4.1 对数的概念 课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

第四章 对数运算与对数函数 4.1 对数的概念 1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质. 2.能够进行对数式和指数式的互化. 情境：我们已经知道将一张厚度 0.1 mm 的纸连续对折 42 次后，理论厚度会超过地球到月球的距离. 若纸张厚度 y 与对折次数 n 的关系可以用式子 y = 0.1× 2n 表示； 思考：根据上述式子，说说： ① 对折 10 次后多厚？ ② 厚度超过 100 mm 时，对折了几次？ ③ 有没有更快捷的方法计算？ 102.4 mm 10 次 对数的概念 一般地，如果 a (a > 0，且 a ≠ 1) 的 b 次幂等于 N，即 ab = N，那么数 b称为以 a 为底 N 的对数，记作 给定底数后，对数运算是指数运算的逆运算. 底数 底数 幂 真数 指数 对数 ab = N 式子 名称 a b N 指数式 ab = N 底数 指数 幂 对数式 log a N = b 底数 对数 真数 问题1：根据表格中指数与对数的关系，完成下列问题. 因为对数概念源于指数，对数式是由指数式转化而来，对数的底数就是指数的底数；要使指数式 ab = N 对任意实数 b 都有意义，必须 a > 0，且 a ≠ 1，所以对数式中也必须要求 a > 0，且 a ≠ 1. （1）对数式 log a N = b 中，为什么要规定 a > 0，且 a ≠ 1？ （2）对于任意的 a > 0 且 a ≠ 1，对数 的值有什么特点？ 因为，所以 因为，所以 因为，所以 常用对数和自然对数 e 10 对数形式 特点 记法 一般对数 以 a (a > 0，且 a ≠ 1) 为底的对数 logaN 常用对数 以_____为底的对数 自然对数 以_____为底的对数 lg N ln N 思考：为什么会出现常用对数和自然对数？ 常用对数和自然对数在生活中的应用 常用对数是人类对“十进制”的直观感受 （人类常用的一种对数） 自然对数是“自然变化”的直观感受 （自然变化产生的一种对数） 注意：常用对数和自然对数的本质相同，只是底数和使用场景不同. 例1：将下列指数式改写为对数式： (1) ； (2) ； (3)； (4). 解：由对数的定义，得 (1)； (2)； (3)； (4). 归纳1：将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式即可. 例2：将下列对数式改写成指数式： (1)； (2)； (3)； (4). 解：由对数的定义，得 (1)； (2) ； (3) ； (4) . 归纳2：将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式即可. 例3：求下列各式中的 值： (1)； (2)； (3) ； (4)； (5) ； (6). 解：由对数的定义，得 (2)，∴； (5)，因为底数，，所以； (4)； (3)； (6). (1)； 练一练：求下列各式中的 x 的值： （1） （2） （3） （4） 解：由对数的定义，得 (1) (2) x6 = 8，又 x > 0，所以 (3) 10 x = 100 = 102，所以 x = 2； (4) 因为 -ln e2 = x，所以 ln e2 = -x，e2 = e -x，于是 x = -2. 对数 概念 特殊对数 基本性质 指数式与对数式的互化 常用对数 自然对数 回顾：根据今天所学，构建对数的知识框图. 13 $