4.3 多边形和圆的初步认识 课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

第四章 基本平面图形 4.3 多边形和圆的初步认识 第1课时 多边形和圆的初步认识 2026-2027学年北师大版数学七年级上学期 授课教师： 班级： 本节课是第四章的最后一节，在学过线段、射线、直线、角之后，进一步认识多边形和圆。 学习目标 数学 七年级上册 BS版 02 知识与技能 1. 知道多边形、正多边形的意义； 2. 认识多边形的边、顶点、内角和对角线； 3. 知道圆的各部分名称：圆心、半径、弧、 扇形、圆心角。 过程与方法 1. 经历从生活实物中抽象出平面图形的过程； 2. 通过表格归纳 n 边形的顶点、边、内角与 对角线的规律，体会从特殊到一般。 情感态度 感受图形世界的丰富多彩， 体会数学与生活的联系。 重点与难点 重点：多边形、圆的相关概念； 难点：对角线规律与扇形圆心角。 读目标时突出两条主线：多边形（含对角线、内角和）与圆（含弧、扇形、圆心角）。 情境引入 数学 七年级上册 BS版 03 观察下面的图案，你能从中找出哪些熟悉的平面图形？ 蜂 巢 地 砖 花 坛 车 轮 屋 顶 把图形分一分类 像蜂巢、地砖、花坛、屋顶这样，由线段围成的图形，叫做多边形； 车轮的轮廓是一条曲线围成的封闭图形，它就是圆。 先让学生自由说，再引导分类：由线段围成的归为一类（多边形），由曲线围成的归为一类（圆）。 探究一 什么是多边形 数学 七年级上册 BS版 04 回顾：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相连组成的封闭图形，叫做三角形。 多边形的概念 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。 按线段的条数，多边形可以分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形。 概念里的三个“必须” ① 线段“不在同一直线上”；② 必须“首尾顺次相连”；③ 必须是“封闭的平面图形”。 注意 本书所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧。 类比三角形给多边形下定义，强调三个关键词：不在同一直线上、首尾顺次、封闭。 多边形的边、顶点、内角与对角线 数学 七年级上册 BS版 05 A B C D E 如图，五边形 ABCDE 中： 各部分名称 • 顶点：点A、B、C、D、E； • 边：线段AB、BC、CD、DE、EA； • 内角：∠EAB、∠ABC、∠BCD、 ∠CDE、∠DEA（简称为多边形的角）； • 对角线：连接不相邻两个顶点的线段， 如线段AC、线段AD。 红色的 AC、AD 就是两条对角线。 在图上指出顶点、边、内角，重点强调对角线的“不相邻”三个字。 即时练习（一） 数学 七年级上册 BS版 06 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 由几条线段连接起来组成的图形叫做多边形 B. 六边形有 6 条边、6 个顶点、6 个内角 C. 一条弧和两条线段围成的图形叫做扇形 D. 一个多边形从一个顶点出发共有 3 条对角线，则它是六边形 答案：B。A 缺少“首尾顺次相连、封闭”等条件；C 应是两条半径；D 由 n-3=3 得 n=6 才是六边形，但“共 3 条对角线”若指总条数则不符，故选 B。 2. 填空： （1）三角形有 ____ 条边、____ 个顶点；五边形有 ____ 条边、____ 个内角。 （2）从五边形的一个顶点出发，可以画出 ____ 条对角线。 答案：（1）3、3、5、5　（2）2 第 2 题让学生先数一数，再归纳；从五边形一个顶点出发有 5-3=2 条对角线。 探究二 n边形的顶点、边与内角 数学 七年级上册 BS版 07 数一数，把下表填写完整，你发现了什么规律？ 多边形名称 三角形 四边形 五边形 六边形 …… n 边形 顶点个数 3 4 5 6 …… n 边的条数 3 4 5 6 …… n 内角个数 3 4 5 6 …… n 归纳：n 边形有 n 个顶点、n 条边、n 个内角。 三角形的内角和是 180°，四边形的内角和是 360°……那么 n 边形的内角和是多少呢？ 引导学生从表格中横向观察，用字母 n 表示一般情况。 探究三 多边形中的对角线 数学 七年级上册 BS版 08 A B C D E F 六边形ABCDEF 从 A 出发的 3 条对角线 完成下表，说说你的发现： 多边形的边数 4 5 6 7 …… n 从一个顶点出发的对角线条数 1 2 3 4 …… n-3 分割成的三角形个数 2 3 4 5 …… n-2 对角线的总条数 2 5 9 14 …… n(n-3)/2 两个重要结论 ① 从 n 边形一个顶点出发，有 (n-3) 条对角线； ② 一个 n 边形共有 n(n-3)/2 条对角线。 可用“重复计数除以 2”解释总对角线公式，帮助学生理解而不是死记。 例题1 对角线的有关计算 数学 七年级上册 BS版 09 例1 填空： （1）从一个九边形的某个顶点出发，可以画 ____ 条对角线，这些对角线把九边形分成 ____ 个三角形。 （2）一个凸十二边形共有 ____ 条对角线。 （3）如果一个多边形从一个顶点出发最多能引出 4 条对角线，那么它是 ____ 边形， 它一共有 ____ 条对角线。 答案：（1）n=9：9-3=6（条）；9-2=7（个）。所以填 6、7。 （2）n=12：12×(12-3)/2 = 12×9/2 = 54（条）。 （3）由 n-3=4 得 n=7，是七边形；7×(7-3)/2 = 7×4/2 = 14（条）。 强调代入公式时先确定 n，再计算，注意单位“条”“个”。 即时练习（二） 数学 七年级上册 BS版 10 1. 选择题：从十边形的一个顶点出发可以引出的对角线有（ ） A. 7 条 B. 8 条 C. 9 条 D. 10 条 2. 选择题：八边形一共有（ ）条对角线。 A. 16 条 B. 20 条 C. 24 条 D. 28 条 答案：1. A。n=10，10-3=7（条）。 2. B。8×(8-3)/2 = 8×5/2 = 20（条）。 两题分别对应“过一个顶点的对角线”与“总对角线”，防止混淆。 探究四 分割三角形与内角和 数学 七年级上册 BS版 11 A B C D E 从 A 出发的对角线 把五边形分成 3 个三角形 想一想： （1）从一个顶点出发的对角线，把 n 边形分成了几个三角形？ （2）知道了三角形个数，你能算出 n 边形的内角和吗？ 归纳 • 分割成的三角形个数：n-2 个； • n 边形的内角和 = (n-2)×180°。 例：五边形内角和 = (5-2)×180° = 540°。 把多边形问题转化为三角形问题，渗透转化思想；内角和公式可作了解与运用。 例题2 内角和的运用 数学 七年级上册 BS版 12 例2 解答下列各题： （1）求八边形的内角和； （2）已知一个多边形的内角和是 1260°，求这个多边形的边数。 答案：（1）八边形的内角和 = (8-2)×180° = 6×180° = 1080°。 （2）设这个多边形的边数为 n，则 (n-2)×180° = 1260°， n-2 = 7，n = 9。所以它是九边形。 第（2）问是逆向运用公式，先列式再求解，注意规范书写。 即时练习（三） 数学 七年级上册 BS版 13 填空： （1）六边形的内角和是 ________，正六边形的每一个内角是 ________。 （2）若一个多边形的内角和是 900°，则它是 ________ 边形。 （3）从 n 边形的一个顶点出发的对角线，把它分成 6 个三角形，则 n = ________。 答案：（1）(6-2)×180° = 720°；720°÷6 = 120°。 （2）(n-2)×180° = 900°，n-2 = 5，n = 7，是七边形。 （3）n-2 = 6，n = 8。 第（1）问把内角和与正多边形联系起来，为下一页做铺垫。 探究五 正多边形 数学 七年级上册 BS版 14 观察下面的多边形，它们的边和角有什么特点？ 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。两个条件缺一不可！ 反例：菱形的各边都相等，但各角不相等，所以菱形不一定是正多边形。 用菱形作反例，突出“两个条件缺一不可”。 例题3 正多边形的辨析 数学 七年级上册 BS版 15 例3 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）各边都相等的多边形是正多边形； （2）长方形是正多边形； （3）正方形的各边相等，各角也相等； （4）正六边形可以铺满地面。 答案：（1）×。还要各角都相等，如菱形的各边相等但不是正多边形。 （2）×。长方形的各角相等，但各边不一定相等，如长 3 宽 2 的长方形。 （3）√。（4）√。正六边形每个内角是 (6-2)×180°÷6 = 120°，可以密铺。 逐条辨析，重点讲（1）（2）两个反例，帮助学生抓住定义中的两个条件。 即时练习（四） 数学 七年级上册 BS版 16 1. 下列多边形中，一定是正多边形的是（ ） A. 各边相等的四边形 B. 各角相等的四边形 C. 正方形 D. 梯形 2. 填空：正八边形的每一个内角是 ________ 度。 答案：1. C。正方形各边相等、各角也相等，满足正多边形的两个条件。 答案：2. (8-2)×180° = 1080°，1080°÷8 = 135°，所以填 135。 练习与例题呼应，第 2 题把内角和公式与正多边形的“各角相等”结合。 探究六 认识圆 数学 七年级上册 BS版 17 O A 圆及其相关概念 • 圆的形成：平面上，一条线段 OA 绕着它固定 的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 形成的 图形叫做圆。 • 圆心：固定的端点 O 叫做圆心； • 半径：线段 OA 的长叫做半径。 圆是一条封闭的曲线，不是圆面； 圆上任意一点到圆心的距离都等于半径。 可让学生用细绳一端固定、另一端拴笔旋转，动手画圆，体会“定点、定长”。 探究七 弧、扇形与圆心角 数学 七年级上册 BS版 18 O A B 弧、扇形、圆心角 • 弧：圆上任意两点 A、B 间的部分叫做圆弧， 简称弧，记作 AB（读作“圆弧 AB”）； • 扇形：由一条弧 AB 和经过这条弧端点的两条 半径 OA、OB 所组成的图形叫做扇形； • 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角， 如图中的 ∠AOB。 红色部分就是一个扇形，∠AOB 是它的圆心角。 在图上指出弧、扇形、圆心角，强调扇形由“一段弧 + 两条半径”围成。 例题4 扇形的圆心角 数学 七年级上册 BS版 19 例4 解答下列各题： （1）把一个圆分成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为 2∶3∶4，求这三个圆心角的度数； （2）把一个圆分成三个扇形，它们的面积之比为 2∶3∶5，求这三个圆心角的度数。 提示：把一个圆分成若干个扇形时，扇形圆心角的度数之比 = 面积之比。 答案：（1）2+3+4 = 9，360°÷9 = 40°，三个圆心角分别是 80°、120°、160°。 （2）2+3+5 = 10，360°÷10 = 36°，三个圆心角分别是 72°、108°、180°。 核心是把 360° 按比分配，先求一份是多少度。 例题5 扇形的面积 数学 七年级上册 BS版 20 例5 画一个半径是 3 cm 的圆，并在其中画一个圆心角为 120° 的扇形，求这个扇形的面积。 分析：圆的面积是 πr²。圆心角为 120° 的扇形，圆心角占周角的比就是扇形面积占圆面积的比。 解：圆的面积 = π×3² = 9π（cm²） 扇形面积 = 120 360 × 9π = 3π（cm²） 答案：这个扇形的面积是 3π cm²。 小结：圆心角为 n° 的扇形，面积 = n/360 × πr²（n 表示圆心角的度数）。 扇形面积 = 圆心角占周角的比 × 圆面积，避免学生死记公式。 即时练习（五） 数学 七年级上册 BS版 21 1. 在同一个圆中，若两个扇形的圆心角分别是 72° 和 108°，则它们的面积之比是（ ） A. 2∶3 B. 3∶2 C. 1∶1 D. 72∶108 2. 半径是 2 cm 的圆中，圆心角为 90° 的扇形的面积是 ________ cm²。 答案：1. A。面积之比等于圆心角之比，72∶108 = 2∶3。 答案：2. 90°÷360° = 1/4，扇形面积是圆面积的四分之一，π×2²÷4 = π（cm²）。 及时巩固“圆心角之比 = 面积之比”和扇形面积的计算。 易错辨析 数学 七年级上册 BS版 22 易错说法 正误 辨析 由线段首尾相连组成的图形就是多边形 × 必须是“不在同一直线上”的线段，且要“封闭” 对角线就是直线 × 对角线是连接不相邻两个顶点的线段 各边相等的多边形是正多边形 × 还要各角相等，如菱形就不是 圆是一个圆面 × 圆是封闭的曲线，不是圆面 n 边形从一个顶点出发有 (n-2) 条对角线 × 应是 (n-3) 条，(n-2) 是分成的三角形个数 扇形由一段弧和两条半径组成 √ 注意两条半径要经过这段弧的两个端点 逐条讲评，让学生说出错在哪里、怎样改正。 课堂练习（一） 选择题 数学 七年级上册 BS版 23 1. 下列说法正确的是（ ） A. 六边形有 6 条边、7 个顶点 B. 从 n 边形一个顶点出发有 (n-3) 条对角线 C. 正多边形的各条边相等即可 D. 圆上两点间的部分叫做扇形 2. 六边形一共有（ ）条对角线。 A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 3. 一个多边形的内角和是 720°，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 4. 圆的半径是 6 cm，则它的直径是（ ） A. 3 cm B. 6 cm C. 12 cm D. 36 cm 答案：1. B 2. B 3. C 4. C 限时独立完成，集体订正。 课堂练习（二） 填空题 数学 七年级上册 BS版 24 1. n 边形有 ______ 个顶点、______ 条边、______ 个内角。 2. 从 n 边形的一个顶点出发，可以画 ______ 条对角线，它们把这个 n 边形分成 ______ 个三角形。 3. 一个 n 边形共有 ______ 条对角线（用含 n 的式子表示）。 4. 圆上任意两点 A、B 间的部分叫做 ______，顶点在圆心的角叫做 ______。 5. 正八边形的每一个内角是 ______ 度。 答案：1. n、n、n 2. n-3、n-2 3. n(n-3)/2 4. 弧（圆弧）、圆心角 5. 135 填空以概念和公式为主，核对时让学生说出依据。 课堂练习（三） 解答题 数学 七年级上册 BS版 25 1. 一个多边形的内角和是 1260°，求它的边数。 答案：设边数为 n，(n-2)×180° = 1260°，n-2 = 7，n = 9。所以它是九边形。 2. 把一个圆分成三个扇形，它们的面积之比为 1∶2∶3，求这三个扇形的圆心角的度数。 答案：1+2+3 = 6，360°÷6 = 60°，三个圆心角分别是 60°、120°、180°。 3. 综合应用：蜂巢的每个蜂房口都是正六边形。一个正六边形有 6 条边、6 个顶点， 它一共有多少条对角线？它的内角和是多少度？ 答案：对角线：6×(6-3)/2 = 9（条）；内角和：(6-2)×180° = 720°。 第 3 题联系生活，巩固对角线与内角和两个知识点。 课堂小结 数学 七年级上册 BS版 26 一、多边形 • 由若干条不在同一直线上 的线段首尾顺次相连组成 的封闭平面图形； • 边、顶点、内角、对角线； • n 边形：n 个顶点、 n 条边、n 个内角； • 过一个顶点：(n-3) 条对角线； • 共 n(n-3)/2 条对角线； • 内角和 (n-2)×180°。 二、正多边形 • 各边相等； • 各角也相等； • 两个条件缺一不可； • 常见的正多边形： 正三角形、正方形、 正五边形、正六边形、 正八边形等。 三、圆 • 圆心、半径； • 弧：圆上两点间的部分； • 扇形：一段弧 + 两条半径； • 圆心角：顶点在圆心的角； • 圆心角之比 = 面积之比； • 扇形面积 = n/360 × πr²。 按“多边形—正多边形—圆”三条主线板书小结，形成知识网络。 分层作业 数学 七年级上册 BS版 27 必做（面向全体） 1. 教材习题 4.3 知识技能第 1、2 题；2. 完成本课时对应的课后练习。 选做（面向学有余力） 3. 教材习题 4.3 数学理解第 3 题；4. 一个多边形共有 35 条对角线，求这个多边形的边数与内角和。 实践（动手操作） 5. 用圆规在纸上画一个半径 4 cm 的圆，并在其中画一个圆心角是 90° 的扇形，量一量、 算一算这个扇形的面积。6. 用正多边形设计一个图案，涂上颜色，与同伴交流。 实践题让学生动手画圆、拼图案，感受图形与生活的联系。 4.3 多边形和圆的初步认识 第1课时 多边形和圆的初步认识 谢谢观看 祝同学们学习进步！ $