精品解析：山西部分校2026-2027学年高一上学期9月月考数学试题

高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合且中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 无数个 2. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，且，则（ ） A. B. 或 C. 3 D. 4. “或为有理数”是“为有理数”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6. 集合或，，若，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有” 为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. A的真子集个数为7 C. D. 10. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 11. 定义集合与的运算：，．若，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，若集合，则___________． 13. 已知命题“，使得”是___________命题（填“真”或“假”）；若存在，使，则实数的取值范围是___________． 14. 已知，，，记，，若，则集合为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或，． （1）求，； （2），． 16. 已知命题；命题，方程有两个不相等的正实数根． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若，中一真一假，求实数的取值范围． 17. 已知集合． （1）若，求； （2）若___________，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，并解答相应问题．（如果选择多个条件分别作答，那么按第一个解答计分） ①；②“”是“”的充要条件；③． 18. 已知集合． （1）若集合中只有一个元素，求实数的值； （2）若，且，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 19. 定义：设非空数集，若，，，则称是一个“乘法封闭集”．已知集合． （1）证明：是一个“乘法封闭集”； （2）若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合且中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 无数个 【答案】B 【解析】 【详解】且，共个元素． 2. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为命题， 所以命题的否定：． 3. 已知集合，且，则（ ） A. B. 或 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据进行分类讨论，由此求得的值. 【详解】因为集合，且， 所以当时，，此时， 集合中的元素出现重复，故舍去； 当时，，解得（舍去）或． 若，则，符合题意．综上所述，. 4. “或为有理数”是“为有理数”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过举反例判断充分性及必要性不成立，从而可判断结果. 【详解】充分性： 举反例：取（有理数），（无理数），满足“或为有理数”，但是无理数，因此充分性不成立. 必要性：举反例：取，都是无理数，不满足“或为有理数”，但是有理数，因此必要性不成立. 因此“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件. 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，进而求得. 【详解】依题意，,， 所以. 6. 集合或，，若，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考虑，，，确定集合，再根据集合的包含关系计算得到答案. 【详解】①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：. 故选：A 7. 设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合， 集合， 当时，，； 当时，； 若，则； 若，则； 若，推不出. 所以是的充要条件； 是的必要不充分条件； 和都是的既不充分也不必要条件. 所以的一个必要不充分条件是. 8. 已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有” 为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过题意得到和集合不是集合的子集，列出不等式求解即可. 【详解】因为集合，集合， 命题“，使得”为真命题，所以． 又命题“，都有”为假命题，所以集合不是集合的子集． 当时，，解得，此时，不满足； 当时，因为，所以， 解得． 又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或． 结合，可得，即实数的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. A的真子集个数为7 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】， 由，，， 作出图，如图所示，    由图可知，，，故A错误，正确； 集合的真子集个数为个，故B正确； 因为，所以，错误. 故选：BC. 10. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】BCD 【解析】 【详解】令，. “”是“”的充分不必要条件， 真包含于， ，即． 结合选项知，的值可以是，，． 11. 定义集合与的运算：，．若，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，若集合，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得两个集合中的元素相同，故，解得， 所以. 13. 已知命题“，使得”是___________命题（填“真”或“假”）；若存在，使，则实数的取值范围是___________． 【答案】 ①. 假 ②. 【解析】 【详解】由题意可知，当时，，所以“，使得”是假命题． 因为存在，使，所以存在，使，所以． 所以实数的取值范围是． 14. 已知，，，记，，若，则集合为________. 【答案】或或 【解析】 【分析】由得到，进而得知与只能相差，由此求得. 【详解】因为，所以，，即，， 因为，所以由，，知与可能相差， 又因为，，所以与可能相差， 那么与只能相差，符合条件的集合可以为或或, 故答案为：或或 【点睛】思路点睛：解决集合新定义问题，要合理利用集合的性质，正确理解新定义，剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或，． （1）求，； （2），． 【答案】（1），或 （2）或， 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别利用集合的交集和并集运算即可求解； （2）根据题意，结合集合的交并补运算即可求解. 【小问1详解】 由题意得，， 因为或，， 所以，或. 【小问2详解】 因为或，所以， 因为，所以或， 则或，. 16. 已知命题；命题，方程有两个不相等的正实数根． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若，中一真一假，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可知是真命题，解不等式即可求解； （2）先求出是真命题时，实数的取值范围，再分为真命题且为假命题，为真命题且为假命题两种情况求解. 【小问1详解】 根据为假命题，可得是真命题. 所以，解得， 所以实数的取值范围； 【小问2详解】 若是真命题，设方程有两个不相等的正实数根，， 所以，，，解得， 若为真命题且为假命题，则， 解得或； 若为真命题且为假命题，则，此时无解； 综上，实数的取值范围是或． 17. 已知集合． （1）若，求； （2）若___________，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，并解答相应问题．（如果选择多个条件分别作答，那么按第一个解答计分） ①；②“”是“”的充要条件；③． 【答案】（1） （2）若选取①，的取值范围是；若选取②，的取值范围是；若选取③，的取值范围是或． 【解析】 【分析】（1）利用补集和交集的概念进行求解； （2）选①，可得，进而可得不等式，求出答案；选②，可得，求出答案；选③，可得不等式，求出答案 【小问1详解】 当时，， 则或． 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以． 若选取①，因为，所以， 所以，解得． 所以实数的取值范围是． 若选取②，由“”是“”的充要条件，可得． 所以，解得． 所以实数的取值范围是． 若选取③，因为， 所以或，解得或． 所以实数的取值范围是或． 18. 已知集合． （1）若集合中只有一个元素，求实数的值； （2）若，且，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）小问，二次方程有相等实根，求解； （2）小问，C可以含有B的一个元素，也可以是空集，进而求出的值； （3）小问，先推出A是B的子集，则A可以是空集，或者含有B的一个元素，或者含有B的两个元素，进而求解. 【小问1详解】 因为集合中只有一个元素，所以， 解得． 【小问2详解】 由题意，， 若，且，则， 当时，，满足题意； 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，或或． 【小问3详解】 因为，且，所以，可得， 当时，无实数根， 可得，解得； 当时，有两相等的实数根， 则此时无解，不符合题意； 当时，有两相等的实数根， 则此时无解，不符合题意； 当 时，有两个实根，， 则此时无解，不符合题意， 综上所述，实数的取值范围为． 19. 定义：设非空数集，若，，，则称是一个“乘法封闭集”．已知集合． （1）证明：是一个“乘法封闭集”； （2）若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合． 【答案】（1）证明：设，则， 所以． 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”． （2）或 【解析】 【分析】（1）结合新定义即可求证； （2）由题意得到中恰有2个元素，再结合新定义列出等式求解讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，中恰有2个元素，不妨设． 由“乘法封闭集”的定义可知，，，． 由，得或，即或，所以，或． 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去）， 此时，或． 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $