精品解析：山东泰安市新泰第一中学（老校：新泰中学）2026-2027学年高二上学期第一次诊断测试数学试题

2025级高二上学期数学第一次诊断性检测 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 在四面体中，设，，，点M为AB的中点，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 我们给出定义：在空间直角坐标系中，若平面经过点，向量，为平面的一个法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为.已知平面的方程为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别是，AB的中点，设点P是线段DN上的动点，则MP的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为 B. 在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C. 已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D. 以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形 10. 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点且在x轴的截距的绝对值是y轴上截距的绝对值两倍的直线方程_____________________. 13. 如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________. 14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界），平面，则点的轨迹的长度为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，. （1）若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标； （2）求的面积. 16. 在平行六面体中，，，，E为与的交点． （1）用向量，，表示； （2）求线段的长； （3）求异面直线与所成的角． 17. 已知直线. （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，是的中点. （1）求证：； （2）若底面是梯形，，，，，求二面角的余弦值； （3）在（）的条件下，线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （2024•江西宜春•模拟预测） 19. 如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点． （1）证明：平面； （2）若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二上学期数学第一次诊断性检测 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 2. 若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，向量与向量共线， 因此，所以. 3. 在四面体中，设，，，点M为AB的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，又点M为AB的中点，所以. 所以 . 4. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法进行求解. 【详解】以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为，则各点坐标为： ， 又因为为中点，所以，因为为中点，所以， 即，， 设异面直线与所成角为，则 ． 5. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 6. 设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解. 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 7. 我们给出定义：在空间直角坐标系中，若平面经过点，向量，为平面的一个法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为.已知平面的方程为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得平面的一个法向量为，再由点到平面距离向量法求解即可. 【详解】平面的方程可以化为， 则平面的一个法向量为， 且平面经过点，又， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 8. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别是，AB的中点，设点P是线段DN上的动点，则MP的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值域，即可得到本题答案. 【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为底面ABCD是边长为2的正方形，，所以， ∵点在平面上，∴设点的坐标为， ∵在上运动，∴ ，∴，∴点的坐标为， ∴， ∵，∴当时， 取得最小值. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为 B. 在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C. 已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D. 以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【详解】点关于x轴对称的点的坐标为，故A正确； 是坐标平面的一个法向量，故B错误； 设，则， 此时共面，与是空间的一组基底矛盾， 故也是空间一组基底，故C正确； 由两点间距离公式得， 故是等腰直角三角形，故D正确. 10. 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】AB 【解析】 【分析】根据直线过定点、两直线平行、直线的图像以及两直线垂直逐项计算判断即可. 【详解】解：对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，取，直线：过第三象限，故D错误． 故选：AB. 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，，，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且，平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 对于B，，， 则，得， 所以，，， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又，， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C错误； 对于D，当，时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则， 当时，， 当时，， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点且在x轴的截距的绝对值是y轴上截距的绝对值两倍的直线方程_____________________. 【答案】或或 【解析】 【分析】按照直线是否过原点讨论，再结合截距式求出. 【详解】若直线过原点，则斜率为，则直线方程为，满足题意， 若直线不过原点，设直线方程为， 则，得或， 则直线方程为或， 综上，直线方程为或或 13. 如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， ∴， 由，，得，，又， ∴ ， 所以，即. 故答案为：4. 14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界），平面，则点的轨迹的长度为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建立空间直角坐标系，利用垂直于平面的法向量确定点的位置，利用向量即可得解. 【详解】由题知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 记的中点为，连接， 因为为正方形，为中点，所以，且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 记点的轨迹与交于点，由题知平面， 因为是平面内的相交直线，所以平面平面， 所以即为点的轨迹， 因为， 所以， 设， 则， 设为平面的法向量， 则，令得， 因为，所以， 解得，则，又 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，. （1）若四边形是平行四边形，求顶点D的坐标； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是平行四边形得到，通过计算得解； （2）利用向量的数量积求出，结合向量的夹角的范围求出，利用三角形面积公式求出的面积． 【小问1详解】 设，因为是平行四边形，所以， 由，，， 得，， 所以，故． 【小问2详解】 由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积． 16. 在平行六面体中，，，，E为与的交点． （1）用向量，，表示； （2）求线段的长； （3）求异面直线与所成的角． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意根据向量加法的三角形法则和平行四边形法则即可求解； （2）由（1）的结论，结合向量的数量积公式及模长定义进行运算即可. （3）利用向量的减法运算及数量积公式运算即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 即. 【小问2详解】 由（1）得 ， 所以线段的长为. 【小问3详解】 ， 所以异面直线与所成的角为. 17. 已知直线. （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 【答案】（1） 证明：∵， ∴直线过定点. （2） （3）最小值为4，直线方程为. 【解析】 【分析】（1）整理直线方程，即可求得定点； （2）通过直线方程得到纵截距，由纵截距和斜率列出方程，即可求得的取值范围； （3）通过直线方程得到交点的坐标，然后得到三角形面积，利用基本不等式即可求得最小值，同时求出此时的直线方程. 【小问1详解】 ∵， ∴直线过定点. 【小问2详解】 ∵，直线的纵截距为， 要使得直线不经过第四象限，则， 即. 【小问3详解】 由题意可知：， 由直线方程可得，，， ∴，即， ， 当且仅当时，取等号. 即当直线方程时，面积取最小值4. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，是的中点. （1）求证：； （2）若底面是梯形，，，，，求二面角的余弦值； （3）在（）的条件下，线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为是等腰三角形，，是的中点， 所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. （2） （3） 不存在，理由如下： 假设线段上存在点，使得平面， 则设，. 因为，，， 所以. 因为平面，所以， 故，即， 解得，与矛盾，所以假设不成立. 因此线段上不存在点，使得平面. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理进行证明； （2）过点作直线，交于点，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量进行向量运算求解； （3）设，，利用空间向量的运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作直线，交于点. 因为，，所以，. 又因为平面，所以，， 故如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 设平面的法向量，则，即. 令，则，，于是. 平面的法向量. 所以， 因此，锐二面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 （2024•江西宜春•模拟预测） 19. 如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点． （1）证明：平面； （2）若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，， ，为的中点，， 又，． 又平面，平面，平面． 为的中点，． 又平面，平面，平面， 又，平面，平面平面， 又平面，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，从而证明平面，平面，即可得到平面平面，即可得证． （2）推导出平面，平面，平面平面，连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，由（1）知，， 又，为的中点，， 又，平面，平面， 又平面，， 又，，平面，平面， 又平面，平面平面， 连接，，为的中点，， 又平面平面，平面， 平面，平面，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 是与平面所成的角，即， ，设，则，，，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设二面角的平面角为， ， 所以，即二面角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $