第十章 静电场中的能量 复习讲义 -2026-2027学年高二上学期物理人教版必修第三册

高二物理必修第三册秋季同步培优专项讲义 第十章 静电场中的能量 知识归纳与题型总结 题型01 电势能和电势 1、 静电力做功的特点： 1、静电力做功的特点：在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。正（负）电荷沿着电场线方向移动时电场力做正（负）功。 2、静电力做功过程推导 （1）q沿直线从A移向B，在这个过程中q受到静电力F与位移AB的夹角始终为θ，如上图所示。静电力做的功为W＝F ×cos θ×|AB|＝qE×|AM|。 （2）q沿折线AMB从A点移动到B点，在位移AM上静电力做功W1＝qE×|AM|，在线段MB上，由于移动方向跟静电力方向垂直，静电力不做功，W2＝0。则在整个移动过程中静电力对q所做的功为：W＝W1＋W2＝qE×|AM|。 （3）q沿任意曲线ANB从A点移动到B点，如上图所示，我们把曲线分成无数小段，每一小段中，设想q都从起点先沿电场方向、再沿垂直电场方向到达终点。各小段沿垂直电场方向运动时，静电力是不做功的， 各小段沿电场方向移动的位移之和等于|AM|。因此，q沿任意曲线从A点移动到B点静电力所做的功也是W＝qE×|AM|。 （4）结论：在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。这个结论对于非匀强电场也是成立的。 注意：静电力做功的特点 （1）静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与具体路径无关，这与重力做功特点相似。 （2）静电力做功的特点不受物理条件限制不管静电力是否变化，是否是匀强电场，是直线运动还是曲线运动，静电力做功的特点均不变。 二、电势能 1、电势能定义：电荷在电场中具有的能叫做电势能，符号用Ep表示，单位为J。 2、电势能与电场力做功的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。电场力做正（负）功，电势能减少（增加）。该公式适用于匀强电场，也适用于非匀强电场；适用于正电荷，也适用于负电荷。 3、电势能大小：等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。该物理量为标量，正（负）号表示电势能大（小）于零势能点位置。正（负）电荷在电势高的地方电势能大（小）。 4、零势能点的选取：通常把离场源电荷无穷远处或者大地表面的电势能规定为零。 5、对电势能的理解 （1）系统性：电势能是由电场和电荷共同决定的，是属于电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷的电势能。 （2）相对性：电势能是相对的，其大小与选定的参考点有关，确定电荷的电势能，首先应确定参考点，也就是零势能点的位置。 （3）标量性：电势能是标量，有正负但没有方向，电势能为正值表示电势能大于参考点的电势能，电势能为负值表示电势能小于参考点的电势能。 6、电势能增减的判断方法 （1）做功判断法：无论正、负电荷，只要电场力做正功，电荷的电势能一定减小；只要电场力做负功，电荷的电势能一定增大。 （2）电场线判断法：正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小。 （3）电势判断法：由公式Ep＝qφ知，正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能小。 7、电势能与重力势能的比较 物理量 电势能 重力势能 定义 电场中的电荷具有的势能 重力场中的物体具有的势能 做功特点 只与初末位置有关，与经路径无关，所做的功等于势能的减少量 系统性 电荷和电场 物体和地球 相对性 电荷在某点的电势能等于把电荷从该点移到零势能位置时静电力做的功 物体在某点的重力势能等于把物体从该点移到零势能位置时重力做的功 区别 电荷有极性 物体无极性 8、Ep­x图像 类型 电势能与位移变化 图像 规律 反映了电势能随位移变化的规律。 曲线斜率 图像切线的斜率的绝对值表示电场力的大小 分析方法 ①根据电势能的增减和电荷电性确定场强的方向；②根据电势能随位移的变化情况利用电场力、动能定理、动量守恒定律、牛顿第二定律等知识判断电场强度、动能、加速度等物理量的变化情形。 注意 只有电场力做功，则电势能的变化与动能的变化趋势恰好相反。 注意：（1）电势能EP是由电场和电荷共同决定的，是属于电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷在电场中某点的电势能。 （2）电势能是相对的，其大小与选定的参考位置有关。确定电荷的电势能，首先应确定参考位置，也就是零势能位置。 （3）电势能是标量，有正负但没有方向。电势能为正值表示电势能大于参考位置的电势能，电势能为负值表示电势能小于参考位置的电势能。 三、电势 1、电势定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势。在数值上等于单位正电荷由该点移到零电势点时电场力所做的功。 2、表达式：，单位为伏特，符号为V，其中1V=1J/C。 3、电势特点 （1）相对性：电场中各点电势的高低，与所选取的零电势的位置有关，一般情况下取无穷远或地球为零电势位置。 （2）标矢性：电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负。 （3）电势与电场强度大小没有必然的联系，某点的电势为零，电场强度可能不为零；某点电势不为零，电场强度可能为零。 解释：从下图φ－x上可知该图像的斜率为电场强度，斜率为零时电势可以不为零。（从数学积分角度，电势是一个电场强度对位移的积分过程，在这个中某些位置场强为零，但是积分结果可以不为零） （4）沿电场线方向电势逐减降低。 解释：如下图，正电荷从A点运动到B点，电场力做正功，电势能减少，电势降低；负电荷从从A点运动到B点，电场力做负功，电势能增加，电势降低。 （5）沿着电场线方向电势降低最快。 解释：如下图，从匀强电场中一等势面上的A点沿三条不同路径 AB、AC、AD到达另一等势面，这三条路径电势的减少值是一样的，但是沿AC路径最短，所以电势降低最快。 （6）电势与电势能的比较 电势φ 电势能Ep 定义 电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值 电荷在电场中具有的能叫做电势能 单位 伏特V 焦耳J 物理意义 反映电场能的性质的物理量 反映电荷在电场中某点所具有的能量 影响因素 电势大小只跟电场本身有关，跟点电荷q无关 电势能的大小是由点电荷q和该点电势φ共同决定的 大小 规定零电势点后，某点的电势高于零，则为正值；某点的电势低于零，为负值。 对于正点电荷，其电势能的正负跟电势 的正负相同；对于负点电荷，其电势能 的正负跟电势的正负相反。 联系 φ＝或Ep＝qφ，二者均是标量，均具有相对性。 （7）φ－x图线 ①正负点电荷的φ－x图象(取无限远处电势为零)，如下图所示： ②两个等量同种点电荷的φ－x图象，如下图所示： 两个等量同种点电荷中垂线上的φ－x图象，如下图所示： 特点：两点电荷连线上，中点电势最低；在两点电荷连线的中垂线上，中点电势最高。关于中点左右对称或上下对称的点电势相等。 （8）两个异种等量点电荷的φ－x图象，如下图所示： 特点：两点电荷连线的中垂面上的电势为零。 注意：（1）电场中某点的电势是相对的，它的大小和零电势点的选取有关。在物理学中，常取离场源电荷无限远处的电势为0，在实际应用中常取大地的电势为0。 （2）电势是表征电场性质的一个物理量，电场中某点的电势p的大小是由电场本身和零电势点的选取决定的，与在该点是否放有试探电 荷、试探电荷的电性、试探电荷的电荷量均无关，这和许多用比值定义的物理量相同，如前面学过的电场强度。 （3）电势虽然有正负，但电势是标量。电势为正值表示该点电势高于零电势点，电势为负值表示该点电势低于零电势点，正负号不表示方向。 【典例1-1】“彭宁离子阱”是一个可以用来储存带电粒子的装置。该装置主要由一对左右对称的环电极和一对上下对称的端电极构成，其内部某一截面的部分电场线（带箭头实线）和等势线（虚线）分布如图所示，则（　　） A．a、b、c三点的电场强度大小为 B．a、b、c三点的电势大小为 C．将一正电子从a点移到b点，静电力做负功 D．将一正电子从a点移到c点，电势能增大 【典例1-2】（多选）如图，、、、是圆心为的圆周的四等分点，、分别为、的中点。在、分别固定一正点电荷，在、分别固定一负点电荷，则（     ） A．O点的电场强度为0 B．O点与点的电场强度大小相等 C．O点的电势比点的低 D．、两点的电势相等 【典例1-3】（多选）开尔文滴水起电机的结构如图所示。中空金属圆筒E、F通过导线分别与金属杯H、G相连，盆A中的水通过管B从滴管C、D滴出，分别经E、F落入G、H中。整个装置原不带电，若某次偶然机会，C滴出一滴带少量正电荷的水滴，落入金属杯G中，则由于静电感应，D后续滴下的水滴总是带负电，这样G、H就会带上越来越多的异种电荷。关于上述过程，下列说法正确的是（     ） A．G带正电荷，则F带正电荷 B．G带正电荷，则E带负电荷 C．关闭C、D的阀门，仅G向E靠近时，G带电荷量减少 D．此过程中水的重力势能部分转化为系统的电势能 题型02 电势差 一、电势差 1、电势差定义：电场中两点间电势的之差，叫做电势差，也叫电压。单位为伏特，符号为V。 2、电势差表达式：电场中A点的电势为φA，B点的电势为φB，则有和，故。 3、对电势差的几点认识 （1）电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电量、静电力做功的大小无关，在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差也有确定值。 （2）讲到电势差时，必须明确所指的是哪两点的电势差，A、B间的电势差记为UAB，B、A间的电势差记为UBA。 （3）电势差为标量，有正、负之分，电势差的正负表示电场中两点间的电势的高低。 （4）电场中两点间的电势差与电势零点的选取无关。 4、电势和电势差的比较 电势φ 电势差U 区 别 定义 在电场中电势能与电量比值。 电场中两点间电势的之差。 公式 φ＝ U＝（） 影响因素 由电场和在电场中位置决定。 由电场内两点位置决定。 相对性/绝对性 具有相对性，与零势能点选取有关。 具有绝对性，与零势能点选取无关。 联 系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA。 单位 相同，均为V。 标量性 都是标量，但均具有正负。 物理意义 均是描述电场的能的性质的物理量 二、电势差与静电力做功的关系 1、关系：WAB=qUAB或UAB＝。 （1）关系的推导过程：WAB=EPA-EPB=qφA-qφB=q（φA-φB）-qUAB：，所以有WAB=qUAB或UAB＝，即电场中A、B两点间的电势差等于电场力做的功与试探电荷电荷量q的比值。 （2）物理意义：电势差是表征电场能的性质的物理量，在数值上A、B两点间的电势差等于单位正电荷由A点移动到B点时电场力做的功。 2、对静电力做功与电势差的关系的理解 （1）公式UAB＝是电势差的定义式，不能认为UAB与WAB成正比、与q成反比，只是利用WAB与q的比值来计算UAB。 （2）由UAB＝可以得出UAB在数值上等于单位正电荷由A点移到B点时电场力所做功WAB。若单位正电荷做正功，则UAB为正值；若单位正电荷做负功，则UAB为负值。 （3）公式UAB＝适用于任何电场，WAB仅是电场力的功，不包括其他力所做的功。 （4）公式UAB＝中各量均有正负，计算中W与U的角标要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。 （5）静电力做功由电荷量及两点间电势差决定，与路径无关。 （6）公式WAB =qUAB与公式W = qELcosθ具有的优势是不必考虑静电力的大小和电荷的移动路径。特别是当静电力为变力时，静电力做功不能用W = qELcosθ来计算，只能用WAB =qUAB来计算。 （7）两种计算方法：带正负号进行计算，把电荷q的电性和两点间的电势差U的正负代入；将绝对值代入公式进行运算，q、U都取绝对值，算出的功也是绝对值，至于电场力做的是正功还是负功，可以根据电荷受力方向以及电荷的运动方向进行判断。 （8）在系统中只有静电力做功的情况下，电势能和动能之间互相转化，总量保持不变。 （9）在系统中只有重力和静电力做功，没有其他力做功的情况下，电势能和机械能之间互相转化，总量保持不变。 3、电场力做功的方法 定义法 W＝FL＝qELcosθ 适用于匀强电场 电势差法 WAB =qUAB 既适用于匀强电场也适用于非匀强电场；既适用于只受电场力的情况，也适用于受多种力的情况。 动能定理 W静电力+W其他力＝ΔEk 功能关系 WAB＝EpA−EpB＝−ΔEp 三、等势面 1、等势面定义：在电场中，电势相同的各点构成的面叫作等势面。 （1）电场线跟等势面垂直。 （2）电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面。 2、等势面的特点 （1）在等势面内任意两点间移动电荷，电场力不做功。 （2）在空间中两等势面不相交。 （3）电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。 （4）在电场线密集的地方，等差等势面密集；在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏。 （5）等势面是为描述电场的性质而假想的面。 （6）等势面的分布与电势零点的选取无关。 3、几种典型电场的等势面 电场类型 图示 特点 点电荷的电场 等势面是以点电荷为球心的一簇球面。 等量异种点电荷的电场 两点电荷连线的中垂面上是电势为零的等势面。 等量同种正点电荷的电场 在两点电荷中心连线上，中点电势最低；而在中垂线上，中点电势最高。关于中点左右对称或上下对称的点电势相等。 匀强电场 等势面为垂直于电场线的一簇等间距平面。 【典例2-1】两个等量正点电荷固定于光滑水平面上，其连线中垂线上有、、三点。如图甲所示。一个带电荷量为，质量为的小物块（可视为质点）从点静止释放，其运动的图像如图乙所示，其中点处为整条图线切线（图中标出了该切线）斜率最大的位置，则下列说法正确的是（     ） A．由到的过程中物块的电势能一直在增大 B．点为中垂线上电场强度最大的点，场强 C．由点到点电势逐渐降低 D．、两点间的电势差 【典例2-2】如图1所示，四川火锅“九宫格”菜盘为九个正方形隔断，方便放置不同的菜品。某同学依据该模型画出了如图2所示的图样，假设该“九宫格”图样处于平行该平面的匀强电场中，将一个电子放置在C点时比放在O、A两点时电势能均小4eV，设O点电势为零，九宫格小正方形边长为10cm，则下列说法正确的是（　　） A．电场线方向为O指向A B．B点的电势为6V C．匀强电场的电场强度大小为40V/m D．将质子从B点移动到C点，克服电场力做功10eV 【典例2-3】图示虚线为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为0。一带正电的点电荷仅在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为和。当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为时，它的动能应为（　　） A． B． C． D． 考点03 电势差与电场强度的关系 一、匀强电场中电势差与电场强度的关系 1、关系式：UAB＝Ed或E＝。（关系式只适用于匀强电场） 2、公式UAB＝Ed的物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。U为匀强电场中两点的电势差的绝对值，E是匀强电场的电场强度的大小，d是匀强电场中这两点在电场强度方向上的距离。 （1）在匀强电场中，沿任意一个方向，电势下降都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等；如果把某两点间的距离平均分为n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的1/n。 （2）在匀强电场中，沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等。 （3）计算出来的U是电势差的绝对值， 电势差的正负号和电场强度的方向可通过以下知识来判断：沿着电场线方向电势越来越低；电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。 3、公式E＝的物理意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点沿电场强度方向距离的的比值。 （1）E的另一表述：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，单位：N/C或V/m。 （2）大小关系：由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。 （3）方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。 （4）物理意义：电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间位置变化的快慢。 4、电场强度三种求解方法的比较 公式 E＝ E＝k E＝ 含义 电场强度的定义式 真空中点电荷的电场强度决定式 匀强电场中电场强度的计算式 适用范围 适用于任何电场 真空中的点电荷 匀强电场 决定因素 由电场本身决定，与检验电荷q无关。 由场源电荷Q和场源电荷到该点的距离r共同决定。 由电场本身决定，d为两点沿场强方向的距离 推导过程 F∝q，E与F、q无关，反映某点电场的性质。 由电场强度和库仑定律联立推导。 由F＝qE和W＝qU联立推导。 5、在非匀强电场中，公式E＝可用来定性分析：如图所示，若ab＝bc，由于电场线密处场强较大，即ab段的平均场强小于bc段的平均场强，故可以判断Uab<Ubc。 二、等分法计算匀强电场中的电势或电场强度 1、在匀强电场中，沿着任意方向上，相等距离的电势差都相等，如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，像这样采用这种等分间距求电势问题的方法，叫作等分法。 2、在已知电场中几点的电势时，如果要求另外某点的电势，一般采用“等分法”在电场中找出与待求点电势相同的等势点。 3、在匀强电场中，相互平行、相等长度的线段两端电势差相等，用这一点可求解电势或电势差。 4、等分法也常用在画电场线或计算电场强度的问题中。 5、用等分法确定等势线和电场线 由公式U＝Ed可以得到：①匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示；②匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD（或φA－φB＝φC－φD），同理有UAC＝UBD，如图乙所示。 电场线的确定方法：先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线（电场线的方向：由电势高的等势面指向电势低的等势面）。 【典例3-1】MN是一负点电荷产生的电场中的一条电场线，虚线为一个带负电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹。则（     ） A．a点电势大于b点电势 B．带电粒子在a点加速度小于b点加速度 C．带电粒子在a点电势能大于b点电势能 D．带电粒子在a点的动能大于b点的动能 【典例3-2】某种新型“粒子推进器”利用高频激光脉冲照射特定晶体阵列，可产生非匀强电场以偏转高速粒子束。电子束通过该区域的极短时间内，电场可视为恒定，其电场线分布如图所示，、、为某电子运动轨迹上的三个点。以下选项正确的是（     ） A．点的电势比点的低 B．该电子从点运动到点时，电势能减小 C．该电子从点运动到点时，动能增大 D．该电子从点运动到点过程中，速度大小和方向都改变 【典例3-3】如图所示，水平向右的匀强电场中有、、三点，与匀强电场方向平行，与匀强电场方向成，，。现将一个电量为的负电荷从点移动到点，电场力做功为，求： (1)该匀强电场的电场强度大小； (2)、间的电势差； (3)若点的电势为，则该电荷在点的电势能。 考点04 电容器的电容 一、电容器 1、电容器的定义：彼此绝缘而又相距很近的两个导体，就构成一个电容器。在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层绝缘物质——电介质就组成一个最简单的电容器，叫作平行板电容器。 2、电容器的构造：两个互相靠近彼此绝缘的导体（空气也是一种电介质）。 3、电容器的作用：存储电荷（存储电能）。 4、电容器充放电过程 过程内容 充电过程 放电过程 定义 使电容器带电的过程 中和掉电容器所带电荷的过程 方法 将电容器的两极板与电源两极相连 用导线将电容器的两极板接通 场强变化 极板间的场强增强 极板间的场强减小 能量转化 其他能转化为电能 电能转化为其他能 5、带电荷量：通常是指电容器已容纳的电荷的数量，任意一个极板所带电荷量的绝对值。 二、电容 1、电容的定义：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值，公式为C＝。 2、电容的物理意义：表示电容器容纳电荷本领的物理量，数值上等于使电容器两极板间的电势差增加1V所增加的带电量。 3、电容的单位：国际单位制为法拉，符号为F，1F＝1C/V，1F=106uF=1012pF。 4、击穿电压：加在电容器两极板上的电压不能超过某一限度， 超过这个限度，电介质将被击穿，电容器损坏。这个极限电压叫作击穿电压。 5、额定电压：是指电容器长时间正常工作时的最佳电压，电容器外壳上标的是工作电压，或称额定电压，这个数值比击穿电压低。 三、平行板电容器 1、平行板电容器的定义：在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层绝缘物质——电介质就组成一个最简单的电容器，叫作平行板电容器。 2、平行板电容器的结构：由两个相互平行且彼此绝缘的金属板构成。 3、平行板电容器的带电特点：两板电荷等量异号，分布在相对两板的内侧，板间电场为匀强电场，场强大小为，场强方向为垂直板面。 4、电容的决定式 （1）C＝，k为静电力常量，εr是一个常数，与电介质的性质有关，真空时εr＝1，其他电介质时εr＞1。称为电介质的相对介电常数。平行板电容器的电容C跟相对介电常数εr成正比，跟极板正对面积S成正比，跟极板间的距离d成反比。 （2）决定因素为：介电常数，正对面积，两板间的距离。 5、公式C＝与C＝的比较 　　公式 内容　　 C＝ C＝ 公式特点 定义式 决定式 意义 对某电容器Q∝U，但＝C不变，反映容纳电荷的本领 平行板电容器，C∝εr，C∝S，C∝，反映了影响电容大小的因素 联系 电容器容纳电荷的本领由来量度，由本身的结构(如平行板电容器的εr、S、d等因素)来决定 6、 平行板电容器的两类典型问题 Q不变分析思路：根据C＝＝先分析电容的变化，再分析U的变化；根据E＝＝分析场强变化。即，，。 U不变分析思路：根据C＝＝先分析电容的变化，再分析Q的变化；根据E＝分析场强的变化。根据UAB＝E·d分析某点电势变化。即，Q＝U·C＝，。 两个较巧：在电荷量保持不变的情况下，由E＝＝＝知，电场强度与板间距离无关；在两极板带电量保持不变的情况下，可以认为一定量的电荷对应着一定数目的电场线，两极板间距离变化时，场强不变；两极板正对面积变化时，如下图中电场线变密，场强增大。 7、平行板电容器与静电计结合问题的解决方法 （1）静电计指针和外壳分别与两块平行金属板相连接，两块金属板带上等量的异种电荷，电容器电荷量Q不变。 （2）由决定式C＝，根据所给问题中εr、S或d的变化，确定平行板电容器的电容C的变化情况。 注意电容器间插入电介质时意味着εr变大，电容C变大；插入金属板时意味着d减小，电容C也变大。 （3）根据U＝，可确定电容器两极板间的电势差的变化，进而可以确定静电计指针的张角变化情况。 【典例4-1】用如图1所示的电路来探究电容器的充、放电过程，电源的电动势E未知，内阻已知为r，平行板电容器的电容已知为C，定值电阻的阻值R未知，回答下列问题。 (1)合上开关S1，（S2未合上），稳定后，电压传感器的示数为U1，则E______（选填“＞”“=”或“＜”）U1。 (2)再合上开关S2，电流传感器将电流信息传入计算机，屏幕上显示出电流随时间变化的图像如图2所示，说明规定电流沿顺时针方向为______（选填“正”或“负”），电容器在放电的过程中，电流的变化率______（选填“越来越小”或“越来越大”）。 (3)接第（1）、（2）问，合上开关S2稳定后电压传感器的示数为U2，则图2阴影部分面积的绝对值为______，定值电阻的阻值为______。（结果均用题中已知量表示） 【典例4-2】（多选）如图所示，电路中a、b两点之间接有一灵敏电流计，电容器两极板间有一电荷q处于静止状态。若将两极板的间距变小，则（　　） A．电荷将向上加速运动 B．电荷将向下加速运动 C．电容器充电，灵敏电流计中将有从a到b的电流 D．电容器放电，灵敏电流计中将有从b到a的电流 【典例4-3】如图甲所示是观察电容器的充、放电现象的实验装置。电源输出电压恒为，是单刀双掷开关，为灵敏电流计，为平行板电容器。 (1)将开关接1给电容器充电，则充电时电流__________（填“向左”或“向右”）流过电流计； (2)将表换成电流传感器，电容器充电完毕后再放电，其放电电流随时间变化图像如图乙所示，图像包围的小方格数量约为41个，则可估算出电容器开始放电时所带的电荷量__________（保留两位有效数字）； (3)电容器充电后就储存了能量，某同学从等效的思想出发，认为电容器储存的能量等于把电荷从一个极板搬运到另一个极板过程中克服电场力所做的功。为此他做出电容器两极间的电压随电荷量变化的图像如图所示。按他的想法，下列说法正确的是__________（填正确答案标号） A．图线的斜率越大，电容越大 B．搬运的电量，克服电场力所做的功近似等于上方小矩形的面积 C．对同一电容器，电容器储存的能量与两极间电压成正比 D．若电容器电荷量为时储存的能量为，则电容器电荷量为时储存的能量为 考点05 带电粒子在电场中的运动 一、带电粒子在电场中的加速 1、带电粒子的分类及受力特点 （1）电子、质子、α粒子、离子等粒子，一般都不考虑重力，但不能忽略质量。 （2）质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。 （3）受力分析仍按力学中受力分析的方法分析，切勿漏掉静电力。 2、求带电粒子的速度的两种方法 （1）从动力学角度出发，用牛顿第二定律和运动学知识求解(适用于匀强电场)。 由牛顿第二定律可知，带电粒子运动的加速度的大小a＝＝＝；若一个带正电荷的粒子，在静电力作用下由静止开始从正极板向负极板做匀加速直线运动，两极板间的距离为d，则由v2－v02＝2ad可求得带电粒子到达负极板时的速度v＝＝。 (2)从功能关系角度出发，用动能定理求解(可以是匀强电场，也可以是非匀强电场)。 带电粒子在运动过程中，只受静电力作用，静电力做的功W＝qU，根据动能定理，当初速度为零时，W＝mv2－0，解得v＝；当初速度不为零时，W＝mv2－mv02，解得v＝ （3）两种分析思路 ①利用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式，适用于匀强电场且问题中涉及运动时间等描述运动过程的物理量时适合该思路。 ②利用静电力做功结合动能定理，当问题只涉及位移、速率等动能定理公式中的物理量或非匀强电场情景时适合该思路。 二、带电粒子在电场中的偏转 1、两种偏转的情形 情形 进入电场的方式 受力特点 运动特点 图示 以初速度v0垂直场强方向射入匀强电场 以初速度v0垂直场强方向射入匀强电场，受恒定电场力作用，做类似平抛运动。 电场力大小恒定，且方向与初速度v0的方向垂直。 做类平抛运动（匀变速曲线运动运动）。 先加速后偏转 静止放在匀强电场中，经过电场加速获得速度v0，然后垂直场强方向射入匀强电场。 加速阶段：电场力大小恒定，且方向与运动方向平行；偏转阶段：电场力大小恒定，且方向与速度v0的方向垂直。 加速阶段：匀加速直线运动；偏转阶段：做类平抛运动。 2、基本规律 （1）初速度方向：粒子做匀速直线运动，通过电场的时间t＝。 （2）静电力方向：做初速度为零的匀加速直线运动．加速度a＝＝。 （3）离开电场时垂直于板方向的分速度vy＝at＝。 （4）速度方向与初速度方向夹角的正切值tan θ＝＝。 （5）离开电场时沿静电力方向的偏移量y＝at2＝。 3、几个常用推论 （1）粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于一点，此点为粒子沿初速度方向位移的中点． （2）位移方向与初速度方向间夹角α的正切值为速度偏转角θ正切值的，即tan α＝tan θ。 （3）不同的带电粒子(电性相同，初速度为零)，经过同一电场加速后，又进入同一偏转电场，则它们的运动轨迹必定重合。 注意：分析粒子的偏转问题也可以利用动能定理，即qEy＝ΔEk，其中y为粒子在偏转电场中沿静电力方向的偏移量。 三、带电粒子在电场做圆周运动 1、类型 运动类型 受力分析 系统的形式 运动的条件 仅在电场力作用下的匀速圆周运动 只受电场力（或者库仑力），电场力（或者库仑力）提供向心力。 除带电粒子外，系统存在单个点电荷或者多个点电荷。 速度方向与库仑力力的方向垂直。 电场力和重力作用下的匀速圆周运动 ①受一个库仑力，一个电场力（匀强电场）和重力，重力和电场力平衡，库仑力提供向心力。②只受重力和电场力的情形：二者的合力提供向心力。 ①除带电粒子外，系统存在一个点电荷、一个匀强电场和重力。②除带电粒子外，系统存在一个点电荷和重力。 ①带电粒子受到匀强电场的电场力与重力平衡，速度方向与库仑力的方向垂直。②速度方向与库仑力和重力的合力的方向垂直。 径向电场中的匀速圆周运动 电场力提供向心力。 电子偏转器的剖面图。 速度方向与电场力的方向垂直。 2、重要方法：利用“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动 （1）“等效重力”及“等效重力加速度”：在匀强电场中，将重力与电场力合成，如图所示 ①F合为“等效重力场”中的“等效重力”。 ②g′＝为“等效重力场”中的“等效重力加速度”。 ③F合的方向为“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向。 （2）等效最“高”点与最“低”点的确定方法 ①如图，当电场力和重力方向相反时，若qE＝mg，则小球做匀速圆周运动；若qE＜mg，则a点为等效最“高”点，b点等效最“低”点；若qE＞mg，则a点即等效最“低”点 ，b点为等效最“高”点。 ②如下图，电场力和重力成一定角度时，在“等效重力场”中过圆周运动的圆心作“等效重力”的作用线，其反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效最“高”点，沿着“等效重力”的方向延长交于圆周的那个点为即等效最“低”点。 四、示波管 1、示波管的构造：示波管是示波器的核心部件，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由电子枪(由发射电子的灯丝、加速电极组成)、偏转电极(由偏转电极XX′、偏转电极YY′组成)和荧光屏组成，如图所示。 2、示波管的原理 （1）扫描电压：XX′偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压。 （2）灯丝被电源加热后，出现热电子发射，发射出来的电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如果在YY′偏转电极上加一个信号电压，在XX′偏转电极上加一扫描电压，在荧光屏上就会出现按YY′偏转电压规律变化的可视图像。 【典例5-1】（多选）如图所示，质量为m、带电荷量为q的带电微粒，以初速度从A点竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，微粒通过电场中B点时速率，方向与电场的方向一致，则下列说法中正确的是（　　） A．微粒所受的电场力大小是其所受重力的2倍 B．带电微粒的机械能增加了 C．A、B两点间的电势差为 D．A、B两点间的电势差为 【典例5-2】在直角坐标系中，三个边长均为的正方形区域分布如图所示，第一象限内区域中（包含虚线）的匀强电场沿轴负方向，电场强度的大小为；第二象限内区域中（包含虚线）的匀强电场沿轴负方向。一电荷量为质量为的粒子（重力不计）从点由静止释放，恰好能通过点。 (1)求粒子离开区域时的速度大小； (2)求区域内的电场强度的大小； (3)若区域内的电场强度大小变为，方向不变，将该带电粒子从区域中点由静止释放，经点通过轴，求点的横坐标。 【典例5-3】一个沿x轴方向分布的电场的场强与坐标x的关系图像如图所示，仅在的区间有电场，场强方向不同，大小均为，规定轴方向为正方向，处电势为零，一个质量为m、电荷量为的带电粒子只在静电力作用下，以为中心，沿x轴方向做周期性运动，其动能与电势能之和为E。 (1)画出x轴上电势分布的图像，要求标出最高电势； (2)确定粒子的运动区间； (3)一个周期内粒子在区域内的运动时间； 一、单选题 1．静电透镜的工作原理是通过静电场来使电子束聚焦后成像。某静电透镜原理如图所示，A、B两极带有异种电极，两者之间形成的等差等势面如图中的虚线所示，当电子沿中心轴从a射向c，轨迹如图。则下列说法正确的是（     ） A．电场强度Ea>Ec B．a点的电势比c点高 C．电子先加速再减速 D．电子的电势能减少 2．在真空中的点存在一孤立的带正电的点电荷，将一带电粒子以一定的初速度射入该电荷激发的电场中，粒子在电场中的一段轨迹如图所示粒子从点运动到点的过程中，在点时轨迹与圆相交，在点时轨迹与圆相切，圆、的圆心都在点，不计粒子重力，粒子电荷量保持不变下列说法正确的是（     ） A．该粒子一定带正电荷 B．粒子在点的加速度比在点的加速度大 C．粒子从点运动到点后有可能继续沿圆轨迹做圆周运动 D．粒子从点运动到点（不含）的过程中速度方向与电场线方向的夹角一直为锐角 3．如图所示，两平行极板、间加恒定电压，动能为4J的电子从板边缘垂直电场方向射入两极板间，电子射出电场时动能为5J。忽略电子所受重力，若仅将电子入射的动能变为16J，则其射出电场时的动能为（     ） A．16.25J B．16.5J C．17J D．18J 4．如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。、点在同一等势面上，、点在同一电场线上（不计重力）。下列说法正确的是（     ） A．同一负电荷在点的电势能比点的大 B．同一负电荷在点的加速度比点的小 C．负电荷从点运动到点，速度增大 D．负电荷从点运动到点，电场力做负功 5．如图所示，绝缘支架上固定有原来不带电的金属球壳，A、B是其水平直径的左右两个端点，M、N是该直径上的两个点，球壳外，A、B延长线上的O点放置一个电荷量为+Q的点电荷，已知AM=MN=NB=BO，以无穷远处电势为零，达到静电平衡后，下列说法正确的是（     ） A．导体球壳上的A点带负电和B点带正电 B．M、N两点的电场强度为零，A点和B点的电势相同 C．金属球壳上的感应电荷在M、N两点产生的电场强度之比为9∶4 D．用导线连接金属球壳上的A、B两点，导线中将产生电流 6．如图甲所示的光滑水平面上，一质量为m，电量为q的带正电小球（可视为质点）从x=-1 m处以初速度v0沿x轴正方向运动，整个运动区域存在沿水平方向的电场，电势φ随位置x变化规律如图乙所示，该图像为抛物线，则下列说法正确的是（     ） A．小球先做匀加速直线运动，再做匀减速直线运动 B．小球能运动到x=1 m的位置 C．在x=0处，小球的速度达到最小 D．小球的电势能在x=-1 m处和x=1 m处相同且最大 7．如图甲所示，两平行金属板MN、PQ的板长和板间距离相等，大小都为d，板间存在如图乙所示的随时间周期性变化的电场，电场方向与两板垂直，不计重力的带电粒子沿板间中线且垂直于电场方向源源不断地射入电场，粒子射入电场时的初速度大小均为，已知时刻射入电场的粒子刚好沿上板右边缘垂直电场方向射出电场，不计粒子间的相互作用，则（     ） A．之后射入电场的粒子可能会打到极板上 B．所有粒子最终射出电场时，速度方向不相同 C．时刻进入电场的粒子在两板间的最大偏移量为 D．若粒子的入射速度变为，则无论哪个时刻进入电场的粒子，其从电场射出时的侧向位移都减半 二、多选题 8．（多选）如图所示，光滑水平桌面上方存在方向水平向左的匀强电场，桌面右端固定一个定滑轮，跨过定滑轮的绝缘轻绳分别连接质量均为的木块A、B，其中木块A的电荷量为并静置在水平桌面上。木块B到水平地面的高度为，将两木块由静止释放，当木块B即将与地面接触时将其撤去，最终木块A在距出发点右侧位置处速度变为零，已知重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．木块A将静止在距出发点右侧处 B．电场强度的大小 C．木块B即将与地面接触时的速度大小为 D．在撤去木块B前，木块A、B组成的系统机械能守恒 9．（多选）如图，在匀强电场中有一虚线圆，和是圆的两条直径，其中与电场方向的夹角为，，与电场方向平行，、两点的电势差。则（     ） A．电场强度的大小 B．点的电势比点的高 C．将电子从点移到点，电场力做正功 D．电子在点的电势能大于在点的电势能 10．（多选）如图甲所示，足够长且固定绝缘光滑的斜面倾角为，以斜面底端为坐标原点，沿斜面方向建立轴，在轴上的部分区间存在电场，电场方向沿斜面向上。一质量为、电荷量为的带正电滑块（可视为质点）从斜面底端由静止释放，不计空气阻力，滑块对原电场无影响，滑块向上运动的一段过程中机械能随位移变化的图像如图乙所示，曲线上点切线斜率最大，下列说法正确的是（     ） A．在0~过程中滑块电势能一直减小 B．在0~过程中动能一定增大 C．在处电势最高 D．在0~过程中加速度先增大再减小再增大最后不变 三、实验题 11．(1)最近科学家研究发现，地面附近存在静电场，某些蜘蛛带电后在该电场中可以实现向上飞升。如图，地面附近的电场可近似为竖直向下的匀强电场。 ①一带负电的蜘蛛在地面附近向上运动的过程中，电场力对蜘蛛做功为，蜘蛛电势能变化量为，_________。 A．W>0，ΔEp>0    B．W<0，ΔEp>0 C．W>0，ΔEp<0    D．W<0，ΔEp<0 ②蜘蛛所带的电荷量可能为_________。（元电荷为e） A．1.6e    B．32e    C．3.2e    D．16e (2)将一电量为2×10-5 C的正电荷从电场中的A点移到B点时，电场力做功5.0×10-4 J，再从B点移到C点，克服电场力做功1.5×10-4 J，则电荷在B点的电势能为________J（取A点为电势零点）；A点与C点之间的电势差UAC为________V 12．图1为利用电容器放电测电容的实验电路图。实验器材有：电源，电压表，电容器C，电流传感器，计算机（未画出），定值电阻R0、R1、R2，开关S1，单刀双掷开关S，导线若干。 ①正确连接实验器材后，闭合S1，给电容器充电，直至电压表的示数稳定。 ②断开S1，将开关S打在1，电容器通过R1和R0放电，传感器采集的电流—时间（ ）图像如图2中的Ⅰ所示。 ③放电完毕后，断开开关S，闭合S1，再给电容器充电，直至电压表的示数稳定。 ④断开S1，将开关S打在2，电容器通过R2和R0放电，传感器采集的电流—时间图像如图2中的Ⅱ所示。 （1）根据图2可知，R1________R2（选填“ ”“ ”或“ ”），图线Ⅰ和Ⅱ与坐标轴所围成的面积_______（选填“ ”“ ”或“ ”）。 （2）某次实验中，电容器充电结束后，电压表的示数为 ，电容器通过R1和R0放电，传感器采集的电流—时间图像如图3所示，计算曲线下小方格的个数时，不足半个的舍去，多于半个的算一个，则电容器所带电荷量 ________C（保留2位有效数字），电容器的电容 ________ （保留2位有效数字）。 （3）改变电容器的充电电压，重复上述实验步骤，求出电容器的电容，再取平均值作为电容器的电容。 四、计算题 13．如图所示，虚线、之间存在水平向右的匀强电场，场强大小为，两虚线间距离为。一质量为、电荷量为的带电粒子，从点由静止释放，经电压为的电场加速后，由点垂直进入水平匀强电场中，从上的某点（图中未画出）离开。不计粒子的重力，求： (1)粒子刚进入水平匀强电场时的速率； (2)点速度方向与电场线方向夹角的正切值； (3)两点间的电势差。 14．如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板间电压恒为U，板间距为d，下极板接地，在两板间形成匀强电场。现有一质量为m、电荷量为的金属微粒，从两极板中央O点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间速度大小不变，方向反向，碰撞后电性与极板相同，且所带电荷量的绝对值不变。（微粒重力可忽略。）求： (1)微粒第一次到达下极板所需的时间t； (2)微粒第一次与上极板碰撞时的速度大小v。 15．如图所示，一个可视为质点的小球从点静止摆下，摆到最低点点时摆线刚好被拉断，小球在点恰好未与地面接触。小球进入粗糙的水平面后向右运动到点并进入一竖直放置的光滑圆弧形轨道。已知摆线长，小球在点时摆线与竖直方向的夹角，小球质量，B点到点的距离，小球与水平面间动摩擦因数，重力加速度取。 (1)求摆线所能承受的最大拉力； (2)要使小球上升过程中不脱离圆弧形轨道，求圆弧形轨道半径的取值范围； (3)若小球带电且电荷量，小球到达光滑圆弧轨道点时立即在圆弧轨道所处空间内加入一个水平向右的匀强电场，电场强度，其他条件不变，不计小球运动过程中电荷量损失。要使小球能够做完整的圆周运动，求圆弧轨道半径的取值范围（结果用分数表示即可）。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高二物理必修第三册秋季同步培优专项讲义 第十章 静电场中的能量 知识归纳与题型总结 题型01 电势能和电势 1、 静电力做功的特点： 1、静电力做功的特点：在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。正（负）电荷沿着电场线方向移动时电场力做正（负）功。 2、静电力做功过程推导 （1）q沿直线从A移向B，在这个过程中q受到静电力F与位移AB的夹角始终为θ，如上图所示。静电力做的功为W＝F ×cos θ×|AB|＝qE×|AM|。 （2）q沿折线AMB从A点移动到B点，在位移AM上静电力做功W1＝qE×|AM|，在线段MB上，由于移动方向跟静电力方向垂直，静电力不做功，W2＝0。则在整个移动过程中静电力对q所做的功为：W＝W1＋W2＝qE×|AM|。 （3）q沿任意曲线ANB从A点移动到B点，如上图所示，我们把曲线分成无数小段，每一小段中，设想q都从起点先沿电场方向、再沿垂直电场方向到达终点。各小段沿垂直电场方向运动时，静电力是不做功的， 各小段沿电场方向移动的位移之和等于|AM|。因此，q沿任意曲线从A点移动到B点静电力所做的功也是W＝qE×|AM|。 （4）结论：在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。这个结论对于非匀强电场也是成立的。 注意：静电力做功的特点 （1）静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与具体路径无关，这与重力做功特点相似。 （2）静电力做功的特点不受物理条件限制不管静电力是否变化，是否是匀强电场，是直线运动还是曲线运动，静电力做功的特点均不变。 二、电势能 1、电势能定义：电荷在电场中具有的能叫做电势能，符号用Ep表示，单位为J。 2、电势能与电场力做功的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。电场力做正（负）功，电势能减少（增加）。该公式适用于匀强电场，也适用于非匀强电场；适用于正电荷，也适用于负电荷。 3、电势能大小：等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。该物理量为标量，正（负）号表示电势能大（小）于零势能点位置。正（负）电荷在电势高的地方电势能大（小）。 4、零势能点的选取：通常把离场源电荷无穷远处或者大地表面的电势能规定为零。 5、对电势能的理解 （1）系统性：电势能是由电场和电荷共同决定的，是属于电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷的电势能。 （2）相对性：电势能是相对的，其大小与选定的参考点有关，确定电荷的电势能，首先应确定参考点，也就是零势能点的位置。 （3）标量性：电势能是标量，有正负但没有方向，电势能为正值表示电势能大于参考点的电势能，电势能为负值表示电势能小于参考点的电势能。 6、电势能增减的判断方法 （1）做功判断法：无论正、负电荷，只要电场力做正功，电荷的电势能一定减小；只要电场力做负功，电荷的电势能一定增大。 （2）电场线判断法：正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小。 （3）电势判断法：由公式Ep＝qφ知，正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能小。 7、电势能与重力势能的比较 物理量 电势能 重力势能 定义 电场中的电荷具有的势能 重力场中的物体具有的势能 做功特点 只与初末位置有关，与经路径无关，所做的功等于势能的减少量 系统性 电荷和电场 物体和地球 相对性 电荷在某点的电势能等于把电荷从该点移到零势能位置时静电力做的功 物体在某点的重力势能等于把物体从该点移到零势能位置时重力做的功 区别 电荷有极性 物体无极性 8、Ep­x图像 类型 电势能与位移变化 图像 规律 反映了电势能随位移变化的规律。 曲线斜率 图像切线的斜率的绝对值表示电场力的大小 分析方法 ①根据电势能的增减和电荷电性确定场强的方向；②根据电势能随位移的变化情况利用电场力、动能定理、动量守恒定律、牛顿第二定律等知识判断电场强度、动能、加速度等物理量的变化情形。 注意 只有电场力做功，则电势能的变化与动能的变化趋势恰好相反。 注意：（1）电势能EP是由电场和电荷共同决定的，是属于电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷在电场中某点的电势能。 （2）电势能是相对的，其大小与选定的参考位置有关。确定电荷的电势能，首先应确定参考位置，也就是零势能位置。 （3）电势能是标量，有正负但没有方向。电势能为正值表示电势能大于参考位置的电势能，电势能为负值表示电势能小于参考位置的电势能。 三、电势 1、电势定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势。在数值上等于单位正电荷由该点移到零电势点时电场力所做的功。 2、表达式：，单位为伏特，符号为V，其中1V=1J/C。 3、电势特点 （1）相对性：电场中各点电势的高低，与所选取的零电势的位置有关，一般情况下取无穷远或地球为零电势位置。 （2）标矢性：电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负。 （3）电势与电场强度大小没有必然的联系，某点的电势为零，电场强度可能不为零；某点电势不为零，电场强度可能为零。 解释：从下图φ－x上可知该图像的斜率为电场强度，斜率为零时电势可以不为零。（从数学积分角度，电势是一个电场强度对位移的积分过程，在这个中某些位置场强为零，但是积分结果可以不为零） （4）沿电场线方向电势逐减降低。 解释：如下图，正电荷从A点运动到B点，电场力做正功，电势能减少，电势降低；负电荷从从A点运动到B点，电场力做负功，电势能增加，电势降低。 （5）沿着电场线方向电势降低最快。 解释：如下图，从匀强电场中一等势面上的A点沿三条不同路径 AB、AC、AD到达另一等势面，这三条路径电势的减少值是一样的，但是沿AC路径最短，所以电势降低最快。 （6）电势与电势能的比较 电势φ 电势能Ep 定义 电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值 电荷在电场中具有的能叫做电势能 单位 伏特V 焦耳J 物理意义 反映电场能的性质的物理量 反映电荷在电场中某点所具有的能量 影响因素 电势大小只跟电场本身有关，跟点电荷q无关 电势能的大小是由点电荷q和该点电势φ共同决定的 大小 规定零电势点后，某点的电势高于零，则为正值；某点的电势低于零，为负值。 对于正点电荷，其电势能的正负跟电势 的正负相同；对于负点电荷，其电势能 的正负跟电势的正负相反。 联系 φ＝或Ep＝qφ，二者均是标量，均具有相对性。 （7）φ－x图线 ①正负点电荷的φ－x图象(取无限远处电势为零)，如下图所示： ②两个等量同种点电荷的φ－x图象，如下图所示： 两个等量同种点电荷中垂线上的φ－x图象，如下图所示： 特点：两点电荷连线上，中点电势最低；在两点电荷连线的中垂线上，中点电势最高。关于中点左右对称或上下对称的点电势相等。 （8）两个异种等量点电荷的φ－x图象，如下图所示： 特点：两点电荷连线的中垂面上的电势为零。 注意：（1）电场中某点的电势是相对的，它的大小和零电势点的选取有关。在物理学中，常取离场源电荷无限远处的电势为0，在实际应用中常取大地的电势为0。 （2）电势是表征电场性质的一个物理量，电场中某点的电势p的大小是由电场本身和零电势点的选取决定的，与在该点是否放有试探电 荷、试探电荷的电性、试探电荷的电荷量均无关，这和许多用比值定义的物理量相同，如前面学过的电场强度。 （3）电势虽然有正负，但电势是标量。电势为正值表示该点电势高于零电势点，电势为负值表示该点电势低于零电势点，正负号不表示方向。 【典例1-1】“彭宁离子阱”是一个可以用来储存带电粒子的装置。该装置主要由一对左右对称的环电极和一对上下对称的端电极构成，其内部某一截面的部分电场线（带箭头实线）和等势线（虚线）分布如图所示，则（　　） A．a、b、c三点的电场强度大小为 B．a、b、c三点的电势大小为 C．将一正电子从a点移到b点，静电力做负功 D．将一正电子从a点移到c点，电势能增大 【答案】B 【详解】A．电场线疏密反映场强大小，可知a、b、c三点的电场强度大小关系是，故A错误； B．沿电场线电势降低，则a点电势高于b点，b点、c点电势相等，则a、b、c三点的电势高低关系是，故B正确； C．正电子带正电，，从a点移到b点，电势能减小，静电力做功 因此静电力做正功，故C错误； D．b点、c点电势相等，所以将一正电子从a点移到c点，正电子电势能减小，故D错误。 故选B。 【典例1-2】（多选）如图，、、、是圆心为的圆周的四等分点，、分别为、的中点。在、分别固定一正点电荷，在、分别固定一负点电荷，则（     ） A．O点的电场强度为0 B．O点与点的电场强度大小相等 C．O点的电势比点的低 D．、两点的电势相等 【答案】AD 【详解】A．根据题意，由点电荷场强公式，由对称性可知，、固定的点电荷在O点产生的电场等大反向，、固定的点电荷在O点产生的电场等大反向，则O点的电场强度为0，故A正确； B．根据题意，由点电荷场强公式可知，各点电荷在点产生的电场，如图所示 由几何关系可得，点的电场强度大小为 则O点与点的电场强度大小不相等，故B错误； CD．根据题意，如图所示 由几何关系可知，过的直线是、固定的等量异种点电荷的中垂线，也是、固定的等量异种点电荷的中垂线，则是一条等势线，同理，过的直线是、固定的等量异种点电荷的中垂线，也是、固定的等量异种点电荷的中垂线，则是一条等势线，则、、三点的电势相等，故C错误，D正确。 故选AD。 【典例1-3】（多选）开尔文滴水起电机的结构如图所示。中空金属圆筒E、F通过导线分别与金属杯H、G相连，盆A中的水通过管B从滴管C、D滴出，分别经E、F落入G、H中。整个装置原不带电，若某次偶然机会，C滴出一滴带少量正电荷的水滴，落入金属杯G中，则由于静电感应，D后续滴下的水滴总是带负电，这样G、H就会带上越来越多的异种电荷。关于上述过程，下列说法正确的是（     ） A．G带正电荷，则F带正电荷 B．G带正电荷，则E带负电荷 C．关闭C、D的阀门，仅G向E靠近时，G带电荷量减少 D．此过程中水的重力势能部分转化为系统的电势能 【答案】ABD 【详解】A．由装置结构可知，中空圆筒F和金属杯G通过导线直接相连，二者是等势的导体。G带正电荷时，和它相连的F必然也带正电荷，故A正确； B．G带正电时，根据题干描述D滴下的水滴带负电，最终落入H中，因此H带负电，和H相连的E也带负电，故B正确； C．关闭阀门后，整个装置没有电荷流失路径，G是孤立带电导体，自身的带电荷量是守恒的。仅让G向E靠近时，只会改变电荷的分布，不会让G的总带电量减少，故C错误； D．此过程中水的重力势能部分转化为系统的电势能，其余重力势能转化为内能，故D正确。 故选ABD。 题型02 电势差 一、电势差 1、电势差定义：电场中两点间电势的之差，叫做电势差，也叫电压。单位为伏特，符号为V。 2、电势差表达式：电场中A点的电势为φA，B点的电势为φB，则有和，故。 3、对电势差的几点认识 （1）电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电量、静电力做功的大小无关，在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差也有确定值。 （2）讲到电势差时，必须明确所指的是哪两点的电势差，A、B间的电势差记为UAB，B、A间的电势差记为UBA。 （3）电势差为标量，有正、负之分，电势差的正负表示电场中两点间的电势的高低。 （4）电场中两点间的电势差与电势零点的选取无关。 4、电势和电势差的比较 电势φ 电势差U 区 别 定义 在电场中电势能与电量比值。 电场中两点间电势的之差。 公式 φ＝ U＝（） 影响因素 由电场和在电场中位置决定。 由电场内两点位置决定。 相对性/绝对性 具有相对性，与零势能点选取有关。 具有绝对性，与零势能点选取无关。 联 系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA。 单位 相同，均为V。 标量性 都是标量，但均具有正负。 物理意义 均是描述电场的能的性质的物理量 二、电势差与静电力做功的关系 1、关系：WAB=qUAB或UAB＝。 （1）关系的推导过程：WAB=EPA-EPB=qφA-qφB=q（φA-φB）-qUAB：，所以有WAB=qUAB或UAB＝，即电场中A、B两点间的电势差等于电场力做的功与试探电荷电荷量q的比值。 （2）物理意义：电势差是表征电场能的性质的物理量，在数值上A、B两点间的电势差等于单位正电荷由A点移动到B点时电场力做的功。 2、对静电力做功与电势差的关系的理解 （1）公式UAB＝是电势差的定义式，不能认为UAB与WAB成正比、与q成反比，只是利用WAB与q的比值来计算UAB。 （2）由UAB＝可以得出UAB在数值上等于单位正电荷由A点移到B点时电场力所做功WAB。若单位正电荷做正功，则UAB为正值；若单位正电荷做负功，则UAB为负值。 （3）公式UAB＝适用于任何电场，WAB仅是电场力的功，不包括其他力所做的功。 （4）公式UAB＝中各量均有正负，计算中W与U的角标要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。 （5）静电力做功由电荷量及两点间电势差决定，与路径无关。 （6）公式WAB =qUAB与公式W = qELcosθ具有的优势是不必考虑静电力的大小和电荷的移动路径。特别是当静电力为变力时，静电力做功不能用W = qELcosθ来计算，只能用WAB =qUAB来计算。 （7）两种计算方法：带正负号进行计算，把电荷q的电性和两点间的电势差U的正负代入；将绝对值代入公式进行运算，q、U都取绝对值，算出的功也是绝对值，至于电场力做的是正功还是负功，可以根据电荷受力方向以及电荷的运动方向进行判断。 （8）在系统中只有静电力做功的情况下，电势能和动能之间互相转化，总量保持不变。 （9）在系统中只有重力和静电力做功，没有其他力做功的情况下，电势能和机械能之间互相转化，总量保持不变。 3、电场力做功的方法 定义法 W＝FL＝qELcosθ 适用于匀强电场 电势差法 WAB =qUAB 既适用于匀强电场也适用于非匀强电场；既适用于只受电场力的情况，也适用于受多种力的情况。 动能定理 W静电力+W其他力＝ΔEk 功能关系 WAB＝EpA−EpB＝−ΔEp 三、等势面 1、等势面定义：在电场中，电势相同的各点构成的面叫作等势面。 （1）电场线跟等势面垂直。 （2）电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面。 2、等势面的特点 （1）在等势面内任意两点间移动电荷，电场力不做功。 （2）在空间中两等势面不相交。 （3）电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。 （4）在电场线密集的地方，等差等势面密集；在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏。 （5）等势面是为描述电场的性质而假想的面。 （6）等势面的分布与电势零点的选取无关。 3、几种典型电场的等势面 电场类型 图示 特点 点电荷的电场 等势面是以点电荷为球心的一簇球面。 等量异种点电荷的电场 两点电荷连线的中垂面上是电势为零的等势面。 等量同种正点电荷的电场 在两点电荷中心连线上，中点电势最低；而在中垂线上，中点电势最高。关于中点左右对称或上下对称的点电势相等。 匀强电场 等势面为垂直于电场线的一簇等间距平面。 【典例2-1】两个等量正点电荷固定于光滑水平面上，其连线中垂线上有、、三点。如图甲所示。一个带电荷量为，质量为的小物块（可视为质点）从点静止释放，其运动的图像如图乙所示，其中点处为整条图线切线（图中标出了该切线）斜率最大的位置，则下列说法正确的是（     ） A．由到的过程中物块的电势能一直在增大 B．点为中垂线上电场强度最大的点，场强 C．由点到点电势逐渐降低 D．、两点间的电势差 【答案】C 【详解】AC．设两固定点电荷到中点的距离为。在中垂线上距为处，由等量同种点电荷电势叠加得 从到，增大，电势逐渐降低；小物块带正电，由电势能定义得，所以电势能也逐渐降低，故A错误，C正确； B．取到为正方向。由图像可读出，点切线在内速度增加，故点加速度为 对带正电小物块，由牛顿第二定律得 代入， 由上式得 点切线斜率最大，且，不变，所以点确为中垂线上场强最大的点，但场强数值为而非，故B错误； D．由动能定理，电场力在到过程中做的功等于动能增加量，有 代入， 由上式得 因此 其大小也仅为，故D错误。 故选C。 【典例2-2】如图1所示，四川火锅“九宫格”菜盘为九个正方形隔断，方便放置不同的菜品。某同学依据该模型画出了如图2所示的图样，假设该“九宫格”图样处于平行该平面的匀强电场中，将一个电子放置在C点时比放在O、A两点时电势能均小4eV，设O点电势为零，九宫格小正方形边长为10cm，则下列说法正确的是（　　） A．电场线方向为O指向A B．B点的电势为6V C．匀强电场的电场强度大小为40V/m D．将质子从B点移动到C点，克服电场力做功10eV 【答案】D 【详解】A．由于电子在C点时比放在O、A两点时电势能均小4eV，则O、A两点电势相等，O、A两点连线为等势线，电场线方向应与OA垂直，且由高电势指向低电势，即与OA垂直指向右上方，故A错误； C．由于O点电势为零，则C点电势为4V，所以，故C错误； B．B点的电势为，故B错误； D．将质子从B点移动到C点，克服电场力做功为，故D正确。 故选D。 【典例2-3】图示虚线为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为0。一带正电的点电荷仅在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为和。当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为时，它的动能应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设相邻等势面间电势差为，由于从a到b正电荷动能减少，总能量守恒，说明从1到4电势升高，因此，，， 从a到b，电势能增加，由能量守恒 解得 在a点，电势能，总能量 由能量守恒，当电势能为时，动能 故选C。 考点03 电势差与电场强度的关系 一、匀强电场中电势差与电场强度的关系 1、关系式：UAB＝Ed或E＝。（关系式只适用于匀强电场） 2、公式UAB＝Ed的物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。U为匀强电场中两点的电势差的绝对值，E是匀强电场的电场强度的大小，d是匀强电场中这两点在电场强度方向上的距离。 （1）在匀强电场中，沿任意一个方向，电势下降都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等；如果把某两点间的距离平均分为n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的1/n。 （2）在匀强电场中，沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等。 （3）计算出来的U是电势差的绝对值， 电势差的正负号和电场强度的方向可通过以下知识来判断：沿着电场线方向电势越来越低；电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。 3、公式E＝的物理意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点沿电场强度方向距离的的比值。 （1）E的另一表述：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，单位：N/C或V/m。 （2）大小关系：由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。 （3）方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。 （4）物理意义：电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间位置变化的快慢。 4、电场强度三种求解方法的比较 公式 E＝ E＝k E＝ 含义 电场强度的定义式 真空中点电荷的电场强度决定式 匀强电场中电场强度的计算式 适用范围 适用于任何电场 真空中的点电荷 匀强电场 决定因素 由电场本身决定，与检验电荷q无关。 由场源电荷Q和场源电荷到该点的距离r共同决定。 由电场本身决定，d为两点沿场强方向的距离 推导过程 F∝q，E与F、q无关，反映某点电场的性质。 由电场强度和库仑定律联立推导。 由F＝qE和W＝qU联立推导。 5、在非匀强电场中，公式E＝可用来定性分析：如图所示，若ab＝bc，由于电场线密处场强较大，即ab段的平均场强小于bc段的平均场强，故可以判断Uab<Ubc。 二、等分法计算匀强电场中的电势或电场强度 1、在匀强电场中，沿着任意方向上，相等距离的电势差都相等，如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，像这样采用这种等分间距求电势问题的方法，叫作等分法。 2、在已知电场中几点的电势时，如果要求另外某点的电势，一般采用“等分法”在电场中找出与待求点电势相同的等势点。 3、在匀强电场中，相互平行、相等长度的线段两端电势差相等，用这一点可求解电势或电势差。 4、等分法也常用在画电场线或计算电场强度的问题中。 5、用等分法确定等势线和电场线 由公式U＝Ed可以得到：①匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示；②匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD（或φA－φB＝φC－φD），同理有UAC＝UBD，如图乙所示。 电场线的确定方法：先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线（电场线的方向：由电势高的等势面指向电势低的等势面）。 【典例3-1】MN是一负点电荷产生的电场中的一条电场线，虚线为一个带负电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹。则（     ） A．a点电势大于b点电势 B．带电粒子在a点加速度小于b点加速度 C．带电粒子在a点电势能大于b点电势能 D．带电粒子在a点的动能大于b点的动能 【答案】C 【详解】A．MN是负点电荷电场的一条电场线，负点电荷的电场线全部指向负电荷本身，曲线运动受力指向轨迹的凹侧，从轨迹可以判断，负点电荷应该在N侧对粒子有排斥力，即电场线从M指向N，a点离负点电荷更近，则电势更低，故A错误； B．点电荷电场的场强满足，a点离负点电荷更近，则场强越大，粒子加速度也越大，故带电粒子在a点加速度大于b点加速度，故B错误； C．粒子带负电，电势能（），电势越低的位置负电荷电势能越大，则带电粒子在a点电势能大于b点电势能，故C正确； D．仅有电场力做功，则电势能与动能相互转化，总量保持不变，带电粒子在a点电势能大于b点电势能，则粒子在a点的动能小于b点的动能，故D错误。 故选C。 【典例3-2】某种新型“粒子推进器”利用高频激光脉冲照射特定晶体阵列，可产生非匀强电场以偏转高速粒子束。电子束通过该区域的极短时间内，电场可视为恒定，其电场线分布如图所示，、、为某电子运动轨迹上的三个点。以下选项正确的是（     ） A．点的电势比点的低 B．该电子从点运动到点时，电势能减小 C．该电子从点运动到点时，动能增大 D．该电子从点运动到点过程中，速度大小和方向都改变 【答案】D 【详解】A．根据电场线的基本性质：沿电场线方向电势逐渐降低。从图中电场线的指向可知，从P点沿电场线趋势向Q点移动时，是顺着电场线方向，因此P点电势高于Q点电势，故A错误； B．电子带负电，受到的电场力方向与电场线方向相反。电子从P到Q的过程中，电场力的方向与电子位移方向的夹角为钝角，电场力做负功，根据电场力做功与电势能的关系：电场力做负功，电势能增大，故B错误； C．电子从Q到O的过程中，电场力方向与电场线方向相反（即大致向下），而电子位移方向大致向上，电场力与位移方向夹角为钝角，电场力做负功，根据动能定理，电子的动能会减小，故C错误； D．由C分析速度会减小，同时从Q到O不是同一条直线电场线，不会做直线运动，会做曲线运动，方向发生改变，即速度大小和方向都改变，故D正确。 故选D。 【典例3-3】如图所示，水平向右的匀强电场中有、、三点，与匀强电场方向平行，与匀强电场方向成，，。现将一个电量为的负电荷从点移动到点，电场力做功为，求： (1)该匀强电场的电场强度大小； (2)、间的电势差； (3)若点的电势为，则该电荷在点的电势能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）该负电荷的电荷量为，由电场力做功与电势差的关系可得 由于与电场方向平行，匀强电场的电场强度大小为 （2）由图可知，从到沿电场方向的位移为 因此、间的电势差为 （3）由可得点的电势为 该电荷在点的电势能为 考点04 电容器的电容 一、电容器 1、电容器的定义：彼此绝缘而又相距很近的两个导体，就构成一个电容器。在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层绝缘物质——电介质就组成一个最简单的电容器，叫作平行板电容器。 2、电容器的构造：两个互相靠近彼此绝缘的导体（空气也是一种电介质）。 3、电容器的作用：存储电荷（存储电能）。 4、电容器充放电过程 过程内容 充电过程 放电过程 定义 使电容器带电的过程 中和掉电容器所带电荷的过程 方法 将电容器的两极板与电源两极相连 用导线将电容器的两极板接通 场强变化 极板间的场强增强 极板间的场强减小 能量转化 其他能转化为电能 电能转化为其他能 5、带电荷量：通常是指电容器已容纳的电荷的数量，任意一个极板所带电荷量的绝对值。 二、电容 1、电容的定义：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值，公式为C＝。 2、电容的物理意义：表示电容器容纳电荷本领的物理量，数值上等于使电容器两极板间的电势差增加1V所增加的带电量。 3、电容的单位：国际单位制为法拉，符号为F，1F＝1C/V，1F=106uF=1012pF。 4、击穿电压：加在电容器两极板上的电压不能超过某一限度， 超过这个限度，电介质将被击穿，电容器损坏。这个极限电压叫作击穿电压。 5、额定电压：是指电容器长时间正常工作时的最佳电压，电容器外壳上标的是工作电压，或称额定电压，这个数值比击穿电压低。 三、平行板电容器 1、平行板电容器的定义：在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层绝缘物质——电介质就组成一个最简单的电容器，叫作平行板电容器。 2、平行板电容器的结构：由两个相互平行且彼此绝缘的金属板构成。 3、平行板电容器的带电特点：两板电荷等量异号，分布在相对两板的内侧，板间电场为匀强电场，场强大小为，场强方向为垂直板面。 4、电容的决定式 （1）C＝，k为静电力常量，εr是一个常数，与电介质的性质有关，真空时εr＝1，其他电介质时εr＞1。称为电介质的相对介电常数。平行板电容器的电容C跟相对介电常数εr成正比，跟极板正对面积S成正比，跟极板间的距离d成反比。 （2）决定因素为：介电常数，正对面积，两板间的距离。 5、公式C＝与C＝的比较 　　公式 内容　　 C＝ C＝ 公式特点 定义式 决定式 意义 对某电容器Q∝U，但＝C不变，反映容纳电荷的本领 平行板电容器，C∝εr，C∝S，C∝，反映了影响电容大小的因素 联系 电容器容纳电荷的本领由来量度，由本身的结构(如平行板电容器的εr、S、d等因素)来决定 6、 平行板电容器的两类典型问题 Q不变分析思路：根据C＝＝先分析电容的变化，再分析U的变化；根据E＝＝分析场强变化。即，，。 U不变分析思路：根据C＝＝先分析电容的变化，再分析Q的变化；根据E＝分析场强的变化。根据UAB＝E·d分析某点电势变化。即，Q＝U·C＝，。 两个较巧：在电荷量保持不变的情况下，由E＝＝＝知，电场强度与板间距离无关；在两极板带电量保持不变的情况下，可以认为一定量的电荷对应着一定数目的电场线，两极板间距离变化时，场强不变；两极板正对面积变化时，如下图中电场线变密，场强增大。 7、平行板电容器与静电计结合问题的解决方法 （1）静电计指针和外壳分别与两块平行金属板相连接，两块金属板带上等量的异种电荷，电容器电荷量Q不变。 （2）由决定式C＝，根据所给问题中εr、S或d的变化，确定平行板电容器的电容C的变化情况。 注意电容器间插入电介质时意味着εr变大，电容C变大；插入金属板时意味着d减小，电容C也变大。 （3）根据U＝，可确定电容器两极板间的电势差的变化，进而可以确定静电计指针的张角变化情况。 【典例4-1】用如图1所示的电路来探究电容器的充、放电过程，电源的电动势E未知，内阻已知为r，平行板电容器的电容已知为C，定值电阻的阻值R未知，回答下列问题。 (1)合上开关S1，（S2未合上），稳定后，电压传感器的示数为U1，则E______（选填“＞”“=”或“＜”）U1。 (2)再合上开关S2，电流传感器将电流信息传入计算机，屏幕上显示出电流随时间变化的图像如图2所示，说明规定电流沿顺时针方向为______（选填“正”或“负”），电容器在放电的过程中，电流的变化率______（选填“越来越小”或“越来越大”）。 (3)接第（1）、（2）问，合上开关S2稳定后电压传感器的示数为U2，则图2阴影部分面积的绝对值为______，定值电阻的阻值为______。（结果均用题中已知量表示） 【答案】(1)= (2) 正 越来越小 (3) 【详解】（1）合上开关S1、S2未合上且电路稳定后，电路中几乎没有持续电流，电源内阻r上的电压降为0，此时电容器两端的电压等于电源的电动势 E，而电压传感器测量的就是电容器两端的电压 U1，所以E=U1。 （2）[1][2]再合上S2后，电容器两端电压等于R两端电压，所以电容器两端电压减小，开始放电，此时电流沿逆时针方向流动，而图2中初始放电电流为-I0，说明规定电流沿顺时针方向为正方向，逆时针的放电电流就显示为负值。I-t图像的斜率代表电流的变化率，从图2可以看出曲线逐渐变得平缓，斜率的绝对值不断减小，说明电容器放电过程中，电流的变化率越来越小。 （3）[1][2]I-t图像与时间轴围成的面积代表过程中移动的总电荷量。电容器放电前带电量为Q1=CU1 放电稳定后带电量为Q2=CU2 因此放电过程中释放的总电荷量为 也就是图2阴影部分面积的绝对值。 合上S2稳定后，电阻 R与电源内阻r串联。电容器所在的电路中的电流为0。此时电压传感器测量的电压是R两端电压，根据闭合电路欧姆定律，有 其中 又有 联立可得定值电阻R的阻值为 【典例4-2】（多选）如图所示，电路中a、b两点之间接有一灵敏电流计，电容器两极板间有一电荷q处于静止状态。若将两极板的间距变小，则（　　） A．电荷将向上加速运动 B．电荷将向下加速运动 C．电容器充电，灵敏电流计中将有从a到b的电流 D．电容器放电，灵敏电流计中将有从b到a的电流 【答案】AC 【详解】AB．由于两极板间的电势差不变，根据 可知，两极板间的距离减小时，极板间的电场强度增大，电荷受到的电场力增大，因此电荷向上做加速运动，故A正确，B错误； CD．根据 可知将两极板的间距变小，电容器的电容增大，而电容器两极板间的电势差不变，结合 可知极板上的电荷量增大，电容器充电，而电容器上极板带正电，则灵敏电流计中将有从a到b的电流，故C正确，D错误。 故选AC。 【典例4-3】如图甲所示是观察电容器的充、放电现象的实验装置。电源输出电压恒为，是单刀双掷开关，为灵敏电流计，为平行板电容器。 (1)将开关接1给电容器充电，则充电时电流__________（填“向左”或“向右”）流过电流计； (2)将表换成电流传感器，电容器充电完毕后再放电，其放电电流随时间变化图像如图乙所示，图像包围的小方格数量约为41个，则可估算出电容器开始放电时所带的电荷量__________（保留两位有效数字）； (3)电容器充电后就储存了能量，某同学从等效的思想出发，认为电容器储存的能量等于把电荷从一个极板搬运到另一个极板过程中克服电场力所做的功。为此他做出电容器两极间的电压随电荷量变化的图像如图所示。按他的想法，下列说法正确的是__________（填正确答案标号） A．图线的斜率越大，电容越大 B．搬运的电量，克服电场力所做的功近似等于上方小矩形的面积 C．对同一电容器，电容器储存的能量与两极间电压成正比 D．若电容器电荷量为时储存的能量为，则电容器电荷量为时储存的能量为 【答案】(1)向右 (2) (3)BD 【详解】（1）开关接1时，电源正极与电容器上极板相连，常规电流由电源正极流出，沿开关、电流计流向电容器上极板，因此电流从左向右流过电流计 （2）由电流的定义，可知，在很短时间内通过电流传感器的电荷量，把各小段电荷量相加，所得总电荷量等于图线与坐标轴围成的面积。横轴每小格表示，纵轴每小格表示。故每小格面积对应的电荷量 图像约占41个小格，故开始放电时电容器所带的电荷量 （3）A．由电容定义式，可得图线的斜率 斜率越大，电容越小，故A错误； B．在搬运一小段电荷量的过程中，电压变化很小，可近似看作不变，克服电场力做的功，其数值近似等于上方小矩形的面积，故B正确； CD．把搬运各小段电荷量所做的功相加，电容器储存的能量等于图线下的三角形面积，即 对同一电容器，由电容定义式 代入能量公式得 能量与电压的平方成正比，同理，由 可得 当电荷量变为时，储存的能量，故C错误，D正确。 故选BD。 考点05 带电粒子在电场中的运动 一、带电粒子在电场中的加速 1、带电粒子的分类及受力特点 （1）电子、质子、α粒子、离子等粒子，一般都不考虑重力，但不能忽略质量。 （2）质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。 （3）受力分析仍按力学中受力分析的方法分析，切勿漏掉静电力。 2、求带电粒子的速度的两种方法 （1）从动力学角度出发，用牛顿第二定律和运动学知识求解(适用于匀强电场)。 由牛顿第二定律可知，带电粒子运动的加速度的大小a＝＝＝；若一个带正电荷的粒子，在静电力作用下由静止开始从正极板向负极板做匀加速直线运动，两极板间的距离为d，则由v2－v02＝2ad可求得带电粒子到达负极板时的速度v＝＝。 (2)从功能关系角度出发，用动能定理求解(可以是匀强电场，也可以是非匀强电场)。 带电粒子在运动过程中，只受静电力作用，静电力做的功W＝qU，根据动能定理，当初速度为零时，W＝mv2－0，解得v＝；当初速度不为零时，W＝mv2－mv02，解得v＝ （3）两种分析思路 ①利用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式，适用于匀强电场且问题中涉及运动时间等描述运动过程的物理量时适合该思路。 ②利用静电力做功结合动能定理，当问题只涉及位移、速率等动能定理公式中的物理量或非匀强电场情景时适合该思路。 二、带电粒子在电场中的偏转 1、两种偏转的情形 情形 进入电场的方式 受力特点 运动特点 图示 以初速度v0垂直场强方向射入匀强电场 以初速度v0垂直场强方向射入匀强电场，受恒定电场力作用，做类似平抛运动。 电场力大小恒定，且方向与初速度v0的方向垂直。 做类平抛运动（匀变速曲线运动运动）。 先加速后偏转 静止放在匀强电场中，经过电场加速获得速度v0，然后垂直场强方向射入匀强电场。 加速阶段：电场力大小恒定，且方向与运动方向平行；偏转阶段：电场力大小恒定，且方向与速度v0的方向垂直。 加速阶段：匀加速直线运动；偏转阶段：做类平抛运动。 2、基本规律 （1）初速度方向：粒子做匀速直线运动，通过电场的时间t＝。 （2）静电力方向：做初速度为零的匀加速直线运动．加速度a＝＝。 （3）离开电场时垂直于板方向的分速度vy＝at＝。 （4）速度方向与初速度方向夹角的正切值tan θ＝＝。 （5）离开电场时沿静电力方向的偏移量y＝at2＝。 3、几个常用推论 （1）粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于一点，此点为粒子沿初速度方向位移的中点． （2）位移方向与初速度方向间夹角α的正切值为速度偏转角θ正切值的，即tan α＝tan θ。 （3）不同的带电粒子(电性相同，初速度为零)，经过同一电场加速后，又进入同一偏转电场，则它们的运动轨迹必定重合。 注意：分析粒子的偏转问题也可以利用动能定理，即qEy＝ΔEk，其中y为粒子在偏转电场中沿静电力方向的偏移量。 三、带电粒子在电场做圆周运动 1、类型 运动类型 受力分析 系统的形式 运动的条件 仅在电场力作用下的匀速圆周运动 只受电场力（或者库仑力），电场力（或者库仑力）提供向心力。 除带电粒子外，系统存在单个点电荷或者多个点电荷。 速度方向与库仑力力的方向垂直。 电场力和重力作用下的匀速圆周运动 ①受一个库仑力，一个电场力（匀强电场）和重力，重力和电场力平衡，库仑力提供向心力。②只受重力和电场力的情形：二者的合力提供向心力。 ①除带电粒子外，系统存在一个点电荷、一个匀强电场和重力。②除带电粒子外，系统存在一个点电荷和重力。 ①带电粒子受到匀强电场的电场力与重力平衡，速度方向与库仑力的方向垂直。②速度方向与库仑力和重力的合力的方向垂直。 径向电场中的匀速圆周运动 电场力提供向心力。 电子偏转器的剖面图。 速度方向与电场力的方向垂直。 2、重要方法：利用“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动 （1）“等效重力”及“等效重力加速度”：在匀强电场中，将重力与电场力合成，如图所示 ①F合为“等效重力场”中的“等效重力”。 ②g′＝为“等效重力场”中的“等效重力加速度”。 ③F合的方向为“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向。 （2）等效最“高”点与最“低”点的确定方法 ①如图，当电场力和重力方向相反时，若qE＝mg，则小球做匀速圆周运动；若qE＜mg，则a点为等效最“高”点，b点等效最“低”点；若qE＞mg，则a点即等效最“低”点 ，b点为等效最“高”点。 ②如下图，电场力和重力成一定角度时，在“等效重力场”中过圆周运动的圆心作“等效重力”的作用线，其反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效最“高”点，沿着“等效重力”的方向延长交于圆周的那个点为即等效最“低”点。 四、示波管 1、示波管的构造：示波管是示波器的核心部件，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由电子枪(由发射电子的灯丝、加速电极组成)、偏转电极(由偏转电极XX′、偏转电极YY′组成)和荧光屏组成，如图所示。 2、示波管的原理 （1）扫描电压：XX′偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压。 （2）灯丝被电源加热后，出现热电子发射，发射出来的电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如果在YY′偏转电极上加一个信号电压，在XX′偏转电极上加一扫描电压，在荧光屏上就会出现按YY′偏转电压规律变化的可视图像。 【典例5-1】（多选）如图所示，质量为m、带电荷量为q的带电微粒，以初速度从A点竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，微粒通过电场中B点时速率，方向与电场的方向一致，则下列说法中正确的是（　　） A．微粒所受的电场力大小是其所受重力的2倍 B．带电微粒的机械能增加了 C．A、B两点间的电势差为 D．A、B两点间的电势差为 【答案】AC 【详解】A．微粒在竖直方向上受到重力作用，做匀减速直线运动，从A到B的运动时间为 水平方向上受到电场力作用做匀加速直线运动，加速度为 从A到B则有 整理得 电场力大小，故A正确； B．根据功能关系可知，增加的机械能等于电场力做的功，则有，故B错误； CD．A、B两点间的电势差为，故C正确，D错误。 故选AC。 【典例5-2】在直角坐标系中，三个边长均为的正方形区域分布如图所示，第一象限内区域中（包含虚线）的匀强电场沿轴负方向，电场强度的大小为；第二象限内区域中（包含虚线）的匀强电场沿轴负方向。一电荷量为质量为的粒子（重力不计）从点由静止释放，恰好能通过点。 (1)求粒子离开区域时的速度大小； (2)求区域内的电场强度的大小； (3)若区域内的电场强度大小变为，方向不变，将该带电粒子从区域中点由静止释放，经点通过轴，求点的横坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在区域中，根据动能定理 解得 （2）设粒子在区域中运动的时间为t，根据类平抛规律，x方向 y方向 根据牛顿第二定律 解得 （3）从P点静止释放的粒子，根据动能定理 区域中的电场强度变为后，根据牛顿第二定律 由几何关系在区域中水平方向位移为，根据类平抛规律水平方向 竖直方向 粒子经过边时速度的y分量为 在区域，根据运动的合成与分解， 联立解得 【典例5-3】一个沿x轴方向分布的电场的场强与坐标x的关系图像如图所示，仅在的区间有电场，场强方向不同，大小均为，规定轴方向为正方向，处电势为零，一个质量为m、电荷量为的带电粒子只在静电力作用下，以为中心，沿x轴方向做周期性运动，其动能与电势能之和为E。 (1)画出x轴上电势分布的图像，要求标出最高电势； (2)确定粒子的运动区间； (3)一个周期内粒子在区域内的运动时间； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图所示， 可得图像如下 （2）由题意可知 动能为零处势能为最大值E，时，最右侧位置处 解得 同理，时，最左侧位置处 则粒子的运动区间为 （3）在区域内的运动由对称的2段组成，每小段里均有 解得 故总时间为 一、单选题 1．静电透镜的工作原理是通过静电场来使电子束聚焦后成像。某静电透镜原理如图所示，A、B两极带有异种电极，两者之间形成的等差等势面如图中的虚线所示，当电子沿中心轴从a射向c，轨迹如图。则下列说法正确的是（     ） A．电场强度Ea>Ec B．a点的电势比c点高 C．电子先加速再减速 D．电子的电势能减少 【答案】D 【详解】A．等差等势面的疏密程度反映电场强度大小，等势面越密电场强度越大。由图可知c点附近等势面比a点更密集，因此电场强度，故A错误； B．电极A带负电、电极B带正电，电场线从正电荷（B）指向负电荷（A），沿电场线方向电势逐渐降低，因此从a到c是指向正极B的方向，电势逐渐升高，即a点电势比c点低，故B错误； C．电子带负电，所受电场力方向与电场线方向相反，即电场力整体沿a指向c的方向，电场力始终对电子做正功，电子一直加速，并非先加速后减速，故C错误； D．电场力全程对电子做正功，根据电场力做功与电势能变化的关系，电场力做正功时电势能减少，因此电子的电势能减少，故D正确。 故选D。 2．在真空中的点存在一孤立的带正电的点电荷，将一带电粒子以一定的初速度射入该电荷激发的电场中，粒子在电场中的一段轨迹如图所示粒子从点运动到点的过程中，在点时轨迹与圆相交，在点时轨迹与圆相切，圆、的圆心都在点，不计粒子重力，粒子电荷量保持不变下列说法正确的是（     ） A．该粒子一定带正电荷 B．粒子在点的加速度比在点的加速度大 C．粒子从点运动到点后有可能继续沿圆轨迹做圆周运动 D．粒子从点运动到点（不含）的过程中速度方向与电场线方向的夹角一直为锐角 【答案】C 【详解】A．如图所示， 由物体做曲线运动的特点知，合力在曲线弯曲的凹侧，故该粒子与带正电的点电荷相互吸引。该粒子一定带负电荷，故A错误； B．由A选项图可知，，由静电力公式 则可知，由牛顿第二定律知，粒子在点加速度比在点加速度小，故B错误； C．由A选项图知，粒子在点速度与圆相切，若 时，粒子从点运动到点后有可能继续沿圆轨迹做圆周运动，故C正确； D．由图知， 粒子从点运动到点不含点的过程中速度方向与电场线方向的夹角一直为钝角，故D错误。 故选C。 3．如图所示，两平行极板、间加恒定电压，动能为4J的电子从板边缘垂直电场方向射入两极板间，电子射出电场时动能为5J。忽略电子所受重力，若仅将电子入射的动能变为16J，则其射出电场时的动能为（     ） A．16.25J B．16.5J C．17J D．18J 【答案】A 【详解】电子垂直射入匀强电场，做类平抛运动，电子初动能 运动时间 沿电场方向偏转位移 由动能定理，电场力做功 即电子动能增加量与初动能成反比，电子初动能，末动能为5J，动能增加量 若仅将电子入射的动能变为，则电子动能增加量 电子射出时的动能 故选A。 4．如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。、点在同一等势面上，、点在同一电场线上（不计重力）。下列说法正确的是（     ） A．同一负电荷在点的电势能比点的大 B．同一负电荷在点的加速度比点的小 C．负电荷从点运动到点，速度增大 D．负电荷从点运动到点，电场力做负功 【答案】D 【详解】A．M、N两点电势相等，电场线由上到下，N、P在同一电场线上，沿电场线电势逐渐降低，可知N点电势高于P点，可知M点电势高于P点，由可知，同一负电荷在点的电势能比点的小，故A错误； B．M点电场线分布比N点密集，可知M点电场强度比N点大，同一负电荷在点的加速度比点的大，故B错误； CD．负电荷从M点运动到P点，电势能增加，则电场力做负功，动能减小，速度减小，故C错误，D正确。 故选D。 5．如图所示，绝缘支架上固定有原来不带电的金属球壳，A、B是其水平直径的左右两个端点，M、N是该直径上的两个点，球壳外，A、B延长线上的O点放置一个电荷量为+Q的点电荷，已知AM=MN=NB=BO，以无穷远处电势为零，达到静电平衡后，下列说法正确的是（     ） A．导体球壳上的A点带负电和B点带正电 B．M、N两点的电场强度为零，A点和B点的电势相同 C．金属球壳上的感应电荷在M、N两点产生的电场强度之比为9∶4 D．用导线连接金属球壳上的A、B两点，导线中将产生电流 【答案】B 【详解】A．外部正点电荷使金属球壳发生静电感应，靠近点电荷的B端带负电，远离点电荷的A端带正电，故A错误； BD．金属球壳达到静电平衡后，其内部合电场强度处处为零，且整个球壳为等势体，所以M、N两点的电场强度均为零，A、B两点电势相等；用导线连接A、B两点后，导线两端无电势差，不会产生电流，故B正确，D错误； C．设，由点电荷的场强公式得，M、N两点处点电荷产生的场强大小分别为， 则 由于处于静电平衡状态，金属球壳上的感应电荷在M、N两点产生的场强大小分别等于点电荷在对应点产生的场强大小，故其比值为，故C错误。 故选B。 6．如图甲所示的光滑水平面上，一质量为m，电量为q的带正电小球（可视为质点）从x=-1 m处以初速度v0沿x轴正方向运动，整个运动区域存在沿水平方向的电场，电势φ随位置x变化规律如图乙所示，该图像为抛物线，则下列说法正确的是（     ） A．小球先做匀加速直线运动，再做匀减速直线运动 B．小球能运动到x=1 m的位置 C．在x=0处，小球的速度达到最小 D．小球的电势能在x=-1 m处和x=1 m处相同且最大 【答案】B 【详解】AC．由图像斜率为电场强度，可知场强先减小后增加，则小球先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，在处，速度达到最大，故AC错误。 B．由对称性得到小球能到处，且到达点时的速度为，故B正确； D．图像为抛物线，可知在x=-1 m处和x=1 m处电势相等，根据电势能的计算公式可知，小球的电势能在x=-1 m处和x=1 m处相同，由上述分析可知，小球会继续向右运动，电势能增大，即小球的电势能在x=-1 m处和x=1 m处不是最大，故D错误。 故选B。 7．如图甲所示，两平行金属板MN、PQ的板长和板间距离相等，大小都为d，板间存在如图乙所示的随时间周期性变化的电场，电场方向与两板垂直，不计重力的带电粒子沿板间中线且垂直于电场方向源源不断地射入电场，粒子射入电场时的初速度大小均为，已知时刻射入电场的粒子刚好沿上板右边缘垂直电场方向射出电场，不计粒子间的相互作用，则（     ） A．之后射入电场的粒子可能会打到极板上 B．所有粒子最终射出电场时，速度方向不相同 C．时刻进入电场的粒子在两板间的最大偏移量为 D．若粒子的入射速度变为，则无论哪个时刻进入电场的粒子，其从电场射出时的侧向位移都减半 【答案】C 【详解】AB．粒子在平行极板方向不受电场力，做匀速直线运动，故所有粒子的运动时间相同；时刻射入电场的带电粒子沿板间中线垂直电场方向射入电场，沿上板右边缘垂直电场方向射出电场，说明竖直方向分速度变化量为零，根据动量定理，竖直方向电场力的冲量的矢量和为零，故运动时间为周期的整数倍，故所有粒子最终都垂直电场方向射出电场，故AB错误； C．当t=0时刻射入电场的粒子，在时刻，粒子在水平方向上的分速度为，因为两平行金属板MN、PQ的板长和板间距离相等，则有 则时刻 当该粒子在时刻以速度进入电场，则此时粒子竖直方向上在电场力的作用下，先做匀加速，再匀减速，接着再匀加速和匀减速后回到中线位置，竖直方向的最大速度 其两板间最大偏移量为 解得，故C正确； D．无论哪个时刻进入的粒子侧向位移都减半，t=0时刻入射的粒子位移由变为确实减半，但时刻入射的粒子原侧向位移为0，速度加倍后侧向位移为，未减半，故D错误。 故选C。 二、多选题 8．（多选）如图所示，光滑水平桌面上方存在方向水平向左的匀强电场，桌面右端固定一个定滑轮，跨过定滑轮的绝缘轻绳分别连接质量均为的木块A、B，其中木块A的电荷量为并静置在水平桌面上。木块B到水平地面的高度为，将两木块由静止释放，当木块B即将与地面接触时将其撤去，最终木块A在距出发点右侧位置处速度变为零，已知重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．木块A将静止在距出发点右侧处 B．电场强度的大小 C．木块B即将与地面接触时的速度大小为 D．在撤去木块B前，木块A、B组成的系统机械能守恒 【答案】BC 【详解】A．木块A在距出发点右侧处，水平方向上合力向左，将向左运动。故A错误； BC．木块B下落h过程中，对A、B整体由动能定理得 B撤去，A继续右移h，由动能定理得 联立解得电场强度的大小，。故BC正确； D．在撤去木块B前，电场力做功，木块A、B组成的系统机械能不守恒。故D错误。 故选BC。 9．（多选）如图，在匀强电场中有一虚线圆，和是圆的两条直径，其中与电场方向的夹角为，，与电场方向平行，、两点的电势差。则（     ） A．电场强度的大小 B．点的电势比点的高 C．将电子从点移到点，电场力做正功 D．电子在点的电势能大于在点的电势能 【答案】BD 【详解】A．由匀强电场中电势差与电场强度的关系 解得，A错误； B．设圆心为O，可得， 因此，即b点电势比d点高10V，B正确。 C．将电子从c点移到d点是向右运动，因电子带负电，电场力方向水平向左，可知电场力做负功，C错误； D．因a点电势低于c点电势，负电荷的电势能 ，电势越低，负电荷电势能越大，可知电子在a点的电势能大于在c点的电势能，D正确。 故选BD。 10．（多选）如图甲所示，足够长且固定绝缘光滑的斜面倾角为，以斜面底端为坐标原点，沿斜面方向建立轴，在轴上的部分区间存在电场，电场方向沿斜面向上。一质量为、电荷量为的带正电滑块（可视为质点）从斜面底端由静止释放，不计空气阻力，滑块对原电场无影响，滑块向上运动的一段过程中机械能随位移变化的图像如图乙所示，曲线上点切线斜率最大，下列说法正确的是（     ） A．在0~过程中滑块电势能一直减小 B．在0~过程中动能一定增大 C．在处电势最高 D．在0~过程中加速度先增大再减小再增大最后不变 【答案】BD 【详解】AC．由机械能随位移变化的图像可知，段机械能增大，段机械能不变。电场力做功等于滑块机械能的增加量，故滑块电势能先减小后不变。滑块带正电，电势与电势能同向变化，处的电势不是最高的，故AC错误； BD．图像切线斜率表示电场力沿斜面向上的大小，故该力在段增大，在点最大，随后减小，在段为零。滑块沿斜面方向的受力如图所示。 取沿斜面向上为正，对滑块应用牛顿第二定律得 滑块从静止开始上滑，起始阶段合力沿斜面向上；在段电场力继续增大，合力始终沿斜面向上，动能增大。加速度大小先随电场力增大而增大；电场力从最大值逐渐减小至零时，加速度大小先减小到零，随后加速度反向且大小增大；进入段后，加速度大小保持不变，故BD正确。 故选BD。 三、实验题 11．(1)最近科学家研究发现，地面附近存在静电场，某些蜘蛛带电后在该电场中可以实现向上飞升。如图，地面附近的电场可近似为竖直向下的匀强电场。 ①一带负电的蜘蛛在地面附近向上运动的过程中，电场力对蜘蛛做功为，蜘蛛电势能变化量为，_________。 A．W>0，ΔEp>0    B．W<0，ΔEp>0 C．W>0，ΔEp<0    D．W<0，ΔEp<0 ②蜘蛛所带的电荷量可能为_________。（元电荷为e） A．1.6e    B．32e    C．3.2e    D．16e (2)将一电量为2×10-5 C的正电荷从电场中的A点移到B点时，电场力做功5.0×10-4 J，再从B点移到C点，克服电场力做功1.5×10-4 J，则电荷在B点的电势能为________J（取A点为电势零点）；A点与C点之间的电势差UAC为________V 【答案】(1) C BD/DB (2) 17.5 【详解】（1）[1]已知地面附近电场方向竖直向下，带负电的蜘蛛受到的电场力方向与电场方向相反，即竖直向上；蜘蛛位移方向也竖直向上，因此电场力和位移同向，电场力做功；根据电场力做功与电势能变化的关系，电场力做正功，电势能减小，因此电势能变化量。 故选C。 [2]元电荷为e，蜘蛛所带的电荷量只能为元电荷的整数倍，故蜘蛛所带的电荷量可能为或。 故选BD。 （2）[1]取A点为电势零点，即A点电势能 根据电场力做功等于电势能的减少量得 解得 [2]全过程A到C的总电场力做功 根据电势差定义 12．图1为利用电容器放电测电容的实验电路图。实验器材有：电源，电压表，电容器C，电流传感器，计算机（未画出），定值电阻R0、R1、R2，开关S1，单刀双掷开关S，导线若干。 ①正确连接实验器材后，闭合S1，给电容器充电，直至电压表的示数稳定。 ②断开S1，将开关S打在1，电容器通过R1和R0放电，传感器采集的电流—时间（ ）图像如图2中的Ⅰ所示。 ③放电完毕后，断开开关S，闭合S1，再给电容器充电，直至电压表的示数稳定。 ④断开S1，将开关S打在2，电容器通过R2和R0放电，传感器采集的电流—时间图像如图2中的Ⅱ所示。 （1）根据图2可知，R1________R2（选填“ ”“ ”或“ ”），图线Ⅰ和Ⅱ与坐标轴所围成的面积_______（选填“ ”“ ”或“ ”）。 （2）某次实验中，电容器充电结束后，电压表的示数为 ，电容器通过R1和R0放电，传感器采集的电流—时间图像如图3所示，计算曲线下小方格的个数时，不足半个的舍去，多于半个的算一个，则电容器所带电荷量 ________C（保留2位有效数字），电容器的电容 ________ （保留2位有效数字）。 （3）改变电容器的充电电压，重复上述实验步骤，求出电容器的电容，再取平均值作为电容器的电容。 【答案】 【详解】（1）[1][2]放电电阻越小，初始电流越大，放电时间越短，由题图2知，，图线与坐标轴围成的图形面积等于电容器放电的电荷量，两次充电条件相同，电荷量相同，。 （2）[3]电压表读数为2.50V，每个小方格所表示的电荷量为 共29个小方格，电容器所带电荷量 则 四、计算题 13．如图所示，虚线、之间存在水平向右的匀强电场，场强大小为，两虚线间距离为。一质量为、电荷量为的带电粒子，从点由静止释放，经电压为的电场加速后，由点垂直进入水平匀强电场中，从上的某点（图中未画出）离开。不计粒子的重力，求： (1)粒子刚进入水平匀强电场时的速率； (2)点速度方向与电场线方向夹角的正切值； (3)两点间的电势差。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场加速过程，由动能定理有 解得 （2）粒子在水平电场中做类平抛运动，在水平方向有 在竖直方向有 联立解得 （3）粒子从到的过程中，在水平方向有 由电势差公式，有 联立解得 14．如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板间电压恒为U，板间距为d，下极板接地，在两板间形成匀强电场。现有一质量为m、电荷量为的金属微粒，从两极板中央O点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间速度大小不变，方向反向，碰撞后电性与极板相同，且所带电荷量的绝对值不变。（微粒重力可忽略。）求： (1)微粒第一次到达下极板所需的时间t； (2)微粒第一次与上极板碰撞时的速度大小v。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）微粒从点释放后向下做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得微粒的加速度大小为 微粒从点到下极板的位移大小为，根据位移时间公式有 联立解得微粒第一次到达下极板所需的时间为 （2）微粒从点运动到下极板的过程中，设到达下极板时的速度大小为，根据速度时间公式有 解得 微粒与下极板碰撞后，速度大小不变且方向反向。由题意可知碰撞后微粒电性与下极板相同，即变为带负电，电荷量绝对值不变，故其所受电场力方向竖直向上，微粒向上做匀加速直线运动，微粒从下极板运动到上极板的过程中，电场力做正功，根据动能定理有 解得微粒第一次与上极板碰撞时的速度大小为 15．如图所示，一个可视为质点的小球从点静止摆下，摆到最低点点时摆线刚好被拉断，小球在点恰好未与地面接触。小球进入粗糙的水平面后向右运动到点并进入一竖直放置的光滑圆弧形轨道。已知摆线长，小球在点时摆线与竖直方向的夹角，小球质量，B点到点的距离，小球与水平面间动摩擦因数，重力加速度取。 (1)求摆线所能承受的最大拉力； (2)要使小球上升过程中不脱离圆弧形轨道，求圆弧形轨道半径的取值范围； (3)若小球带电且电荷量，小球到达光滑圆弧轨道点时立即在圆弧轨道所处空间内加入一个水平向右的匀强电场，电场强度，其他条件不变，不计小球运动过程中电荷量损失。要使小球能够做完整的圆周运动，求圆弧轨道半径的取值范围（结果用分数表示即可）。 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）小球从点到点的过程，由动能定理可列 解得 在点，由牛顿第二定律得 解得 （2）从点到点的过程中摩擦力做功，由动能定理可列 解得 ①小球进入圆弧形轨道后，设小球到达圆弧形轨道最高点的速度为，要使小球不脱离圆弧形轨道应满足 小球从点运动到圆弧形轨道最高点的过程，由动能定理可列 联立解得 ②小球进入圆弧形轨道后，上升的最大高度满足，小球可沿轨道返回， 小球从点运动到最高点的过程有 解得 所以要使小球不脱离圆弧形轨道，圆弧形轨道半径的取值范围是或 （3）小球在匀强电场中受到的电场力 则小球在该复合场中的等效重力 根据 可得，方向与竖直方向成向右下。 小球在该等效重力场中，要完成完整的圆周运动，到达等效最高点的速度至少等于，即 小球从点进入的速度不变，则运动到最高点由动能定理可列 联立可得 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $