精品解析：山西汾阳市部分学校2026-2027学年9月阶段自测九年级数学试卷

九年级数学 月考有书写分3分． 1．横平竖直，不连笔，1分．2．不勾划，不涂改，1分．3．字间距不小于1/3，1分． 共120分（卷面分3分） 一、选择题（3×10＝30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A. B. C. D. 3. 下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A. 铅笔的单价不变，总价y与支数x B. 路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C. 正方体的表面积y与它的棱长x D. 速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 解方程，最适当的解法是（ ） A. 直接开平方法 B. 因式分解法 C. 配方法 D. 公式法 6. 下列方程中，两根之和等于3的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 某次同学聚会上，每人都向其他人赠送一份礼品，同学小丁因事未能到场，无法送给同学礼品，但所有同学给小丁送出了礼品，共送出121份礼品，求到现场参加聚会的人数．设到现场参加聚会的同学有x名，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，这个最大的数是（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 我们知道方程的解是，现给出另一个一元二次方程，它的解是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（3×5＝15分） 11. 若是二次函数，则______． 12. 已知是方程的两个实数根，则的值是______． 13. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则___． 14. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为19，则该方程的正数解为______． 15. 已知方程和，有且只有一个公共根，且两个方程的非公共根之积等于，则______． 三、解答题 16. 解方程 （1） （2） （3） 17. 已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2＋5x＋m2﹣3m＋2＝0的常数项为0 （1）求m的值； （2）求此时一元二次方程的解． 18. 如图，点在线段上，若，那么点就是线段的左侧黄金分割点．已知，点是线段的中点，若点想变成线段的左侧黄金分割点，那么点应向左移动几厘米？ 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）设方程的两个根为，且，求的值． 20. 学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建． （1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米； （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由． 21. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 22. 下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细简读并完成相应的任务． 求（为正整数）方法欣赏 在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求 （为正整数）的值”这个问题的两种解法，供大家欣赏． 方法1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2． 可得．即 方法2：“递归法”（设）． 由完全平方公式可得， ． 我们列出特殊情况：． 两边分别相加可得．． ． 任务： （1）若，则______． （2）的和能是50吗？如果能，请求出值，如果不能，请说明理由． （3）数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》中记载着一道受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了．如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” （4）我们知道：则______． 23. 如图①，在中，，，．在矩形中，，，在矩形的左侧，与在一条直线上，且点与点重合．现以的速度沿直线从左向右运动（矩形保持不动）． （1）连接，当第一次成为等腰三角形时，求出运动了多少秒？ （2）连接，当时，求出运动了多少秒？ （3）当与矩形重叠部分的面积为时，直接写出运动了多少秒？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 月考有书写分3分． 1．横平竖直，不连笔，1分．2．不勾划，不涂改，1分．3．字间距不小于1/3，1分． 共120分（卷面分3分） 一、选择题（3×10＝30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判定一元二次方程需注意两个易错点：必须是整式方程，且二次项系数不为0． 【详解】解：A选项：方程含有,两个未知数，不是一元二次方程； B选项：方程未说明，当时不是一元二次方程； C选项：方程分母含有未知数，不是一元二次方程； D选项：方程只含一个未知数，的最高次数为，且是整式方程，符合定义． 2. 根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算．熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键． 由图象可知，，则方程一个解的取值范围为，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴方程一个解的取值范围为， 故选：C． 3. 下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A. 铅笔的单价不变，总价y与支数x B. 路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C. 正方体的表面积y与它的棱长x D. 速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项的实际数量关系列出y与x的函数关系式，再结合二次函数的定义判断，二次函数定义为形如 (a，b，c为常数，且)的函数是二次函数． 【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意； 对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意； 对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意； 对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先算根的判别式，然后利用Δ0可判断方程根的情况． 【详解】∵Δ＝32﹣4×1×7＝-190， ∴方程没有实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 5. 解方程，最适当的解法是（ ） A. 直接开平方法 B. 因式分解法 C. 配方法 D. 公式法 【答案】B 【解析】 【分析】根据有相同的公因式，进行提取公因式即可得出结论． 【详解】左边因式分解可得， ∴或， 解得：，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，正确掌握方法是解题的关键． 6. 下列方程中，两根之和等于3的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，要使一元二次方程中，两实数根之和为3，必有且，分别计算即可判断． 【详解】解：A、，，不符合题意； B、，，方程无实数根，不符合题意； C、，，方程无实数根，不符合题意； D、，，符合题意． 7. 某次同学聚会上，每人都向其他人赠送一份礼品，同学小丁因事未能到场，无法送给同学礼品，但所有同学给小丁送出了礼品，共送出121份礼品，求到现场参加聚会的人数．设到现场参加聚会的同学有x名，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合设到现场参加聚会的同学有名，每个人都先除了自己以外的人送一份礼物，总共送出去份礼物，因为每个人都要向小丁送出去一份礼物，则小丁收到的礼物是份，即可作答． 【详解】解：设到现场参加聚会的同学有名，每个人都先除了自己以外的人送一份礼物，总共送出去份礼物， ∵每个人都要向小丁送出去一份礼物， ∴小丁收到的礼物是份， 则， 故选：A 8. 如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，这个最大的数是（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】设方框在表中圈出的六个数中最大的数为，则最小的数为，根据题意列出一元二次方程并求解，结合月历表实际情况即可获得答案． 【详解】解：设方框在表中圈出的六个数中最大的数为，则最小的数为，根据题意，可得 ， 整理可得， 解得（不合题意，舍去）， 结合2024年11月的月历表可知，符合题意， ∴这个最大的数是16． 9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 10. 我们知道方程的解是，现给出另一个一元二次方程，它的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，可得或，解方程即可求解． 【详解】解：∵方程的解是， ∴或， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键． 二、填空题（3×5＝15分） 11. 若是二次函数，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数的值，根据二次函数的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故答案为：3． 12. 已知是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】2023 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次变形，再结合根与系数的关系代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴，整理得， 将代入得：， ∵是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系得， ∴． 13. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则___． 【答案】10 【解析】 【分析】第一次小明邀请个好友，第二次n个人分别邀请个好友，列一元二次方程计算即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得：（舍去），， 故答案为：10人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题时注意小明也被包含在“111人”之中． 14. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为19，则该方程的正数解为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合正方形的面积为，进一步求解边长即可得到答案． 【详解】解：∵阴影部分的面积为19， ∴， ∴， ∴正方形的面积为，边长为， ∴． 15. 已知方程和，有且只有一个公共根，且两个方程的非公共根之积等于，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设公共根为a，根据两个方程有且只有一个公共根，先求出，再利用根与系数的关系表示出两个非公共根，根据非公共根之积的条件即可得到的值． 【详解】解：设两个方程的公共根为， 解得：， 两个方程有且只有一个公共根， ， ， 设方程的非公共根为，方程的非公共根为， ，即；，即， 两个非公共根之积等于， ，即． 三、解答题 16. 解方程 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：∵ ∴或， 解得． 【小问2详解】 解： 移项得， 因式分解， ∴或， 解得． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 17. 已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2＋5x＋m2﹣3m＋2＝0的常数项为0 （1）求m的值； （2）求此时一元二次方程的解． 【答案】（1）m＝2 （2）x1＝0，x2＝﹣5 【解析】 【分析】（1）根据常数项为0，列出关于的方程，解出即可； （2）将的值代入原方程，解出原方程即可 【小问1详解】 解：由题意，得：m2﹣3m+2＝0 解之，得m＝2或m＝1①， 由m﹣1≠0，得：m≠1②， 由①，②得：m＝2； 【小问2详解】 解：当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0， 得x2+5x＝0， x（x+5）＝0 解得：x1＝0，x2＝﹣5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键． 18. 如图，点在线段上，若，那么点就是线段的左侧黄金分割点．已知，点是线段的中点，若点想变成线段的左侧黄金分割点，那么点应向左移动几厘米？ 【答案】 【解析】 【分析】设，则，再建立方程求解，进一步可得答案． 【详解】解：设，则． 由得， 整理得， 解得， ， 取． 是的中点， ， 向左移动的距离为． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）设方程的两个根为，且，求的值． 【答案】（1）证明：对于一元二次方程， ， ， ，即 恒成立， 无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求出答案； （2）先由根与系数的关系得到，进而由完全平方公式的变形得到，整理并求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：对于一元二次方程， 根据一元二次方程的根与系数的关系，可得， ， ， ∴， 解得或． 20. 学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建． （1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米； （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由． 【答案】（1）10； （2）能，1米． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，找出不等关系式和等量关系式是解题的关键． （1）设与墙垂直的一面为米，另一面则为米，然后利用这堵墙的长度为不超过米，列出不等式求解即可； （2）设小路的宽为a米，两边的长分别为米，米，列出方程求解即可求解． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米， 根据题意得：． 解得：， 答：长方形车棚与墙垂直的一面至少米； 【小问2详解】 解：设小路的宽为a米， 根据题意得，． 整理得；， 解得：（舍去），． 答：小路的宽为1米． 21. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】（1） （2）当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【解析】 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 22. 下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细简读并完成相应的任务． 求（为正整数）方法欣赏 在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求 （为正整数）的值”这个问题的两种解法，供大家欣赏． 方法1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2． 可得．即 方法2：“递归法”（设）． 由完全平方公式可得， ． 我们列出特殊情况：． 两边分别相加可得．． ． 任务： （1）若，则______． （2）的和能是50吗？如果能，请求出值，如果不能，请说明理由． （3）数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》中记载着一道受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了．如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” （4）我们知道：则______． 【答案】（1） （2）不能．理由如下： 由，得 ， 解得，都不是整数，不符合题意，都舍去； 不存在正整数使和为50． （3）这群人共有11人 （4） 【解析】 【分析】（1）根据材料所给方法列出方程求解即可； （2）根据材料所给方法列出方程，再结合连续两个整数之积必为偶数可得出附近无整数解即可求解． （3）设这群人共有人．由题意，摘的石榴总数为，根据题意可得出 ，即．解出n即可． （4）由叠加可得． 【小问1详解】 解：由， 得， 解得（不符合题意，舍去）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设这群人共有人．由题意，摘的石榴总数为， 平均每人6个，则，即． ， ， 解得． 答：这群人共有11人． 【小问4详解】 解：∵ ∴ ． 23. 如图①，在中，，，．在矩形中，，，在矩形的左侧，与在一条直线上，且点与点重合．现以的速度沿直线从左向右运动（矩形保持不动）． （1）连接，当第一次成为等腰三角形时，求出运动了多少秒？ （2）连接，当时，求出运动了多少秒？ （3）当与矩形重叠部分的面积为时，直接写出运动了多少秒？ 【答案】（1）秒 （2）或（秒） （3）或（秒） 【解析】 【分析】由，，，得到的距离为10，恰好等于．设运动秒，则，，． （1）由到的垂足为，分、、三种情况讨论，取最小值． （2） 由，注意可能在左侧或右侧，需分类． （3）按三角形与矩形重叠形状分阶段：进入阶段（）重叠为三角形，面积；部分重叠阶段（）重叠为四边形，面积；完全包含阶段（）面积恒为100；退出阶段（）重叠为四边形，面积；完全离开后面积为．令各段面积等于68，在对应范围内求解． 【小问1详解】 解：以点E为原点，直线所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 过点C作轴于点H， ∵，，， ∴， 设运动秒，由题意，，，， ，，， 到的垂足H坐标为． ①当时，H为中点，，解得； ②当时，，解得或； ③当时，，解得． ∵， ∴第一次成等腰三角形为秒． 【小问2详解】 解：由（1），， 解得秒或秒． 【小问3详解】 解：分段讨论重叠面积： 当时， ，令，（不在范围内，舍去）； 当时， ， 令， 解得，或（舍去）； 当时， ，无解； 当时， ， 令， 解得，，（舍去）； 当时， 面积的为， 则此时，重叠面积为68无解． 秒或秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $