3.5 课时2 直线与圆的位置关系 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第三章圆 3.5点与圆、直线与圆的位置关系 课时2直线与圆的位置关系 课时目标 理解直线与圆相离、相切、相交的三种位置关系及弦、割线、切线概念。 2. 掌握用圆心到直线距离d与半径r的关系(d>r、d=r、d<r)判定位置。 3 能运用数量关系判定直线与圆的位置，并进行弦长、圆心距的计算。 课时目逯 知识点01：直线与圆的三种位置关系 知识点O2:圆心到直线的距离与半径r的关系 知识点03：弦与割线的概念 知识点04：切线的定义 知识点05：用数量关系判定直线与圆的位置 知识点06：直线与圆位置关系中弦长、圆心距的计算 知识点01：直线与圆的三种位置送系 直线与圆的位置关系有三种：相离（无公共点）、相切（一个公共点）、相交（两个公共 点) 1/12 由圆心到直线的距离d与半径r比较决定。 例如：d>r时直线与圆相离。 注意：公共点个数分别对应0、1、2，是判定位置的关键。 1.(25-26九年级上江苏盐城期末)己知⊙0的半径为3cm,圆心0到直线！距离为5cm,则⊙0与直线 I位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 2.(25-26九年级上：江苏徐州阶段检测)已知⊙0的半径为2，点0到直线1的距离为5，则直线1与⊙0 的位置关系是() A.相切 B.相离 C.相离或相切 D.相切或相交 3.(25-26九年级上江苏南通期末)⊙0的半径为5cm,圆心0到直线I的距离为3cm,则直线I与⊙0 的位置关系是 4.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)若⊙0的半径为4，圆心0到直线1的距离为5，则直线1与⊙0 的位置关系是 一（填相交、相切或相离） 知识点02：圆心到直线的距离d与半径r的送系 设圆心到直线距离为d、半径为r:d>r时相离；d=r时相切；d<r时相交。 例如：=4、d=5,则直线与圆相离。 注意：这里d是“圆心到直线的垂线段长度”，须用点到直线距离，不是到线上某点的距 离。 2/12 5.(25-26九年级上江苏盐城期中)如图，直线1与半径为r的⊙0相交，且点0到直线I的距离为6，则 r的值可以是() A.4 B.5 C.6 D.8 6.(25-26九年级上·江苏盐城期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,O是△ABC的 内心，以O为圆心，”为半径的圆与线段AB有且只有一个公共点，则r的取值范围是一 7.(25-26九年级上江苏镇江期中)在同一平面内，己知点0到直线l的距离为5cm.以点0为圆心， rcm ⊙0 3cm 为半径画圆.当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是一 8.(25-26九年级上江苏常州期中)“等弦”的探究. (I)如图①，在⊙O中，AB,CD是弦，且AB=CD.由此，你能发现什么？小明发现点O到AB,CD 的距离相等.小红发现延长AB,CD交于点P,则PA=PC.从小明、小红两位同学所发现的结论中， 选择一个完成证明. 3/12 B ① (2)如图②，己知△ABC,⊙0与△ABC各边都相交且所形成的弦的长度均相等.若AC=3,BC=4, AB=5⊙O 的半径为”，则的取值范围是一 ② 知识点03：弦与割线的概念 与圆有两个公共点的直线叫做圆的割线，割线在圆内的线段叫做弦。 弦是连接圆上两点的线段。 例如：直线I与⊙O交于A、B两点，1是割线，线段AB是弦。 注意：割线是直线（可无限延长），弦是线段：直径过圆心是特殊的弦。 A 0 B 9.(2025江苏镇江·一模)已知矩形ABCD中，AB=a,BC=b,若以AB为直径的圆与边CD有交点， 则a与b满足的关系为() A.a22b B.a>2b C.a>b D.azb 4/12 10.(24-25九年级上江苏苏州：阶段检测)已知圆的半径为6.5cm,如果这个圆的圆心到直线1的距离为 9cm,那么直线I和这个圆的位置关系是（) A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 11.(25-26九年级上·江苏南京·阶段检测)已知⊙0的半径为2cm,圆心O到直线1的距离为3cm,直线1 与⊙0的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 12.(25-26九年级上江苏盐城·阶段检测)【新定义】 (D>0) 在平面内，已知点O和直线1，设点O到直线1的距离为 对于给定的正数d,以点O为圆 心、心>0)为半径的圆上，到直线1的距离等于d的点称为该圆的“d-点”.记函数表示圆上 “d-点”的个数. 【探究】 已知D=5,d=3 (1)当”= 时，)1 (2)当”= 时，f)=3 3)随者r的变化，请写出)=4 时，对应r的取值范围. 【巩固】 ④当D=d时，讨论随r的变化想律，写出的取值及对应r的条件。 【应用】 (⑤)平面直角坐标系中，点P坐标为 ),在以点P为圆心3为半径的圆上，到直线：”=x+6合 的距 离d=2的2-点”的个数f3)=2 求b的取值范围. 5/12 y y=x+b P 知识点04：切线的定义 与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 例如：直线1与⊙O仅交于一点T,则1是切线，T为切点。 注意：切线是直线，切点是唯一公共点；判定相切也可用d=,二者等价。 d=r T 13.(25-26九年级上江苏无锡期末)下列说法正确的是（) A.长度相等的弧是等弧 B.同弧所对的圆周角相等 C.经过半径外端的直线是圆的切线 D.正多边形是中心对称图形 14.(25-26九年级上江苏南京阶段检测)下列命题中，是真命题的为() A.三点确定一个圆 B.同弦所对的圆周角相等 C.对角互补的四边形四点共圆 D.垂直于半径的直线是圆的切线 15.(24-25九年级上江苏徐州阶段检测)下列说法中，正确的是() A.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B.在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 C.三角形有且只有一个内切圆 D.三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等 6/12 16.(2025江苏无锡模拟预测)下列判断正确的是() A.同弧或等弧所对的圆心角相等 B.三点确定一个圆 C.长度相等的弧是等弧 D.垂直于半径的直线是圆的切线 知识点05：用数量关系判定直线与圆的位置 判定直线与圆的位置，计算圆心到直线的距离d并与半径r比较： d>r相离、d=r相切、d<r相交。 例如：圆心到直线距离为3、半径3，则相切。 注意：求d需用点到直线距离公式（或几何方法），比较后再下结论。 17.(25-26九年级上江苏盐城阶段检测)已知⊙0的直径为6，点0到直线1的距离为4，则直线1与 ⊙0 的位置关系是(). A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 18.(24-25九年级上江苏苏州阶段检测)已知圆的直径是10©m,圆心到直线的距离是一元二次方程 x2-3x-4=0 的一个根，则直线与圆的位置关系是() A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定 19.(25-26九年级上江苏盐城期中)已知⊙0半径为5，点0到直线1的距离为3，则直线1与⊙0有公 共点一个. 20.(2526九年级上江苏盐城期中)如图，在矩形4BCD中，MB=45,BC=10,⊙1的半径为22 E、F分别为BC、CD所在直线上的动点，且CE=CF,连接EF.若线段EF上存在唯一的点M,将 点M绕点B逆时针旋转60°时，恰好落在OA上，则EF的长为 知识点06：直线与圆位置关系中弦长、圆心距的计算 7/12 相交时弦长可由半径r、圆心到弦（直线）距离d求得： 半弦长=2-d,弦长=2x2-d。 例如：=5、d=3,则弦长=2×V25-9=8。 注意：相离时无弦：相切时d=r弦长为0（退化为切点）；只有相交才用此式。 21.(25-26九年级上江苏南通阶段检测)若半径为3cm的⊙0与直线1相离，则圆心O到直线1的距离 可以是() A.Icm B.2cm C.3cm D.4cm 22.(25-26九年级上江苏徐州期中)已知直线I和⊙0相交，⊙0的半径为2，则圆心0到1的距离d的 值可以是() A.1 B.2 C.3 D.4 23.(25-26九年级上江苏苏州阶段检测)已知⊙0的半径为5，直线AB与O0相切，圆心0到直线AB 距离等于 24.(26-27九年级上江苏宿迁阶段检测)【概念认识】对于平面直角坐标系O少中的图形T和图形W, 给出如下定义：M为图形T上任意一点，N为图形W上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为 图形T到图形W的“最近距离”，记作 (T-m）.如图O,△MBC到正方形DBFG的“最近距离”就 是点A、D之间的距离，即(a4BC-正方形DEFG)=3 【概念理解】如图②。在平面直角坐标系中，以O(0,0)为圆心，2为半径作圆. 8/12 3 2 G C \A D E -4-3-2-1101234 -2 -3 图① 图② 图③ ①活点丑的坐标为民4)，则4H-00) (3,a)d(2-⊙0)=3 (2)若点Q的坐标为 则a=一 ⊙)【灵活运用】如图3，在平面直角坐标系中，已知点(-3,6)，(-3，-2)，K83-3-2.点P 是x轴上的一点，设点P的坐标为 m0,以点P为圆心，1为半径作圆.若(oP-a△瓜)= ,请直 接写出的取值范围. 课时训练 一、选择题 1.(25-26九年级上江苏无锡期中)若⊙0的半径为5，点P到圆心O的距离也为5，则经过点P的直线 与⊙0的位置关系是() A.相切 B.相交 C.相切或相交 D.相切或相离 2.(24-25九年级上江苏苏州期末)四个半径为5的等圆与直线1的位置关系如图所示，若某个圆上的点 到直线的最大距离为8，则这个圆可能是() ·04 0 9/12 A.⊙0 B.⊙0 C.⊙0 D.⊙0 3.(23-24九年级上·江苏苏州阶段检测)已知⊙0的圆心到直线1的距离是一元二次方程x2-x-20=0的 一个根，若⊙0与直线1相离，⊙0的半径可取的值为() A.4 B.5 C.6 D.7 4.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3Cm,BC=4cm,以 点C为圆心，以3.5cm为半径作圆，则⊙C与边AB的公共点个数为() B A.0个 B.1个 C.2个 D.不确定 二、填空题 5.(25-26九年级上·江苏扬州阶段检测)设⊙0的半径为r,圆心O到直线1的距离为d,并且方程 x2-2/dx+r=0 0无实数根，则直线1与⊙0的位置关系是 6.(25-26九年级上江苏南通期中)已知⊙0的半径是2，圆心0到直线的距离为2.5，则直线1与⊙0 的位置关系是 7.(24-25九年级上·江苏无锡期中)如图，直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上，PH=4,点O在 线段PH上，若以点O为圆心，OP长为半径的圆与直线a相交，则OP的取值范围为 10112 8.(25-26九年级上江苏常州期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=30°，AC=2,D是 AB上一点（点D与点A不重合），若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为 直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是 三、解答题 9.(2425九年级上江苏盐城阶段检测)如图①所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,若以 点C为圆心，R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的长. 解：如图②所示，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边AB相切， D ① ② 过点C作CD⊥AB于D,则CD=R 由勾股定理，得AB=V4C+BC-32+4-5, 由=角形的雨积公式得Sax方4C8C=CD, 2 AC.BC3×412 ∴R=CD=AB=5=5=2.4 上述解答正确吗？如不正确，请说明理由， 10,(24-25九年级上江苏宿迁期中)定义：若关于*的-元二次方程+r+C=0a+0)的两个实数根 为，区<），分别以，为横坐标和纵坐标得到点 (:,),则点M为该一元二次方程的衍生 11/12 点 1)若一元二次方程x2=4x,写出该方程的衍生点M的坐标 ②)若关于x的一元二次方程为 2-(2m-3)x+m2-3m=0 ①求该方程的衍生点M的坐标 ②若以点M为圆心，r为半径的OM与x轴、y轴都相切，求r的值. 3)是否存在b,c,使得不论k(k≠O0)为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线 y=kc+2(4-k) 的图像上？若有，请求出b,c的值；若没有，请说明理由， 12112 2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第三章 圆 3．5 点与圆、直线与圆的位置关系 课时2 直线与圆的位置关系 ▌课时目标 1. 理解直线与圆相离、相切、相交的三种位置关系及弦、割线、切线概念。 2. 掌握用圆心到直线距离d与半径r的关系（d＞r、d＝r、d＜r）判定位置。 3. 能运用数量关系判定直线与圆的位置，并进行弦长、圆心距的计算。 ▌课时目录 知识点01：直线与圆的三种位置关系 知识点02：圆心到直线的距离d与半径r的关系 知识点03：弦与割线的概念 知识点04：切线的定义 知识点05：用数量关系判定直线与圆的位置 知识点06：直线与圆位置关系中弦长、圆心距的计算 ▌知识点01：直线与圆的三种位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相离（无公共点）、相切（一个公共点）、相交（两个公共点）。 由圆心到直线的距离d与半径r比较决定。 例如：d＞r时直线与圆相离。 注意：公共点个数分别对应0、1、2，是判定位置的关键。 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知的半径为，圆心到直线距离为，则与直线位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系的判定，根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断位置关系，当时直线与圆相离，时相切，时相交． 【详解】∵的半径，圆心到直线的距离，且，即， ∴与直线的位置关系是相离． 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知的半径为2，点O到直线l的距离为5，则直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键是熟练掌握圆心到直线的距离与半径的关系． 根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系即可． 【详解】解：∵的半径，点O到直线l的距离，且， ∴直线l与相离． 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是__________． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系；由题意得出，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为， ∴， 即， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交， 故答案为：相交． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若的半径为4，圆心到直线的距离为5，则直线与的位置关系是__________（填相交、相切或相离） 【答案】相离 【分析】本题考查直线和圆的位置关系，判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为4，圆心到直线的距离为5， ∴, ∴直线与圆相离， 故答案为：相离． ▌知识点02：圆心到直线的距离d与半径r的关系 设圆心到直线距离为d、半径为r：d＞r时相离；d＝r时相切；d＜r时相交。 例如：r＝4、d＝5，则直线与圆相离。 注意：这里d是“圆心到直线的垂线段长度”，须用点到直线距离，不是到线上某点的距离。 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 直线与半径为的相交，且点到直线的距离，按照即可得到问题的答案． 【详解】解：直线与半径为的相交，且点到直线的距离为， ， 比较四个选项中的数，只有D选项中的，满足题意， 故选：D． 6．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内心，以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的内切圆与内心、勾股定理、直角三角形内切圆半径的计算等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由勾股定理求出是解决问题的关键． 作于D，于E，于F，根据题意得出四边形是正方形，得出，由勾股定理得出，由内心的性质得出，，，由勾股定理求出，，由直线与圆的位置关系，即可得出结果． 【详解】解：如图，作于D，于E，于F，连接，， 则， 四边形是长方形， 是的内心， ， 四边形是正方形， ． ，，， ， 设， 则， ， ， ，， ，， 当时，与线段有且只有一个公共点， 当时，与线段有两个公共点， 当时，与线段有且只有一个公共点， 当时，与线段没有公共点， 综上可知，的取值范围是或． 故答案为：或． 7．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，理解题意是解题的关键．以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线m上，圆与直线l的位置关系是相交，据此即可判断． 【详解】解：以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线l上． 则直线l到圆心O的距离是：或． 圆O与直线l相交，因而该圆的半径r的取值范围是． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏常州·期中）“等弦”的探究． (1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． (2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____． 【答案】(1) ①选择小明． 理由：如图①，过点O分别作，，垂足分别为E、F，连接、， ∵，且过圆心O， ∴， ∵，且经过点O， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即O到、的距离相等； ②选择小红． 证明：如图①，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）小明：根据勾股定理或者全等即可证明；小红：利用等弧所对的圆周角相等，再利用等角对等边即可得证； （2）①利用（1）中小明的结论可知，圆心可到三边距离相等，所以作角平分线的交点即可； ②因为得满足与三边相交，所以找临界值相切时值，再看最短的，就作为另一个临界值． 【详解】（1）略 （2）解：如图②中，即为所求． ∵， ∴， ∴， 当是的内切圆时， 则有， 解得， 当过点时可得， 又因为得满足与三边相交， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，圆心角，弧，弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． ▌知识点03：弦与割线的概念 与圆有两个公共点的直线叫做圆的割线，割线在圆内的线段叫做弦。 弦是连接圆上两点的线段。 例如：直线l与⊙Ｏ交于A、B两点，l是割线，线段AB是弦。 注意：割线是直线（可无限延长），弦是线段；直径过圆心是特殊的弦。 9．（2025·江苏镇江·一模）已知矩形中，，，若以为直径的圆与边有交点，则与满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，掌握圆的半径与圆心到直线的距离的大小关系是关键． 根据圆的半径与圆心到直线的距离的关系判定即可，即，相离；，相切；，相交，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， 以为直径的的半径为， ∵与边有交点， ∴，即， ∴， 故选：A ． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知圆的半径为，如果这个圆的圆心到直线l的距离为，那么直线l和这个圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，掌握圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系与圆与直线的位置关系成为解题的关键． 根据圆心到直线的距离d大于圆的半径r，此时直线与圆的位置关系为相离，据此即可解答．． 【详解】解：已知圆的半径，圆心到直线l的距离， ∵， ∴圆心到直线的距离大于圆的半径， ∴直线l与圆相离． 故选A． 11．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知的半径为，圆心O到直线l的距离为3cm，直线l与的位置关系是（      ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握当，则直线与圆相离，当，则直线与圆相切，当，则直线与圆相交．利用直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：的半径r为，圆心O到直线l的距离d为， ， 直线l与的位置关系是相离， 故选：A． 12．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）【新定义】 在平面内，已知点O和直线l，设点O到直线l的距离为．对于给定的正数d，以点O为圆心、为半径的圆上，到直线l的距离等于d的点称为该圆的“点”．记函数表示圆上“点”的个数． 【探究】 已知． （1）当__________时,； （2）当__________时,； （3）随着r的变化，请写出时，对应r的取值范围． 【巩固】 (4)当时，讨论随r的变化规律，写出的取值及对应r的条件． 【应用】 (5)平面直角坐标系中，点P坐标为，在以点P为圆心3为半径的圆上，到直线l：的距离的“点”的个数，求b的取值范围． 【答案】（1）2 （2）8 （3）当时， （4）时：当时，；当时，；当时，； （5）或 【分析】本题考查了新定义“点”的理解、直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式，解题的关键是将“圆上到直线l的距离为d的点的个数”转化为“圆与到直线l距离为d的两条平行线的交点总数”，通过分析圆与这两条平行线的位置关系（相交、相切、相离）确定交点个数． （1）到直线l距离为d的点的轨迹是两条平行于l的直线₁、l₂），点O到l₁、l₂的距离分别为、；当时，圆与其中一条直线相切个交点），与另一条相离个），结合、，得． （2）当时，圆与一条直线相切个），与另一条相交个），故． （3）当时，圆与两条直线都相交，需且，即． （4）当时，l₁与l重合（点O到l₁的距离为，到O的距离为；分（与l₁相交2个，与相离，共2个）、（与相交2个，与相切1个，共3个）、（与两条直线都相交，共4个）讨论． （5）先求点到直线的距离，到l距离为2的两条平行线到P的距离为、；由（交点总数，得且，解得b的范围． 【详解】（1）解：到直线l距离为3的轨迹是两条平行线l₁、l₂，点O到l₁的距离为，到l₂的距离为．当时，圆与l₁相切，与l₂相离，故； 故答案为：2． （2）当时，圆与l₂相切，与l₁相交个交点），总3个，故； 故答案为：8． （3）当时，圆与l₁、l₂都相交，需且，故； 故答案为：． （4）当时，l₁与l重合到l₁距离，l₂到O距离． 若，圆与l₁相交个），与l₂相离，； 若，圆与l₁相交个），与l₂相切个），； 若，圆与两条直线都相交，． （5）直线l：，点到l的距离．到l距离为2的平行线到P的距离为、． ∵， ∴圆与一条平行线相交个），与另一条相离个），即且， 解得，即， ∴， 故b的范围为或； 答：b的取值范围是或． ▌知识点04：切线的定义 与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 例如：直线l与⊙Ｏ仅交于一点T，则l是切线，T为切点。 注意：切线是直线，切点是唯一公共点；判定相切也可用d＝r，二者等价。 13．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．同弧所对的圆周角相等 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．正多边形是中心对称图形 【答案】B 【分析】本题考查圆的相关概念、圆周角定理、切线的判定及正多边形的对称性，需逐一分析各选项的正误． 【详解】解：∵等弧的定义是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧，仅长度相等的弧不一定能重合，∴A选项错误． ∵圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，∴B选项正确． ∵圆的切线判定定理是经过半径的外端且垂直于这条半径的直线才是圆的切线，仅经过半径的外端的直线不一定垂直于该半径，∴C选项错误． ∵只有边数为偶数的正多边形是中心对称图形，如正三角形不是中心对称图形，∴D选项错误． 故选：B． 14．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）下列命题中，是真命题的为（    ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．对角互补的四边形四点共圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【分析】本题主要考查真假命题的判定，圆的性质，圆周角定理，四点共圆的判定以及切线的判定，根据这些知识一一判定即可得出答案． 【详解】解：．不共线的三点确定一个圆，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．对角互补的四边形四点共圆，原命题是真命题，故该选项符合题意； ．经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 15．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法中，正确的是（ ） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 C．三角形有且只有一个内切圆 D．三角形的内心到三角形的个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】此题考查了圆的切线的定义，三角形的内心的概念，要求学生对这些概念熟练掌握．根据切线的定义判断选项A；根据同弦或等弦所对的圆周角判断选项B；根据三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点判断选项C；根据三角形的内心的性质判断选项D． 【详解】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； B、在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，则不一定相等； C、三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个； D、三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等．由此可见只有选项C是正确的． 故选：C． 16．（2025·江苏无锡·模拟预测）下列判断正确的是（   ） A．同弧或等弧所对的圆心角相等 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】A 【分析】本题主要考查了等弧的定义，弧与圆心角之间的关系，确定圆的条件，切线的定义，分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可． 【详解】解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，原说法正确，符合题意； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； C、能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，原说法错误，不符合题意； D、经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，原说法错误，不符合题意； 故选：A． ▌知识点05：用数量关系判定直线与圆的位置 判定直线与圆的位置，计算圆心到直线的距离d并与半径r比较： d＞r相离、d＝r相切、d＜r相交。 例如：圆心到直线距离为3、半径3，则相切。 注意：求d需用点到直线距离公式（或几何方法），比较后再下结论。 17．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知的直径为6，点O到直线l的距离为4，则直线l与的位置关系是（    ）． A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了圆和直线位置关系的判断；比较圆心到直线的距离和半径的大小即可确定． 【详解】解：∵的直径为6， ∴半径， ∵点O到直线l的距离为4， ∴， ∴直线l与相离； 故选：C． 18．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知圆的直径是，圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程、直线与圆的位置关系等，熟记一元二次方程的解法及直线与圆的位置关系判定方法是解决问题的关键． 先通过求解一元二次方程得到圆心到直线的距离，再与圆的半径比较，进而判断直线与圆的位置关系即可得到答案． 【详解】解：∵ 圆的直径是， ∴ 半径， ∵ 一元二次方程， ∴ 因式分解得， 解得，， ∵ 圆心到直线的距离不能为负数， ∴圆心到直线的距离， ∵， ∴ 直线与圆相交， 故选：C． 19．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与有公共点_____个． 【答案】2 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r关系判断位置关系是解题关键． 由，得到，故直线l与相交，则有两个公共点． 【详解】解：∵的半径，点O到直线l的距离， ∴，故直线l与相交，有两个公共点， 故答案为：2． 20．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，的半径为，、分别为、所在直线上的动点，且，连接若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上，则的长为_______． 【答案】或 【分析】本题考查旋转的性质，直线与圆的位置关系，矩形的性质，含直角三角形的性质，三角形的面积计算；若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上，等价于将绕点顺时针旋转，得到时，线段上存在唯一的点，恰好落在上，连接、、，过作，、，则四边形为矩形，当时，点M是线段上唯一在上的点，设，则，分类讨论：①当，即时，利用建立方程求解；②当，即时，利用求解. 【详解】解：由旋转的性质可得： ∵若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上， ∴将绕点顺时针旋转，得到时，线段上存在唯一的点，恰好落在上，如图1所示， ∵点、点分别为、所在直线上的动点，由图可知当点在点C右侧或点在点C下方时，线段与没有交点， ∴点、点分别为射线、射线上的动点， 连接、、，过作，、，则四边形为矩形， ∵的半径与的半径相同为， ∴当时，点M是线段上唯一在上的点， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， 设，则， ①当，即时，则，，如图1所示： 此时， ， ， ， ， ∵由图1可知：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ②当，即时，则，，如图2所示： 此时， ， ， ， ， ∵由图2可知：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴. 综上：或时线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上. 故答案为：或. ▌知识点06：直线与圆位置关系中弦长、圆心距的计算 相交时弦长可由半径r、圆心到弦（直线）距离d求得： 半弦长＝，弦长＝2×。 例如：r＝5、d＝3，则弦长＝2×＝8。 注意：相离时无弦；相切时d＝r弦长为0（退化为切点）；只有相交才用此式。 21．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一个圆的圆心到直线的距离为d，圆的半径为，则当时，直线与圆的位置关系为相离；当时，直线与圆的位置关系为相切，当时，直线与圆的位置关系为相交，由题意可得圆心O到直线l的距离大于，据此可得答案． 【详解】解：∵半径为的与直线l相离， ∴圆心O到直线l的距离大于， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 22．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系；解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得． 【详解】解： 的半径 ，直线 l 与 相交， 圆心到直线的距离 ，即 ． 选项中只有 A．，故的值可以是1． 故选：A． 23．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 【答案】5 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径为5，直线与相切， ∴圆心到直线距离等于5； 故答案为：5． 24．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）【概念认识】对于平面直角坐标系中的图形T和图形W，给出如下定义：M为图形T上任意一点，N为图形W上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到图形W的“最近距离”，记作．如图①，到正方形的“最近距离”就是点A、D之间的距离，即． 【概念理解】如图②，在平面直角坐标系中，以为圆心，2为半径作圆． (1)若点H的坐标为，则______； (2)若点Q的坐标为，，则______； (3)【灵活运用】如图③，在平面直角坐标系中，已知点，，．点P是x轴上的一点，设点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆．若，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)m的取值范围为或或 【分析】（1）连接，与交于点，由勾股定理得，由题意知，即可求解； （2）连接，交于点，根据题意可得，再利用勾股定理，即可求解； （3）根据半径为1，，可得圆心到的边的最小距离为2时满足条件，再根据，，，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，与交于点， 由题意得，， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，交于点， 由题意得，， ∵，即， ∴， ∵， ∴， 解得． （3）解：如图，设与轴的交点为，与轴的交点为， ∵半径为1，， ∴圆心到的边的最小距离为2时满足条件， ∵，， ∴， ∵圆心的坐标为， ∴圆心到的距离为， 当时，， ∴，即，不符合题意； 当时，， ∴，符合题意； 当时，， ∴，不合题意； 当时，， ∴，符合题意； 当时，，即， 此时∵，， ∴轴， ∵点是x轴上的一点， ∴点到的距离为2， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作于点， 当时，， ∴， ∴当时，符合题意； 如图，过点作于点， 当时，， ∴， ∴当时，符合题意； 由图可知，当，时，均不符合题意； 综上所述，m的取值范围为或或． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若的半径为5，点P到圆心O的距离也为5，则经过点P的直线与的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相切或相交 D．相切或相离 【答案】C 【分析】此题考查了直线与圆的位置．根据点到经过点P的直线的距离小于或等于半径5，则经过点P的直线与的位置关系是相切或相交． 【详解】解：∵的半径为5，点P到圆心O的距离也为5， ∴圆心到经过点P的直线的距离小于或等于半径5， ∴经过点P的直线与的位置关系是相切或相交， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．根据圆与直线相交求解即可． 【详解】解：、、、是四个半径为5的等圆，某个圆上的点到直线l的最大距离为8， ∴直线与这个圆相交且不经过圆心，且与圆有两个交点， 某个圆上的点到直线l的最大距离为8是， 故选：C． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，的半径可取的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆的位置关系可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：， ， 或， ，， 的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ， 与直线相离， 的半径，即， 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作圆，则与边的公共点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系．熟练掌握点、直线和圆的位置关系，勾股定理，面积法求三角形的高，是解本题的关键． 过点C作于点D，设的半径为r，求出，，比较， ， ，即得答案． 【详解】解：过点C作于点D，设的半径为r， ∵在中，，， ∴， 由三角形面积公式得：， 解得：， ∵， ∴， ∴点D在内， ∵， ∴点A在内， ∴与线段无交点； ∵， ∴点B在外， ∴与线段有一个交点． 综上，与边有一个交点． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是______． 【答案】相交 【分析】本题考查根的判别式，判断直线和圆的位置关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．通过方程无实数根的条件，利用判别式得到d与r的关系，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系即可． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴，即． ∵圆心到直线的距离小于半径， ∴直线与相交． 故答案为：相交． 6．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是______． 【答案】相离 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆位置关系的判定方法（比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系）是解题的关键．先明确圆的半径和圆心到直线的距离，再通过比较两者的大小来确定直线与圆的位置关系． 【详解】解：的半径，圆心到直线的距离， ， 直线与相离， 故答案为：相离． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，点O在线段上，若以点O为圆心，长为半径的圆与直线a相交，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系“直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离”，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．设，则，根据圆与直线相交可得，再根据求解即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵直线，以点为圆心，长为半径的圆与直线相交， ∴，即， 解得， 又∵点在线段上， ∴， 解得， ∴的取值范围为， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容；设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论，当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点，当此圆与直角边相切时，为临界状态，此时这样的点有2个，当此圆过点C时，也为临界状态，点D和点B重合，不符合题意． 【详解】解：在中，， ∴， 设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形， ①当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点， 如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意； 当以为直径的圆与相切时，如图所示， 设圆的半径为r，即， ∵，， ∴， ∴，解得； ∴； 综上，的长的取值范围为：． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图①所示，在中，，若以点C为圆心，R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的长． 解：如图②所示，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切， 过点C作于D，则 由勾股定理，得＝， 由三角形的面积公式，得， ∴＝＝ 上述解答正确吗？如不正确，请说明理由． 【答案】 解：上述解答不正确，理由如下： 如图，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相交于一点，那么R应满足，即， 结合题干可知：R的取值范围为：或 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理， 以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切或以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相交于一点，即；进而即可得到R的值和范围． 【详解】略 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则点为该一元二次方程的衍生点． (1)若一元二次方程，写出该方程的衍生点的坐标______． (2)若关于的一元二次方程为． ①求该方程的衍生点的坐标． ②若以点为圆心，为半径的与轴、轴都相切，求的值． (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图像上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；② (3)有， 【分析】（1）利用因式分解法求解方程的解，然后根据定义即可求解； （2）①利用因式分解法解方程，再根据衍生点的定义求解；②由条件得出圆心到坐标轴的距离相等，建立等式即可求解； （3）求出直线的恒过定点，将其视为衍生点，再利用根数系数的关系建立等式求解即可． 【详解】（1）解： ， 解得：， 点为该一元二次方程的衍生点， 故答案为：． （2）①， ， 解得：， 该方程的衍生点的坐标为：； ②当以点为圆心，为半径的与轴、轴都相切， ， 解得：； （3）解：， 该直线过定点：， 根据定义，满足， 当为，会使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图像上， 由得； ， ． 【点睛】本题考查了求一元二次方程的解，根与系数的关系、一次函数图象恒过定点问题、圆等问题，解题的关键是读懂衍生点的定义，根据定义进行求解衍生点，再解决问题（3）时，需要将定点视为衍生点才是解题的突破口． / 学科网（北京）股份有限公司 $