4.2第1课时 角 课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

第四章 基本平面图形 4.2 角 第1课时 角（角的认识） 2026—2027学年 北师大版 数学 七年级上学期 学习导航 第1课时 1 一 情境引入 从生活实物中 发现角的形象 二 角的概念 静态定义 动态定义（旋转） 三 角的表示 四种表示方法 及适用范围 四 角的分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 五 度分秒 角的度量单位 六十进制换算 六 方向角 用方向角 准确描述方向 学习目标 三维目标 2 学习目标 1. 经历从实物中抽象出角的过程，理解角的两种定义， 认识角的顶点和边； 2. 掌握角的四种表示方法，会根据图形选择合适的表示方法； 3. 认识平角、周角，会按角的度数对角的类型进行分类； 4. 认识度、分、秒，会进行度、分、秒的简单换算； 5. 理解方向角的意义，能用方向角准确地描述方向。 教学重点 角的表示方法； 度、分、秒的换算。 教学难点 角的动态定义； 度、分、秒的六十进制换算。 情境引入 生活中的角 3 看一看，找共同点 · 圆规两只脚张开； · 折扇的两片扇骨张开； · 钟表的时针与分针； · 屋顶的人字梁与水平面。 它们都给我们“角”的形象。 想一想 在小学我们已经认识了角， 你能用自己的话说一说：什么叫做角吗？ 角的形象 O A B ∠AOB 探究一 角的概念 静态定义 4 角的静态定义 由两条有公共端点的射线组成的图形叫作角。 这个公共端点叫作角的顶点， 这两条射线叫作角的两条边。 如图，顶点是 O，边是射线 OA、OB， 记作 ∠AOB（或 ∠BOA）。 特别提醒 ① 角的两条边是射线，不是线段； ② 角的大小只与两条边张开的程度有关， 与边画得长短无关。 角的组成 O 顶点 A（边） B（边） 探究一 角的动态定义 旋转成角 5 角的动态定义 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。 开始位置的射线叫始边， 终止位置的射线叫终边。 平角 终边与始边成一条 直线时，所成的角 叫平角。 1平角 = 180° 周角 终边旋转到与始边 重合时，所成的角 叫周角。 1周角 = 360° 旋转成角 终边 始边 O 重点辨析 · 平角的两边成一条直线，但平角不是直线； · 周角的两边重合成一条射线，但周角不是射线。 典例精讲 例1 6 例1 下列说法：①两条射线组成的图形是角；②角的两条边是射线； ③角的大小与两边画得长短有关；④一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是周角。 其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 分析 ① 缺少“有公共端点”这一条件，错误； ② 角的两条边确实是射线，正确； ③ 角的大小与边画得长短无关，错误； ④ 射线绕端点旋转一周所成的是周角，正确。 所以正确的是 ②④，共 2 个。 解答 正确的是 ②④，共 2 个， 故选 B。 方法小结：判断与角有关说法的正误， 要紧扣角的定义的两个要素—— 有公共端点、两条射线。 即时练习（一） 角的定义 7 填空 1. 角是由两条有____________的____________组成的图形，这个公共端点叫作角的__________。 2. 角也可以看成是由一条射线绕着它的__________旋转而成的图形。 3. 一条射线绕它的端点旋转，当终边与始边成一条直线时，所成的角是______角； 当终边与始边重合时，所成的角是______角。 选择与判断 4. 下列说法正确的是（ ） A. 角的两条边是线段 B. 角的顶点可以有多个 C. 角的两条边是射线 D. 角的大小与边画得长短有关 5. 判断：平角就是一条直线。（ ） 周角就是一条射线。（ ） 【答案】1. 公共端点、射线、顶点 2. 端点 3. 平、周 4. C 5. ×、× 探究二 角的表示方法 四种表示法 8 方法 记法 适用范围 ① 三个大写字母 ∠AOB 或 ∠BOA 任何角（顶点字母写中间） ② 一个大写字母 ∠O 顶点处只有一个角时 ③ 一个数字 ∠1 角的内部画弧线并标数字 ④ 一个小写希腊字母 ∠α 角的内部画弧线并标字母 符号“∠” 表示角的符号是“∠”，读作“角”。注意：不能把“∠”写成小于号“<”。 例如：∠AOB 读作“角AOB”。 表示角的注意点 要点提醒 9 三点注意 ① 用三个大写字母表示角时， 表示顶点的字母必须写在中间； ② 用一个大写字母表示角，只能用于 顶点处只有一个角的情形； ③ 用数字或希腊字母表示角，要画弧线标注。 图形中的角 图中顶点 O 处有三个角， 只能用 ∠AOB、∠BOC、∠AOC 表示， 不能记作 ∠O。 以 O 为顶点有三个角 O A B C 三个角分别是： ∠AOB（红色弧）、∠BOC（紫色弧）、∠AOC（青色弧）。 因为顶点 O 处不止一个角，所以它们都不能用 ∠O 表示。 典例精讲 例2 10 例2 如图，以点 O 为顶点有三条射线 OA、OB、OC。 (1) 图中共有几个角？请分别表示出来； (2) ∠AOC 能记作 ∠O 吗？为什么？ 解答： (1) 图中共有 3 个角： ∠AOB、∠BOC、∠AOC。 (2) 不能。因为以 O 为顶点的角不止一个， 用 ∠O 无法区分具体是哪一个角。 方法小结：顶点处只有一个角时，才能用一 个大写字母表示这个角。 以 O 为顶点有三条射线 O A C B 即时练习（二） 角的表示 11 选择题 1. 下列表示角的方法中，错误的是（ ） A. ∠AOB B. ∠O C. ∠1 D. ∠α 2. 顶点处有两个角时，下列表示中 正确的是（ ） A. 用一个大写字母表示 B. 用三个大写字母表示 C. 只能用数字表示 D. 只能用希腊字母表示 填空题 3. 用三个大写字母表示角时， 表示顶点的字母必须写在________。 4. 表示角的符号是______， 不能写成小于号“______”。 参考答案 1. B（顶点处有两个角时不能用 ∠O 表示） 2. B 3. 中间 4. ∠；< 探究三 角的分类 按度数分类 12 名称 度数范围 举例 锐角 0° < α < 90° 30°、45°、68° 直角 α = 90° 90° 钝角 90° < α < 180° 120°、150° 平角 α = 180° 180° 周角 α = 360° 360° 常用关系 1周角 = 2平角 = 4直角； 1平角 = 2直角。 提醒 角的度数越大，角越大； 角的大小与边画得长短无关。 典例精讲 例3 13 例3 指出下列各角分别是什么角： 38°、90°、126°、180°、360°、89.5°、90.5° 解答 38° 是锐角； 90° 是直角； 126° 是钝角； 180° 是平角； 360° 是周角； 89.5° 是锐角（89.5° < 90°）； 90.5° 是钝角（90.5° > 90°）。 方法小结：先看这个角与 90°、180°、360° 的大小关系， 再判断它属于哪一类角。注意临界值——正好等于 90° 的角是直角。 即时练习（三） 角的分类 14 填空 1. 大于 0° 且小于 90° 的角是________角；等于 90° 的角是________角； 大于 90° 且小于 180° 的角是________角。 2. 1周角 = ________平角 = ________直角。 3. 若 ∠α = 175°，则 ∠α 是________角；若 ∠β = 88°，则 ∠β 是________角。 判断 4. 判断下列说法是否正确： (1) 平角是一条直线。 （ ） (2) 一个周角等于两个平角。 （ ） (3) 大于直角的角一定是钝角。 （ ） 【答案】1. 锐、直、钝 2. 2、4 3. 钝、锐 4. (1) × (2) √ (3) ×（平角和周角都大于直角，不是钝角） 探究四 角的度量单位 度 分 秒 15 度量单位 度、分、秒是常用的角的度量单位。 把一个周角 360 等分，每一份是 1度，记作 1°； 把 1° 的角 60 等分，每一份是 1分，记作 1′； 把 1′ 的角 60 等分，每一份是 1秒，记作 1″。 换算关系 1° = 60′， 1′ = 60″， 1° = 60′ = 3600″。 要点归纳 角的度、分、秒是六十进制的， 这和计量时间的时、分、秒一样。 切记：不是十进制！ 换算方向 高级单位 → 低级单位：乘 60； 低级单位 → 高级单位：除以 60。 度分秒的换算方法 方法归纳 16 把度化为度、分、秒 ① 度的小数部分 × 60，得到“分”； ② 分的小数部分 × 60，得到“秒”； 例：1.45° = ？ 0.45° × 60 = 27′， 所以 1.45° = 1°27′。 例：1.45° 等于多少秒？ 1.45 × 3600 = 5220″。 把度、分、秒化为度 ① 秒 ÷ 60，得到“分”； ② 分 ÷ 60，得到“度”； 例：1800″ = ？ 1800″ ÷ 60 = 30′， 30′ ÷ 60 = 0.5°。 所以 1800″ = 30′ = 0.5°。 也可以：1800 ÷ 3600 = 0.5°。 典例精讲 例4 17 例4 计算： (1) 将 36.24° 用度、分、秒表示； (2) 将 54°36′ 用度表示； (3) 计算 15°45′ + 24°35′。 解答（1）（2） (1) 36.24° = 36° + 0.24 × 60′ = 36° + 14.4′ = 36° + 14′ + 0.4 × 60″ = 36°14′24″。 (2) 36′ = 0.6°， 54°36′ = 54° + 0.6° = 54.6°。 解答（3） (3) 15°45′ + 24°35′ = 39°80′ = 40°20′。 方法小结：分、秒相加时满 60 要进 1， 这是六十进制，不要按十进制处理。 即时练习（四） 度分秒换算 18 填空 1. 1.5° = ______′ = ______″。 2. 720″ = ______′ = ______°。 3. 42°30′ = ______°。 4. 比较大小：30.5° ______ 30°30′（填“>”“<”或“=”）。 计算 5. 18°25′ + 26°48′ = ____________。 6. 90° − 37°15′ = ____________。 参考答案 1. 90；5400 2. 12；0.2 3. 42.5 4. = 5. 45°13′（18°25′+26°48′=44°73′=45°13′） 6. 52°45′（90°−37°15′=89°60′−37°15′） 探究五 方向角 用方向描述 19 方向角 在平面图上规定：上北、下南、左西、右东。 特殊方向角： · 东北方向 = 北偏东 45°； · 西北方向 = 北偏西 45°； · 东南方向 = 南偏东 45°； · 西南方向 = 南偏西 45°。 注意：一般先写“北”或“南”，再写“偏东” 或“偏西”，如“北偏东30°”不写成“东偏北60°”。 北 东 西 南 东北 西北 西南 东南 O 典例精讲 例5 20 例5 如图，O 为观测点，按下列要求画出表示方向的射线： (1) 北偏东 40°； (2) 南偏西 35°； (3) 北偏西 60°。 方法小结： “偏”就是旋转。北偏东 40° 指从正北方向 向东旋转 40°；南偏西 35° 指从正南方向 向西旋转 35°。 北 南 东 西 A：北偏东40° B：南偏西35° C：北偏西60° O 即时练习（五） 方向角 21 填空 1. 东北方向就是北偏东______°； 西南方向就是南偏西______°。 2. 射线 OP 表示北偏东 25°， 也可以说 OP 与正北方向的夹角是______。 3. “北偏西 70°”应先写______， 再写______。 判断题 4. 南偏东 45° 就是东南方向。 （ ） 5. 北偏东 30° 可以写成东偏北 60°。（ ） 参考答案 1. 45；45 2. 25° 3. 北；偏西（30° 也写作北偏西） 4. √ 5. ×（方向角一般先写北或南） 易错辨析 高频错误 22 易错点 错误做法 正确认识 角的定义 两条射线组成的图形叫角 必须有公共端点 平角、周角 平角是直线，周角是射线 都有顶点与边，不是直线、射线 角的表示 顶点处有多个角仍记作 ∠O 只能用于顶点处只有一个角时 单位换算 1° = 100′ 1° = 60′（六十进制） 方向角 写成“东偏北 30°” 先写北或南，即“北偏东 60°” 课堂练习 A 组 选择题 23 1. 下列关于角的说法中，正确的是（ ） A. 角的两条边是线段 B. 角的大小与边画得长短有关 C. 角的两条边是射线 D. 平角就是一条直线 2. 1.5° 等于（ ） A. 1°5′ B. 1°30′ C. 90′ D. 150′ 3. 下列角中是钝角的是（ ） A. 89° B. 90° C. 100° D. 180° 4. 用三个大写字母表示角时，必须写在中间的字母是（ ） A. 顶点字母 B. 边上的字母 C. 任意一个 D. 数字 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一个大写字母可表示顶点处任意一个角 B. 1周角 = 2平角 C. 1° = 100′ D. 南偏东45°是西北方向 课堂练习 B 组 填空题 24 1. 角是由两条有__________的射线组成的图形。 2. 1周角 = ______°，1平角 = ______°，1直角 = ______°。 3. 1° = ______′，1′ = ______″，1° = ______″。 4. 0.75° = ______′； 1800″ = ______′ = ______°。 5. 射线OA表示北偏东 30°，则 OA 与正北方向的夹角是______。 【参考答案】 1. 公共端点 2. 360；180；90 3. 60；60；3600 4. 45；30；0.5 5. 30° 课堂练习 C 组 解答题 25 1. 计算下列各题 (1) 将 2.45° 用度、分、秒表示；(2) 将 32°18′ 用度表示； (3) 计算 28°17′ + 15°46′。 【解】(1) 2.45° = 2° + 0.45×60′ = 2°27′；(2) 18′ = 0.3°，32°18′ = 32.3°； (3) 28°17′ + 15°46′ = 43°63′ = 44°3′。 2. 综合应用 如图，O 为直线 AB 上一点，∠AOC = 58°。 求 ∠BOC 的度数，并指出 ∠BOC 是哪一类角。 【解】因为 ∠AOB 是平角，所以 ∠BOC = 180° − 58° = 122°。 因为 90° < 122° < 180°，所以 ∠BOC 是钝角。 课堂小结 知识网络 26 一 角的概念 静态：两条有公共端点的射线组成的图形； 动态：一条射线绕它的端点旋转而成的图形。 顶点、边；平角（180°）、周角（360°）。 二 角的表示方法 ① 三个大写字母（顶点写中间）； ② 一个大写字母（顶点处只有一个角）； ③ 一个数字；④ 一个小写希腊字母。 三 角的分类与度量 锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角； 1周角 = 2平角 = 4直角。 1° = 60′，1′ = 60″（六十进制）。 四 方向角 上北、下南、左西、右东； 东北 = 北偏东 45°，其余三个方向同理； 先写北（南），再写偏东（西）。 作业布置 分层作业 27 必做（面向全体） 1. 课本本节随堂练习第 1、2 题； 2. 课本习题中“角的概念与表示”“度分秒换算” 的相关题目； 3. 用度、分、秒表示 1.35°，并把 45°18′ 化为度。 选做（学有余力） 1. 计算：35°42′18″ + 24°27′54″； 2. 钟表上 3 时整时，时针与分针所成的角 是多少度？它是哪一类角？ 实践与思考 1. 在家中找出三个给你“角”的形象的物体，指出角的顶点和边。 2. 用方向角描述你家到学校的方向，并与同学交流。 3. 预习：怎样比较两个角的大小？ 本课时到此结束 角的概念 · 四种表示方法 · 角的分类 · 度分秒换算 · 方向角 谢谢观看 · 请同学们课后认真完成作业 $