6.2 用频率估计概率（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

## 知识点梳理 1. **频率**：在 n 次重复试验中，事件 A 发生的次数为 m，频率\(=\dfrac{m}{n}\)。 2. **用频率估计概率**：在大量重复试验下，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生的**概率**。 > > 注意：频率是试验值，会波动；概率是理论定值。只有**试验次数足够大**，频率才可以用来估计概率。 3. 适用场景：无法用树状图、列表求理论概率时（如抛掷图钉、种子发芽、产品抽检），用大量试验的稳定频率估算概率。 易错提醒：少量试验得到的频率**不能**当作概率；频率不等于概率，只是概率的估计值。 ## 一、选择题 1. 关于频率与概率，下列说法正确的是（） A. 频率就是概率 B. 当试验次数足够大时，频率稳定于概率 C. 频率与概率无关 D. 概率大于频率 2. 在做抛硬币试验，抛掷 1000 次，正面朝上 498 次，则估计正面朝上的概率约为（） A. 0.498 B. 0.502 C. 0.5 D. 0.48 3. 某鱼塘里，打捞 200 条鱼标记后放回；一段时间后打捞 150 条，其中带标记的有 12 条，估计鱼塘中鱼总数大约是（） A. 2000 B. 2500 C. 3000 D. 3500 ## 二、填空题 1. 某种子发芽试验，大量重复试验后，发芽频率稳定在 0.92，则随机取一粒种子，发芽概率估计为________。 2. 掷一枚瓶盖，多次试验，瓶盖正面朝上频率稳定在 0.42，则反面朝上概率约为________。 3. 抽检一批零件，大量检测后次品频率稳定在 0.03，则 2000 件零件中，次品大约有______件。 ## 三、解答题 1. 某小组做掷图钉试验，记录如下： 北师大版（新教材）数学九年级上册 6.2 用频率估计概率 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/6 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第六章 概率的进一步认识 素养目标 1. 能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率；理解当试验次数足够大时，试验频率将稳定于理论概率．(重点) 2. 经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力. 3. 认可用频率估计概率方法的合理性.(难点) 素养目标 小明周末参加了一个生日宴会，一共来了 13 名同学，他对在座的同学说，“如果我们每个人过生日都办生日宴会，那么今年有一个月至少能参加 2 次这样的宴会” 你觉得小明说的对吗？ 情境导入 探究点：用频率估计概率 问题1：400 个同学中，一定有 2 人的生日相同(可以不同年)吗？ 抽屉原理：把 m 个物品任意放进 n 个空抽屉里( m > n )，那么一定有一个抽屉中放进了至少 2 个物品”. 一年最多 366 天， 400 个同学中一定会出现至少 2 人出生在同月同日. 探究新知 一年最多 366 天， 300 个同学中不一定会出现 2 人出生在同月同日. 问题3：可有人说：“50 名同学中，就很可能有 2 名同学的生日相同.”你同意这种说法吗？请设计一个试验方案验证你的观点，并与同伴进行交流. 问题2：300 个同学中，一定有两个同学的生日相同吗？ 探究点：用频率估计概率 探究新知 【操作·思考】(1) 每个同学课外调查 10 个人的生日. (2) 从全班的调查结果中随机选取 50 个被调查人的生日，记录其中有无 2 个人的生日相同. 每选取 50 个被调查人的生日为一次试验，重复尽可能多次试验，并将数据记录在下表中： 试验总次数 50 100 150 200 250 … “有2个人的生日相同”的次数 “有2个人的生日相同”的频率 探究点：用频率估计概率 探究新知 “几个人中至少有两人生日相同”的频率大小表 人数 频率 人数 频率 人数 频率 人数 频率 20 0.4114 29 0.6810 38 0.8641 47 0.9548 21 0.4437 30 0.7105 39 0.8781 48 0.9606 22 0.4757 31 0.7305 40 0.8912 49 0.9658 23 0.5073 32 0.7533 41 0.9032 50 0.9704 24 0.5383 33 0.7750 42 0.9140 51 0.9744 25 0.5687 34 0.7953 43 0.9239 52 0.9780 26 0.5982 35 0.8144 44 0.9329 53 0.9811 27 0.6269 36 0.8322 45 0.9410 54 0.9839 28 0.6545 37 0.8487 46 0.9483 … … 探究点：用频率估计概率 探究新知 (3)根据上表中的数据，估计“50 个人中有 2 个人的生日相同”的概率. 通过观察上面的表格能发现： 当人数是 50 人时，“有 2 个人的生日相同”的频率高达 97.04%. 从而可估计“50个人中有 2 个人的生日相同”的概率为 0.97. 探究点：用频率估计概率 探究新知 【思考·交流】 通过调查，我们能估计出 50 个人中有 2 个人生日相同的概率，要想使这种估计尽可能精确，常常需要做大量的调查试验，但这样做既费时又费力，甚至有时试验还具有一定的难度和破坏性. 除了上面的实际调查方法外，你还能想到其他的替代方案吗? 与同伴进行交流. 探究点：用频率估计概率 探究新知 在估计 50 个人中有 2 个人生日相同的概率时，可以用 365 个编有号码、大小相同的球，分别代表一年的 365 个日期(一年按 365 天计算)，这样就可以通过摸球试验模拟实际调查，从中摸出 50 个球，作为一次试验； 我们还可以利用计算器产生 1~365 的随机整数，每一个整数代表一个人的生日，每产生 50 个随机整数为一次试验. 重复多次这样的试验，就可以估计 50 个人中有 2 个人生日相同的概率. 探究点：用频率估计概率 探究新知 用频率估计概率 ①试验得出的频率只是概率的估计值； ②对一个随机事件A，用频率估计的概率 P(A) 不可能小于0，也不可能大于1； ③概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生. 探究点：用频率估计概率 探究新知 1. 判断正误 （1）连续掷一枚质地均匀硬币 10 次，结果 10 次全部是正面，则正面向上的概率是 1. （2）小明掷硬币 10000 次，则正面向上的频率在 0.5附近. （3）设一大批灯泡的次品率为 0.01，那么从中抽取 1000 只灯泡，一定有 10 只次品. 错误 错误 正确 【练一练】 探究点：用频率估计概率 探究新知 (1) 一个口袋中有 3 个红球、7 个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是多少? 口袋中有 3 个红球、7 个白球，共 10 个球，则随机摸出红球的概率是 . 一般地，如果一个试验有 n 种等可能的结果， 事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为： 【思考·交流】 探究点：用频率估计概率 探究新知 (2)一个口袋中有红球、白球共 10 个，这些球除颜色外都相同. 如果不将球倒出来数，那么你能设计一个试验方案，估计其中红球与白球的比例吗？ 方案：每次随机摸出一个球并记录颜色，然后将球放回，搅匀，当次数越多，试验频率将越稳定于理论概率. 探究点：用频率估计概率 探究新知 另一方面，假设口袋中有 x 个红球，从口袋中随机摸出一球，它是红球的概率应该等于 ，由 得 ；白球数量为 (个). 因此，口袋中红球和白球的数量比约 . 具体实施：不断重复这个过程，共摸 n 次(n 要足够大，例如 n > 100)，其中 m 次摸到红球，由此可以估计出：从口袋中随机摸出一球，它是红球的概率为 . 探究点：用频率估计概率 探究新知 知识点 利用概率解决“配紫色”问题 1.如图，用两个可自由转动的转盘（第1个转盘平均分为两份，第2个转 盘平均分为三份）做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转 出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则可配成紫色的概率是( ) B （第1题） A. B. C. D. 返回 举一反三 16 （第2题） 2.［教材P171“习题6.1”第5题变式］ 如图，用 图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏， 若其中一个转出红色，另一个转出蓝色,则可配 成紫色，那么可配成紫色的概率是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 17 3.一个盒子中有1个红球、2个白球和2个蓝球，这些球除颜色外都相同。 举一反三 18 （1）从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，用 表格或树状图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色（红色 蓝色）的概率； 解：由题意可得，树状图如下图所示： 由图可得总共有25种情况，能配成紫色的有4种情况， 所以（能配成紫色） 。 举一反三 19 （2）如果从中一次随机摸出2个球，盒中恰好还有3个颜色的球的概率 是__。 返回 举一反三 20 例1 瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖坯放在炉中烧制，可能成为合格品，也可能成为次品或废品，究竟发生哪种结果，在烧制前无法预知，所以这是一种随机现象.而烧制的结果是“合格品”是一个随机事件，这个事件的概率称为“合格 品率”. 由于烧制结果不是等可能的， 我们常用“合格品”的频率作为 “合格品率”的估计值. 探究点：用频率估计概率 探究新知 某瓷砖厂对瓷砖进行质量抽检，结果如下： 抽取瓷砖数n 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000 合格品数 m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924 合格品率 (1) 计算上表中的各组合格品的频率 (精确到 0.001)； (2) 估计这种瓷砖的合格品率 (精确到 0.01)； (3) 若该厂本月生产该型号瓷砖 500000 块，试估计合格 品数. 探究点：用频率估计概率 探究新知 (1)逐项计算，填表如下： (2)观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数 n ≥ 400 时，合格品率 稳定在 0.962 的附近， 所以我们估计该型号瓷砖的合格品率为 p = 0.96 . (3) 500000×96% = 480000 (块)，可以估计该型号合格品 数为 480000 块. 抽取瓷砖数n 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000 合格品数m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924 合格品率 0.950 0.960 0.957 0.963 0.962 0.962 0.963 0.961 0.962 探究点：用频率估计概率 探究新知 频率与概率的关系 联系： 频率 概率 事件发生的频繁程度 事件发生的 可能性大小 在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值. 区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的频率都可能不同；而概率是一个确定数，是客观存在的，与每次试验无关. 稳定性 大量重复试验 探究点：用频率估计概率 探究新知 4. 如图是三个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成 面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色，小强和小亮用转盘A和 转盘B做一个转盘游戏：同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另 一个转出蓝色即可配成紫色，则小强获胜；若两个转盘转出的颜色相同， 则小亮获胜；在其他情况下，小强和小亮不分胜负。 举一反三 25 （1）用画树状图或列表的方法表示此游戏所有可能出现的结果； 解：将转盘B的两个蓝色扇形分别记作“蓝1”“蓝2”，则列表如下。 转 盘A 转盘B 红 蓝1 白 蓝2 黄 红 （红,红） （红，蓝1） （红，白） （红，蓝2） （红，黄） 蓝 （蓝，红） （蓝，蓝1） （蓝，白） （蓝，蓝2） （蓝，黄） 黄 （黄，红） （黄，蓝1） （黄，白） （黄，蓝2） （黄，黄） （用画树状图法也可） 举一反三 26 （2）小强说此游戏不公平,请你说明理由； 解：由（1）中表格可知，共有15种等可能的结果，其中能配成紫色的 结果有3种，两个转盘转出的颜色相同的结果有4种，所以 （小强获胜），（小亮获胜）。因为 ，所以此游戏 不公平。 举一反三 27 （3）请你在转盘C的空白处，涂上适当的颜色，使得用转盘C替换转盘 B后，游戏对小强和小亮是公平的（在空白处填写表示颜色的文字即可， 不要求说明理由，只需给出一种结果即可）。 解：如图。（答案不唯一） 返回 举一反三 28 频率估计概率 大量重复试验 求非等可能性事件概率 列举法 不能适应 频率稳定 常数附近 统计思想 用样本(频率)估计总体(概率) 一种关系 频率与概率的关系 频率稳定时可看作是概 率但概率与频率无关 课堂小结 谢谢观看 THANKS $