江苏省苏州市2026-2027学年高一上学期第一次月考数学练习卷

2026年10月苏州市高一第一次月考练习卷 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.命题“，，”的否定形式是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 3．设，下列说法中错误的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“，”是“，”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 4．设，若恒成立，则k的最小值为（    ） A．9 B．8 C．－1 D．－2 5.已知的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 6．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 7．若关于x的不等式|x﹣a|<2﹣x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且满足，．则的取值可以为（    ） A．10 B．11 C．12 D．20 10. 已知实数a，b满足：当时，恒有，则（    ） A． B． C． D． 11．若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则是3阶聚合点集 B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集 C．若，则不是阶聚合点集 D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 13．已知，，且，若的最小值为3，则 . 14．定义 若函数 则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15. 若，解关于的不等式． 16．已知集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 17．已知二次函数，对一切实数x，不等式恒成立，且，求函数的解析式． 18．学习与探究问题：正实数，满足，求的最小值.求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立.这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： (1)已知正实数，满足，求的最小值； (2)若实数满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； (3)利用（2）的结论，求的最小值，并注明使得取得最小值时的值. 19. 已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为. (1)写出的一个优划分，使其满足； (2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足； (3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且. 答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.命题“，，”的否定形式是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：命题“，，”的否定形式是“，，”. 故选：C 2．已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】由题意知：为方程的根， 当时，； 当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时. 故选:B. 3．设，下列说法中错误的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“，”是“，”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次判断各选项即可. 【详解】对于A，因为的解集为， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，“”时，“”一定成立， 反之“”成立时，“”不一定成立，如举例， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 对于C，“”时，“”一定成立，反之 “”成立时，“”不一定成立， 例如，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，当 “”时，满足“”；当“”时， 但不一定“”，例如，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：B 4．设，若恒成立，则k的最小值为（    ） A．9 B．8 C．－1 D．－2 【答案】C 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，解得， 所以的最小值为. 故选：C. 5.已知的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】已知的解集为， 则的两根为和2， 所以，即， 代入不等式，化简整理得， 因为，故， 不等式的解集为或. 故选：C 6．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由已知可得，将转化为双变量的式子，再根据基本不等式求得的最大值，并结合取等条件转化，利用函数求得其最值. 【详解】根据题意，正实数，，满足，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，则此时， 当取得最大值时，， 分析可得，当时，即时，取得最大值2． 故选：A． 7．若关于x的不等式|x﹣a|<2﹣x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为时，函数的图象有一部分在图象的下方，作出的图象，及折线，左右平移观察折线与曲线的位置，根据极限位置求出值，然后可得所求的范围． 【详解】解：|x﹣a|<2﹣x2且0<2﹣x2 在同一坐标系画出y=2﹣x2(x<0，y>0)和y=|x|两个图象 将绝对值函数y=|x|向右移动当左支经过(0，2)点，a=2 将绝对值函数y=|x|向左移动让右支与抛物线相切 由得，，， 故实数a的取值范围是(﹣，2) 故选：C. 8．数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据元素个数得到子集个数，即，分析出，即可求解. 【详解】设，则，即，所以,若,则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，若，则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，所以,即，因为，且满足，所以包含了的个元素外，还包含个属于而不属于的元素， 当时，则,如，符合题意.当时，则, 如，符合题意.所以的最大值为， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知，，且满足，．则的取值可以为（    ） A．10 B．11 C．12 D．20 【答案】CD 【解析】因为，， 所以， ， 故， 当，且，而时，即等号不能同时成立， 所以，故AB错误，CD正确. 故选：CD. 10.已知实数a，b满足：当时，恒有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用特值可得，故可判断ABD的正误，利用反例可判断C的正误. 【详解】设，则 于是 因此 所以选项A，B，D正确， 又符合题意，因此选项C错误． 故选：ABD. 11．若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则是3阶聚合点集 B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集 C．若，则不是阶聚合点集 D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件 【答案】ACD 【分析】根据集合新定义的规定，易判断A正确；通过举反例排除B；按照集合新定义得不出合理结论否定为阶聚合点集判断C；运用等价转化思想，即可得到D正确. 【详解】对于A，由可得，故是3阶聚合点集，即A正确； 对于B，对任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集，故B错误； 对于C，因，而，故不是阶聚合点集，即C正确； 对于D，因是阶聚合点集等价于， 因，可得，又因，依题意可得，反之也成立， 故“是阶聚合点集”是“”的充要条件，即D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可得，， 若“”是“”的必要非充分条件，则集合B是集合A的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 13．已知，，且，若的最小值为3，则 . 【答案】8 【分析】根据题意整理可得，利用基本不等式可得，结合题意可得，运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 即，由题意可知：，解得. 故答案为：8. 14．定义 若函数 则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 【答案】 5 【分析】先表示出的解析式，然后作出的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以， 作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最大值，所以； 当时，解得或或； 当时，解得或， 由,结合图象可知，若函数在区间上的值域为， 则最大值为， 故答案为：5，. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15. 若，解关于的不等式． 【答案】当时，解集是； 当时，解集是； 当时，解集是；当时，解集是． 【解析】当时，． 当a≠0时，． 当时，，解得． 当时，． 当时， 当时，，或． 当时，，或． 当时，解集是； 当时，解集是； 当时，解集是； 当时，解集是． 16．已知集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由若是的必要不充分条件得到BA ，再分是否为空集时讨论即可； （2）分是否为空集时讨论得到的范围，最后取其补集即可； 【详解】（1） ， 若是的必要不充分条件，则BA， ①当时，有，解得. ②当时，有且等号不同时成立，解得. 综上得. （2）当时 ①当时，有，解得. ②当时，有，解得. 有或，解得或，即得， 所以当时，或 ， 则时，. 17．已知二次函数，对一切实数x，不等式恒成立，且，求函数的解析式． 【答案】 【分析】由求得的关系，当时，得到再利用恒成立即可求得，进而求得. 【详解】由知函数对称轴为， ， 又 ，即 又 ， . 18．学习与探究问题：正实数，满足，求的最小值.求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立.这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： (1)已知正实数，满足，求的最小值； (2)若实数满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； (3)利用（2）的结论，求的最小值，并注明使得取得最小值时的值. 【答案】(1) (2)，当且仅当且同号时等号成立 (3)当时，有最小值 【分析】（1）根据“1”的代换，结合基本不等式求解； （2）根据“1”的代换，有，利用基本不等式求解判断； （3）令且，由（2）得到，求得，得到，即可求解. 【详解】（1）由，得， 则， 当且仅当即时，. （2）由，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立， 此时满足. （3）令且， 由，即， 则，解得， 因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即等号成立，此时， 所以当时，有最小值. 19. 已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为. (1)写出的一个优划分，使其满足； (2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足； (3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且. 【解析】（1）由题因为， 所以若使，则可以， 此时，满足题意. （2）根据题意对于任意点集，不妨设， 且，，， 若，则，令， 则，此时恒有； 若，则，可令， 此时，则，满足题意； 若，则，令， 此时，则，满足题意； 若，则，则 令， 此时，则，满足题意； 所以对于任意点集，都存在的一个优划分，满足. （3）不妨设， 若，则B取其中一点即可满足； 若， 则必存在正整数k使得， 则有，于是， 又因为 ，当且仅当时取等号； 于是取， 即可满足且，命题得证. 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $