精品解析：湖南省耒阳市第一中学2025-2026学年高二上学期第三次文化素质测试数学试卷

耒阳一中高二年级上学期第三次文化素质检测 数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一､单选题（本题共8题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据交集的运算求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以． 故选：D. 2. 已知是虚数单位，则复数满足，则虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，然后求得的虚部. 【详解】依题意， 则， 即， 虚部为. 故选：A 3. 已知直线l1：mx＋y－1＝0与直线l2：(m－2)x＋my－2＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据两直线垂直的充要条件计算即可. 【详解】由l1⊥l2，得m(m－2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1， 即l1⊥l2的充要条件为m＝0或m＝1， 所以“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 若则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合对数函数性质，利用对数运算性质及指数幂的运算代入函数求解即可 【详解】因为，所以， 所以 故选：A 5. 已知向量在上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义及向量夹角公式计算得解. 【详解】依题意，向量在上的投影向量为，则， 由，得，于是，又， 所以. 故选：A 6. 若过点的直线与圆相切，又与直线平行，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与直线平行的直线为，根据题意有，由圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】设与直线平行的直线为， 又直线过点，所以，所以直线为， 又因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 故选：D. 7. 已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对通项公式化简变形后可求得当或时，，当时，，从而可求出取到最小值时的值. 【详解】， 由，得，解得或， 因为，所以当或时，，当时，， 所以当时，取得最小值. 故选：B 8. 已知椭圆上存在关于直线对称的点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆上关于直线的对称的两点分别为，的中点为，直线的方程为，将直线与椭圆方程联立，，求出，由点在直线上，代入求解即可. 【详解】设椭圆上关于直线的对称的两点分别为， 的中点为，直线的方程为， 联立直线与椭圆的方程，得， 消元可得， ， ，，， ，， 又点在直线上，， ，，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：C 二､多项选择题（本题垬3题，每题6分，共18分） 9. 甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为．则（ ） A. 甲乙都研发成功的概率为 B. 疫苗A研发成功的概率为 C. 疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为 D. 仅有一款疫苗研发成功的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式可判断A；结合对立事件的概率关系可判断B；再由相互独立事件的概率公式可判断C；分两种情况，由相互独立事件的概率公式可判断D. 【详解】用A，B，C分别表示事件“甲成功”，“乙成功”，“丙成功”，则： A．根据概率公式有： B．由概率的性质可得：疫苗A研发成功的概率 C．两疫苗的研发相互独立，所以所求概率为 D．所求概率为 故选：ACD 10. 如图，在正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点（不包括端点），则（ ） A. 存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得平面 C. 三棱锥的体积是定值 D. 二面角的余弦值为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，由推出平面，矛盾；B选项，建立空间直角坐标系，证明出，，得到线面垂直，进而当Q为的中点时，，此时平面，故B正确；C选项，假设体积为定值，得到平面，求出平面的法向量，证明出平面不成立，C错误；D选项，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出余弦值. 【详解】对于A，若，因为平面，平面， 所以平面，矛盾，故A错误． 对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 因为， ， 故，， 故，， 因为，平面， 故平面，当Q为的中点时，， 此时平面，故B正确． 对于C，Q在线段上运动，若三棱锥的体积为定值，则平面， ，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，故， 故，故与不垂直， 故平面不成立，故C错误； 对于D，二面角即二面角，连接BP，DP，BD， 由于为等边三角形， 则，，所以为所求二面角的平面角， 不妨设正方体的棱长为2，则的棱长为， 故，， 由余弦定理可得， 二面角的余弦值为，故D正确． 故选：BD 11. 我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是（ ） A. 双曲线是黄金双曲线 B. 若，则该双曲线是黄金双曲线 C. 若，则该双曲线是黄金双曲线 D. 若，则该双曲线是黄金双曲线 【答案】BCD 【解析】 【分析】 A选项，，不是黄金双曲线；通过计算得到BCD是黄金双曲线. 【详解】A选项，，不是黄金双曲线； B选项，，化成，即， 又，解得，是黄金双曲线； C选项，∵，∴， ∴， 化简得，由选项知是黄金双曲线； D选项，∵，∴轴，，且是等腰， ∴，即，由选项知是黄金双曲线. 综上，BCD是黄金双曲线. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出再求离心率）；（2）方程法（通过已知得到关于的方程，解方程得解）. 三､填空题（本题共3题，每题5分，共15分） 12. 抛物线上一点M到其焦点的距离为3，则点M到坐标原点的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义以及焦半径可求得点的坐标，即可求得结果. 【详解】设，由抛物线可得， 抛物线上点到焦点的距离等于3， ，解得， ， 点M到坐标原点的距离为 故答案为： 13. 已知数列的前项和为（），满足（），，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得是以为首项，以为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 又，则，即， 当时，， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，则，所以. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点.当的面积最大时，实数的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】求出圆心与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进而求出弦长，从而可得，配方当，取得最值，即求. 【详解】由， 则圆心，， 点到直线的距离， 由弦长公式， ， 设，则， 当时，， 此时，即， ，解得或. 故答案为：或 四､解答题（本题共5题，共77分） 15. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列前n项和，求n的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到公差为，结合，得到首项，进而得到数列的通项公式； （2）根据等差数列的前项和公式，列出方程，计算求出. 【小问1详解】 因为，设数列的公差为， 所以数列是以为公差的等差数列，， 故，，所以，. 【小问2详解】 由（1）得，，所以，， 又由，可得， 即， 解得或， 又，故. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求角A； （2）已知角A的内角平分线交BC于点M，若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角形性质及恒等变换可得答案； （2）利用等面积法得到，结合余弦定理求出，得到周长. 【小问1详解】 因为，所以， ， ， ， 化简得，由，所以， 所以，，由，解得. 【小问2详解】 因为为角平分线，且， 所以， 整理得， 由余弦定理可得， 即，解得或（舍）， 的周长为. 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 18. 如图，四棱锥的侧面是正三角形，，且，是中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，且，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点F，连接， 因为E是中点， 所以，且，又因为，， 所以，，即四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点构造平行四边形，证明线线平行，进而推出线面平行. （2）利用面面垂直的性质与勾股定理确定棱长，再通过建立空间直角坐标系，将二面角的求解转化为求两个平面法向量的夹角余弦值，最后利用平方关系得出正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，， 因为是正三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以，故， 以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，，所以，， 设平面的法向量为，则，， 令得，易知平面的法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 19. 已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足. （1）求的方程； （2）点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点. 【答案】（1）； （2）由（1）知，设直线为， 由消去y得：， 则， ，由三点共线，得，同理， 因此 ， 所以的中点为定点. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，借助向量垂直的坐标表示及双曲线渐近线方程求出即可得解. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理及向量共线的坐标表示求出的中点纵坐标即可得解. 【小问1详解】 设，，由，得， 解得，即，而曲线的渐近线方程为， 由点在的渐近线上，得，即，因此， 所以的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 耒阳一中高二年级上学期第三次文化素质检测 数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一､单选题（本题共8题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. 或 B. C. D. 2. 已知是虚数单位，则复数满足，则虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l1：mx＋y－1＝0与直线l2：(m－2)x＋my－2＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量在上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 若过点的直线与圆相切，又与直线平行，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆上存在关于直线对称的点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题垬3题，每题6分，共18分） 9. 甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为．则（ ） A. 甲乙都研发成功的概率为 B. 疫苗A研发成功的概率为 C. 疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为 D. 仅有一款疫苗研发成功的概率为 10. 如图，在正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点（不包括端点），则（ ） A. 存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得平面 C. 三棱锥的体积是定值 D. 二面角的余弦值为 11. 我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是（ ） A. 双曲线是黄金双曲线 B. 若，则该双曲线是黄金双曲线 C. 若，则该双曲线是黄金双曲线 D. 若，则该双曲线是黄金双曲线 三､填空题（本题共3题，每题5分，共15分） 12. 抛物线上一点M到其焦点的距离为3，则点M到坐标原点的距离为__________. 13. 已知数列的前项和为（），满足（），，则______. 14. 在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点.当的面积最大时，实数的值为__________． 四､解答题（本题共5题，共77分） 15. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列前n项和，求n的值. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求角A； （2）已知角A的内角平分线交BC于点M，若，求的周长． 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 18. 如图，四棱锥的侧面是正三角形，，且，是中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，且，求平面与平面夹角的正弦值． 19. 已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足. （1）求的方程； （2）点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $