专题03 基本不等式 重难点10大题型（期中专项训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题03 基本不等式 全面重难点10大题型专练 （题型速览＋10大题型训练） 10大必考题型概览 题型01 基本不等式的内容及辨析 题型02 由基本不等式比较大小（★重点） 题型03 由基本不等式证明不等式 题型04 基本不等式求积的最大值（★重点） 题型05 基本不等式求和的最小值 题型06 基本不等式齐次比值求值（★难点） 题型07 基本不等式“1”的妙用（★重点） 题型08 基本不等式恒成立问题 题型09 对勾函数求最值（★难点） 题型10 基本不等式的实际应用 题型01：基本不等式的内容及辨析 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由完全平方公式的非负性可知，对任意实数,有， 展开整理得，移项后可得， 由于该不等式对全体实数都成立，故A正确，B错误； 再由不等式成立的前提是均为非负数， 若都为负数，根号内有意义且不等式显然不成立，故C错误； 若都为正数，则可得，故D错误. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 【答案】①③ 【分析】先明确，的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项． 【详解】由题意可知，， 由∽可知，即， 所以； 在中，，即， 当时，O，C点重合，，此时，所以①正确； 在中，由∽可得，即， 所以， 由于，所以， 当时，，此时，所以③正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明． 3．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图象结合勾股定理计算即可. 【详解】易知， 显然，故D正确. 故选：D 4．（25-26高一上·贵州安顺·期末）（多选）若，则下列结论一定正确的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C． D．若，，则 【答案】BC 【分析】利用不等式的性质以及基本不等式的应用： 选项A，根据分析的正负性对不等式两边同时除以时不等号方向的影响； 选项B，通过作差法比较与的大小； 选项C，根据完全平方公式的非负性来判断； 选项D，可通过举反例来判断即可. 【详解】选项A：当时，若，不等式两边同时除以，不等号方向不变，可得； 当时，若，不等式两边同时除以，不等号方向改变，可得. A错误 选项B：因为 因为 且 ，所以 ，，，， 则 ，即 ，所以 ，选项B正确. 选项C：因为 （任何实数的平方都大于等于0） 整理得 ，则 ，选项C正确. 选项D：通过举反例来判断，当 ，，， 时，，， 所以，，则 ，选项D错误. 故选：BC. 5．（25-26高一上·四川凉山·期中）（多选）已知下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由基本不等式和不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由基本不等式可得，又，等号不成立，故正确， 对于B，由，得，又，所以，正确， 对于C，由，得，所以，正确， 对于D，由，得，即，错误， 故选：ABC 6．（23-24高一·全国·课堂例题）下面是基本不等式的一种几何解释，请你补充完整． 如图所示，AB为⊙O的直径，，，过点C作CD⊥AB交⊙O上半圆于D，连接OD，AD，BD. （1）由射影定理可知，，而； （2）因为，所以，当且仅当C与O重合，即时，等号成立； （3）基本不等式的几何意义是_______． 【答案】半径不小于半弦 【详解】根据圆的几何性质即可得到答案. 【点睛】 题型02 由基本不等式比较大小 7．（2027高三·全国·专题练习）若，，，则下列不等式： ①；②；③；④．恒成立的是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【详解】由，及， 得；；，即①②③均正确； 取，得，④错误. 8．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 9．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立， 但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 10．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则、、、中最大的一个是________． 【答案】 【分析】由基本不等式和作差法比较大小，得到答案. 【详解】，，由基本不等式得；； 又因为，， 所以， 故， 所以最大的一个是 故答案为： 题型03 由基本不等式证明不等式 12．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，而不一定成立，例如，故A不正确； 因为， 若，则，而不一定小于2，比如，故B不正确； 因为，若，则，故C正确； 因为，若， 不一定大于1，例如，故D不正确． 13．（25-26高一上·福建厦门·期末）下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 【答案】D 【分析】对A，根据完全平方公式即可判断；对B，举反例即可判断；对C，利用基本不等式即可判断；对D，平方后作差即可判断. 【详解】对A，因为，即，即，故A错误； 对B，当时，此时，故B错误； 对C，若，则，当且仅当，即时等号成立，故错误； 对D，因为， 又因为，故成立，故D正确. 故选：D. 14．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分，必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，满足，此时； 由，且，，得，当且仅当时等号成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 15．（25-26高三上·北京密云·阶段检测）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：由可得，所以两边同除以可得，即，A说法错误； 选项B：由可得，所以，即，B说法错误； 选项C：由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立，与矛盾， 因此等号不成立，，C说法正确； 选项D：由可得，，显然，D说法错误； 故选：C 题型04 基本不等式求积的最大值 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 【答案】B 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用分别判断各选项即可． 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 对于D，因为，所以， 当且仅当时等号成立，故D错误． 17．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，，且，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】逆向使用基本不等式，解不等式即可. 【详解】因为，， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立. 所以，所以. 所以当时，取最大值， 故选：B. 18．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 【答案】D 【分析】由条件得，代入再运用均值不等式即可求出的最大值. 【详解】由，得，则， 因为，，所以 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为， 故选：D. 19．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）（多选）已知，，，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为； B．的最大值为； C．的最大值为； D．的最小值为. 【答案】BCD 【分析】对A直接用基本不等式可得；对B由得，再用基本不等式可得；对C先由基本不等式可得，再由不等式性质可得；对D先将变形为，再结合，并利用基本不等式可得. 【详解】已知，结合基本不等式逐一判断选项： 选项A ：由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，没有最小值（可趋近于），A错误； 选项B ：由得， 又因为， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 选项C： 因为 当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确； 选项D ：因为 ， 又因为，，，所以，即， 所以 ， 当且仅当​时取等号，由得， 即代入，得. 因此当时，的最小值为，D正确. 20．（25-26高二下·山东泰安·期末）（多选）下列选项正确的是（   ） A．若正实数，满足，则 B．若，则的最小值为3 C．若正实数，满足，则的最大值为 D．若正数，满足，且，则，均为定值 【答案】ACD 【分析】使用基本不等式求解. 【详解】由得，当且仅当时取等号，选项A正确； 令，，则，当且仅当， 即时取等号，因为，故的最小值不是3，选项B错误； 由，得，则， 当时，取最大值为，选项C正确； 因为正数，满足，则， 当且仅当，即①时取等号， 因为，所以，即， 又因为，所以②， 由①②得，，即，均为定值，选项D正确. 21．（25-26高二下·福建三明·期末）（多选）已知正实数a，b满足，下列结论正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值4 C．有最小值2 D．有最小值2 【答案】AC 【分析】结合已知条件（为正实数），依据基本不等式“一正二定三相等”的规则逐一判断选项. 【详解】 对于A：由基本不等式得，代入得，化简得， 当且仅当即时等号成立，故最大值为，A正确； 对于B：用乘“1”法计算：， 可知最小值为4，无最大值，B错误； 对于C：由不等式，代入得， 当且仅当即时等号成立，故最小值为2，C正确； 对于D：， 当且仅当即时等号成立可知最小值为4，D错误. 22．（2026高二下·天津南开·学业考试）若实数满足，则的最大值为________． 【答案】/0.25 【详解】已知实数a，b满足，显然不能全为负数，也不能是一个负数和一个为0； 当是一正一负时，，则不可能取到最大值； 当是一个正数和一个为0时，，也不可能是最大值； 当均为正数时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 综上，可得的最大值为. 23．（2025高三上·福建厦门·专题练习）已知，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，故， ， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为， 故答案为： 题型05 基本不等式求和的最小值 24．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可得，故， 而，当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 25．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变形为，由已知条件确定，且，展开后利用均值不等式，即可求得答案. 【详解】因为，所以，则， 所以， ，当且仅当， 即时等号成立，故的最小值为. 26．（26-27高三上·江苏·阶段检测）已知正实数x、y满足，则的最小值是（     ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值是. 27．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据基本不等式的性质计算即可. 【详解】对等式左边提取公因式得：. 等式两边同时加2，整理得：，即. 由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求. 将目标式变形为：， 根据基本不等式的性质可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为7. 28．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知，设：不等式对任意恒成立；：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】根据题意先求解的范围，再根据充分条件和必要条件的概念即可求解. 【详解】由题意得不等式对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，即，又在单调递减， 所以，所以，所以，故是的充要条件. 29．（26-27高三上·广东揭阳·阶段检测）（多选）下列选项不正确的是（ ） A．若，则的最小值为4 B．若，则的最小值为2 C．若正实数，满足，则的最小值为8 D．若，则的最小值为2 【答案】AD 【分析】对，举反例即可判断；对，直接利用基本不等式即可判断；对，利用乘“1”法即可判断；对，利用基本不等式并注意取等条件即可判断. 【详解】对，当时，，故错误； 对，若，则则，当且仅当时等号成立，故正确； 对，若，，则， 当且仅当时等号成立，故正确； 对，， 当且仅当时等号成立，但此时无实数解，故取不到最小值2，故错误. 故选：AD. 30．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知，，则的最小值为________． 【答案】2 【分析】将两个分母分别设为新的变量，反解出 a、b，将原式化为适合应用基本不等式的形式，再利用基本不等式求最小值，并结合等号成立条件判断最小值可以取得． 【详解】设，，则，， 故． 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 31．（26-27高一上·广东中山·阶段检测）当时，的最小值为______． 【答案】 【分析】因为 ，将原式乘以 （乘 1 法）展开，凑出可用基本不等式求和的最小值的结构，最后检验取等条件. 【详解】. 因为 ，所以 ，，由基本不等式得 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，. 所以 ，即原式的最小值为 . 题型06 基本不等式齐次比值求值 32．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 33．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 34．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 35．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（ ） A．当时，的最大值是 B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当正实数满足时，最小值为 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式逐一判断选项即可. 【详解】A选项，当时，，当且仅当时取等号，A正确； B选项：当时，，则，， 当且仅当即时等号成立，B选项正确； C选项：，当且仅当时等号成立. C选项错误； D选项：令由可得：，由，可得， 则， 此时取等号条件是，即，故D正确. 36．（24-25高一上·江苏·阶段检测）（多选）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基本不等式分析各个选项的最小值即可得出正确答案. 【详解】对于选项A，由于可能为负，所以的最小值不是6，A错误； 对于B，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当异号时其最小值应小于4，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD 37．（25-26高二下·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______． 【答案】/ 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 38．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 题型07 基本不等式“1”的妙用 39．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，，且， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，，满足，等号可取. ∴的最小值为. 40．（25-26高二下·湖南长沙·期中）设，，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】由可得，然后由基本不等式1的妙用可得答案. 【详解】两边同时除以，得到， ， 当且仅当，即，时等号成立. 41．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知半径为2的圆O，如图所示，AB为圆的一条直径，C为线段AB上异于端点A、B的任意一点，过C作与线段AB垂直的弦交圆于D、E两点，连接AD和BD，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据射影定理和基本不等式即可求解. 【详解】因为圆的半径为2，所以，由射影定理可知， 所以， 当且仅当，结合，即，时等号成立， 因此的最小值为. 42．（2025·江西萍乡·二模）已知，，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由题，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因由题设及基本不等式， , 当且仅当，即时取等号. 43．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由条件和基本不等式可得最小值. 【详解】因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 44．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 45．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，巧用“1”化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时，取等号， 故选：B． 46．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是（     ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】BCD 【分析】已知等式约束条件，逐个选项利用基本不等式，求解最值并验证等号成立的条件. 【详解】A选项：因为，，所以，则，解得， 当且仅当，即，时取等号，有最大值为，故选项A错误； B选项：因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时取等号，有最小值为，故选项B正确； C选项：由，得， 即，得， 当且仅当，即，时取等号，有最小值为，故选项C正确； D选项：因为，，所以，， 则，当且仅当，即，时取等号，有最大值为，故选项D正确. 47．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）（多选）设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】ABD 【详解】已知，故. 对选项A： ∵ ，∴ ，代入得： , 该式为关于的二次函数，开口向上，对称轴为，且, ∴ 当时，取最小值，代入得，故A正确. 对选项B： . ∵ ，∴ ， 当且仅当即，即时等号成立, 故最小值为，B正确. 对选项C： 由基本不等式得, 代入得，整理得，当且仅当，即时等号成立， 即存在最大值，当时，，无最小值，故C错误. 对选项D： 令，，两边平方得： , 由C得 ，代入得, ∴ ，当且仅当时等号成立，代入解得，满足取值范围， 故最大值为，D正确. 48．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）已知正实数满足：，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A选项， 因为，是正实数，所以，则， 又因为，所以， 故A选项正确. 对于B选项，根据基本不等式，， 已知，代入得， 两边平方得，即。 等号成立当且仅当，结合，解得，， 故B选项正确. 对于C选项，， 则因为均为正实数，所以由基本不等式得， 所以， 故C选项错误. 对于选项D， 由选项B知，所以， 因此， 即， 故D选项错误. 49．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为________． 【答案】6 【详解】正实数，满足，有， 由， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 50．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为____． 【答案】8 【分析】巧用“1”的代换，再结合基本不等式求解. 【详解】已知正实数满足，等式两边同时除以得：， 所以， 则，当且仅当即时等号成立， 代入得，即的最小值为. 51．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知正数x，y满足，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】由题意得 ，当且仅当时成立. 52．（2026·安徽六安·模拟预测）设，则的最小值为____________． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故答案为：4 53．（25-26高三下·广东江门·开学考试）设正数满足，则的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】根据已知，应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由题设，， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. 题型08 基本不等式恒成立问题 54．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 55．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据基本不等式求出的最小值，再结合条件求出参数的取值范围； 【详解】变形为， 则， 由均值不等式，，故， 当即，时代入原方程，解得时等号成立 因为恒成立，所以，解得. 故选：A. 56．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 57．（24-25高二下·山东济宁·阶段检测）已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得，得到，得到，令，得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，两边同除，可得，即， 又因为，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以， 令，其中，则，即，解得或（舍去）， 所以，即的最小值为，此时，. 故选：A. 58．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 59．（24-25高一上·江西·阶段检测）若对于任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据基本不等式的乘“1”法求解的最小值，即可将问题转化为，解一元二次不等式即可. 【详解】依题意有， 因为,故，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，得． 故选：B 60．（22-23高一上·江苏徐州·阶段检测）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，换元令，．则原问题转化为任意，恒成立.变形，结合基本不等式求最值可解. 【详解】由于，则令，． 则原问题转化为任意，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 由于，当且仅当，即取最值. 故，. 由于恒成立，，故a的最小值为. 故选：C. 61．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）（多选）若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】解： 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 对于任意恒成立，所以 所以符合条件有，， 故选： CD． 62．（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【分析】分析可得原题意等价于对任意恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故选：AB． 63．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 64．（24-25高二下·上海·期末）若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围________． 【答案】 【分析】分离参数，利用基本不等式求在时的最小值即可确定实数的取值范围. 【详解】对任意的，使得均成立，可转化为：， 根据基本不等式，时，（当且仅当时取等）， 因此，，. 故答案为：. 65．（24-25高三上·山西运城·阶段检测）已知，，，且恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】借助基本不等式计算可得，即可得解. 【详解】由，，， 故， 当且仅当、，即，时，等号成立， 故，即，则的取值范围是. 故答案为：. 66．（26-27高一上·全国·课后作业）已知：，且，求使恒成立的参数的范围． 【答案】 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，且时成立，即，时，等号成立． 则的最小值为，故要使恒成立，只需即可． 即a的取值范围为． 题型09 对勾函数求最值 67．（25-26高一下·河南信阳·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 68．（25-26高一上·上海·阶段检测）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 69．（2023·北京东城·一模）已知，则函数的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】因为，当且仅当时，取等号， 所以函数的最小值为0， 故选：B 70．（25-26高一上·广东·期中）（多选）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD 71．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）（多选）下列结论正确的有（     ） A．若，则的最大值为6 B．若，，，则的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及对勾函数的单调性，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由，且，可得， 则，即， 解得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由，令， 因为在上单调递增，所以最小值为，所以C错误； 对于D，由，令，则， 因为在单调递增，所以最小值为，所以D正确． 72．（25-26高三上·北京·阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______. 【答案】 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 73．（24-25高一上·山东临沂·阶段检测）（1）已知x，y是正实数，且，求的最小值； （2）函数的最小值为多少? （3）已知，则取得最大值时x的值为多少? 【答案】（1）；（2）；（3）时，取得最大值 【分析】（1）根据基本不等式“1”的巧用求最值即可； （2）对已知函数进行分式分离，结合基本不等式求解最值即可； （3）利用基本不等式和为定值，乘积有最大值求解即可得答案. 【详解】（1）因为x，y是正实数，且，所以， 则， 当且仅当时，即时，的最小值为； （2）因为， 所以， 当且仅当时，即时，函数有最小值； （3）因为，则， 当且仅当时，即时，取得最大值. 题型10 基本不等式的实际应用 74．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 75．（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 76．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 77．（25-26高一上·北京通州·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 【答案】8000 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ， 当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故答案为：8000 78．（25-26高一上·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 【答案】60 【分析】列出全程生产成本的表达式并结合基本不等式即可求解． 【详解】生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时， 则全程生产成本， ，当时，即等号成立， 综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时． 故答案为：60． 79．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【分析】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 80．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 81．（25-26高一上·上海·期中）某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 【答案】(1)40 (2)长：米，宽：米，最小成本：10456.85元 【分析】（1）根据容积得到，写出池底周长的表达式，然后根据基本不等式即可求解； （2）写出总成本的表达式，然后根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）设蓄水池的长为米，宽为米，高为米，其中， 则容积立方米，，代入， 得，即，池底的周长， 当且仅当，且，即时取得，所以池底的周长最小为40米. （2）当深度米时，则平方米，则总成本元. 当且仅当时取得等号，所以最小成本为元 . 82．（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点．    (1)证明：． (2)若改变的长度矩形的周长保持不变，设，的面积为. ①试用表示面积； ②是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：设折叠后点变成， 在与中，因为，，所以． 因为，，所以， 又，所以，所以． (2)①； ②存在，且最大值为. 【分析】（1）证明出，即可证得结论成立； （2）①设，，则，，，在中，利用勾股定理可得出，再由三角形的面积公式可得出关于的函数关系式，由求出函数的定义域，即可得出答案； ②利用基本不等式可求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，再验证成立，即可得出结论. 【详解】（1）设折叠后点变成， 在与中，因为，，所以． 因为，，所以， 又，所以，所以．    （2）①由题意可知矩形的周长为． 设，，则，，． 因为为直角三角形，所以，即， 解得， 从而， 所以， 由得可得， 因此，； ②因为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，，满足， 故当时，的面积取得最大值，最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 基本不等式 全面重难点10大题型专练 （题型速览＋10大题型训练） 10大必考题型概览 题型01 基本不等式的内容及辨析 题型02 由基本不等式比较大小（★重点） 题型03 由基本不等式证明不等式 题型04 基本不等式求积的最大值（★重点） 题型05 基本不等式求和的最小值 题型06 基本不等式齐次比值求值（★难点） 题型07 基本不等式“1”的妙用（★重点） 题型08 基本不等式恒成立问题 题型09 对勾函数求最值（★难点） 题型10 基本不等式的实际应用 题型01：基本不等式的内容及辨析 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 3．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·贵州安顺·期末）（多选）若，则下列结论一定正确的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C． D．若，，则 5．（25-26高一上·四川凉山·期中）（多选）已知下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一·全国·课堂例题）下面是基本不等式的一种几何解释，请你补充完整． 如图所示，AB为⊙O的直径，，，过点C作CD⊥AB交⊙O上半圆于D，连接OD，AD，BD. （1）由射影定理可知，，而； （2）因为，所以，当且仅当C与O重合，即时，等号成立； （3）基本不等式的几何意义是_______． 题型02 由基本不等式比较大小 7．（2027高三·全国·专题练习）若，，，则下列不等式： ①；②；③；④．恒成立的是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 8．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 9．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则、、、中最大的一个是________． 题型03 由基本不等式证明不等式 12．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·福建厦门·期末）下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 14．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（25-26高三上·北京密云·阶段检测）设，且，则（    ） A． B． C． D． 题型04 基本不等式求积的最大值 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 17．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，，且，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 18．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 19．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）（多选）已知，，，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为； B．的最大值为； C．的最大值为； D．的最小值为. 20．（25-26高二下·山东泰安·期末）（多选）下列选项正确的是（   ） A．若正实数，满足，则 B．若，则的最小值为3 C．若正实数，满足，则的最大值为 D．若正数，满足，且，则，均为定值 21．（25-26高二下·福建三明·期末）（多选）已知正实数a，b满足，下列结论正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值4 C．有最小值2 D．有最小值2 22．（2026高二下·天津南开·学业考试）若实数满足，则的最大值为________． 23．（2025高三上·福建厦门·专题练习）已知，则的最大值为__________. 题型05 基本不等式求和的最小值 24．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 25．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．（26-27高三上·江苏·阶段检测）已知正实数x、y满足，则的最小值是（     ） A． B．3 C． D．6 27．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 28．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知，设：不等式对任意恒成立；：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 29．（26-27高三上·广东揭阳·阶段检测）（多选）下列选项不正确的是（ ） A．若，则的最小值为4 B．若，则的最小值为2 C．若正实数，满足，则的最小值为8 D．若，则的最小值为2 30．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知，，则的最小值为________． 31．（26-27高一上·广东中山·阶段检测）当时，的最小值为______． 题型06 基本不等式齐次比值求值 32．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 33．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 35．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（ ） A．当时，的最大值是 B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当正实数满足时，最小值为 36．（24-25高一上·江苏·阶段检测）（多选）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高二下·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______． 38．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 题型07 基本不等式“1”的妙用 39．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高二下·湖南长沙·期中）设，，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．10 D． 41．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知半径为2的圆O，如图所示，AB为圆的一条直径，C为线段AB上异于端点A、B的任意一点，过C作与线段AB垂直的弦交圆于D、E两点，连接AD和BD，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 42．（2025·江西萍乡·二模）已知，，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 43．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 44．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 45．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 46．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是（     ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 47．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）（多选）设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 48．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）已知正实数满足：，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 49．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为________． 50．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为____． 51．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知正数x，y满足，则的最小值为_________． 52．（2026·安徽六安·模拟预测）设，则的最小值为____________． 53．（25-26高三下·广东江门·开学考试）设正数满足，则的最小值为_____． 题型08 基本不等式恒成立问题 54．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 55．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 56．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 57．（24-25高二下·山东济宁·阶段检测）已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 58．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高一上·江西·阶段检测）若对于任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A．或 B． C． D．或 60．（22-23高一上·江苏徐州·阶段检测）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 61．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）（多选）若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 62．（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 63．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 64．（24-25高二下·上海·期末）若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围________． 65．（24-25高三上·山西运城·阶段检测）已知，，，且恒成立，则的取值范围是__________. 66．（26-27高一上·全国·课后作业）已知：，且，求使恒成立的参数的范围． 题型09 对勾函数求最值 67．（25-26高一下·河南信阳·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 68．（25-26高一上·上海·阶段检测）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 69．（2023·北京东城·一模）已知，则函数的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 70．（25-26高一上·广东·期中）（多选）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 71．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）（多选）下列结论正确的有（     ） A．若，则的最大值为6 B．若，，，则的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 72．（25-26高三上·北京·阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______. 73．（24-25高一上·山东临沂·阶段检测）（1）已知x，y是正实数，且，求的最小值； （2）函数的最小值为多少? （3）已知，则取得最大值时x的值为多少? 题型10 基本不等式的实际应用 74．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 75．（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 76．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 77．（25-26高一上·北京通州·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 78．（25-26高一上·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 79．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 80．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 81．（25-26高一上·上海·期中）某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 82．（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点．    (1)证明：． (2)若改变的长度矩形的周长保持不变，设，的面积为. ①试用表示面积； ②是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $