同学们，大家好，欢迎来到数学课堂。今天我们要开启人教版七年级上册第四章整式的加减的第一节整式第一课时单项式听到整式这两个字别紧张，他一点也不整人，反而特别贴心。学完这节课，你看待术士的眼光都会不一样。准备好了吗？我们出发，老规矩，先看看这节课我们要拿下哪3座小山头。第一，理解单项式的概念，能一眼判断一个代数式是不是单项式，还会用单项式表示简单的数量关系。第二，掌握单项式的系数和次数，给一个单项式，你能像报身份证号一样，报出它的系数和次数。第三，会列单项式，表示简单的数量关系。顺便练一练我们的抽象能力和应用意识。三个目标难度不大，跟着老师走，稳稳拿下。再明确一下本节课的重难点、重点和难点。这次是相亲相爱的一家人，都是理解单项式单项式的系数和次数的概念，也就是说只要把概念吃透，重点和难点一次全解决，一举两得，血赚不亏。先来看一个了不起的工程，看这就是港珠澳大桥，它己主桥、海底隧道和人工岛为一体，是世界上最长的跨海大桥，飞架伶仃洋，堪称工程奇迹。那么问题来了，大桥和数学有什么关系呢？别急，一辆汽车马上要上路了，咱们的数学之旅就从这辆车上开始。一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛，平均速度是每小时96千米，在海底遂道和主桥上的平均速度分别是72千米和92千米。看第一个问题，汽车在主桥上行驶一小时路程是多少千米？回忆一下万能公式，路程等于速度乘时间，速度是92，时间是T所以路程就是92T千米。你看字母T往式子里一站，一个式子就管住了所有的时间，这就是用字母表示数的魅力。再看第二问，如果汽车通过海底隧道需要A小时，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1.25倍，用含A的代数式表示，香港口岸到东人工岛的全长时间就是1.25A小时，速度是96，路程等于96乘1.2 15A算一下，96乘1.25正好等于120，所以全长就是120A千米多干净，继续开动。第三问，如过汽车通过主桥需要一小时，通过海底隧道所需的时间比通过主桥的时间少0.15小时，那么海底隧道的用时就是递减0.15小时。海底隧道的路程就是72乘以括号B减0.15千米，主桥与海底隧道的长度之和就是92B加上72倍的括号B减0.15千米。到这里代数式列出来了，但是注意课件上抛出一个灵魂拷问，能继续计算吗？如何计算？要把这个式子化简，就需要学习新的本领，这正是我们这一章要研究的内容。要解决上面的问题，就需要进一步学习代数式。在本章中，我们将研究一类基本的代数式，整式以及整式的加减运算。而今天我们先从整氏家族里最基础、最简单的成员入手，单项式。打个比方，整式是一个大家族，单项式就是家里的入门款，把它搞明白，后面的才好办。进入新知讲授，先用含有字母的式子填空，边填边观察这些代数式有什么共同点。第一题，棱长为A的正方体，表面积是6A的平方，体积是A的立方。第二题，铅笔单价X元，圆珠笔的单价是铅笔的2.5倍，圆珠笔的单价就是2.5X元。第三题汽车速度是V千米每小时，T小时行驶的路程就是VT千米。第四题，圆的半径是2厘米，它的周长就是2派2厘米。第五题就是刚才导入问题里的答案，92T千米。大家填完有没有发现这些式子全都是数与字母相乘，或者字母与字母相乘的形式，整整齐齐，没有一个加减号来捣乱。我们把这几个式子拉出来遛一遛，2.5XVT2派292T仔细看它们都是由两部分牵手组成的，一部分是数字，比如2.5和92。另一部分是字母，比如XVT。这里要特别注意，派虽然长得像字母，但它是圆周率，是一个地地道道的数。所以这些代数式里只含有乘法运算，都是术语字母或者字母与字母相乘的形式。这一类式子，数学家给他们起了个名字叫单项式。重磅时刻请出本节课的主角。单项式的定义是由数或字母的积组成的，代数式叫做单项式，并且有一个规定，单独的一个数或一个字母也是单项式。别小看这条规定，考试可喜欢考它了。我们把定义拆开来看，组成元素是数和字母，元素之间的运算关系是乘积，可以是数与数的积数与字母的积，也可以是字母与字母的积。一句话总结，单项式是乘出来的式子，全靠乘法撑场子光说不练假把式，马上练一练下列各式中哪些是单项式？九个式子挨个过堂，X单独一个字母是单项式，0和2单独一个数也是单项式。别看它们长得简单，身份货真价实。0.72A数与字母的积是再看第二行，A分之三分母里有字母A踩了红线不是单项式。三分之A分母是数字3，可以看成A与3分之1相乘是单项式。注意区分这两个，一个分母有字母，一个分母是纯数字。命运完全不同派，它是个数，单独一个数也是单项式，A加一出现加号是和不是积不是单项式。最后2XY比三分母是数字3，相当于2XY乘3分之1是单项式。总结一句，单项式的分母中不能含有字母，把判断单项式的方法整理成四条，堪称鉴宝四招。第一招，单独一个数或一个字母是单项式。第二招，单项式里只能含乘号，不能出现加号、减号这些外来户。第三招，数字因数与字母都可以是一个或多个。第四招，可以含有除以数的运算，比如三分之A但不能除以字母，换句话说，分母里不能有字母。四招在手，判断单项式，一抓一个准。进入探究点二单项式的相关概念，先观察这些单项式它们的数字因数是多少？2A的平方B可以拆成2乘A的平方BP是一乘PMN是一乘MN负N是负一乘N派2的平方H是派乘2的平方H看明白了吧？每个单项式里都藏着一个数字因数，我们把它正式命名。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。还要注意两条书写习惯。第一，单项式表示数与字母相乘时，通常把系数写在前面。第二系数是一或负一时，亦通常省略不写，所以P的系数是一负，N的系数是负一。虽然一躲起来了，但他一直都在再看这些单项式还有哪些字母，字母的指数和是多少？只有一个字母指数和唯一是一次单项式2A的平方BA的指数2加B的指数一等于三是三次单项式单单指数1加1等于2，二次单项式派2的平方H指数2加1等于3，注意派是数不参与次数的计算，所以是三次单项式P的平方Q乘X指数2加1加1等于4，四次单项式。由此得到定义，一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。那单独的一个数，比如五，它没有字母怎么办？数学上规定非零数的次数是0，是不是有点像零工时尚岗？虽然没有字母，人家照样是单项式，次数记0，学以致用，马上填表。2A的平方系数2，次数2-1.2H系数-1.2别看到小竖就花他老老实实当系数次数一XY的平方系数是一只是省略没写，次数是2加1等于3。负T的平方系数负一又是引申的一次数2，最后-3分之2VT系数-3分之2V的指数一，加T的指数一次数2。五个全对的同学给自己鼓个掌，有错的也别灰心，错在哪一条，现在弄懂，考试就绕着走。来看例一，用单项式填空，并指出它们的系数和次数。第一问，三角形的一条边长为A这条边上的高为H三角形的面积等于底乘高除以2，也就是2分之1乘I系数是2分之1，次数是2。第二问，长方体包装盒的长宽高分别为XYZ厘米，体积就是长乘宽乘高等于XYZ立方厘米，系数一次庶三。第三问，有理数N的相反数是负N系数-1，次数一。这三问的共同套路是，先由公式或定义列出式子，再曝出系数和次数，一气呵成。第四问有点意思，北京2022年冬奥会冰上运动纪念邮票一套5枚，价格六元，其中一种版式为一张十枚，也就是两套。某中学举行冬奥会有奖问答活动，买了M张，这种版式的邮票作为奖品共花费多少元？一张是两套，一套六元，一张就是2乘6等于12元，M张就是12米元，系数十二，次数一，看到没？生活里的购物小票也能长成单项式的样子。第五问，国旗法规定，国旗旗面为红色长方形，长与高之比是3比2。若一种尺度的国旗长为A厘米，则高就是3分之2乘A其面的面积就是A乘3分之2A等于3分之2乘A的平方厘米，系数3分之2次数2。五星红旗都来帮忙学数学了，这题必须拿下。趁热打铁，把确定系数和次数的注意事项总结成四句口诀，第一，圆周率派是常数，他站在数字这边不算字母。第二，单项式的系数是一或负一时，亦通常省略不写，但你要心里有数。第三，省略一的字母指数别漏掉，比如X指数E虽然不写，算字数时照样算它。第四，单项式的次数只与字母的指数有关，数字再大也与次数无关，比如100T次数是一，不是三四句话。请收藏进你的错题本首页，来做教材91页的练习。国家速滑馆冰丝带采用了我国自主的二氧化碳化鳞介质冷制冰系统，不仅安全而且绿色环保。如果使用传统制冷剂，同等用量下的碳排放量是二氧化碳制冷剂的3985倍。若使用一批二氧化碳制冷剂的碳排放量为M吨，那么相同用量的传统制冷剂的碳排放量就是3985米，吨系数3985次数一，一边学数学，一边还能长点环保知识，这波不亏。第二问，五一假期某网店对某种商品促销，若每售出一件这种商品获利M元则售出N件，共获利多少元？利润等于单件利润乘数量，所以是MN元系数一次数2。第三问，测量降水量的基本仪器是雨量器，它的给与斗是圆锥形状，内部的底面半径为二，高为H这个给与斗的容积是多少？由圆锥的体积公式，容积等于3分之1乘底面积派2的平方，再乘高H也就是3分之1派2的平方H注意系数是3分之1派是数，它和3分之1一起站在系数区，次数是二的指数2加H的指数一等于3。进入检测反馈环节，先填空自测一下。第一小题单项式负的4分之3乘A的5次方乘B乘C的平方，系数是-4分之3，次数是5加1加2等于8。第二小题，它由负号三的5次方这个数字因数与X的6次方、Y的3次方相乘组成，系数是负的7分之3的5次方。注意三的5次方是一个整体，别拆散它，次数是6加3等于9。第三小题负的二分之派K的平方系数是负二分之派次数是2。第四小题二的7次方，它是一个数系数，就是它自己次数是零。第五小题负X系数，负一次数一全对的同学，恭喜单项式的身份证识别系统你已经装好了。第二大题判断对错，专治各种想当然。第一句单项式X既没有系数也没有次数。错，系数是一，次数也是一只是省略，不写人家有户口，只是不爱露面。第二句单项式5乘10的5次方，T的系数是五又错。科学计数法是一个整体，系数是5乘10的5次方，也就是50万，别只认一半。第三句-2 001不是单项式还是错，单独一个数是单项式，-2 001当然也是。第四句负的3X分之二是系数为-3分之2的单项式依然错，分母里有字母X它压根就不是单项式。这四个坑考试年年挖，咱可别年年跳。第三题，列式表示，并挑出其中的单项式，一共七小关。第一关，正方形的边长为A面积是A的平方。第二关三角形的一条边长为A这边上的高为H面积是2分之1乘I第三关，某商品原价是X元，提价10%后的价格是括号1加10%括号乘X元。第四关小明每月存X元给希望工程，一年12个月共捐款12X元。第五关，如果N表示一个自然数，它的下一个自然数是N加1。第六关，正方形的边长是A厘米，把边长增加1厘米后，新边长是A加一新正方形的面积是括号A加一括号的平方。第七关，一个两位数十位数字是A个位数字是B这个两位数可以表示为10A加B那么哪些是单项式呢？带加减号的都要出局，N加一有加法出局，括号A加一的平方有加法出局，10A加B有加法出局，括号一加10%，括号乘X式子里带着加法，按题目所列的样子也出局。剩下的A的平方2分之1乘I12X3个都是术语字母的积，所以答案是第一第二第四题有点烧脑。若单项式9分之1乘X乘Y的2N加1次方与负的X的平方Y的平方次数相同，求N的2027次方的值次数相同就是字母指数的和相等。第一个式子X的指数一加Y的指数2N加1。第二个式子指数和是2加2，列出方程1加2N加一等于四解得2N等于2，N等于一。所以N的2027次方就是一的2027次方等于一一的多少次方都是一，这个2027莼属虎人。第五题，已知括号M减2，括号乘X的3次方乘Y的绝对值M加1次方是关于XY的六次单项式，求M的值，六次单项式指数和为六，也就是3加绝对值M加一等于6，绝对值M等于2。M可以是2或-2，但是注意还有隐藏条件，系数M减2不能等于0，否则这个单项式就不存在了，所以M只能取-2，看见没？绝对只给出两个答案，系数条件再砍掉一个命题老师的小心机全在这里拓展提升第一题找规律，大师登场观察这列单项式，负X3X的平方，-5X的立方，7X的4次方，一直到-3 7X的19次方，39X的20次方第一问，系数的符号有什么规律？负正负正交替出现，奇数项为负，偶数项为正，可以用负一的N次方来表示第二问，次数的规律是什么？1234，第N个单项式的次数就是N再看系数的绝对值，1357是奇数数列，第N个是2N减1。第三问，根据规律猜想，第N个单项式就是负一的N次方乘括号2N减1括号乘X的N次方。第四问写出第2024和第2025个单项式，N等于2024是偶数，符号为正系数2乘2024减一等于4047，所以是4047X的2024次方。N等于2025是奇数，符号为负系数4049，所以是-4 049X的2025次方。找规律，三步走，看符号、看指数、看系数，一个都不能少。第二题，已知绝对值A等于负A是确定六次单项式X的5次方乘Y的绝对值A次方中A的取值，并在上述条件下求A的2025次方减A的2024次方加一的值。绝对值A等于负A说明什么？说明A是非正数，A小于等于0。六次单项式指数和为六，也就是5加绝对值A等于6，绝对值A等于1，A等于正负一，结合A小于等于0，所以A只能等于负一代入计算负一的2025次方是-1-1的2024次方是一，所以原式等于-1减1加1等于，负一负数的奇次方为负，偶次方为正。这位老朋友又来串门了，中考真题时间，感受一下考场的味道。第一题，已知一个单项式的系数是3，次数是二则这个单项式可以是哪个？选项A3XY的平方，X的指数一加Y的指数2，次数是三不行。选项B2X的立方系数是2，次数是三也不对。选项C2XY的立方系数次数全不对。选项D3XY系数3，指数和1加1等于二完美命中。选D倒着验算选项是做选择题的高效玩法。第二题，下列代数式二分之括号A加B括号-2分之13A的平方BX的平方减3X加一还有5。其中单项式有几个逐个筛，二分之括号A加B括号分子有加法，不是-2分之1，单独一个数是3A的平方B是X的平方减3，X加一有减号不是5，单独一个数是一共三个，选B第三题单项式-2A的平方B的次数是多少？A的指数2加B的指数一等于3。真题也不过如此吗？愉快的时光总是短暂的，本节课的主要内容到此讲完，我们一起把知识打包总结一下。先想一想这节课你都记住了什么？给大家3秒钟，闭上眼睛在脑子里过一遍电影。321。好，我们一起看总结本节课三大知识点。第一，单项式的概念表示数或字母的积的式子叫做单项式，规定单独一个数或一个字母也是单项式，口诀是指乘不加分母无字母。第二，单项式的系数，单项式中的数字因数，注意派式数系数一和复议通常省略不写。第三，单项式的次数，单项式中所有字母指数的和特别注意，对于单独一个非零的数，它的次数规定为03个概念。手拉手单项式的知识网就织好了。课后别忘了课本92页，习题4.1，先热热身。单项式-4A的平方B的立方C系数是-4，次数是2加3加1等于6。再挑战一下，写出一个系数是2，次数是三的单项式，答案不唯一。比如2XY的平方，只要系数是2，字母指数的和是3，写对都算赢。还有应用题，今年十一假期，某公园接待的游客数比去年同期增长了5.7%。若去年同期这个公园接待了游客X万人，那么今年比去年同期多接待的游客人数就是5.7% X万人。你看数学不止在课本里，他就在你身边的每一次旅行中。这节课我们就上到这里，单项式虽小，却是整个代数大厦的第一块砖。记住我们的口号，数学使世界更清晰。下节课我们将认识整氏家族的更多成员，多项式更加精彩，不见不散，同学们再见。