12.2 第5课时　简单分段函数的应用（课件）--2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“简单分段函数的应用”，通过小明行程问题的函数图象导入，引导学生判断不同时段是否为正比例或一次函数，衔接已学一次函数知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合水费、出租车费等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过分析分段条件、列表达式发展数学思维，用分段函数模型表达实际问题。小结结构化梳理定义、图象及解题步骤，助力学生系统掌握，也为教师提供清晰教学路径。

12.2 第5课时 简单分段函数的应用 专项练习 适用教材：沪科版数学八年级上册 考查知识点：分段函数的概念、分段函数求值、分段函数图象识别、一次型分段函数实际应用（计费、行程、增减变化） 满分：100分 时长：40分钟 一、基础填空题（每空3分，共24分） 1. 分段函数是指自变量在不同________内，对应不同函数表达式的函数，整体为________个函数。 2. 已知分段函数 $$y=\begin{cases}2x &(x\geq0)\\ -x &(x<0)\end{cases}$$，则当 $$x=3$$ 时，$$y=$$________；当 $$x=-2$$ 时，$$y=$$________。 3. 某收费标准规定：每月用水量不超过10吨，每吨2元；超过10吨的部分，每吨3元。自变量是________，分段临界点是________吨。 4. 已知分段函数 $$y=\begin{cases}x+1 &(x\leq2)\\ 4 &(x>2)\end{cases}$$，当 $$x=2$$ 时，$$y=$$________。 二、单项选择题（每题4分，共24分） 5. 关于分段函数，下列说法正确的是（） A. 分段函数是多个函数 &nbsp;&nbsp; B. 分段函数自变量取值范围互不重叠 C. 分段函数图象一定是连续的 &nbsp;&nbsp; D. 分段函数不能用解析式表示 6. 已知分段函数 $$y=\begin{cases}-x+2 &(x\leq1)\\ 3x &(x>1)\end{cases}$$，则 $$x=1$$ 对应的函数值为（） A. 1 &nbsp;&nbsp; B. 3 &nbsp;&nbsp; C. 2 &nbsp;&nbsp; D. 0 7. 某打车收费：3公里内收费8元，超过3公里每公里1.5元，该收费函数的分段点是（） A. 0公里 &nbsp;&nbsp; B. 3公里 &nbsp;&nbsp; C. 8公里 &nbsp;&nbsp; D. 1.5公里 8. 已知分段函数 $$y=\begin{cases}2x-1 &(x\geq1)\\ x+2 &(x<1)\end{cases}$$，当 $$x=0$$ 时，y的值为（） A. -1 &nbsp;&nbsp; B. 2 &nbsp;&nbsp; C. 3 &nbsp;&nbsp; D. 1 9. 某商店促销，购物金额不超过100元不优惠，超过100元的部分打八折，自变量x的分段范围是（） A. $$x\leq100$$ 和 $$x>100$$ &nbsp;&nbsp; B. $$x<100$$ 和 $$x\geq100$$ C. $$x\leq0$$ 和 $$x>0$$ &nbsp;&nbsp; D. 任意分段均可 10. 分段函数 $$y=\begin{cases}3x &(x\leq0)\\ -3x &(x>0)\end{cases}$$ 的函数值始终满足（） A. $$y>0$$ &nbsp;&nbsp; B. $$y\geq0$$ &nbsp;&nbsp; C. $$y<0$$ &nbsp;&nbsp; D. $$y\leq0$$ 三、基础解答题（共26分） 12.（12分）已知分段函数 $$y=\begin{cases}x-3 &(x\geq4)\\ 2x+1 &(x<4)\end{cases}$$。（1）求 $$x=5$$ 时的函数值；（2）求 $$x=2$$ 时的函数值。 13.（14分）某地固定电话收费标准：每月通话时长不超过100分钟，收费20元；超过100分钟的部分，每分钟0.15元。设每月通话时长为x分钟，月话费为y元。（1）写出y与x的分段函数解析式；（2）求某月通话120分钟的话费。 四、能力提升题（共26分） 14.（12分）已知某行程问题的分段函数：$$y=\begin{cases}4x &(0\leq x\leq5)\\ 20 &(5<x\leq10)\\ -4x+60 &(x>10)\end{cases}$$，其中x为时间，y为路程。（1）求x=8时的路程；（2）分析0～5分钟和10分钟后路程的变化情况。 15.（14分）某水果店销售苹果，单次购买量不超过5千克，每千克8元；超过5千克的部分，每千克6元。设购买量为x千克，总费用为y元。（1）求y关于x的分段函数表达式；（2）若某次购买花费52元，求购买苹果的质量。 参考答案与解析 一、填空题 1. 取值范围；一 2. 6；2 3. 用水量；10 4. 3 二、选择题 5. B 6. A 7. B 8. C 9. A 10. B 三、基础解答题 12. 解：（1）$$x=5\geq4$$，代入 $$y=x-3$$，得 $$y=5-3=2$$；（2）$$x=2<4$$，代入 $$y=2x+1$$，得 $$y=4+1=5$$。 13. 解：（1）当 $$0\leq x\leq100$$ 时，$$y=20$$；当$$x>100$$ 时，$$y=20+0.15(x-100)=0.15x+5$$。综上：$$y=\begin{cases}20 &(0\leq x\leq100)\\ 0.15x+5 &(x>100)\end{cases}$$；（2）$$x=120&gt;100$$，$$y=0.15\times120+5=23$$，话费为23元。 四、能力提升题 14. 解：（1）$$x=8$$，满足 $$5<x\leq10$$，$$y=20$$，路程为20；（2）0～5分钟，y随x增大而增大，匀速行驶；5～10分钟路程不变，静止；10分钟后y随x增大而减小，返程行驶。 15. 解：（1）当 $$0\leq x\leq5$$ 时，$$y=8x$$；当 $$x>5$$ 时，$$y=8\times5+6(x-5)=6x+10$$。即 $$y=\begin{cases}8x &(0\leq x\leq5)\\ 6x+10 &(x>5)\end{cases}$$；（2）购买5千克花费40元，52元＞40元，代入 $$6x+10=52$$，解得 $$x=7$$，购买质量为7千克。 字数：1240 沪科版（新教材）数学八年级上册 12.2 第5课时　简单分段函数的应用 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/15 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第12章 函数与一次函数 新课导入 小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中 x 表示时间，y 表示小明离他家的距离． 该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？ 在0~15分是正比例函数，在25~37分是一次函数，在55~80分是一次函数. 情境导入 推进新课 (1)求y与x之间的函数表达式； 例5 为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过16m3时，使用费为每立方米1.3元；超过16m3时，超过部分的使用费为每立方米2.0元；污水处理费为每立方米1.2元，设一户每月用水量为x m3，应缴水费为y元. 分析：用水量以16m3为界，分成两段，收费标准不一样： 当0≤ x ≤16时，每立方米收费(1.3+1.2)元； 当x＞16时，超过部分每立方米收费(2.0+1.2)元. (1)求y与x之间的函数表达式； 例5 为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过16m3时，使用费为每立方米1.3元；超过16m3时，超过部分的使用费为每立方米2.0元；污水处理费为每立方米1.2元，设一户每月用水量为x m3，应缴水费为y元. 解 (1)当 0≤ x ≤16 时，y = (1.3+1.2)x = 2.5x. 当 x＞16 时， y = (1.3+1.2)×16+(2.0+1.2)(x－16) = 3.2x－11.2 . y 与 х 的函数表达式可表示为： 2.5x， 0≤x≤16， 3.2x－11.2， x＞16. y = 2.5x， 0≤x≤16， 3.2x－11.2， x＞16. y = (2)画出上述函数的图象； x/m3 y/元 如图，函数图象是一段折线. (3)某两户某月用水量分别为 10 m3 和 20 m3 时，求这两户该月应缴的水费； (3) 当 x = 10 时，y = 2.5×10 = 25 . 当 x = 20 时，y = 3.2×20－11.2 = 52.8 . 答：这两户该月应缴的水费分别为 25 元、52.8 元. 先确定要求值的自变量属于哪一段范围； 然后代入该段的解析式求值. (4)某一户某月缴水费59.2元，求该户这个月的用水量； 2.5x， 0≤x≤16， 3.2x－11.2， x＞16. y = (4)因为59.2＞2.5×16， 所以该户这个月用水超过 16 m3. 因此，3.2x－11.2 = 59.2. 解得 х = 22. 答：该户这个月的用水量为 22 m3. 把对应y的值代入函数解析式 1．[南京期末节选]【问题背景】若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”． 当x≥0时，y1＝kx＋2；当x<0时，y1＝kx－2， 可以记作分段函数y1＝ 1星题 基础练 【问题探究】当k＝1时，请在如图所示的平面直角坐标系中画出y1与x之间的函数图象，并写出该函数两条不同类型的性质． 举一反三 x －2 －1 0 1 … y －4 －3 2 3 … 解：当k＝1时，y1＝ 列表如下： 作图如图所示． 性质1：当x≥0时，y随x的增大而增大； 性质2：当x≥0时，函数有最小值2.(性质不唯一) 举一反三 2．[广州期末]某市出租车白天的收费起步价为12元，即路程不超过3 km时收费12元，超过部分每千米收费2.6元．如果乘客白天乘坐出租车的路程为x km，乘车费为y元，那么y与x之间的函数表达式为__________________． 举一反三 3．[武汉期末]共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～10 km的出行市场，图中反映某共享电动车平台收费y(元)与骑行时间x(min)之间的函数关系，根据图中的信息，某天小明从家到学校一共骑行40 min，则需要向平台付费________元． 12 举一反三 分段函数 自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 注意: 1.分段函数是一个整体，这个整体是一个函数. 2.每一段函数后面必须加上自变量的取值范围. x/m3 y/元 2.5x， 0≤x≤16， 3.2x－11.2， x＞16. y = 练一练 为了鼓励居民节约用电，某电力公司按月用电量分段收费，居民每月应缴电费y元与月用电量 x kW·h的函数图象是一条折线(如图所示). 根据图象解答下列问题： (1)求出y与x之间的函数表达式； 解：(1) 当0≤ x ≤100时，设y=k1x. 把(100，65)代入，得100k1=65， 解得k1=0.65， 所以y=0.65x. 当x >100时，设y=k2x+b. 把(100，65)，(130，89)分别代入， 得 100k2+b=65， 130k2+b=89. 解得 k2=0.8， b=－15. 所以y =0.8x－15. 所以y 与x之间的函数表达式为 0.65x，(0≤x≤100)， 0.8x－15，(x＞100). y = (2)若某用户某月应缴电费105元，则该用户当月用了多少电？ (2) 因为105>65，所以x>100. 将у=105代入y=0.8x－15， 得0.8x－15=105， 解得x=150. 所以该用户当月用了150kW·h电. ①定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点， 先确定函数的类型； ②设函数式：设出函数的解析式； ③列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程(组)， 求出该段内的解析式； ④下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变 量的取值范围. 由分段函数的图象确定函数解析式的方法： 4．随着新能源汽车的普及，充电站如雨后春笋般出现．某充电站施行峰谷电价收费制度(高峰时段：10：00至22：00，低谷时段：22：00至次日10：00)，已知高峰时段的充电单价是低谷时段的2倍，且充电总费用y(元)与充电量x(千瓦时)之间成一次函数关系，下图为一辆新能源汽车从充电开始直至充电结束的整个计费过程． (1)求出当0≤x≤5时，充电总费用y(元)与充电 量x(千瓦时)之间的函数表达式； 举一反三 解：设充电总费用y(元)与充电量x(千瓦时)之间的函数表达式为y＝kx， 将(5，6)代入，得6＝5k，解得k＝1.2，所以y＝1.2x. 举一反三 (2)当这辆汽车充电结束时，充电总费用是多少？ 8 (3)当这辆汽车的充电总费用为7.8元时，充电量为__________千瓦时． 解：因为高峰时段的充电单价是低谷时段充电单价的2倍，所以低谷时段的充电单价为1.2÷2＝0.6(元/千瓦时)，1.2×5＋0.6×(10－5)＝6＋3＝9. 答：当这辆汽车充电结束时，充电总费用是9元． 举一反三 5．[绍兴期末]某校智慧学习小组用AI记录学生运动轨迹：小敏从宿舍出发跑步前往体育场，在体育场锻炼了一小段时间后，步行至文具店购买了一些学习用品，最后散步走回宿舍．小敏离宿舍的距离y(km)与她所用的时间x(min)的关系如图所示，解答下列问题： 举一反三 (1)小敏宿舍离体育场的距离为________km，小敏跑步的平均速度为________km/min； (2)当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式：____________________． 2.5 举一反三 6．某校无人超市，恰逢周年庆，推出优惠活动，活动内容如图所示． (1)请写出小李的实付金额y(元)关于购物的商品总价x(元)的函数表达式及自变量的取值范围； 解：根据题意，得当0≤0.7x<56，即0≤x<80时，y＝0.7x；当0.7x≥56，即x≥80时，y＝0.7x－10. 举一反三 (2)小李和好朋友小于拼单购物，小李和小于所购商品的总价分别为60元和40元，那么小李和小于应分别实付多少元？ 解：因为60＋40＝100(元)>80元，所以把x＝100代入y＝0.7x－10，得y＝0.7×100－10＝60，所以小李应实付 ×60＝36(元)，小于应实付 ×60＝24(元)． 举一反三 7.【跨学科·生物】在生物实验室，科研人员对一种生物标本进行真空冷却实验，探索低温环境对标本细胞活性的影响．标本初始温度为45 ℃，在真空冷却过程中，温度T(单位：℃)与冷却时间t(单位：min)之间满足一次函数关系：前8 min，温度每分钟下降2.5℃；8 min后，调整冷却设备，温度每分钟下降2 ℃.同时，标本的细胞活性y与温度T之间也满足一次函数关系，且当T＝35 ℃时，y＝0.7；当T＝25 ℃时，y＝0.3. 举一反三 根据以上信息，回答下列问题： (1)求在不同阶段标本温度T关于冷却时间t的函数表达式； 解：根据题意，得当0≤t≤8时，T＝－2.5t＋45， 因为当t＝8时，T＝－2.5×8＋45＝25， 所以当t>8时，T＝25－2(t－8)，即T＝－2t＋41， 所以标本温度T关于冷却时间t的函数表达式为T＝ 举一反三 (2)当细胞活性降至0.1时，求标本冷却时间． 解：因为细胞活性y与标本温度T之间满足一次函数关系，所以设y＝kT＋b， 将T＝35，y＝0.7；T＝25，y＝0.3代入， 所以y＝0.04T－0.7. 举一反三 对于y＝0.04T－0.7，当y＝0.1时，0.04T－0.7＝0.1，解得T＝20.由(1)可知，T＝20时，t>8， 所以把T＝20代入T＝－2t＋41，得－2t＋41＝20，解得t＝10.5，所以当细胞活性降至0.1时，标本冷却时间是10.5 min. 举一反三 课堂小结 分段函数 定义 图象 注意 它是一个函数；要写明自变量取值范围 分段函数求值 ①先确定要求值的自变量属于哪一段范围 ②代入该段的解析式求值 由图象求解析式 ①定类型、②设函数式、③列方程(组)、④下结论 谢谢观看 THANKS y＝ y＝ 综上，y＝ 得解得 $