我们来看看重庆中考第十五题，自然数M与N均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为九，且M与N的乘积为三位数。第一问M加N的最小值是多少？第二问当M大于N时存在正整数K使得K的平方等于M的平方减N的平方。那么满足条件的所有K的值之和是多少？先做第一问，求M加N的最小值题目，一个具体的数都没给，只说了数位的关系条件都在数位上，就先把数位设成字母，比如37就是三个十，再加70位是A个位是B的数就是10。A加B两个数的个位加起来是9，N的个位就是9，减BN的十位也是A所以N等于10。A加上9减B要求加N就先把M和N加起来，加号后面的B和减号后面的B正好抵消，所以M加N就等于20。A加九里面没有B了，何止跟A有关，A越小何就越小。那A最小能取几要看题目的条件怎么限制。A还有一个条件没用过，乘积是三位数，它说的是乘积，那就把M乘N也表示出来，把9减B看成一整块，前面括号的两项分别去乘后面两项。10A乘10A是100A方，10A乘9减B是90A减10ABB乘10A是正10AB和-10AB正好抵消，乘积就是100A方加90A再加B乘括号9减B前两项只跟A有关，最后这一小块跟B有关。B和9减B加起来是9，积最小是0。比如0乘9 2个数越接近积越大，最大是4乘5等于20，所以最后这一小块只在0到20之间。A一定下来，前两项就是一个具体的数，再加上0到20就知道成绩大概有多大。十位不能是零，A最小取1，100加90是190，再加0到20，成绩在190到210之间是三位数。H2，400加180是580，再加0到20，成绩在580到600之间，还是三位数。H3，900加270是1170，成绩至少1170，已经是四位数了。A再大成绩只会更大都不行，所以十位数字A只能是一或2，记住这个结论。第二问还要用它回到第一问，M加N等于20，A加9，A越小和越小，A取一和就是29，所以M加N的最小值是29。A等于一就是表里第一行乘积，本来就是三位数，不用再验。再看第二问，求所有满足条件的K的和K的平方等于M的平方减N的平方。M和N都不知道，这两个平方没法直接算，看到两个平方相减就想到平方差公式，K的平方就等于M加N乘M减NM加N第一问已经算过是20A加9还缺M减N同样用位置来减括号里的两个十，A相减正好抵消，所以M减N就等于2B减9只，跟B有关，两个都带进去，K的平方等于20A加9乘2B减9。前一个因数A只有两种取法，后一个2B减9，M大于N就是M减N大于0，也就是2B减九大于0，解的弊大于4.5个位，数字最大是9B仅能取5到9，对应的2B减9就是13579K是正整数，K的平方就必须是完全平方数。那就把K平方所有可能的值都算出来，一个个看，20A加九有两种，2B减9有5种，一共十种组合。A取一二十，A加90，29乘这五个数就是第一行，A取2，20A加90，49，同样乘出第二行表里这十个数就是K平方全部可能的值。先看29这1行是不是平方数，29比5的平方大比6的平方小，五和六中间没有整数，所以29不是平方数。后面四个数也一样，都加在两个相邻平方数中间，所以29这1行一个平方数都没有K再看49这1行，49正好是七的平方K就等于根号下49乘2B减9，也就是七倍根号2B减9K要是整数，根号里的2B减9就得是平方数。13579里只有一和9是平方数，2B减9等于一，K等于7乘1，就是72B减9等于9，K等于7乘3就是二十1。验一验K等于7，A是2，B是5，M是25，N是24，K等于21，A是2，B是9，M是29，N是20，两组都是M大于NA又是二成，积是三位数，都符合，所以K17或21，它们的和是28，第一问填29，第二问填28。最后我们来总结一下这道题的知识点。这题的招数很固定，条件全在数位上，就用未知原理把数写出来，再用平方差公式拆开。最值钱的一步是把乘积是三位数当成条件先用。十位一下子被锁在一和2两问都省事。要是没先用它，A从1到9逐个去世，A等于80，还会冒出13和39，可那时乘积是四位数，要舍掉，学完了练习巩固一下。