12.2.5简单分段函数的应用（课件）--2026-2027学年沪科版数学八年级上册

# 沪科版八年级上册 12.2.5 简单分段函数的应用 专项练习（约1400字） ## 核心考点 分段函数的含义；在不同自变量取值范围内，函数解析式不同；读懂分段函数图象，识别分段点；分段函数求函数值、求自变量；分段函数解决实际问题（话费、水费、行程、收费问题）；分段函数的自变量取值范围。满分100分，建议用时35分钟。 ## 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 分段函数是（） A. 多个不同函数相加得到 B. 在自变量不同取值范围，对应不同解析式 C. 就是正比例函数 D. 图象一定是一条连续直线 2. 某出租车收费：3千米以内8元；超过3千米，每千米加收1.5元。下面说法正确的是（） A. 全程只有一个函数关系式 B. 这是分段函数，分界点是3千米 C. 超过3千米后费用不变 D. 3千米以内费用随里程增加而变大 3. 已知分段函数$\(y=\)\begin{cases}2x&(x\ge0)\\-2x&(x<0)\end{cases}$，当$x=-3$时，$y$的值为（） A.$6$ B.$-6$ C.$3$ D.$-3$ 4. 小明离家距离图象：0~20分钟匀速前进；20~50分钟停留；50~70分钟匀速回家。分段点是（） A. 20和50分钟 B. 0和70分钟 C. 20和70分钟 D. 50和70分钟 5. 水费标准：每月用水量不超过10吨，每吨2元；超过10吨，超出部分每吨3元。若用水12吨，应交水费（） A.24元 B.26元 C.30元 D.36元 6. 对于分段函数，求函数值第一步是（） A. 随便选一个解析式代入 B. 判断自变量属于哪一段取值范围 C. 先解不等式 D. 先画图象 7. 一个分段函数图象由两段射线组成，则这个函数（） A. 只有一个解析式 B. 有两个不同解析式，分两段 C. 一定是正比例函数 D. $y$一定随$x$增大而增大 8. 某电话套餐：每月月租10元，包含100分钟通话；超出部分每分钟0.2元。通话时长$\(x>100\)$分钟时，话费$y$的关系式是（） A.$\(\(y=\)0.2x\)$ B.$\(\(y=\)10+0.2x\)$ C.$\(y=\)10+0.2(x-100)$ D.$\(y=\)10+0.2(100-x)$ ## 二、填空题（每题4分，共32分） 9. 分段函数在不同的自变量取值区间，有不同的________。 10. 分段函数计算时，先看自变量落在哪个区间，再选用对应的________代入计算。 11. 分段函数$\(y=\)\begin{cases}x+1&(x\ge2)\\x-1&(x<2)\end{cases}$，当$\(\(\boldsymbol{x=3}\)\)$时，$\(y=\)$________。 12. 公园门票：成人票，10人以内每人40元；超过10人，超出部分每人30元。分界点人数是____人。 13. 分段函数$\(y=\)\begin{cases}-x+2&(x\le1)\\2x-1&(x>1)\end{cases}$，当$\(\(\boldsymbol{x=0}\)\)$时，$\(y=\)$________。 14. 快递收费：首重1千克收费8元；超过1千克，每千克加收3元。寄2.5千克物品，费用为____元。 15. 行程分段图象，水平线段对应的函数值保持不变，代表物体________。 16. 已知分段函数$\(y=\)\begin{cases}3x&(x\le-1)\\-3x&(x>-1)\end{cases}$，当$x=-2$时，$\(y=\)$________。 ## 三、解答题（共36分） 17.（12分）已知分段函数： $$\(y=\) \begin{cases} -x+4 & (x\le2)\\ 2x-2 & (\(x>2\)) \end{cases}$$ （1）求当$\(x=1\)$时函数值； （2）求当$\(\(\boldsymbol{x=3}\)\)$时函数值； （3）若$\(y=\)4$，求对应的$x$的值。 18.（12分）某自来水公司收取水费：每月用水不超过15吨，每吨2元；超过15吨，超出部分每吨3元。设每月用水量为$x$吨，应交水费$y$元。 （1）写出$x\le15$和$\(x>15\)$时，$y$关于$x$的函数关系式； （2）若某月用水10吨，应交水费多少元？ （3）若某月交水费42元，求这个月用水量。 19.（12分）小王骑车从家到图书馆，距离$s$（千米）与时间$t$（分钟）的分段图象： 0~30分钟：匀速骑行到6km处； 30~60分钟：在图书馆看书，距离不变； 60~90分钟：匀速骑车返回家。 （1）小王家离图书馆多远？在图书馆停留多久？ （2）写出0~30分钟内，距离$s$关于时间$t$的函数关系式； （3）求小王从图书馆回家的速度。 ## 参考答案与解析 ### 选择题 1.B 解析：分段函数的定义，不同区间解析式不同。 2.B 解析：3千米是分界点，前后收费标准不一样，属于分段函数。 3.A 解析：$x=-3<0$，代入$\(y=\)-2x$，$\(y=\)-2\times(-3)=6$。 4.A 解析：20分钟到达目的地，50分钟开始返程，两个分段转折点。 5.B 解析：$10\times2+(12-10)\times3=20+6=26$。 6.B 解析：关键第一步判断自变量属于哪一段区间，再代入对应式子。 7.B 解析：两段射线，对应两段不同解析式。 8.C 解析：超出100分钟的部分才按0.2元/分钟计费。 ### 填空题 9.函数解析式 10.解析式 11.$4$，$\(\(\boldsymbol{x=3}\)\)\ge2$，$\(y=\)3+1=4$ 12.$10$ 13.$2$，$\(\(\boldsymbol{x=0}\)\)\le1$，$\(y=\)-0+2=2$ 14.$\(12.5\)$，$8+3\times1.5=\(12.5\)$ 15.静止（停留） 16.$-6$，$x=-2\le-1$，$\(y=\)3\times(-2)=-6$ ### 解答题 17.解： （1）$\(x=1\)\le2$，代入$\(y=\)-x+4$，$\(y=\)-1+4=\boldsymbol{3}$。 （2）$\(\(\boldsymbol{x=3}\)\)>2$，代入$\(y=\)2x-2$，$\(y=\)6-2=\boldsymbol{4}$。 （3）分两种情况讨论： ①当$x\le2$时：$-x+4=4$，解得$\(\(\boldsymbol{x=0}\)\)$，满足$x\le2$； ②当$\(x>2\)$时：$2x-2=4$，解得$\(\(\boldsymbol{x=3}\)\)$，满足$\(x>2\)$。 综上：$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{x=0}\)\)}$或$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{x=3}\)\)}$。 18.解： （1）当$x\le15$时，$\boldsymbol{\(y=\)2x}$； 当$\(x>15\)$时，$\(y=\)15\times2+3(x-15)$，化简得$\boldsymbol{\(y=\)3x-15}$。 （2）用水10吨，$\(10<15\)$，$\(y=\)2\times10=\boldsymbol{20}$元。 （3）$\(x=1\)5$时，水费30元，42元＞30元，说明用水量超过15吨。 $3x-15=42$，解得$\boldsymbol{\(x=1\)9}$吨。 19.解： （1）离家最远6千米；停留时间：$60-30=\boldsymbol{30}$分钟。 （2）0~30分钟，匀速，设$\(s=kt\)$；$\(t=30\)$时$\(s=6\)$，$\(6=30k\)$，$\(k=0.2\)$。 关系式：$\boldsymbol{s=0.2t\quad(0\le t\le30)}$。 （3）回家路程6km，用时$90-60=30$分钟$\(=0.5\)$小时。 速度：$6\div0.5=\boldsymbol{12}$千米/时。 ## 练习小结 分段函数核心：**自变量范围分段，一段对应一个式子**。做题最重要的一步，判断$x$落在哪个区间，再用对应的解析式计算，千万不能选错式子。 常见题型：①给自变量求函数值；②给函数值反求自变量，要分段检验解是否符合本段范围；③实际应用题（水费、电费、打车费、行程），需要自己写出分段解析式；④看懂分段函数图象，找到拐点（分段点）。 高频易错点：求总费用时，只有超出部分才用新单价，前面基础部分仍按原价；求出未知数后，一定要检验是否落在对应的自变量范围，不符合的解要舍去。分段函数是一次函数实际应用的难点大题，期中期末经常作为压轴小题或应用题考查。（全文1398字） 接下来：**12.3 一次函数的实际应用**专项练习，同样1400字，要不要继续？ 沪科版（新教材）数学八年级上册 12.2.5简单分段函数的应用 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/6 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十二章 函数与一次函数 02 创设情境 小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离． 该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？ 这就是本节课要学习的分段函数. 03 新知探究 A市出租车按里程长短计价收费，它的计价方式为：不超过3km内收费6元，3km后每增加1km(不足1km，也以1km计)加收1元． (1)请写出乘车路程xkm与收费y元的关系式； (2)李磊乘车5.6km，他应付多少钱？ (3)莉莉乘车付了15元，她乘车多少km？ 03 新知探究 解：当x≤3时，y=6 当x>3时，y=6+1×（x-3）=x+3 (1)请写出乘车路程xkm与收费y元的关系式； ∴ y= (2)李磊乘车5.6km，他应付多少钱？ 解：李磊乘车5.6km，即乘车6km y=x+3=6+3=9 所以应该付9元 03 新知探究 (3)莉莉乘车付了15元，她乘车多少km？ 解：莉莉付了15元，大于6元 所以x+3=15 x=12 答：她乘车12km. 03 新知探究 归纳 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 注意： (1)分段函数是一个整体，这个整体是一个函数. (2)函数y在x的某个范围内可能是特殊函数，如一次函数. (3)由于问题的不同，分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论. 1．[南京期末节选]【问题背景】若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”． 当x≥0时，y1＝kx＋2；当x<0时，y1＝kx－2， 可以记作分段函数y1＝ 1星题 基础练 【问题探究】当k＝1时，请在如图所示的平面直角坐标系中画出y1与x之间的函数图象，并写出该函数两条不同类型的性质． 举一反三 x －2 －1 0 1 … y －4 －3 2 3 … 解：当k＝1时，y1＝ 列表如下： 作图如图所示． 性质1：当x≥0时，y随x的增大而增大； 性质2：当x≥0时，函数有最小值2.(性质不唯一) 举一反三 2．[广州期末]某市出租车白天的收费起步价为12元，即路程不超过3 km时收费12元，超过部分每千米收费2.6元．如果乘客白天乘坐出租车的路程为x km，乘车费为y元，那么y与x之间的函数表达式为__________________． 举一反三 3．[武汉期末]共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～10 km的出行市场，图中反映某共享电动车平台收费y(元)与骑行时间x(min)之间的函数关系，根据图中的信息，某天小明从家到学校一共骑行40 min，则需要向平台付费________元． 12 举一反三 03 新知探究 例、为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过16时，使用费为每立方米1.3元. 超过16时，超过部分的使用费为每立方米2.0元；污水处理费为每立方米1.2元。设一户每月用水量为x,应缴水费为 y元 (1)求y与x之间的函数表达式 (2)画出上述函数的图象 (3)某两户某月用水量分别10和 20时，求这两户该月应缴的水费 (4)某一户某月缴水费 59.2元，求该户这个月的用水量。 03 新知探究 分析：用水量以16 为界，分成两段收费标准不一样，当0≤x≤16时，每立方米收费 (1.3+1.2)元；当x>16 时，超过部分每立方米收费(2.0+1.2)元. 解：当0≤x≤16时，y=(1.3+1.2)x=2.5x 当x>16时，y=(1.3+1.2)×16+(2.0+1.2)(x-16)=3.2x-11.2 y与x的函数表达式可表示为 03 新知探究 (2)如图,函数图象是一段折线. 03 新知探究 解:(3)当x=10m3时,y=2.5×10=25(元); 当x=20m3时,y=3.2×20-11.2=52.8(元). 答：这两户该月应缴的水费分别为25元，52.8元. (4)因为59.2>2.5×16 所以该户这个月用水量超过16m3, 因此:3.2x-11.2=59.2. 解方程,得x=22.即该户本月用水量为22m3. 4．随着新能源汽车的普及，充电站如雨后春笋般出现．某充电站施行峰谷电价收费制度(高峰时段：10：00至22：00，低谷时段：22：00至次日10：00)，已知高峰时段的充电单价是低谷时段的2倍，且充电总费用y(元)与充电量x(千瓦时)之间成一次函数关系，下图为一辆新能源汽车从充电开始直至充电结束的整个计费过程． (1)求出当0≤x≤5时，充电总费用y(元)与充电 量x(千瓦时)之间的函数表达式； 举一反三 解：设充电总费用y(元)与充电量x(千瓦时)之间的函数表达式为y＝kx， 将(5，6)代入，得6＝5k，解得k＝1.2，所以y＝1.2x. 举一反三 (2)当这辆汽车充电结束时，充电总费用是多少？ 8 (3)当这辆汽车的充电总费用为7.8元时，充电量为__________千瓦时． 解：因为高峰时段的充电单价是低谷时段充电单价的2倍，所以低谷时段的充电单价为1.2÷2＝0.6(元/千瓦时)，1.2×5＋0.6×(10－5)＝6＋3＝9. 答：当这辆汽车充电结束时，充电总费用是9元． 举一反三 5．[绍兴期末]某校智慧学习小组用AI记录学生运动轨迹：小敏从宿舍出发跑步前往体育场，在体育场锻炼了一小段时间后，步行至文具店购买了一些学习用品，最后散步走回宿舍．小敏离宿舍的距离y(km)与她所用的时间x(min)的关系如图所示，解答下列问题： 举一反三 (1)小敏宿舍离体育场的距离为________km，小敏跑步的平均速度为________km/min； (2)当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式：____________________． 2.5 举一反三 6．某校无人超市，恰逢周年庆，推出优惠活动，活动内容如图所示． (1)请写出小李的实付金额y(元)关于购物的商品总价x(元)的函数表达式及自变量的取值范围； 解：根据题意，得当0≤0.7x<56，即0≤x<80时，y＝0.7x；当0.7x≥56，即x≥80时，y＝0.7x－10. 举一反三 (2)小李和好朋友小于拼单购物，小李和小于所购商品的总价分别为60元和40元，那么小李和小于应分别实付多少元？ 解：因为60＋40＝100(元)>80元，所以把x＝100代入y＝0.7x－10，得y＝0.7×100－10＝60，所以小李应实付 ×60＝36(元)，小于应实付 ×60＝24(元)． 举一反三 7.【跨学科·生物】在生物实验室，科研人员对一种生物标本进行真空冷却实验，探索低温环境对标本细胞活性的影响．标本初始温度为45 ℃，在真空冷却过程中，温度T(单位：℃)与冷却时间t(单位：min)之间满足一次函数关系：前8 min，温度每分钟下降2.5℃；8 min后，调整冷却设备，温度每分钟下降2 ℃.同时，标本的细胞活性y与温度T之间也满足一次函数关系，且当T＝35 ℃时，y＝0.7；当T＝25 ℃时，y＝0.3. 举一反三 根据以上信息，回答下列问题： (1)求在不同阶段标本温度T关于冷却时间t的函数表达式； 解：根据题意，得当0≤t≤8时，T＝－2.5t＋45， 因为当t＝8时，T＝－2.5×8＋45＝25， 所以当t>8时，T＝25－2(t－8)，即T＝－2t＋41， 所以标本温度T关于冷却时间t的函数表达式为T＝ 举一反三 (2)当细胞活性降至0.1时，求标本冷却时间． 解：因为细胞活性y与标本温度T之间满足一次函数关系，所以设y＝kT＋b， 将T＝35，y＝0.7；T＝25，y＝0.3代入， 所以y＝0.04T－0.7. 举一反三 对于y＝0.04T－0.7，当y＝0.1时，0.04T－0.7＝0.1，解得T＝20.由(1)可知，T＝20时，t>8， 所以把T＝20代入T＝－2t＋41，得－2t＋41＝20，解得t＝10.5，所以当细胞活性降至0.1时，标本冷却时间是10.5 min. 举一反三 谢谢观看 THANKS y＝ y＝ 综上，y＝ 得解得 $