13.2 第3课时　三角形内角和定理的证明及其推论1，2（课件）--2026-2027学年沪科版数学八年级上册

# 沪科版八年级上册 13.2 第3课时 三角形内角和定理的证明及其推论1，2专项练习 （满分100分，时间40分钟） ## 一、选择题（每题5分，共30分） 1. 在△ABC中，∠A=45°，∠B=55°，则∠C的度数是（） A.70° B.80° C.90° D.100° 2. 三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是（） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 3. 如图，△ABC中，点D在BC延长线上，若∠A=38°，∠B=52°，则∠ACD的度数为（） A.80° B.90° C.100° D.110° 4. 下列说法错误的是（） A.三角形内角和等于180° B.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 C.三角形的一个外角大于任意一个内角 D.三角形的外角和为360° 5. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，则△ABC是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 6. 已知△ABC，D是BC延长线上一点，∠ACD=120°，∠B=50°，则∠A的度数为（） A.50° B.60° C.70° D.80° ## 二、填空题（每题5分，共30分） 7. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于________。 推论1：直角三角形的两个锐角________； 推论2：三角形的一个外角等于________________________。 8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=37°，则∠B=________°。 9. 在△ABC中，∠ACD是外角，∠A=40°，∠B=45°，则∠ACD=______°。 10. 三角形的一个外角大于________________________。 11. 在△ABC中，∠A=50°，∠B的外角等于120°，则∠C=________°。 12. 一个三角形中，最多有______个直角，最多有______个钝角。 ## 三、解答题（共40分） 13.（12分）已知：△ABC。求证：∠A+∠B+∠ACB=180°。（要求：作辅助线，写出完整证明过程） 14.（14分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A=40°，∠B=60°。 （1）求∠ACB的度数； （2）求∠ACD的度数。 15.（14分）如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F。∠A=60°，∠ABE=20°，∠ACD=30°。 （1）求∠BDC的度数； （2）求∠BFC的度数。 --- # 参考答案与解析 ## 一、选择题 1.B 解析：∠C=180°−45°−55°=80° 2.C 解析：外角与相邻内角互补且相等，两个角都是90°。 3.B 解析：外角∠ACD=∠A+∠B=38°+52°=90° 4.C 解析：外角大于任意一个**不相邻**的内角，外角不一定大于相邻内角。 5.A 解析：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，9x=180°，x=20°，三个角40°、60°、80°，锐角三角形。 6.C 解析：∠ACD=∠A+∠B，∠A=120°−50°=70° ## 二、填空题 7.$180^\circ$；互余；与它不相邻的两个内角的和 8.53 9.85 10.与它不相邻的任意一个内角 11.70 12.1；1 ## 三、解答题 13.证明： 过点C作直线$CE\parallel AB$。 ∴$\angle A=\angle ACE$（两直线平行，内错角相等） $\angle B=\angle ECD$（两直线平行，同位角相等） ∵$\angle ACB+\angle ACE+\angle ECD=180^\circ$（平角定义） ∴$\angle A+\angle B+\angle ACB=180^\circ$（等量代换） 14.解： （1）$\angle ACB=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$ （2）∵CD⊥AB，∴∠ADC=90° $\angle ACD=180^\circ-90^\circ-\angle A=50^\circ$ 15.解： （1）∠BDC是△ADC的外角 $\angle BDC=\angle A+\angle ACD=60^\circ+30^\circ=90^\circ$ （2）∠BFC是△BDF的外角 $\angle BFC=\angle BDC+\angle ABE=90^\circ+20^\circ=110^\circ$ ### 核心知识点小结 1. 三角形内角和定理：三角形内角和$180^\circ$； 2. 推论1：直角三角形两锐角互余； 3. 推论2：三角形外角等于不相邻两内角之和；外角大于任一不相邻内角； 4. 证明思路：借助平行线，把三个内角转化成平角，完成内角和定理证明； 5. 解题技巧：看到外角优先用外角推论，简化计算。 下一节：**14.1 全等三角形**专项练习，需要吗？ 沪科版（新教材）数学八年级上册 13.2 第3课时　三角形内角和定理的证明及其推论1，2 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 02 复习旧知 回想一下证明的一般步骤是什么？ ①理解题意：分清命题的条件(已知)、结论(求证)； ②根据前边的分析，写出已知、求证，并画出图； ③分析因果关系，找出证明途径； ④有条理地写出证明过程. 02 创设情境 我们之前通过剪拼或者测量，认识到三角形内角和为180°，但是实际的操作中总是有一些误差，这节课，我们将给出严谨的证明过程，证明三角形内角和为180°.并得到直角三角形的内角关系. 03 新知探究 在证明命题时，要分清命题的条件和结论，如果问题与图形有关，首先画出图形，再结合图形，写出已知、求证. 命题：三角形的内角和等于180°. 已知：△ABC， 求证：∠A+∠B+∠C=180° 03 新知探究 证明:延长BC到D,过点C作CE∥AB, 如图13-2-7, ∴∠1=∠　　　　, (　　　　　　　　　　　 )  ∠2=∠　　　　,(　　　　　　　　　　　　)  ∵∠　　　　+∠　　　　+∠ACB=180°,(　　 　　)  ∴∠　　　　+∠　　　　+∠ACB=180°.(　　　 )  A 两直线平行,内错角相等 B 两直线平行,同位角相等 1 2 平角的定义 A B 等量代换 03 新知探究 思路总结：为了证明三个角的和为180°,将三个内角转化为一个平角,这种转化思想是数学中的常用方法. 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线. 在平面几何里，辅助线通常画成虚线. E 2 1 D A B C 辅助线 03 新知探究 直角三角形的两个锐角互余．　　 应用格式：在Rt△ABC 中， ∵　∠C =90°， ∴　∠A +∠B =90°．　 推论1：　　 A C B 像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论．　　 在三角形中一个角是90°，根据三角形内角和定理，另外两个角的和应为90°.　　 03 新知探究 在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数.由此你能得到什么结论？ 解：在△ABC中， 根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°， 又∠A+∠B=90°， ∴ ∠C =180°–(∠A+∠B)=180°–90°=90°. 推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 应用格式：在△ABC 中， ∵∠A +∠B =90°， ∴△ABC 是直角三角形°．　 A C B 03 新知探究 4 2 C B A 1 3 证明:D是BC边上一点，过点D作DE∥AB，DF ∥ AC，分别交AC，AB于点E，F. ∴∠A=∠4 ，∠B=∠3 ，( ) ∴∠2=∠A . ( ) ∵∠1＋∠ 2＋∠3 =180°，( ) ∴∠B＋∠ BAC＋∠C =180°. (等量代换) 平角定义 两直线平行，同位角相等 例、已知：△ABC. 求证：∠A＋∠B＋∠C =180°. ∵DE∥AB， DF∥AC， ∠C=∠1 . ( ) ∠2=∠4 . ( ) 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 等量代换 1. 阅读材料：为了证明“三角形的内角和是180°”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法，请回答下列问题： (1)图①②在证明三角形内角和定理的过程中应用的数学思想是(　　) A．转化思想 B．整体思想 C．方程思想 D．数形结合思想 1星题 基础练 A 举一反三 (2)请选用③或④证明三角形的内角和为180°. 解：(答案不唯一)选用④证明三角形的内角和为180°. 证明：∵CD∥AB， ∴∠B＋∠BCD＝180°，∠A＝∠ACD. 又∵∠BCD＝∠ACB＋∠ACD， ∴∠ACB＋∠A＋∠B＝180°， 即三角形的内角和为180°. 举一反三 2. 【思维生长】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B的大小为(　　) A．30° B．60° C．90° D．180° 向“转化思想”生长：将一个直角三角板和直尺按如图所示的方式放置．若∠1＝36°，则∠2的度数是(　　) A．36° B．54° C．56° D．64° C B 举一反三 向“实践应用”生长：如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC＝________°. 向“方程思想”生长：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B＋30°，则∠B＝________°. 向“分类讨论思想”生长：在直角三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶m∶3，则m＝__________． 20 20 2或4 举一反三 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于( 　) A.90° B.135° C.270° D.315° 2.在△ABC中,若∠A=40°,∠B=100°,则∠C的度数为 (　　) A.70° B.60° C.50° D.40° C D 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 3.如图,AD⊥BC,垂足为D,点E在AC上,且∠A=30°, ∠B=40°,则∠BFD的度数为　　　 ,∠C的度数为　 　　.  4.如图,∠1=　　　　°.  50° 60° 10 核心必知 1．定理：三角形的内角和等于________． 2．推论1：直角三角形的两锐角________． 3．推论2：有两个角______的三角形是直角三角形． 180° 互余 互余 举一反三 3．[知识初练]在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B 举一反三 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠BCD，则△BDC是________角三角形． 直 举一反三 5．[合肥月考]如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，DB平分∠ADC，AC和DB交于点E.求证：△ADE是直角三角形． 证明：∵AB∥CD，∴∠ADC＋∠BAD＝180°. ∵AC平分∠BAD，DB平分∠ADC， ∴∠DAE＝ ∠BAD，∠ADE＝ ∠ADC， ∴∠ADE＋∠DAE＝ ∠ADC＋ ∠BAD＝ (∠ADC＋∠BAD)＝90°，∴∠AED＝180°－(∠ADE＋∠DAE)＝90°， ∴△ADE是直角三角形． 举一反三 6．[合肥期末]有下列条件：①∠A＋∠C＝∠B；②∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠B＝ ∠C，其中能确定△ABC是直角三角形的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 2星题 中档练 举一反三 7.【跨学科·物理】[山西中考]一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为(　　) A．155° B．125° C．115° D．65° C 举一反三 8.【分类讨论思想】[淮北期末]在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝20°，点D在边AB上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为______________． 20°或70° 易错点睛：△ACD为直角三角形时，可能是∠ACD＝90°，也可能是∠ADC＝90°，此题易忽略分类讨论而致错． 举一反三 9. 【思维可视化】如图，在△ABC中，∠A＝20°，沿BE对折此三角形，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的点C′处，此时∠C′DB＝74°，如何求原三角形中∠C的度数？ 【思维过程】(1)问题转化：求∠C→找含∠C及其相关的角所在的三角形，利用内角和定理列方程． 举一反三 (2)条件分析：由对折可得∠1＝∠2＝∠______；由∠C′DB＝74°，可得∠CDB＝______°，∠ADB＝______°；再结合∠A＝20°，可在哪些三角形中列方程(组)呢？ (3)计算求值：∠C＝______°. 3 74 106 79 举一反三 10．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠B＝26°，∠C＝64°. (1)∠CAE的度数是________； 45° 举一反三 解：∵AD⊥BC，∴△ACD为直角三角形． ∵∠C＝64°，∴∠DAC＝90°－∠C＝26°. ∵∠CAE＝45°，∴∠DAF＝∠CAE－∠DAC＝19°. ∵∠ADF＝71°，∴∠ADF＋∠DAF＝90°， ∴∠AFD＝90°，∴△ADF是直角三角形． (2)若AD⊥BC于点D，∠ADF＝71°，试说明：△ADF是直角三角形． 举一反三 谢谢观看 THANKS $