第二章：有理数的运算 单元巩固练习-2026-2027学年人教版七年级数学上册

第二章：有理数的运算 单元巩固练习 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列各对数中，数值相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 3．中国人很早就开始使用负数，著名的中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．如图①表示的是计算的过程，按照这种方法，图②表示的计算过程是（     ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上，两点之间的距离为个单位长度，，两点之间的距离为个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到，，三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．嘉淇做了一个如图所示的程序图，如输入时，因为，所以；输入时，，所以将作为再次进行判断和计算．若嘉淇某次输入有理数后，输出的结果为，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 6．数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为2，则点A表示的数是（    ） A．7 B．7或 C．5或 D．7或3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．2026年3月27日江西省统计局发布，江西省2025年全年出生人口为万人，将万用科学记数法可表示为________． 8．某加密程序预先约定：把26个英文字母按顺序与正整数1至26一一对应，即第几个字母就对应几（对应数字1，对应数字2，…，对应数字10，…，对应数字20，…，对应数字26）．加密时把单词中每个字母对应的数字按“偶数记为正、奇数记为负”做变换，再把变换得到的各个数相加，所得的和叫做该单词的“密值”．例如单词“”中，对应数字3，变换后记为，对应数字1，变换后记为-1，密值为．单词“”的密值为________． 9．琪琪和辰辰玩抽卡片游戏，如图，两人原来手中各有4张卡片，并且都不知道对方手中卡片上的数．游戏规则是：将卡片上带“”的记为正分，如“3”记为分，将带“”的记为负分，如“5”记为分．现在两人各自从对方手中任意抽取一张卡片，然后与手中剩余的卡片计算总分，得分高的人获胜．如果琪琪从辰辰手中抽到“5”，辰辰从琪琪手中抽到“3”，分别计算此时两人的得分，__________获胜． 10．小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 如图，在数轴上，两个有理数从左到右依次是，b，折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与7表示的点重合，数b表示的点与数表示的点重合，则_________． 11．在一条可以折叠的数轴上，点，表示的数分别是，7，点在线段上，沿点将数轴向右折叠，使点落在点的左侧点处，且，则点表示的数是________． 12．二维码（如图①）在日常生活中应用越来越广泛，它巧妙利用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色小正方形代表1，白色小正方形代表0）．某校利用二维码设立了一个学生身份识别系统，图②是某个学生的二维码简易编码，其中第一行代表的二进制数是1000，转换成十进制数为：，代表该生为8年级学生．第二行转换成班级序号，第三行、第四行分别转换成该生班内学号的十位数字与个位数字，则该生的班内学号为__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．计算∶ (1) (2) 14．水位是水文最基本要素之一．通过观测水位，可掌握水位变化过程，为防洪、灌溉、航运、水资源开发利用等提供基础数据．一条河流初始水位记作0米，一周内水位变化如下（单位：米）： 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 周日水位比初始水位升高了还是降低了？变化了多少？ 15．古镇举办美食节，工作人员用数轴规划小吃摊位位置．如图，以古镇牌楼为原点，向东为正方向，米为个单位长度．三个小吃摊位的位置如下：特色糕点摊在处，烧烤小吃摊在处，糖水饮品摊在处． (1)三个小吃摊中，小吃摊_____离牌楼最近； (2)工作人员在糖水饮品摊整理完毕，要去特色糕点摊继续工作，需要向哪个方向走多少米？ 16．如图，数学课上，老师用A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并依据这四个圆设计了数学游戏．例如：若按的顺序运算，则可列算式． (1)直接写出算式的结果； (2)若嘉嘉同学选择了的顺序，请列出算式并计算该算式的结果． 17．智慧机器犬，也称为“四足机器人”或“仿生机器人”，是一种模仿犬类生物形态和运动方式的智能机器人．它是集成了人工智能、先进传感、仿生控制和5G通信等前沿技术的尖端装备，正在从实验室迅速走向各种实际应用场景．小明家所在的小区新来了一只智慧机器犬，它每天都会在小区的一条东西方向主干道上例行巡逻．规定充电桩位置为起点，充电桩以东为正方向，以西为负方向．某日该机器犬巡逻每次走的路程（单位：）记录如下：． (1)该机器犬当天巡逻结束后是否返回充电桩？请通过计算说明； (2)若机器犬每巡逻耗电千瓦时，请求出该机器犬当日巡逻耗电多少千瓦时？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．定义：对于任意两个不相等的有理数、，计算、．将这两个计算结果的最小值称为、的“关联差”．例如：对于1、，因为，，所以1、的“关联差”为． (1)求2、3的“关联差”； (2)试比较4、的“关联差”与、5的“关联差”的大小关系，并说明理由． 19．现有4张写着不同数字的卡片，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，则积的最大值是______；从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，则商的最小值是______； (2)从中取出2张卡片，使这两张卡片上的数字经过一次运算后得到的结果最大，你所选择的数字是______，结果的最大值是______； (3)用这4张卡片上的数字写出一个结果为24或的算式．（写出一个符合要求的即可） 20．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周每天的送餐情况，规定每天送餐量超过单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周每天的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐情况（单位：单） -3 +4 -5 +14 -8 +7 +12 (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送______________单； (2)求该外卖小哥这一周共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过单的部分，每单补贴元；超过单的部分，每单补贴元，求该外卖小哥这一周的工资总收入． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到了球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离是多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），对方球员挑射极可能造成破门，则在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？请简述理由． 22．综合与实践： 阅读材料：【材料1】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数：，记作：234（规定：当时，） 七进制数：，记作：； 二进制数：记作：． 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 【材料2】把一个十进制数转化为与其相等的二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上逆序排列，就是结果．同样的将十进制数化为与其相等的七进制数，可用“除以7取余数”的方法，再将余数从下向上逆序排列即可．如图： 【材料3】二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法：，，，； 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 解决问题： (1)若三进制数，四进制数，试比较a与b的大小关系并说明理由； (2)①将十进制数47转化成二进制数的值为 ； ②进位制数的加减法运算： ．（结果仍用二进制） 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23．如图，长方形透明纸上画有一条数轴，已知圆的周长为， 【操作感知】 (1)将圆上一点与数轴上的原点对齐，把该圆沿数轴正方向滚动周，此时点落到数轴上的点记为；再将圆复位，使点重新与原点对齐，并使圆的直径竖直（在的正上方）：然后把圆沿数轴负方向滚动半周，点落到数轴上的点记为． ①将这张画有数轴的透明纸折叠，使数轴上的点与点重合，则折痕处对应的点在数轴上所表示的数是______；此时数轴上表示数的点与表示数______的点重合； ②若数轴上另有两点、（在的左侧），它们之间的距离为，经过①中的折叠后、重合，则点表示的数为______． 【建立模型】 (2)折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数的点与表示数的点重合，则折痕处对应的点在数轴上所表示的数为______（用含，的式子表示）． 【问题解决】 (3)若为数轴上不同的三点，点表示的数为，点表示的数为，如果三点中恰有一点到其余两点的距离相等．求点表示的数； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 第二章：有理数的运算 单元巩固练习（答案及解析） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D B A C D 1．C 【分析】注意带负号的乘方运算中括号对运算顺序的影响，计算各选项的两个数值进行比较． 【详解】解：A选项：，，两数不相等． B选项：，，两数不相等． C选项：，，两数相等． D选项：，，两数不相等． 2．D 【分析】根据数轴确定a，b的取值范围，进行比较大小即可． 【详解】解：由数轴可知 ， ，，故D正确，符合题意； ，，故B，C错误，不符合题意； ∵， ，故A错误，不符合题意． 3．B 【分析】根据图1可知，1条虚线代表负1，1条实线代表正1，据此即可得到答案． 【详解】解：由图1可得，1条虚线代表，1条实线代表， ∴图2表示为，． 4．A 【分析】分两段讨论动点的位置，把三点距离之和转化为含的式子，结合取值范围确定距离和的最大与最小值，再计算． 【详解】解：当点在上，即， ， 由，可知； 当点在上，即， ， 由，可知， 则，， 故． 5．C 【分析】计算得出直接输出的输入值必须是，结合程序流程图，逐项分析即可得出结果． 【详解】解：当时，， 解得， 故直接输出的输入值必须是， A、当时，由可得，输出的的值为，故不符合题意； B、当时，，则，输出的的值为，故不符合题意； C、当时，，则，输出的的值为，故符合题意； D、当时，，则，输出的的值为，故不符合题意． 6．D 【详解】解：∵点到原点的距离为， ∴点表示的数为或， ∵点向左移动个单位后到达点， ∴点表示的数比点表示的数大， 当点表示时，点表示， 当点表示时，点表示． 7． 【分析】先将带单位“万”的数改写为普通整数，再根据科学记数法的要求确定和的值，科学记数法形式为，满足，为整数． 【详解】解：万． 8． 【分析】先确定单词中每个字母对应的数字，按照变换规则确定每个数变换后的符号，再相加得到密值． 【详解】解：按规则逐个处理每个字母： 是第个字母，对应数字，为偶数，变换后记为； 是第个字母，对应数字，为奇数，变换后记为； 是第个字母，对应数字，为偶数，变换后记为； 最后一个对应数字，为奇数，变换后记为； 计算密值：， 因此单词的密值为． 9． 琪琪分，辰辰分，辰辰 【分析】根据题意确定每张卡片代表的有理数，明确交换卡片后两人手中各自剩余的卡片数值，利用有理数加法法则分别计算总分，最后比较大小即可得出获胜者． 【详解】解：由题意可知，带“”的卡片记为正数，带“”的卡片记为负数， 琪琪原有的张卡片数值分别为：，，，， 辰辰原有的张卡片数值分别为：，，，， 因为琪琪从辰辰手中抽到“5”（即），辰辰从琪琪手中抽到“3”（即）， 所以琪琪手中剩余的卡片数值为：，，，以及新抽到的， 琪琪的总分为： ， 辰辰手中剩余的卡片数值为：，，，以及新抽到的， 辰辰的总分为： ， 因为， 所以辰辰获胜． 10． 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征进行计算即可． 【详解】解：折叠后表示的点与7表示的点重合， 折叠点表示的数为， 数b表示的点与数表示的点重合， ， ． 11． 【分析】先求出点表示的数为，然后根据点在线段上，沿点将数轴向右折叠，使点落在点的左侧点处，得出点C为的中点，最后求出点C表示的数即可． 【详解】解：∵表示的数为7，点落在点的左侧点处，且， ∴点表示的数为， ∵点在线段上，沿点将数轴向右折叠，使点落在点的左侧点处， ∴点C为的中点， ∵点表示的数是， ∴点表示的数是． 12． 【分析】根据题意明确黑色代表、白色代表，分别读取第三行和第四行的二进制编码，按照题目给出的规律（从左到右依次为）转换为十进制数，分别得到学号的十位和个位数字． 【详解】解：观察图②可知： 第三行的颜色排列为：白、白、黑、白，对应的二进制数为． 转换成十进制数为：． 即该生班内学号的十位数字为． 第四行的颜色排列为：白、黑、黑、白，对应的二进制数为． 转换成十进制数为：． 即该生班内学号的个位数字为． 故该生的班内学号为． 13．(1) (2)7 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 14．周日水位比初始水位升高了，变化了米． 【分析】将一周内每日的水位变化量求和，根据和的正负判断水位升降，和的绝对值为水位变化量． 【详解】解：初始水位为米，计算一周水位变化总量为 (米) ∵计算结果为正数 ∴周日水位比初始水位升高，变化量为米 答：周日水位比初始水位升高了，变化了米． 15．(1) (2)需要向西走米． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，以及绝对值的意义，掌握这些知识并能灵活应用是解题的关键． （1）比较各点对应数的绝对值，得到各点到原点的距离，即可得到结果； （2）根据数轴正方向确定行走方向，计算两点的单位长度差，换算得到实际距离． 【详解】（1）解：由题得， ∴， ∴小吃摊离牌楼最近； （2）解：, 答：需要向西走米． 16．(1)102 (2)， 【分析】（1）先计算括号，然后进行乘方运算即可； （2）根据题意列式，计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意列出算式为， 原式． 17．(1)该机器犬当天巡逻结束后返回充电桩； (2)该机器犬当日巡逻耗电千瓦时． 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加并计算即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解： 答：该机器犬当天巡逻结束后返回充电桩． （2）解： （千瓦时） 答：该机器犬当日巡逻耗电千瓦时． 18．(1) (2)解：4、的“关联差”大于、5的“关联差”． 理由： 对于4和， ∵，， ∴两个数的最小值为，即4、的“关联差”为． 对于和5， ∵，， ∴两个数的最小值为，即、5的“关联差”为． ， 4、的“关联差”大于、5的“关联差”． 【分析】（1）按“关联差”定义计算两个对应式子的值，取最小值即可得到结果． （2）分别计算两组数的“关联差”，再比较两个差值的大小． 【详解】（1）解：，， ， 2、3的“关联差”为． （2）略． 19．(1)    (2)和    (3) 【分析】（1）积最大，两因数需同号；商最小，除数和被除数需异号； （2）要使经过一次运算后得到的结果最大，应选择乘方运算结果会最大； （3）用4张卡片上的数字写出一个结果为24的算式，且每张卡片上的数字只能用一次，可以考虑，卡片中只有，应凑出一个即可． 【详解】（1）解：从中取出2张卡片，要使这2张卡片上数字的积最大，应选择卡片和卡片，最大值为；要使这2张卡片上数字的商最小，应选择卡片和卡片，则商的最小值是． （2）从中取出2张卡片，使这两张卡片上的数字经过一次运算后得到的结果最大，应选择卡片和卡片，； （3）用这4张卡片上的数字写出一个结果为24或的算式：． 20．(1) (2) 该外卖小哥这一周共送餐单． (3) 该外卖小哥这一周的工资总收入为元． 【分析】（1）将一周的送餐量比较大小，周四最多，周五最少，用周四的送餐量减去周五的送餐量即可求解； （2）由一周的规定送餐量单加上超过或不足部分数据求解即可； （3）先求出表格内超出规定送餐量（正数）的总和，计算补贴元的部分，再用（2）问的总送餐量减去前面算出的正数和，计算补贴元的部分，再算一周底薪，每天的工资由底薪加上送餐部分的补贴求和即可． 【详解】（1）解：∵， ∴周四最多，周五最少， (单) 即该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送单． （2） 即该外卖小哥这一周共送餐单． （3）补贴元的部分：， 补贴元的部分：， 一周总收入： 即该外卖小哥这一周的工资总收入为元． 【点睛】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算是解本题的关键． 21．(1) 守门员最后回到了球门线上 (2) (3) 解：次，理由如下： 由每次跑动后的位置计算可知，守门员离开球门线的距离大于（不包括）的情况有、、、，共次， ∴对方球员有次挑射破门的机会． 【分析】（1）计算所有跑动记录的代数和，由和是否为0判断是否回到球门线; （2）依次计算每次跑动后的位置，比较位置绝对值的大小得到最远距离; （3）统计每次跑动后离开球门线距离大于的次数． 【详解】（1）解：计算所有跑动数据的代数和：， ∵开始计时时守门员在球门线上，最终位置的代数和为， ∴守门员最后回到了球门线上． （2）解：依次计算每次跑动后守门员的位置（以球门线为基准，单位：）： 第1次后：，距离球门线； 第2次后：，距离球门线； 第3次后：，距离球门线； 第4次后：，距离球门线； 第5次后：，距离球门线； 第6次后：，距离球门线； 第7次后：，距离球门线； 第8次后：，距离球门线； ∵， ∴守门员离开球门线的最远距离为． （3）解：略． 22．(1)，理由如下： 由题意得， ， ， ∴， ∴； (2)①；② 【分析】（1）仿照材料，把3进制和4进制数字转化为十进制数，再比较大小，即可得到结果； （2）①仿照材料，把十进制转化为2进制，即可得到结果； ②对2进制数进行加减运算，即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：①由题意得，； ②根据二进制的加法法则可得：． 23．(1)①，；②； (2) (3)，或 【分析】（1）①根据圆滚动一周的移动距离为圆的周长，滚动半周的移动距离为圆的周长的一半，右加左减，即可得到点与点表示的数，根据折痕是线段的中点，运用中点公式计算即可得到答案； ②根据折叠后重合，两点到点的位置距离相等，即距离为，继而得到点表示的数． （2）根据折痕处对应的点即是线段的中点，代入中点公式即可得到答案． （3）先计算线段，分种情况讨论：当是的中点时，当是的中点时，当是的中点时，分别计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①当圆沿数轴正方向滚动周时，点对应的数是， 当点重新与原点对齐，在的正上方时，圆沿数轴负方向滚动半周，滚动路程为， ∴对应的数是， 对折后点与点重合， ∴折痕是线段的中点，对应点为：； ∵所求点与重合，中点是， ∴，该点与的距离也是，即； 故答案为：；； ②∵折叠后重合，，在的左侧， ∴两点到折痕处，即点的位置距离相等，距离为， ∴表示的数为：； 故答案为：； （2）解：∵数轴上表示数的点与表示数的点重合， ∴折痕处对应的点即是线段的中点，即； 故答案为：； （3）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵恰有一点到另外两点距离相等， ∴分种情况讨论： 情况一：当是的中点时，，点表示的数为：， 情况二：当是的中点时，，点表示的数为：， 情况三：当是的中点时，，点表示的数为：， ∴点表示的数为：，或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $