专题10一次函数的图象与性质专题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题10一次函数的图象与性质专题通关讲义 知识点01:基础核心：一次函数图像是什么 1.图像形状 一次函数 y=kx+b (k≠0，k、b为常数) 的图像是一条直线； 正比例函数 y=kx (k≠0) 是特殊一次函数，图像是经过 原点(0,0)的直线。 左图一次函数 右图正比例函数 2.画图方法：两点法（必考） 两点确定一条直线，优先取直线与坐标轴交点，步骤固定： 求与y轴交点：令x=0，得 y=b，交点坐标 (0,b)； 求与x轴交点：令y=0，得 x=，交点坐标 (,0)； 在坐标系描出两点，连接成直线，标注解析式。 补充：正比例函数画图只需取 (0,0)和 (1,k) 两点即可。 知识点02:正比例函数的图象性质 当k＞0时：函数图像经过第一、第三象限；y的值随x的增大而增大。 当k＜0时：函数图像经过第二、第四象限；y的值随x的增大而减小。 知识点03:k、b 的几何意义（本章重难点） 1. 参数k：决定直线倾斜方向与增减性 2. 参数b：决定直线与y轴交点位置 b 叫做直线的纵截距，交点固定为 (0,b)： 知识点04:待定系数法求一次函数解析式（本节重点） 1. 定义 先设出函数解析式，再根据已知条件确定解析式中未知系数，从而求出函数表达式的方法，叫做待定系数法。 2. 解题步骤 (1)设解析式：根据题意设出函数形式 普通一次函数：设 y=kx+b (k0)； 正比例函数：设 y=kx(k0)。 (2)代值列方程：把图象上两个已知点的坐标，代入所设解析式，得到关于未知系数 k、b 的方程组。 (3)求解系数：解方程组，求出 k、b的具体数值。 (4)写出解析式：将求得的系数代回最初所设式子，写出完整的一次函数解析式 知识点05:一次函数的图象与性质（重点） 知识点06:一次函数与平移变换 知识点07:一次函数图象与坐标轴交点问题 一次函数 y=kx+b (k0)的图象与坐标轴的交点问 知识点08:一次函数图象经过的象限（必背） k>0,b>0：经过一、二、三象限 k>0,b<0：经过一、三、四象限 k<0,b>0：经过一、二、四象限 k<0,b<0：经过二、三、四象限 口诀：k 正一三走，k 负二四游；b 正交上，b 负交下。 1、混淆一次函数与正比例函数概念 易错提醒：一次函数标准形式为y=kx+b(k≠0)；当b=0时函数为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数；判定函数是否属于一次函数，必须优先满足k≠0这一前提条件。 2、k、b符号与直线图像位置判断错误 易错提醒：参数k控制直线增减升降趋势，参数b控制直线与y轴交点位置；读图判断参数符号时，先依据升降趋势确定k的正负，再依据与y轴交点位置确定b的正负，不可颠倒判断顺序。 3、函数增减性判断忽略k的正负符号 易错提醒：k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小；比较不同自变量对应的函数值大小时，先要判定k的正负，不能默认y随x增大而增大。 4、求解直线与坐标轴交点坐标计算出错 易错提醒：求直线与x轴交点，令y=0代入解析式；求直线与y轴交点，令x=0代入解析式；两类赋值条件不要混淆，最终结果以坐标形式书写。 5、一次函数直线平移规律理解有误 易错提醒：直线上下平移只改变常数项b，斜率k保持不变，上下平移直接对常数项进行加减；左右平移需要对自变量x整体进行加减运算，切勿直接改动常数项完成左右平移计算。 6、两条直线平行、相交判定出现失误 易错提醒：两条直线互相平行的判定条件为k1=k2且b1≠b2；k1≠k2时两条直线相交；当k1=k2同时b1=b2时，两直线重合，不属于平行关系。 7、一次函数经过象限判断考虑不全 易错提醒：判断直线所经过的象限，需要同时结合k、b两个参数的符号综合分析；不可只依靠单个参数的符号直接判定图像经过的全部象限。 8、已知自变量范围求解函数值范围出错 易错提醒：给出自变量取值区间求对应函数值范围时，不可直接简单代入端点数值；需要结合k的正负判断函数增减变化趋势，再推导函数取值区间，防止不等号方向错误。 题型 考察方向 难度 题型一 正比例函数的图象 ★ 题型二 正比例函数的性质 ★ 题型三 判断一次函数的图象 ★★ 题型四 判断一次函数的图象 ★★ 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 ★★ 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 ★★ 题型七 求一次函数自变量或函数值 ★ 题型八 一次函数图象平移问题 ★★ 题型九 一次函数图象对称与旋转问题 ★★★ 题型十 判断一次函数的增减性 ★★ 题型十一 根据一次函数增减性求参数 ★★ 题型十二 一次函数的增减性判断自变量的变化情况 ★★★ 题型十三 比较一次函数值的大小 ★★ 题型十四 一次函数的规律探究问题 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 正比例函数的图象 1．正比例函数的图象在平面直角坐标系中的（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴该函数图象经过第二、四象限． 2．在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是___________． 【答案】 甲 【分析】设身高为x，跳跃高度为y，则比值为，即正比例函数中的k值，根据k值越大，图象越陡进行判断即可． 【详解】解：设每位同学的身高为x，跳跃高度为y， 根据题意得， ， 根据正比例函数的意义，k值越大，图象越陡， 如图，连接原点与甲、乙、丙、丁四点，观察图象可知，甲点与原点的连线最陡， ∴甲同学的跳跃高度与自己身高的比值最大， ∴获胜的同学是甲． 3．一次函数和 ，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B．C．D． 【答案】C 【详解】解：、∵一次函数经过一、二、三象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过一、三象限，该选项图形错误，不符合题意； 、∵一次函数经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意； 、∵一次函数经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形正确，符合题意； 、∵一次函数经过一、二、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意． 题型二 正比例函数的性质 4．是正比例函数图象上的两个点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】由正比例函数比例系数的正负判断增减性，进而比较与的大小． 【详解】解：∵， ∴， 对于正比例函数，随的增大而增大， ∵是正比例函数图象上的两个点，， ∴． 5．若函数，当自变量取值增加1的时候，函数值减少2，那么k的值是 _______． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据自变量和函数值的变化关系可得，将代入进而得到2，再解方程即可． 【详解】解：函数，当自变量取值增加1的时候，函数值减少2， ， 将代入中， 解得： 故答案为：． 6．如图是通过甲，乙，丙，丁四个不同电阻（）的电流（）与其两端电压（）变化的关系图象，根据图象及电学知识，可判断甲，乙，丙，丁中电阻最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，由得，，如图，取， 则是关于的正比例函数，而，则随着的增大而增大，据此即可求解． 【详解】解：由得，， 如图，取， 则是关于的正比例函数， 而， ∴随着的增大而增大， ∴甲，乙，丙，丁中电阻最大的是丁， 故选：D． 题型三 判断一次函数的图象 7．一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数，得，，即可得出一次函数图象经过一、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数，，， ∴一次函数的函数值y随x的增大而增大，与y轴交于负半轴， ∴一次函数图象经过一、三、四象限， 故选：B． 8．若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直线经过第一、二、四象限，求出，再判断函数经过的象限即可． 【详解】解：直线经过第一、二、四象限，如图所示： ，即， 则函数的图象经过第一、二、三象限，其大致图象如下： B选项图象满足题意． 9．一次函数（为常数，）部分自变量的值与函数值的对应关系如下表，则这个函数的图象可能是（   ）． … … … … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，从表中可以看出，自变量和函数值的关系，即可判定． 【详解】解：从表中可以看出，自变量每增加个单位，函数值减小， ∴这个函数的图象可能是C， 故选：C． 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 10．一次函数的图像不经过的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一次函数的、符号判断图像经过的象限． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 11．直线经过一、二、三象限，那么不经过__________象限． 【答案】 第二 【分析】根据直线经过的象限判断和的符号，再根据符号判断直线经过的象限，即可得到不经过的象限． 【详解】解：∵直线 经过一、二、三象限， ∴，且直线与轴交于正半轴，即， 对于直线，∵， ∴直线经过第一、三象限， ∵， ∴，即直线与轴交于负半轴， ∴直线经过一、三、四象限， ∴直线不经过第二象限． 12．已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，据此信息判断：一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的性质得到，可得，然后根据一次函数的性质可得答案. 【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴一次函数的图象过第一、二、三象限. 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 13．如图，一次函数的图象，则k、b的符号是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限． 【详解】解：由图象可知，一次函数图象经过第一、二、四象限， 则，． 14．如图，已知一次函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点． 【详解】解：由图象可知，，， ∴． 15．若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】先根据直线所过象限，判断参数的范围，再根据参数的范围，判断所求直线经过的象限，即可. 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴函数的图象过第一、二、四象限； 故只有A选项的图象符合题意. 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 16．一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴上所有点的纵坐标为，令一次函数解析式中，求解即可得到交点坐标． 【详解】解：∵轴上点的纵坐标为， ∴求一次函数与轴的交点，令，得 ， 解得， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为． 17．直线和直线在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．分别根据两条直线系数判断经过的象限，找出两者一致的即可． 【详解】解：由可知，图象经过第二四象限，故C不符合； 当时，直线的图象经过第一二三象限，由的图象经过第二三四象限，选项B符合题意，选项AD不符合， 当时，直线的图象经过第一二四象限，由的图象经过第一二四象限，选项都不符合， 故选：B． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C，P在直线上运动，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，所以当时，的值最小，利用等积法，求出的长即可． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，；当时，； ∴， ∴， ∴， ∵直线与直线交于点C，P在直线上运动， ∴直线即为直线， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 过点作，交于点， ∵， ∴， ∴； 即的最小值为． 题型七 求一次函数自变量或函数值 19．若点在直线上，则的值是______． 【答案】7 【分析】点在直线上时，点的坐标满足直线的解析式，将点的横坐标代入解析式即可求出的值. 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ 将，代入直线解析式， ， ． 20．若点在函数的图象上，则的值是______． 【答案】 2 【分析】点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点坐标代入解析式整理即可得到所求式子的值． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴． 21．已知是的一次函数，下表给出了和的部分对应值，则的值为__________． 2 5 【答案】4 【分析】设一次函数解析式为，利用已知两组的对应值列方程组求出和，得到函数解析式后将代入即可求出的值. 【详解】解：设该一次函数解析式为， ∵ 时，时， ∴ ， 解得， ∴ 一次函数解析式为， ∵ 时，∴ ， 解得. 22．小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： … 0 1 2 … … 4 1 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据点的坐标（任取两个），利用待定系数法求出一次函数解析式，再逐一验证其它三点坐标即可得出结论． 【详解】解：设该一次函数的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为． 当时，； 当时，， 当时，， ∴这个错误的函数值是． 题型八 一次函数图象平移问题 23．将直线向下平移个单位长度得到的直线是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用初中一次函数平移规律“上加下减，左加右减”即可求解，向下平移个单位只需在原解析式后减即可． 【详解】∵直线平移时一次项系数不变，向下平移遵循“上加下减”的规律， ∴平移后直线的解析式为 ， 展开整理得 ． 24．将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则的值为_______________． 【答案】/ 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后的解析式，再利用两图象重合对应系数相等求出和的值，最后计算． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度，平移后解析式为：， ∵平移后的图象与的图象重合， ∴， ：， ∴． 25．在平面直角坐标系中，一次函数向左平移个单位再向上平移个单位后过原点，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一次函数平移遵循“左加右减，上加下减”，原函数为，向左平移个单位，再向上平移个单位后，可得新解析式为，整理得， ∵平移后图象过原点，将代入解析式得：， ∴． 题型九 一次函数图象对称与旋转问题 26．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式、关于轴对称点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求解析式和关于轴对称点的坐标特征是解题的关键． 根据直线求得其关于y轴的对称点，然后利用待定系数法求出k和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵直线 令得，解得， 令得，， 则直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 点关于y轴的对称点为， ∵直线（，是常数，）与直线关于轴对称， 将点和代入，得方程组： ， 解得， 则， 故答案为：． 27．如图，直线与y轴交于点A，将直线l绕点A旋转后，所得直线的表达式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，待定系数法求解析式的综合，，则，由题意知所得直线与原直线垂直，故与y轴的正半轴的夹角为，得出点，，代入解析式，即可得出答案． 【详解】解∶ 记直线l与x轴的交点为B，旋转后得直线与x轴的交点为． 在中令，则，故点， ． 令，则，故点， ． ． ． 由题意知所得直线与原直线垂直， 故与y轴的正半轴的夹角为，即． 轴， ． ． ． ． 设， 把点，代入的解析式中有 解得 故：． 故答案为∶ ． 28．直线与x轴交于点A，若将直线绕点A逆时针旋转得到直线．则直线与y轴的交点坐标为______________． 【答案】 【分析】设直线与y轴交于C点，直线与y轴交于B点．求出，，由旋转得，，根据含30度的直角三角形性质和勾股定理求出，即得． 【详解】解：设直线与y轴交于C点，直线与y轴交于B点． 在上， 令，则； 令，则； ， ， 由旋转得， ∴， ， ， ． 29．在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（     ） A． B．6 C． D．8 【答案】B 【分析】利用点关于x轴对称的坐标特征，求出系数、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点坐标为，直线与关于x轴对称， ∴将原直线的替换为即可得到对称直线的方程，即，整理得， ∴，， ∴． 题型十 判断一次函数的增减性 30．已知，均在直线上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，当时随的增大而减小判断即可． 【详解】解：直线中，， 随的增大而减小． ，均在直线上，且， ． 31．如图，若函数图象上任意两点，均满足，下列四个函数图象中所有正确的函数图象的序号是（     ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据不等式判断出函数的增减性，再结合各函数图象的性质进行判断即可． 【详解】解：， 与同号， 即当时，， 当时，， ∴函数图象上随的增大而增大． 由图①可知，随的增大而减小，故不符合题意； 由图②可知，随的增大而增大，故②符合题意； 由图③可知，当时，随的增大而减小，故③不符合题意； 由图④可知，在图象所示范围内，随的增大而增大，故④符合题意； 综上所述，正确的函数图象序号是②④． 32．已知一次函数（k为常数），y随x的增大而减小，若点N在该函数的图象上，则点N的坐标不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数增减性得到，再将各选项坐标代入函数解析式，计算的值，判断是否满足，即可得到不可能的坐标． 【详解】解：∵一次函数中，随增大而减小， ∴． A．将代入解析式得：，解得，符合条件，故A可能； B．将代入解析式得：，解得，符合条件，故B可能； C．将代入解析式得：，解得，符合条件，故C可能； D．将代入解析式得：，解得，不符合，故D不可能． 题型十一 根据一次函数增减性求参数 33．一次函数中，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一次函数，其中，为常数且，当时，随的增大而增大，据此列不等式求解即可． 【详解】解：在一次函数中，随的增大而增大 则 解得：． 34．已知，两点都在一次函数的图象上，则a，b的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据一次函数的解析式判断函数的增减性，再结合两点纵坐标的大小，即可比较横坐标与的大小． 【详解】∵一次函数解析式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∵，两点在一次函数图象上，且， ∴． 35．一次函数，当时，的最大值为，则的值为__________． 【答案】或 【分析】根据一次函数的增减性，分和两种情况讨论，确定区间内取最大值时对应的值，列方程求解即可． 【详解】解：∵ 是一次函数， ∴ 分两种情况讨论： 当时，随的增大而增大， ∴ 当时，时取得最大值， 代入得 ， 解得 ，符合条件， 当时，随的增大而减小， ∴当时，时取得最大值， 代入得 ， 解得 ，符合条件， 综上，的值为或． 36．已知函数（a为常数），当时，y有最小值为4，则a的值为（   ） A． 或 B． 或 C． 或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义和一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 根据绝对值的意义分三种情况讨论：①，当时，，y随x的增大而增大，当时，，代入计算即可得到a的值；②，当时，，y随x的增大而减小，当时，y取得最小值4，然后代入计算即可得到a的值；，函数在时取最小值0，不合题意． 【详解】解：分三种情况：①当时， 当时，，y随x的增大而增大， 当时，， 则， 解得； ②当时， 当时，，y随x的增大而减小， 即当时，， 则， 解得； 当时， 当时，函数在时取最小值0，不合题意； 综上可知，或， 故选：C． 题型十二 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 37．若点都在一次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据一次函数，随的增大而减小，从而可得答案． 【详解】解：， 一次函数，随的增大而减小， 点都在一次函数的图象上， ∴． 故选：C． 38．如图，一次函数的图象经过点，则一元一次不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系． 首先利用图象过，确定函数值，再考虑函数的增减性利用不等式求解集即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， 时， 又由图像知，一次函数随的增大而增大， ∴关于的不等式的解集是． 故选：C． 39．我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为．在我的图象上有两点，且，，当时，m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，将，两点坐标代入一次函数解析式，再将两式相减即可解决问题． 【详解】解：将，两点坐标分别代入一次函数解析式得， ， 两式相减得， ， 所以， 因为， 所以， 则， 所以， 则． 故选：A． 题型十三 比较一次函数值的大小 40．已知点，在一次函数的图像上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入， 得， 将代入， 得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即， ∴ ． 41．已知点，在一次函数的图象上，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据一次函数的增减性，结合两点纵坐标的大小关系，即可得到横坐标的大小关系． 【详解】解：一次函数中， ∴随增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上，， ． 42．已知定义为：．例如，若关于x的函数，则y的最小值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先根据的定义，求出两个一次函数相等时的的值，再分情况得到的表达式，结合一次函数的增减性得到的取值范围，即可求出最小值． 【详解】解：由题意，令，解得， ， 当时，，即， ， 一次项系数，随增大而增大， 当时，此时， 当时，，即， ， 一次项系数，随增大而减小， 当时，此时， 综上，，因此的最小值为． 题型十四 一次函数的规律探究问题 43．如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据勾股定理求得，所以，，进而可得，，再根据平移的性质得，，，，总结出规律即可得解． 【详解】解：设点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ，， 将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得， ，，，，， 第次平移后，点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征，平移的性质，勾股定理，数字规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 44．将正方形，，按如图所示方式放置，点，，……和点，，，……分别在直线和x轴上，则的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数，点的坐标规律探索，解题的关键是总结规律． 根据题意写出前几个点的坐标，总结规律，代入计算即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 同理可得，，， ，， ，， ......， ，（为正整数）， ∴点的坐标为， 故答案为：． 45．如图，直线的解析式为，点坐标为，过作轴交于，过作交轴于，过作轴交于，过作交轴于，，按此规律进行下去，则的坐标为______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质和直线解析式求出的坐标规律，即可解答； 【详解】解：直线解析式为， ∴， ∵，轴交于，直线解析式为， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴坐标为； 同理可得：，， 观察可得，的坐标满足规律：， 当时，横坐标为， ∴的坐标为． 解答题 1．已知关于的函数关系式为：． (1)若是的正比例函数，求的值； (2)若是的一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出，即可解答； （2）根据题意得出，即可解答． 【详解】（1）解：依题意可得：， 解得，， ． （2）解：依题意可得：， ， 解得，． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)若一次函数的图象经过M点，则b_____0 (填“”或“”或“”)； (2)若一次函数的图象经过三个点中的某一点，求b的最大值； (3)①已知直线，则此直线一定过定点 ； ②当时，在图中用阴影表示直线扫过的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是 ． 【答案】(1) (2)8 (3)①； ②扫过的区域如图所示： N 【分析】本题考查一次函数的图象和性质的应用．用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过第一、二、三象限，一次函数的比例系数越大，随的增大越明显． （1）把点M的坐标代入一次函数求出b的值，即可得出答案； （2）根据一次函数的比例系数大于0，图象过第一、三象限，求的最大值，那么把第二象限内的点代入即可； （3）①把代入得：，即可得出答案； ②求出当时直线与轴的交点，进而根据经过点和可得直线扫过的区域，即可求得直线不可能经过的点． 【详解】（1）解：把代入一次函数得： ， 解得：， ∵， ∴； （2）解：∵一次函数的比例系数为，， ∴一次函数一定经过第一、三象限， ∵求b的最大值， ∴图象还应该经过第二象限的点， ∴， ∴； 答：b的最大值为8； （3）解：①把代入得：， ∴直线一定过定点； ②当时，， 把代入得：， 解得：， ∴图象经过 ∵图象必过点，， ∴直线扫过的区域为过点和点的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y轴）． ∴直线不可能经过的点是N． 故答案为：N． 3．如图，直线：与坐标轴分别交于、两点，直线：过点，与交于点． (1)求的值及直线的表达式； (2)求的面积________； (3)将直线向下平移个单位，若平移后的图象与线段（不包括端点）的交点为整数点（即横、纵坐标均为整数的点），直接写出的值________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）将代入即可解答；利用待定系数法求得直线的表达式即可； （2）求得点的坐标，根据三角形面积公式即可解答； （3）根据题意可得平移后的图象与线段（不包括端点）的交点为，代入平移后的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：将代入， 可得， 解得， ； 把，代入， 可得，解得， 直线的表达式为； （2）解：令，解得， ， ， 的面积为； （3）解：将直线向下平移个单位，可得， ，，平移后的图象与线段（不包括端点）的交点为整数点（即横、纵坐标均为整数的点）， 直线平移后与线段的交点横坐标为， 把代入，可得， 把代入，可得， 解得． 4．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程. (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 2 4 b 0 … 请根据表格中的信息，确定b的值，_____； (2)根据（1）中的列表，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． (3)结合函数图象，解决问题： ①写出函数的一条性质 ． ②若点,在函数图象上，且，则与的大小关系为__． ③若关于x的方程有两个解，请直接写出满足条件的m的取值范围 ． ④若点，都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围 ． 【答案】(1)2 (2) (3)①图像关于直线对称（答案不唯一）；② <；③；④ 【分析】本题考查一次函数与绝对值函数的综合，熟练掌握一次函数的性质，数形结合的运用是解题的关键． （1）将代入函数解析式，计算得到对应y值即为b； （2）根据表格中格点的坐标，在坐标系中描点，再用平滑线段顺次连接各点即可； （3）①观察画出的函数图象，从对称性、最值、增减性等角度选取一条描述即可； ②根据的条件，结合函数在区间的增减性判断即可； ③将方程解的个数问题转化为函数与的交点个数问题，求直线过绝对值函数顶点时的临界情况的m值，再确定范围； ④画出函数图象，利用，，可得点位于直线的左侧，点位于直线的右侧，分别代入函数解析式建立不等式，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 则； （2）略； （3）解：①由（2）中图象可得函数关于直线对称； ②由图象可知，当时，随的增大而增大， ； ③方程有两个解， 函数与有两个交点， 当直线经过点时，， 解得：， 因此，方程有两个解时，的取值范围为； ④当时，函数， 当时，函数， 函数的图象如下： 由图可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ，且， 将点代入得：， 将点代入得：， ， 解得：． 5．已知一次函数． (1)若过点，且点、均在它的图像上，求； (2)①若点、在的图像上，求； ②若点、也在的图像上，则是定值吗？若不是，直接写“不是”，若是，求出结果． (3)点、、均在一次函数的图像上，直接写出n的值． 【答案】(1)4 (2)①4，②是定值，结果为2 (3) 【分析】（1）先求出，再将点、代入解析式，表示出，，即可得解； （2）把已知点代入到解析式中，表示出，和，，再进行判断即可； （3）把点、、代入一次函数中，求出的值，即可得出的值． 【详解】（1）将代入得，故， 把点代入解析式得：， 把点代入解析式得：， ． （2）把点代入解析式中：， 把点代入解析式中：， ； 是定值，结果为， 把点代入解析式中：， 把点代入解析式中：， 两式相减得， 故． （3）把点代入解析式中：，整理得， 把点代入解析式中：， 把点代入解析式中：，整理得 得：， ， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10一次函数的图象与性质专题通关讲义 知识点01:基础核心：一次函数图像是什么 1.图像形状 一次函数 y=kx+b (k≠0，k、b为常数) 的图像是一条直线； 正比例函数 y=kx (k≠0) 是特殊一次函数，图像是经过 原点(0,0)的直线。 左图一次函数 右图正比例函数 2.画图方法：两点法（必考） 两点确定一条直线，优先取直线与坐标轴交点，步骤固定： 求与y轴交点：令x=0，得 y=b，交点坐标 (0,b)； 求与x轴交点：令y=0，得 x=，交点坐标 (,0)； 在坐标系描出两点，连接成直线，标注解析式。 补充：正比例函数画图只需取 (0,0)和 (1,k) 两点即可。 知识点02:正比例函数的图象性质 当k＞0时：函数图像经过第一、第三象限；y的值随x的增大而增大。 当k＜0时：函数图像经过第二、第四象限；y的值随x的增大而减小。 知识点03:k、b 的几何意义（本章重难点） 1. 参数k：决定直线倾斜方向与增减性 2. 参数b：决定直线与y轴交点位置 b 叫做直线的纵截距，交点固定为 (0,b)： 知识点04:待定系数法求一次函数解析式（本节重点） 1. 定义 先设出函数解析式，再根据已知条件确定解析式中未知系数，从而求出函数表达式的方法，叫做待定系数法。 2. 解题步骤 (1)设解析式：根据题意设出函数形式 普通一次函数：设 y=kx+b (k0)； 正比例函数：设 y=kx(k0)。 (2)代值列方程：把图象上两个已知点的坐标，代入所设解析式，得到关于未知系数 k、b 的方程组。 (3)求解系数：解方程组，求出 k、b的具体数值。 (4)写出解析式：将求得的系数代回最初所设式子，写出完整的一次函数解析式 知识点05:一次函数的图象与性质（重点） 知识点06:一次函数与平移变换 知识点07:一次函数图象与坐标轴交点问题 一次函数 y=kx+b (k0)的图象与坐标轴的交点问 知识点08:一次函数图象经过的象限（必背） k>0,b>0：经过一、二、三象限 k>0,b<0：经过一、三、四象限 k<0,b>0：经过一、二、四象限 k<0,b<0：经过二、三、四象限 口诀：k 正一三走，k 负二四游；b 正交上，b 负交下。 1、混淆一次函数与正比例函数概念 易错提醒：一次函数标准形式为y=kx+b(k≠0)；当b=0时函数为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数；判定函数是否属于一次函数，必须优先满足k≠0这一前提条件。 2、k、b符号与直线图像位置判断错误 易错提醒：参数k控制直线增减升降趋势，参数b控制直线与y轴交点位置；读图判断参数符号时，先依据升降趋势确定k的正负，再依据与y轴交点位置确定b的正负，不可颠倒判断顺序。 3、函数增减性判断忽略k的正负符号 易错提醒：k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小；比较不同自变量对应的函数值大小时，先要判定k的正负，不能默认y随x增大而增大。 4、求解直线与坐标轴交点坐标计算出错 易错提醒：求直线与x轴交点，令y=0代入解析式；求直线与y轴交点，令x=0代入解析式；两类赋值条件不要混淆，最终结果以坐标形式书写。 5、一次函数直线平移规律理解有误 易错提醒：直线上下平移只改变常数项b，斜率k保持不变，上下平移直接对常数项进行加减；左右平移需要对自变量x整体进行加减运算，切勿直接改动常数项完成左右平移计算。 6、两条直线平行、相交判定出现失误 易错提醒：两条直线互相平行的判定条件为k1=k2且b1≠b2；k1≠k2时两条直线相交；当k1=k2同时b1=b2时，两直线重合，不属于平行关系。 7、一次函数经过象限判断考虑不全 易错提醒：判断直线所经过的象限，需要同时结合k、b两个参数的符号综合分析；不可只依靠单个参数的符号直接判定图像经过的全部象限。 8、已知自变量范围求解函数值范围出错 易错提醒：给出自变量取值区间求对应函数值范围时，不可直接简单代入端点数值；需要结合k的正负判断函数增减变化趋势，再推导函数取值区间，防止不等号方向错误。 题型 考察方向 难度 题型一 正比例函数的图象 ★ 题型二 正比例函数的性质 ★ 题型三 判断一次函数的图象 ★★ 题型四 判断一次函数的图象 ★★ 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 ★★ 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 ★★ 题型七 求一次函数自变量或函数值 ★ 题型八 一次函数图象平移问题 ★★ 题型九 一次函数图象对称与旋转问题 ★★★ 题型十 判断一次函数的增减性 ★★ 题型十一 根据一次函数增减性求参数 ★★ 题型十二 一次函数的增减性判断自变量的变化情况 ★★★ 题型十三 比较一次函数值的大小 ★★ 题型十四 一次函数的规律探究问题 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 正比例函数的图象 1．正比例函数的图象在平面直角坐标系中的（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 2．在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是___________． 3．一次函数和 ，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B．C．D． 题型二 正比例函数的性质 4．是正比例函数图象上的两个点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 5．若函数，当自变量取值增加1的时候，函数值减少2，那么k的值是 _______． 6．如图是通过甲，乙，丙，丁四个不同电阻（）的电流（）与其两端电压（）变化的关系图象，根据图象及电学知识，可判断甲，乙，丙，丁中电阻最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型三 判断一次函数的图象 7．一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 9．一次函数（为常数，）部分自变量的值与函数值的对应关系如下表，则这个函数的图象可能是（   ）． … … … … A． B． C． D． 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 10．一次函数的图像不经过的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．直线经过一、二、三象限，那么不经过__________象限． 12．已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，据此信息判断：一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 13．如图，一次函数的图象，则k、b的符号是（   ） A．， B．， C．， D．， 14．如图，已知一次函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 15．若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（    ） A． B． C．D． 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 16．一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 17．直线和直线在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C．D． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C，P在直线上运动，则的最小值为_______． 题型七 求一次函数自变量或函数值 19．若点在直线上，则的值是______． 20．若点在函数的图象上，则的值是______． 21．已知是的一次函数，下表给出了和的部分对应值，则的值为__________． 2 5 22．小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表： … 0 1 2 … … 4 1 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（    ） A． B．1 C． D． 题型八 一次函数图象平移问题 23．将直线向下平移个单位长度得到的直线是（     ）． A． B． C． D． 24．将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则的值为_______________． 25．在平面直角坐标系中，一次函数向左平移个单位再向上平移个单位后过原点，则为（     ） A． B． C． D． 题型九 一次函数图象对称与旋转问题 26．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为______． 27．如图，直线与y轴交于点A，将直线l绕点A旋转后，所得直线的表达式为________． 28．直线与x轴交于点A，若将直线绕点A逆时针旋转得到直线．则直线与y轴的交点坐标为______________． 29．在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（     ） A． B．6 C． D．8 题型十 判断一次函数的增减性 30．已知，均在直线上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 31．如图，若函数图象上任意两点，均满足，下列四个函数图象中所有正确的函数图象的序号是（     ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 32．已知一次函数（k为常数），y随x的增大而减小，若点N在该函数的图象上，则点N的坐标不可能是（     ） A． B． C． D． 题型十一 根据一次函数增减性求参数 33．一次函数中，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 34．已知，两点都在一次函数的图象上，则a，b的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 35．一次函数，当时，的最大值为，则的值为__________． 36．已知函数（a为常数），当时，y有最小值为4，则a的值为（   ） A． 或 B． 或 C． 或 D．或 题型十二 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 37．若点都在一次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 38．如图，一次函数的图象经过点，则一元一次不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 39．我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为．在我的图象上有两点，且，，当时，m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 题型十三 比较一次函数值的大小 40．已知点，在一次函数的图像上．若，则（     ） A． B． C． D． 41．已知点，在一次函数的图象上，则________．（填“”“”或“”） 42．已知定义为：．例如，若关于x的函数，则y的最小值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型十四 一次函数的规律探究问题 43．如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 44．将正方形，，按如图所示方式放置，点，，……和点，，，……分别在直线和x轴上，则的坐标是______． 45．如图，直线的解析式为，点坐标为，过作轴交于，过作交轴于，过作轴交于，过作交轴于，，按此规律进行下去，则的坐标为______． 解答题 1．已知关于的函数关系式为：． (1)若是的正比例函数，求的值； (2)若是的一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)若一次函数的图象经过M点，则b_____0 (填“”或“”或“”)； (2)若一次函数的图象经过三个点中的某一点，求b的最大值； (3)①已知直线，则此直线一定过定点 ； ②当时，在图中用阴影表示直线扫过的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是 ． 3．如图，直线：与坐标轴分别交于、两点，直线：过点，与交于点． (1)求的值及直线的表达式； (2)求的面积________； (3)将直线向下平移个单位，若平移后的图象与线段（不包括端点）的交点为整数点（即横、纵坐标均为整数的点），直接写出的值________． 4．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程. (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 2 4 b 0 … 请根据表格中的信息，确定b的值，_____； (2)根据（1）中的列表，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． (3)结合函数图象，解决问题： ①写出函数的一条性质 ． ②若点,在函数图象上，且，则与的大小关系为__． ③若关于x的方程有两个解，请直接写出满足条件的m的取值范围 ． ④若点，都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围 ． 5．已知一次函数． (1)若过点，且点、均在它的图像上，求； (2)①若点、在的图像上，求； ②若点、也在的图像上，则是定值吗？若不是，直接写“不是”，若是，求出结果． (3)点、、均在一次函数的图像上，直接写出n的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $