？ 7．每年的农历五月初五是端午节，有吃粽子（古称“角黍”）等习俗．某食品店零售单颗粽子．已知一个三角粽比一个牛角粽贵元，小杭曾在此食品店花元购买牛角粽的个数比花元购买三角粽的个数多个．现该食品店牛角粽已售完，食品店决定对剩余的三角粽打折出售．已知按原价出售，每天售出个三角粽，每降价元，每天多售出个． (1)求牛角粽的单价； (2)求现该食品店一天售出三角粽的数量（用含的代数式表示）； (3)若现该食品店一天实际销售额为元，求． 8．一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 9．已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 10．【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息： 素材1 该车间4月份生产该零件100个，到6月份产量增加至144个，且每月增长率相同． 素材2 该零件的生产成本为每个30元．市场调研发现：当售价定为每个40元时，每月可销售600个；若售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． 【任务驱动】 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000元．同时，为了让更多消费者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？ 11．为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求．已知米，米．设米． (1)当种花的面积为440平方米时，求的值； (2)种花的面积能否达到520平方米？请说明理由； (3)设种花的面积为平方米，当的值有且只有一个时，试求出的取值范围． 12．已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当P、Q两点中有一点到达终点，则停止运动． (1)_______秒后，的长度等于； (2)几秒后，四边形的面积等于？ (3)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 13．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程实际应用问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、—元二次方程应用——数字相关问题 题型二、一元二次方程应用——营销利润问题 题型三、一元二次方程应用——图形相关问题 题型四、一元二次方程应用——图表信息实际问题 题型五、一元二次方程应用——分式方程转化类实际问题 题型六、一元二次方程应用——动态几何问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程实际应用是八年级数学核心重难点，所有题型均围绕审题建模、设数列式、求解运算、验根作答四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是所列方程必须贴合题目等量关系，保证建模准确；二是必须舍去不符合生活实际、题干情境的增根与无效解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、—元二次方程应用——数字相关问题 题型模版 1.特征：以多位数、连续整数、平方关系为背景，给出数字间的数量关系，求对应的数值。这类题目文字条件简单，容易混淆数位上数字的表示方法，常误把数位直接当成数值列式。 2.方法：合理设未知数，用代数式正确表示多位数或连续数字，根据数量关系列出一元二次方程。求出方程的根后，检验解是否符合数字的实际意义，舍去不合理解。 【例1】在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 【答案】A 【详解】解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为，则个位数字为，年龄可表示为． ∵个位平方与寿符， ∴可得方程 整理得， 解得，． 又∵而立之年督东吴，说明年龄超过30岁，时年龄为25岁，不符合题意舍去， ∴，个位数字为，年龄为岁． 【例2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为53 【分析】 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为， 依题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 答：原来的两位数为53． 【变式1-1】数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数的和，例如：，，，…．他们进一步研究其中连续奇数中的最小奇数的规律时又发现：，，，…． （1）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是_______； （2）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，则的值为_______． 【答案】 【分析】 【详解】解：（1）由题中规律可得， 如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是 （2）由题意可得规律为， 将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是， 则， ， 为正整数， 和是相邻的两个正整数，则由可知，． 【变式1-2】如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)如图，若圈出的4个数、、、中，最小的数，则，________，________．（用含的代数式表示） (2)在小组活动中，小轩通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 【答案】(1)，； (2)证明如下： ∵ ， ∴的差恒为常数； (3)7． 【分析】 【详解】（1）解：根据日历表可知，，； （2）略； （3）解：由题意得：， 变形整理得：， 解得：，（舍去）， 即这个最小的数是7． 【变式1-3】第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME−14的举办年份． (1)八进制数123换算成十进制数是___________； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 【答案】(1)83 (2)9 【分析】 【详解】（1）解：根据八进制换算成十进制的方法可得： ； （2）解：根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程可得： ， ∴， 整理得：， 解得（不符合题意，舍去）， 故n的值为9． 题型二、一元二次方程应用——营销利润问题 题型模版 1.特征：结合商品销售场景，给出进价、售价、销量变化、涨价或降价条件，求解定价、销售量。核心是价格变动会引起销量反向变化，学生容易搞错销量增减的数量。 2.方法：牢记利润公式，单件利润×销售量=总利润。设涨价或降价的金额为未知数，分别表示单件利润与销量，列方程求解。检验结果，结合题意取舍，兼顾价格合理性。 【例3】西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了更多地让利消费者，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 【答案】应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元 【详解】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低元， 根据题意得：， 整理得, 解得，, ∵要更多地让利消费者， ∴， 答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元． 【例4】某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，为了适当增加销售，商店决定从第二周开始降价销售．根据市场调查，单价降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价．设单价降低元销售一周后，商店对剩余纪念品进行清仓处理，以每个4元的价格全部售出． (1)根据题意，填写如下表格： 售价（元个） 销售量（个） 第一周 10 200 第二周 第三周 4 (2)如果旅游纪念品共获利1250元，问：第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【答案】(1) 售价 销售量 第一周 第二周 第三周 (2)9元 【分析】 【详解】（1）解：∵单价降低1元，可多售出50个， ∴第二周的售价为元，销售量为个， ∵商店对剩余纪念品进行清仓处理，以每个4元的价格全部售出， ∴第三周的售价为4元，销售量为（个）； （2）解：由题意得，， 化简得：， 解得， ∴第二周售价 答：第二周旅游纪念品的销售价格为9元． 【变式2-1】长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件童装应该降价元 【分析】 【详解】（1）解：∵如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元， ∴采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元 （2）解：由题意得， 整理得， 解得，， ∵要使优惠力度最大， ∴， ∴每件童装应该降价元． 【变式2-2】综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 (1)若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； (2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； (3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)200，2000 (2)该玩偶的售价为44元 (3)商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元；理由： 设该玩偶的售价为x元，此时利润能达到2500元， 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴该一元二次方程没有实数根，∴ 商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元． 【分析】 【详解】（1）解： ∵当售价定为50元时，每天卖出100个，售价每降1元多卖10个． ∴当售价为40元时，降价金额为元，增加玩偶的数量为：个，商店每天卖出该玩偶的数量是个， ∴每天的利润为元． （2）解：设该玩偶的售价为x元， 由题意可得：， 整理得：，解得：，均符合． 所以在利润相同的情况下，售价越低销量越高，越有利于尽快清空库存，故舍去售价较高的46元. 答：该玩偶的售价为44元． （3）解：略． 【变式2-3】请完成“问题解决”中的任务1和任务2． “广西桂林三日游”调研分析 背景 10月份报名参加“广西桂林三日游”的人数为1000人，到12月份报名的人数将达到1440人． 素材1 该旅行社提供的“广西桂林三日游”旅行活动的初步方案为20人组团，每人的团费为800元． 素材2 经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不能低于600元． 问题解决： (1)任务1：求10月份至12月份“广西桂林三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率； (2)任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为24000元，求降低团费后每人的团费． 【答案】(1)10月份至12月份报名人数的月平均增长率为； (2)降低团费后每人的团费为元. 【分析】 【详解】（1）解：设10月份至12月份报名人数的月平均增长率为． 由题意得方程：， 两边同除以1000：， 解得或（增长率不能为负，舍去）， 月平均增长率为． （2）解：设每人团费降低元（为正整数）， 则降低后单人团费：，每组报名人数：． 由总团费元列方程： ， 解得：，． 根据限制条件每人团费不能低于600元检验： ①当时，单人团费元，符合要求； ②当时，单人团费元，，不符合要求，舍去． 降低团费后每人的团费为600元． 题型三、一元二次方程应用——图形相关问题 题型模版 1.特征：依托矩形、正方形等几何图形，涉及面积、边长，常包含道路、边框、裁剪拼接等情境，求线段长度。容易在平移转化图形时，错误计算长与宽的剩余长度。 2.方法：利用图形面积、周长公式，通过平移法简化图形，找出等量关系列一元二次方程。求解后检验边长必须为正数，剔除不符合几何实际意义的根。 【例5】某农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设平行于墙的一边的长为． (1)如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边、、由篱笆围成，当菜地的面积为时，求x的值； (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一节篱笆构成，另三边、、由篱笆围成，当菜地面积为时，求x的值． 【答案】(1)6 (2)12 【分析】 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴x的值为6； （2）解：根据题意得， 整理得， 解得（不合题意，舍去），， 答：x的值为12． 【例6】现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分别为，的正方形，C类纸片是长、宽分别为，的矩形纸片． (1)若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求的值； (2)若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图； ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长． 【答案】(1) (2)①拼图如下： ② 【分析】 【详解】（1）解：由题意可得：，则， ∵， ∴，则； （2）①略 ②由题意可知：， 整理，得， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， ∴大长方形的长为：． 【变式3-1】如图，在由数字0和1组成的无限数阵中，每行中相邻两个数字的间距为，每列中相邻两个数字的间距也为．每过1秒，与数字1的间距为的数字将变为1．图①是初始状态（由一个1和无数个0组成），1秒后变为图②状态，2秒后变为图③状态，若秒后得到的图中数字之和为1861，则的值是______． 【答案】 【详解】解：观察图形可知： 图①（秒）中数字的个数为，数字之和为； 图②（秒）中数字的个数为，数字之和为； 图③（秒）中数字的个数为，数字之和为； 由此发现，每过秒，增加的数字的个数比上一秒多个， 第秒增加个，第秒增加个，，第秒增加个， 则秒后数字的总个数为： ， 根据题意，得：， 整理得：， 即：， 解得：(舍去)， ∵数字不断增加， ． 【变式3-2】如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 【答案】(1)长增加了，宽增加了 (2) 【分析】 【详解】（1）解：设，由得， 扩建后矩形的长为，宽为， 根据总面积列方程：，整理得：， 解得：，（长度不能为负，舍去）， 因此，， 即长增加了，宽增加了； （2）解：由（1）得，扩建后矩形的长为，宽为， 将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度， 因此试验园地面积为：． 【变式3-3】观察下列由小黑点组成的图形： 图1中矩形框内小黑点个数为4，小黑点总数为， 图2中矩形框内小黑点个数为6，小黑点总数为， 图3中矩形框内小黑点个数为8，小黑点总数为， 照此规律，解答下列问题： (1)图4中矩形框内小黑点个数为________，小黑点总数为________； (2)当小黑点总数为132个时，矩形框内小黑点个数是多少？ 【答案】(1)10，30； (2)22． 【分析】 【详解】（1）解：图4中矩形框内小黑点个数为10，小黑点总数为30； （2）解：照此规律，图中矩形框内小黑点个数为， 小黑点总数为， 当时， 整理得， 解得（负值舍去）， 当时，， 即矩形框内小黑点个数是22． 题型四、一元二次方程应用——图表信息实际问题 题型模版 1.特征：以表格、图像呈现数据，包含价格、数量、费用等多组信息，需要自主提取条件建立方程。难点在于读懂图表，容易看错行列数据，遗漏限制条件。 2.方法：仔细读取图表中的已知量，筛选有效信息，分析变量之间的等量关系，设未知数列一元二次方程。求出根后代回图表验证，判断解是否匹配表格数据范围。 【例7】某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 【答案】 【详解】解：依题意，得， 整理，得， 解得，． 月份用电，且缴电费10元， ， ． 【例8】为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【答案】（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【分析】 【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨， 1．6×140＝224＜264， 所以需加收:(元)， 即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40， 又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标 故答案为a＝100； （2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x； 当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100． 即y 用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）． 答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键． 【变式4-1】根据绍兴市某风景区的旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？ 【答案】A公司参加这次旅游的员工有40人． 【详解】设参加这次旅游的员工有x人， ∵30×80=2400<2800，∴x>30． 根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70． 当x=40时，80-（x-30）=70>55， 当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去． 答：A公司参加这次旅游的员工有40人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式4-2】近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 【答案】（1）10+40a-5a2元； （2）3吨； （3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林． 【详解】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元； （2）由题意得：5a（7-a）+10=70， 解得：a=3或a=4 5a（5-a）+10=40 解得：a=3或a=2， 综上，规定用水量为3吨； （3）略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 【变式4-3】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (3)求8月份该户居民应交电费多少元? 【答案】(1)超过部分应交(元)；(2) ；(3) 8月份该户居民交电费元． 【详解】解：(1)超过部分应交(元)； (2)由9月份交电费元，该户9月份用电量已超过规定的，所以9月份超过部分应交电费，即，解得，，由10月份的交电费元看，该户10月份的用电量没有超过，所以．所以． (3)当时，超过部分应交元，所以8月份该户居民交电费元． 【点睛】本题考查了学生对一元二次方程在实际生活中的应用，掌握根据题意列方程是解决此题的关键. 题型五、一元二次方程应用——分式方程转化类实际问题 题型模版 1.特征：实际问题先列出分式方程，去分母后转化为一元二次方程求解。这类题型容易忘记分式方程的检验步骤，忽略分母不能为零的限制条件。 2.方法：先根据题意列出分式方程，去分母化为一元二次方程，解整式方程。双重检验：既要检验根使分母不为0，又要保证解符合题目的实际情境。 【例9】暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱．已知某电影院，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元，用525元购买《奥德赛》电影票数量与用450元购买《牛来》电影票数量一样多． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额要达到1820元，单价应降低多少元？ 【答案】(1)《牛来》电影票单价为30元，《奥德赛》电影票单价为35元 (2)单价应降低4元 【分析】 【详解】（1）解：设《牛来》电影票的单价为元，则《奥德赛》电影票的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解， ∴（元）． 答：《牛来》电影票单价为30元，《奥德赛》电影票单价为35元． （2）解：设单价应降低元， 由题意得，， 解得，， ∵销售单价不得低于20元， ∴， 解得， ∴， ∴． 答：单价应降低4元． 【例10】某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3200元，售价每套40元，服装厂向25名家庭贫困学生免费提供．经核算，这25套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服生产了多少套？ 【答案】这批演出服生产了100套 【详解】解：设这批演出服生产了x套，由题意得： ，即， 解得：， 经检验：都是方程的根，但负数不符合题意，舍去， ∴原方程的解为， 答：这批演出服生产了100套． 【变式5-1】甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米， 根据题意得：， 去分母得： ， 即， 解得：或（舍去）， 经检验分式方程的解，且符合题意， ， 则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系布列分式方程是解题的关键． 【变式5-2】立足科教兴国发展战略，助力青少年机器人大赛筹备工作，某科创工坊加工甲、乙两款智能巡线小车配件．已知单件甲型小车耗材成本比乙型多元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同． (1)分别求出甲、乙两款小车单件耗材成本是多少元？ (2)工坊原定计划安排生产甲型小车台，乙型台．为适配赛事升级要求，提升成品性能，工坊优化了生产工艺．甲型小车精简内部线路，单件成本下降元，制作数量增加台；乙型小车加装避障感应配件，单件成本增加元，制作数量减少台，这样全部耗材总费用为元，求的值． 【答案】(1)甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元． (2)的值为． 【分析】 【详解】（1）解：设乙型小车耗材成本元，根据题意可知甲型小车耗材成本为元， 由题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元． （2）解：由（1）知甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元 由题意得，新的成本为：甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元 整理得： 解得：，（不符合题意，舍去） 答：的值为． 【变式5-3】某商店用元购买一批新款书包进行销售． (1)当该款书包每个的进价降低元后，商店又用元购买了相同数量的书包，该书包原来每个的进价是多少元？ (2)根据（1）中的进价，把每个书包按元的定价销售，平均每天可售出个．调查发现，若每个书包每降价元，销量就增加个．若该商店希望每天的销售利润为元，但又能让顾客得到实惠，则每个书包的定价应为多少元？ 【答案】(1) 该书包原来每个的进价是元 (2) 每个书包的定价应为元 【分析】 【详解】（1） 解：设该书包原来每个的进价是元， 根据题意，可得， 解得， 检验：当时，，因此是原方程的解， 答：该书包原来每个的进价是20元； （2）解：设每个书包降价元， 由（1）可知每个书包进价为20元，此时单个书包利润为元，销售量为个， 根据题意得 ， 解得：，， 因为需要让顾客得到实惠，因此选择更大的降价幅度，即，此时定价为（元）， 答：每个书包的定价应为30元． 题型六、一元二次方程应用——动态几何问题 题型模版 1.特征：几何图形上的点随时间运动，结合速度、线段长度，求运动时间，常以面积、线段长作为等量关系。动点运动方向、线段表达式容易写错，属于压轴题型。 2.方法：用含时间的代数式表示动点移动后的线段长度，结合图形面积或勾股定理列一元二次方程。求解后检验时间为正数，舍去超出运动范围的无效解。 【例11】如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 【答案】或． 【详解】解：设运动时间为， ， 当为以为底边的等腰三角形时，即， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得：； 当为以为底边的等腰三角形时，即 ∴即 解得：或（舍去） ∴或． 【例12】如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【答案】1或5 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 【变式6-1】如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)的值为2或8秒 (3)的面积不能达到，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，， ∴， 整理，得， 解得． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意；∴ ∴的值为2或8秒． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，， 令， 整理，得， ∵， ∴无实数根， ∴的面积不能达到． 【变式6-2】综合与探究 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时， (3)当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 【分析】 【详解】（1）解：，，点从，速度为，点从，速度为，设运动时间为， ∴点从的时间为，点从的时间为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，，且， ∴，整理得，， 解得，（舍去），， ∴当时，； （3）解：存在，理由如下， 已知，， ∴， ∵五边形的面积为矩形面积的， ∴，则， ∴， 整理得，， 解得或， ∴当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 【变式6-3】如图，在直角中，，cm，cm．点P从点A出发，沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿向点C以的速度移动，设运动时间为t（秒）． (1)用t的代数式表示：_______，_______． (2)线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) 不能，理由如下： 设经过t秒，线段能将分成面积相等的两部分，即是 面积的一半， 由题意知：， ， ∵， ∴此方程无解， ∴线段不能将 分成面积相等的两部分． 【分析】 【详解】（1）解：由题意知：，，则， 故答案为：，； （2）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．甲、乙两人同时从地出发，骑自行车去地，已知甲比乙每小时多走千米，结果比乙早到小时，若两地相距千米，则乙每小时_______千米． 【答案】 【详解】设乙每小时走千米，则甲每小时走千米， 根据题意得：， 解得或（舍去）， 经检验是原方程的解； 故答案为12． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解一元二次方程，根据题意列出方程是解题的关键． 2．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【答案】16 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 3．如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点移动到点处停止，点也随之停止运动．当四边形的面积为时，点运动的时间是（     ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】解：设动点，运动时，则，， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， 当时，，不合题意， ， 动点，运动2s时，四边形的面积为． 4．如图所示，在中，，，，点以的速度从点开始沿边向点移动，点以的速度从点开始沿边向点移动，且点，分别从点，同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使，两点之间的距离等于，则需要经过___________． 【答案】/ 【分析】 【详解】解：设经过，、之间的距离等于， 由已知可得： ，， ， ， ， 解得：， (不合题意，舍去)， ∴需要经过秒，，两点之间的距离等于． 故答案为． 5．如图1所示的是一张面积为的长方形薄纸板，纸板的四角上是边长相等的正方形．如果按图1中的实线剪开，虚线折叠，恰好将其折叠成一个长为、宽为的长方体文件盒，如图2所示，那么这个文件盒的厚度为多少厘米？ 【答案】 【详解】解：设这个文件盒的厚度为，依题意，得 ， 整理，得， 解得， 不合题意，应舍去． 答：这个文件盒的厚度为． 6．某福州文创网店售卖2026闽超联赛吉祥物福小龙纪念手办．进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于30元，日销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）之间满足一次函数的关系．销售期间获得部分数据如下表： 销售单价x/元 40 41 42 43 44 45 日销售量y/个 500 490 480 470 460 450 (1)请求出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8000元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为，的取值范围是 (2)当销售单价为50元时，每日销售利润为8000元． 【分析】 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴y与x的函数关系式为， 由题意可得， 解得， 综上所述，y与x的函数关系式为，的取值范围是； （2）解：由题意可得， 解得，， ∵， ∴， ∴当销售单价为50元时，每日销售利润为8000元． 7．每年的农历五月初五是端午节，有吃粽子（古称“角黍”）等习俗．某食品店零售单颗粽子．已知一个三角粽比一个牛角粽贵元，小杭曾在此食品店花元购买牛角粽的个数比花元购买三角粽的个数多个．现该食品店牛角粽已售完，食品店决定对剩余的三角粽打折出售．已知按原价出售，每天售出个三角粽，每降价元，每天多售出个． (1)求牛角粽的单价； (2)求现该食品店一天售出三角粽的数量（用含的代数式表示）； (3)若现该食品店一天实际销售额为元，求． 【答案】(1)5元 (2)个 (3)5或 【分析】 【详解】（1）解：设购买一个牛角粽需元，则购买一个三角粽需元， 由题意得， 解得（舍去），， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：购买一个牛角粽需元． （2）解：打折时，每个三角粽售价为元， 降价量为元， 多售出个， 总共售出个． （3）解：由（2）可列方程， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：或． 8．一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】(1)这三天票房的平均增长率为； (2)扛标旗单价上涨了2元或5元． 【分析】 【详解】（1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． （2）解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 9．已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1) 解： 21与48是“幸福数对”． 理由： ，． ． 与48是“幸福数对”． (2)42和36 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：由题意，各数位上的数字均为0到9的整数，且十位数字不为0， 这两个两位数，分别为，． 将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新两位数为，． 这两个数为“幸福数对”， ． 化简，得． 解得 ，． 经检验，符合题意， ∴这两个两位数分别为42和36． 10．【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息： 素材1 该车间4月份生产该零件100个，到6月份产量增加至144个，且每月增长率相同． 素材2 该零件的生产成本为每个30元．市场调研发现：当售价定为每个40元时，每月可销售600个；若售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． 【任务驱动】 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000元．同时，为了让更多消费者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)该零件的实际售价应定为每个元 【分析】 【详解】（1）解：设该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（增长率为负不符合实际，舍去） 答：月平均增长率为． （2）解：设该零件的实际售价应定为每个元，则单个利润为元，售价上涨了元， 因此月销售量为个， 由月销售利润为元， 列方程得：， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵要求价格尽可能实惠，需选取较小的售价， ∴， 答：该零件的实际售价应定为每个(元)． 11．为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求．已知米，米．设米． (1)当种花的面积为440平方米时，求的值； (2)种花的面积能否达到520平方米？请说明理由； (3)设种花的面积为平方米，当的值有且只有一个时，试求出的取值范围． 【答案】(1)22或10 (2)种花的面积不能达到520平方米． 理由：根据题意，得， 整理，得． ， 此方程无实数根， 种花的面积不能达到520平方米． (3)或 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，得， 整理，得， 即， 解得，． 的值为22或10； （2）略 （3）解：根据题意，得， 整理，得． ①的值有且只有一个， ， 即，解得； ②若方程有两个不相等的实数根，，， 则， ， 解方程，得，． 的值有且只有一个， ， ． 综上，或． 12．已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当P、Q两点中有一点到达终点，则停止运动． (1)_______秒后，的长度等于； (2)几秒后，四边形的面积等于？ (3)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)1秒后，四边形的面积等于 (3) 解：不存在；理由如下： 设t秒后，以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q，由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数解， 不存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q． 【分析】 【详解】（1）解：设t秒后，的长度等于，由题意得：，则有，， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：（负根舍去）， 故答案为3； （2）解：设t秒后，四边形的面积等于，由题意得：， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后，四边形的面积等于． （3）略 13．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确， 假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； (2)①；②过重 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $