江苏南京市中华中学2026-2027学年高二上学期国庆假期作业4——直线与圆

中华中学校本作业·高二数学 第二章 圆与方程 高二数学国庆假期作业4——直线与圆 一､单选题(1－6) 1．已知直线x－y＋m＝0与圆C:x2＋y2＋4y＝0相交于A，B两点，若·＝0，则m的值为（    ） A．－4或0 B．－4或4 C．0或4 D．－4或2 【答案】A 【分析】由圆的方程可得圆心和半径，根据CA⊥CB可确定|AB|长，从而得到圆心到直线距离，由点到直线距离公式可构造方程求得结果. 【详解】由圆C方程知：圆心C(0，－2)，半径r＝×＝2， ∵·＝0，∴CA⊥CB，∴|AB|＝＝2， ∴圆心C到直线x－y＋m＝0的距离d＝|AB|＝， 即＝＝，解得：m＝0或m＝－4. 故选：A. 2．直线y＝x＋m与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若|AB|≥2，则实数m的取值范围为（    ） A．[－2，2] B．[－，] C．[－1，1] D．[－，] 【答案】B 【分析】利用圆的弦长、半径、弦心距的关系结合已知求出弦心距的范围，再借助点到直线的距离公式计算作答. 【详解】令圆x2＋y2＝4的圆心O(0，0)到直线l的距离为d，而圆半径为r＝2，弦AB长满足|AB|≥2， 则有d＝≤1，又d＝＝，于是得≤1，解得－≤m≤， 所以实数m的取值范围为[－，]. 故选：B 3．已知点P(t，t－2)，t∈R，点A是圆(x－2)2＋(y＋2)2＝1上的动点，点B是圆(x－5)2＋(y＋2)2＝4上的动点，则|PB|＋|PA|的最小值为（    ） A．5 B． C．＋3 D．－3 【答案】D 【分析】如图，先得到点P为直线y＝x－2上一点，再将|PB|＋|PA|的最小值转化为|PC1|＋|PC2|的最小值，找到点C1关于直线y＝x－2的对称点为O，利用对称性知|PC1|＋|PC2|的最小值为|OC2|，代入坐标运算即可. 【详解】解：圆(x－2)2＋(y＋2)2＝1的圆心为C1(2，－2)，圆(x－5)2＋(y＋2)2＝4的圆心为C2(5，－2)， 因为P(t，t－2)，则点P为直线y＝x－2上一点，其与坐标轴交于点E(2，0)，F(0，－2)， 如图，连接AC1，PC1，BC2，PC2， |PB|＋|PA|≥|PC1|－|AC|1＋|PC2|－|BC2|＝|PC1|＋|PC2|－3， 要求|PB|＋|PA|的最小值，即求|PC1|＋|PC2|的最小值， 明显四边形OFC1E为正方形，则点C1关于直线y＝x－2的对称点为O(0，0)， 连接OP，OC2 则|PC1|＋|PC2|＝|PO|＋|PC2|≥|OC2|， 又|OC2|＝＝， 则|PB|＋|PA|的最小值为－3. 故选：D.    4．设A＝{(x,y)|5x+12y+16≤0}，点P∈A，过点P引圆(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)的两条切线PA，PB，若∠APB的最大值为，则的值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题可得要使∠APB最大，则必有|MP|最小，可得|MP|的最小值为M到直线的距离，即可利用点到直线的距离公式得出. 【详解】根据题意，设直线l:5x+12y+16＝0，圆心为M(2,0)， 如图，集合A表示直线l的左下方区域（包括直线）， 要使∠APB最大，则必有|MP|最小，可得|MP|的最小值为M到直线l的距离， 此时|MP|＝2，∠APM＝∠APB＝， 故r＝|MP|·sin∠APM＝. 故选：B 5．过直线x＝2上任一点P作圆O：x2＋y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB与圆M：(x－t)2＋(y－2)2＝8恒有公共点，则t的取值范围是（    ） A．(－1，3) B．[－1，3] C．[0，3] D．(0，3) 【答案】B 【分析】先求出切线方程，然后求出直线AB方程，根据直线和圆有公共点解出t的取值范围. 【详解】解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(2，m)，过直线x＝2上任意一点P作圆O：x2＋y2＝2的两条切线分别为l1，l2， 则k＝－，k＝－，结合x12＋y12＝2，x22＋y22＝2， 可得切线l1:x1x＋y1y＝2，切线l2:x2x＋y2y＝2， 又∵l1∩l2＝P， ∴ 从而直线AB的方程为2x＋my＝2，且过定点(1，0)， 因为直线AB与圆M：(x－t)2＋(y－2)2＝8恒有公共点， 故有定点(1，0)在圆M上或是圆内， 故可得(1－t)2＋(0－2)2≤8，解得－1≤t≤3，则t的取值范围是[－1，3]. 故选：B 6．在平面直角坐标系中，直线l与圆Cx2＋y2＋2x－2y＝0.交于A，B两点，且△ABC的面积为1，已知M是圆C上的动点，则·的最大值为（    ） A．2＋1 B．2＋2 C．4＋ D．4＋2 【答案】B 【分析】先将圆C的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再根据△ABC的面积求出圆心到直线的距离，最后利用向量的运算和圆的性质求出·的最大值. 【详解】圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝2， 所以圆C的圆心坐标为C(－1，1)，半径r＝. 设圆心C到直线l的距离为d，根据△ABC的面积为1， 得×2×d＝1，即d4－2d2＋1＝0，所以d2＝1，即d＝1. 设AB的中点为D，则＝＋，＝＋， 因为＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－) ＝2－2＝||2－||2. 由|AB|＝2＝2，得||＝|AB|＝1, ||的最大值为圆心C到直线l的距离加上圆的半径r， 即||max＝d＋r＝1＋，所以·的最大值为(1＋)2－12＝2＋2. 故选：B 二､多选题(7－8) 7．下列结论正确的是（     ） A．若直线l:ax＋by＝1与圆O:x2＋y2＝相交，则点(a，b)在圆O的外部 B．直线kx－y－3k＋1＝0被圆(x－2)2＋(y－2)2＝4所截得的最短弦长为2 C．若圆x2＋y2＝r2上有4个不同的点到直线x－y－2＝0的距离为1，则有r＞－1 D．若过点P(1，)作圆O:x2＋y2＝r2的切线只有一条，则切线方程为x＋y－4＝0 【答案】ABD 【分析】对于A，直线与圆相交，说明圆心到直线距离小于半径；对于B，化简直线方程可知该直线过定点，圆心到该定点的距离即圆心到该动直线距离的最小值，再利用勾股定理，可求弦长最小值；对于C，圆上有四点到直线距离为1，说明平行于该直线且距离为1的两直线均与圆相交；对于D，过某点作圆的切线只有一条，说明该点在圆上. 【详解】对于A，直线l:ax＋by－1＝0与圆O:x2＋y2＝()2相交， 所以＜，即＞2＞，因此点(a，b)在圆O的外部，故A正确； 对于B，直线方程kx－y－3k＋1＝0变形得，k(x－3)－y＋1＝0，可知该直线必过定点(3，1)， 因此圆心(2，2)到直线kx－y－3k＋1＝0的距离的最小值为＝， 此时该直线被圆所截的弦最短，弦长为2＝2，故B正确； 对于C，到直线x－y－2＝0距离为1且平行的直线分别为l1:x－y－2－＝0和l2:x－y－2＋＝0， 圆心(0，0)到直线l1的距离为d1＝＝＋1，到l2的距离为d2＝＝－1， 该圆要与直线距离为1的点有四个，等价于与l1和l2分别有两个交点， 所以半径r需满足r＞d1，r＞d2，即r＞＋1，故C错误； 对于D，过点P作圆的切线只有一条，则点P在圆上，代入可得圆O:x2＋y2＝22， 过点P的半径所在直线的斜率为，故切线的斜率为－， 则切线方程为y－＝－(x－1)，即x＋y－4＝0，故D正确. 8．已知直线l:x－y＋1＝0，过直线上任意一点M作圆C:(x－3)2＋y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，则下列选项正确的是（    ） A．∠AMB最大度数为60° B．四边形MACB面积的最小值为4 C．直线AB过定点(，) D．|AB|的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用直线与圆的几何性质，将角度、面积、弦长问题转化为点M到圆心C的距离的最值问题，再结合切点弦方程，逐项进行判断即可求解. 【详解】由圆C:(x－3)2＋y2＝2可知，圆心C(3，0)，半径r＝， 圆心C(3，0)到直线l:x－y＋1＝0的距离d＝＝2， 因为d＞r，所以直线与圆C相离，如图所示， 因为点在直线上动，当时，取得最小值，即的最小值为， 设∠AMC＝α，则∠AMB＝2α， 在Rt△AMC中，sinα＝＝＝， 要使∠AMC＝α最大，即sinα＝最大，则|MC|取得最小值，即|MC|＝2， 所以sinαmax＝＝＝，因为∠AMC＝α为锐角，所以∠AMC＝α＝， 所以∠AMB＝2α＝2×＝＝60°，即∠AMB最大度数为60°，故A选项正确； 根据题意，S△MAC＝S△MBC， 所以SMACB＝S△MAC＋S△MBC＝2S△MAC＝2×|AM|·|AC|＝|AM|·r＝|AM|， 在Rt△AMC中，由勾股定理可得|AM|＝＝＝， 所以当SMACB最小时，即|AM|取最小值，即|MC|取最小值， 所以|MC|min＝2，所以|AM|min＝＝＝， 所以四边形MACB的面积的最小值为SMACB＝|AM|＝×＝2， 故B选项错误； 设点M(x0，y0)，因为点M在直线l上动，所以x0－y0＋1＝0，即y0＝x0＋1， 圆C:(x－3)2＋y2＝2展开为x2＋y2－6x＋7＝0 根据切点弦方程公式，直线AB的方程为x0x＋y0y－3(x0＋x)＋7＝0， 又y0＝x0＋1，所以x0x＋(x0＋1)y－3(x0＋x)＋7＝0，即x0(x＋y－3)＋(y－3x＋7)＝0， 所以，解得x＝，y＝，即直线AB过定点(，)，所以C选项正确； 根据直线与圆相切的性质，可得|MA|＝|MB|， 又|CA|＝|CB|，所以MC⊥AB，垂足为N，且N为AB中点， 在Rt△AMC中，利用等面积法可得|AM|·|AC|＝|AN|·|MC|， 所以|AN|＝＝＝r＝， 所以|AB|＝2， 当|MC|取得最小值时，|AB|取得最小值， 即|MC|＝2时，|AB|＝2＝2＝，故D选项正确. 综上所述，选项ACD正确. 三､填空题(9－10) 9．已知圆C:x2＋y2＝4，设圆C上的点P在x轴的上方，点A的坐标为，直线AP与圆C的另一交点为Q，且Q为AP的中点，则直线AP的斜率为_____. 【答案】－ 【分析】设P(x0，y0)，由题意可求得Q点坐标，根据P，Q在圆C上，代入可求得x0的值，进而可得y0值，代入公式，即可得答案. 【详解】设P(x0，y0)，因为Q为AP的中点， 所以xQ＝，yQ＝，即Q点坐标为(，)(y0＞0)， 因为P、Q在圆C上，代入可得， 联立解得x0＝－，代入解得y0＝， 所以直线AP的斜率k＝＝－. 故答案为：－ 10．已知圆A:(x＋2)2＋y2＝1，圆B:(x－2)2＋y2＝4，直线3x＋4y＋t＝0上存在点P，过点P向圆A引两条切线PC和PD，切点是C和D，再过点P向圆B引两条切线PE和PF，切点是E和F，若∠CPD＝∠EPF，则实数t的取值范围为_________. 【答案】[－，] 【分析】根据题意作出图形，结合图象转化得2|PA|＝|PB|，从而利用两点距离公式求得点P的轨迹方程，进而得到直线3x＋4y＋t＝0与圆(x＋)2＋y2＝有交点，由此得解. 【详解】连接圆心和切点，如图所示，则有∠APC＝∠BPF＝θ， 易知AC＝1，BF＝2，∠ACP＝∠BFP＝， 故|PA|sinθ＝AC＝1，|PB|sinθ＝BF＝2，∴＝， 不妨设P(x，y)，∵2|PA|＝|PB|，∴2＝， ∴x2＋y2＋x＋4＝0，化简得(x＋)2＋y2＝， ∴P的轨迹为以圆心(－，0)，为半径的圆， 又∵P在直线4y＋3x＋t＝0上，∴直线3x＋4y＋t＝0与圆(x＋)2＋y2＝有交点， ∴≤，故－≤t≤. 故答案为：－≤t≤. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将题设条件转化得2|PA|＝|PB|，从而利用阿氏圆的相关知识可知点P的轨迹方程为圆，进而得解. 四､解答题(11－12) 11．已知圆M:x2＋(y－4)2＝4，直线l的方程为x－2y＝0，点P是直线l上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B. (1)当P的横坐标为时，求∠APB的大小； (2)求四边形PAMB面积的最小值； (3)求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出所有定点的坐标. 【答案】(1)60º (2) (3)证明见解析，(0，4)，(，) 【分析】（1）由题可知，圆M 的半径r=2，和P点坐标，根据MP=2r，可得∠MPA＝30º，从而可求∠APB 的大小； （2）要求四边形PAMB面积最小值，由题意可知只需求PM的最小值，利用点到直线的距离公式可求答案; （3）设P的坐标，求出经过A、P、M三点的圆的方程，即可得到圆过定点； 【详解】（1）由题可知，圆M的半径r＝2，P(，)，因为PA是圆M的一条切线， 所以∠MAP＝90º ,又因MP＝＝4＝2r， 又∠MPA＝30º，∴∠APB＝60º； （2）SPAMB＝MA·PA＝2PA，要使四边形PAMB面积最小，只需PA最小. 又PA＝，只需PM最小. 当PM⊥l时，PM有最小值，PM＝＝， PA＝＝,此时四边形面积最小为. （3）证明：设P(2b，b)，因为∠MAP＝90º，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径， 方程为： (x－b)2＋(y－)2＝ ， 即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0， 由，解得或, 所以圆过定点(0，4)，(，). 12．已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l1:x－y－2＝0相切． (1)过点G(1，3)作直线与圆C相交，相交弦长为2，求此直线的方程； (2)若与直线l1垂直的直线l不过点R(1，－1)，且与圆C交于不同的两点P，Q，若∠PRQ为钝角，求直线l的纵截距的取值范围． 【答案】(1)x＝1或4x－3y＋5＝0 (2)－＜b＜且b≠0 【分析】（1）先求出圆的方程，根据弦长公式求出圆心到直线的距离，再分情况计算即可. （2）设出直线l的方程，与圆的方程联立，结合Δ＞0、韦达定理及向量数量积判断角的方法求出d的范围；舍去向量反向共线即∠PRQ＝180°时b的取值，最后取交集即可. 【详解】（1）由题意得，圆心(0，0)到直线l1：x－y－2＝0的距离为圆的半径长r， 所以r＝＝＝2 所以圆C的方程为x2＋y2＝4． ①当直线斜率不存在时，过点G(1，3)的直线为x＝1，代入圆方程可解得y＝±，所以弦长为2，满足题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0 由弦长公式2＝2可得，圆心到直线的距离为d＝1. 圆心到直线的距离d＝＝1，解得k＝， 此时x－y－＋3＝0，即4x－3y＋5＝0. 所以所求直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0； （2）因为直线l1的斜率为1且l⊥l1，所以直线l的斜率为－1， 设直线l的方程为y＝－x＋b. 与圆C的方程x2＋y2＝4联立，整理得2x2－2bx＋b2－4＝0． 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是方程2x2－2bx＋b2－4＝0的两个不同的根， 所以Δ＝(－2b)2－8(b2－4)＝－4b2＋32＞0，即b2＜8，解得－2＜b＜2. 所以x1＋x2＝b，x1x2＝， y1＋y2＝－x1＋b＋(－x2＋b)＝－(x1＋x2)＋2b＝－b＋2b＝b， y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝x1x2－b(x1＋x2)＋b2＝－b2＋b2＝， 因为∠PRQ为钝角，所以·＜0，又＝(x1－1，y1＋1)，＝(x2－1，y2＋1)， 所以·＝(x1－1)(x2－1)＋(y1＋1)(y2＋1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＋(y1＋y2)＋1 ＝－b＋1＋＋b＋1＝b2－2＜0，解得－＜b＜． 当∠PRQ＝180°时，与反向共线，直线l经过R(1，－1)，此时b＝0，不符合题意，应舍去. 综上，直线l的纵截距的取值范围是－＜b＜且b≠0． 试卷第10页（共10页） 2 学科网（北京）股份有限公司 $