第11节数列的通项与求和基础专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第11节 数列的通项与求和 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（5×8=40分） 1． 某快递网点第 n 天结束时的累计处理量（单位：万件）记为 ，且 = + 2n。则第 3 天当天的处理量为 A. 5 B. 15 C. 7 D. 9 2． 某返乡创业项目分 9 期归还贷款，第 n 期归还额占贷款总额的比例为 。则这 9 期累计归还的比例为 A. B. C. D. 3． 某算力中心第 n 个月新增的算力节点数（单位：个）为 = n·，记其前 n 项和为 。则 的值为 A. 65 B. 129 C. 97 D. 161 4． 某储能电站截至第 n 月末的累计放电量（单位：兆瓦时）记为 ，且 = + 1。则第 n 个月的放电量 的表达式为 A. = B. = C. = 3，当 n ≥ 2 时 = D. = 1，当 n ≥ 2 时 = 5． 某智慧农场第 n 个大棚的月产量（单位：千克）为 = 2n − 1，则该农场前 20 个大棚的月总产量为 A. 400 B. 210 C. 380 D. 420 6． 某新能源汽车门店第 n 个月的销量（单位：百辆）由线下基础销量与直播引流销量两部分叠加而成， = 2n + 。则该门店前 5 个月的总销量为 A. 47 B. 55 C. 63 D. 61 7． 某高标准农田建设项目分 5 个批次铺设灌溉管道，第 n 批次铺设的长度占项目总长度的比例为 。则这 5 个批次累计铺设的长度占项目总长度的 A. B. C. D. 8． 某无人配送车运营团队第 n 个月新增投放的车辆数（单位：百辆）记为 ，满足 = 1， = + 。则第 5 个月新增投放的车辆数（单位：百辆）为 A. B. C. D. 二、多项选择题（6×3=18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9． 某智慧农业示范园第 n 批投入的智能设备数（单位：台）为 = + 3n − 1，记其前 n 项和为 。下列四个结论中，正确的有 A. = 16 B. = 29 C. 数列 是等差数列 D. = ( − 2) + 10． 某数据中心第 n 个季度新增标准机柜数（单位：架）为 = n·，记其前 n 项和为 。关于该数列，下面判断成立的有 A. = 27 B. = 30 C. 数列 是等比数列 D. = 11． 某县把第 n 个月新增的高标准农田面积（单位：万亩）记为 ，其前 n 项和 = − 2n。由此得到的四个结论中，正确的为 A. = 1 B. 数列 是公差为 6 的等差数列 C. = 40 D. = 20 三、填空题（5×3=15分） 12． 某县域旅游集散中心第 n 个月新增的导览机器人（单位：台）为 = + 2n − 1，则该中心前 4 个月共新增导览机器人 ___________ 台。 13． 某社区团购平台统计连续 10 周的订单量（单位：千单），依次记为 ，，…，，发现对任意 n = 1，2，…，10 都有 + = 10，且 = 4。则这 10 周的订单总量为 ___________ 千单。 14． 某算力调度平台第 n 轮迭代的算力开销（单位：万元）为 = ，记其前 n 项和为 ，则 = ___________。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． 某直播助农团队自成立起，前 n 个月的累计销售额（单位：万元）记为 ，且 = + n + 1，第 n 个月的销售额记为 。 （1）求 ，并求 n ≥ 2 时 的表达式； （2）判断数列 是否为等差数列，并说明理由。 16． 某社区充电桩建设工程分月推进，把第 n 个月完成的工程量占工程总量的比例记为 ，且 = ，其前 n 项和记为 。 （1）把 写成 与 之差的形式，并把前 3 项逐项写出，说明哪些项相消、哪些项保留； （2）求 ，并比较 与 1 的大小。 17． 某县域电商产业园第 n 个月新增标准仓库（单位：间）为 = n·，记其前 n 项和为 。 （1）用错位相减法求 ； （2）若园区要求累计新增标准仓库超过 1000 间，求满足要求的最小月份 n。 18． 某县推进高标准农田建设，把前 n 年新增面积之和（单位：万亩）记为 ，且 = ，第 n 年的新增面积记为 。 （1）求 ，并判断 是否为等差数列； （2）记 = ，求数列 的前 n 项和 ，并证明 < 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第11节 数列的通项与求和 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 {_|a|n}与{_|S|n}的关系 数学运算 基础 C 2 单项选择题 5 裂项相消求和 数学运算 基础 B 3 单项选择题 5 错位相减法 数学运算 基础 B 4 单项选择题 5 分段型通项 逻辑推理 基础 C 5 单项选择题 5 等差数列求和 数学运算 基础 A 6 单项选择题 5 分组求和 数学运算 基础 D 7 单项选择题 5 裂项配系数 数学运算 基础 A 8 单项选择题 5 累加法与裂项 数学运算 基础 B 9 多项选择题 6 分组求和与判定 数学运算 中档 ABD 10 多项选择题 6 错位相减求通项 数学运算 中档 AD 11 多项选择题 6 由Sn求an与判定 逻辑推理 中档 ABC 12 填空题 5 分组求和 数学运算 基础 56 13 填空题 5 倒序相加求和 数学运算 中档 50 14 填空题 5 错位相减（除型） 数学运算 中档 {f|11|4} 15 解答题 6 分段通项与等差判定 逻辑推理 中档 见解析 16 解答题 6 裂项相消与比较 数学运算 中档 见解析 17 解答题 7 错位相减与临界项 数学运算 略难 见解析 18 解答题 8 通项判定与裂项求和 逻辑推理 略难 见解析 难度分布：基础 9 题，中档 7 题，略难 2 题。全卷共 18 题，满分 100 分。选填题侧重通项与求和公式的互求、裂项与错位相减的直接应用，四道解答题依次处理分段型通项的判定、裂项求和与放缩比较、错位相减求和及临界月份的确定、由前 n 项和求通项后再裂项，运算量适中，突出方法的选择与 n = 1 的检验。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第11节 数列的通项与求和 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（5×8=40分） 1． 某快递网点第 n 天结束时的累计处理量（单位：万件）记为 ，且 = + 2n。则第 3 天当天的处理量为 A. 5 B. 15 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】累计量与当天量的关系是：第 n 天当天量 = 前 n 天累计量 − 前 n − 1 天累计量，即 = − （n ≥ 2）。 先算 = + 2 × 3 = 9 + 6 = 15，再算 = + 2 × 2 = 4 + 4 = 8。 于是 = 15 − 8 = 7（万件），选 C。 选项 B 是累计量 ，选项 A 是 = 5，两者都没有做"相减"这一步；遇到"第 n 天当天"一定要相减。 【考查知识点】由前 n 项和求第 n 项： = − （n ≥ 2） 【易错点】把累计量 当成第 3 天的量；只有 n = 1 时才有 = 2． 某返乡创业项目分 9 期归还贷款，第 n 期归还额占贷款总额的比例为 。则这 9 期累计归还的比例为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】先把通项拆开： = − ，这是因为 − = = 。 于是前 9 项之和为 ( − ) + ( − ) + … + ( − )。 中间项 − 与 +、− 与 + 依次成对抵消，只剩下首项 1 与末项 −。 故累计归还比例为 1 − = ，选 B。 选项 A 只保留了末项，是"裂项后忘记留首项"的典型错误；选项 C、D 是把项数数错的结果。 【考查知识点】裂项相消法： 的拆分与相消后剩余项的确定 【易错点】只留最后一项或只留第一项；相消时写在纸上看清哪些成对抵消，剩下的一头一尾都要保留 3． 某算力中心第 n 个月新增的算力节点数（单位：个）为 = n·，记其前 n 项和为 。则 的值为 A. 65 B. 129 C. 97 D. 161 【答案】B 【解析】这是"等差乘等比"型数列，通项由 n 与 相乘得到，求和用错位相减法。 项数不多时也可以逐项相加： = 1， = 4， = 12， = 32， = 80。 五项之和为 1 + 4 + 12 + 32 + 80 = 129，选 B。 若掌握求和公式 = (n − 1)· + 1，代入 n = 5 得 4 × 32 + 1 = 129，结果一致，可用来复核。 【考查知识点】等差乘等比型数列的求和：错位相减法与公式 ( = (n − 1)· + 1) 【易错点】把 n· 误看成等比数列而直接用等比求和公式；它是乘积型，比值并不恒定 4． 某储能电站截至第 n 月末的累计放电量（单位：兆瓦时）记为 ，且 = + 1。则第 n 个月的放电量 的表达式为 A. = B. = C. = 3，当 n ≥ 2 时 = D. = 1，当 n ≥ 2 时 = 【答案】C 【解析】先算第 1 个月： = = + 1 = 3。 再算 n ≥ 2 的情形： = − = ( + 1) − ( + 1) = − = 。 关键一步是检验 n = 1：把 n = 1 代入 得 1，而实际的 = 3，两者不相等。 所以通项要分段写： = 3，当 n ≥ 2 时 = ，选 C。 这类题的失分点几乎全在 n = 1 上：由 作差得到的式子只对 n ≥ 2 负责，第 1 项必须单独算。 【考查知识点】由前 n 项和求通项时的分段检验：n = 1 必须单独计算 【易错点】直接把 n ≥ 2 时得到的式子说成对所有正整数成立；检验 n = 1 是本节最重要的习惯 5． 某智慧农场第 n 个大棚的月产量（单位：千克）为 = 2n − 1，则该农场前 20 个大棚的月总产量为 A. 400 B. 210 C. 380 D. 420 【答案】A 【解析】 = 2n − 1 的前 20 项依次是 1，3，5，…，39，是一个首项为 1、公差为 2 的等差数列。 这里共有 20 项，末项为 2 × 20 − 1 = 39，故 = = 400（千克）。 也可以直接记住结论：前 n 个奇数之和等于 ，于是 = = 400，选 A。 选项 B 是 1 + 2 + … + 20 = 210，错在把通项看成了 n；选项 C、D 是末项数错的结果。 【考查知识点】等差数列求和公式与"前 n 个奇数之和为 "这一常用结论 【易错点】把 = 2n − 1 当成 = n 求和；末项一定要用通项算出，不要凭印象 6． 某新能源汽车门店第 n 个月的销量（单位：百辆）由线下基础销量与直播引流销量两部分叠加而成， = 2n + 。则该门店前 5 个月的总销量为 A. 47 B. 55 C. 63 D. 61 【答案】D 【解析】通项由一个等差型部分 2n 与一个等比型部分 相加而成，求和用分组求和法。 等差数列部分：2 + 4 + 6 + 8 + 10 = = 30。 等比数列部分：1 + 2 + 4 + 8 + 16 = = 31。 两部分相加得 = 30 + 31 = 61（百辆），选 D。 选项 C 是把等比部分算成 = 32 再与 30 相加的结果，错在等比求和公式里多留了一份。 【考查知识点】分组求和法：把通项拆成等差与等比两部分分别求和 【易错点】等比部分求和时忘记减 1；分组求和要分别写清每一组的和再合并，不要跳步 7． 某高标准农田建设项目分 5 个批次铺设灌溉管道，第 n 批次铺设的长度占项目总长度的比例为 。则这 5 个批次累计铺设的长度占项目总长度的 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】注意两个因式相差 2，裂项时要补上系数 ： ( − ) = × = 。 于是前 5 项之和为 [(1 − ) + ( − ) + … + ( − )]。 括号内 − 与 +、− 与 + 等中间项全部抵消，只剩 1 与 −。 故累计占比为 (1 − ) = × = ，选 A。 【考查知识点】裂项相消法：分母两因式相差 2 时需配系数 【易错点】漏掉系数 而得到 ；裂项后可以用"后面一项的前半与前面一项的后半是否相同"自查 8． 某无人配送车运营团队第 n 个月新增投放的车辆数（单位：百辆）记为 ，满足 = 1， = + 。则第 5 个月新增投放的车辆数（单位：百辆）为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】递推式形如 − = f(n)，适合用累加法： = + [ + + + ]。 括号内用裂项： = − ，于是和为 (1 − ) + ( − ) + ( − ) + ( − )。 中间项成对抵消，只剩 1 − = 。 所以 = 1 + = （百辆），选 B。 选项 C 是只算了裂项的和而忘记加上 ，这是累加法最常见的漏项。 【考查知识点】累加法求通项与裂项求和的结合 【易错点】累加时漏加首项 ；累加的项数比下标少 1，从 1 加到 n − 1 二、多项选择题（6×3=18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9． 某智慧农业示范园第 n 批投入的智能设备数（单位：台）为 = + 3n − 1，记其前 n 项和为 。下列四个结论中，正确的有 A. = 16 B. = 29 C. 数列 是等差数列 D. = ( − 2) + 【答案】ABD 【解析】先列出前三项： = 2 + 3 − 1 = 4， = 4 + 6 − 1 = 9， = 8 + 9 − 1 = 16，故 A 正确。 B 项： = 4 + 9 + 16 = 29，B 正确。 C 项： − = 5， − = 7，两次作差结果不同，不是等差数列，C 错误。 D 项：等比部分和为 = − 2；等差部分和为 = 。 注意 3n − 1 型的前 n 项和是 ，代入 n = 3 得 15，与 29 − 14 = 15 吻合，故 D 正确。 综上答案为 ABD。分组求和写公式时最容易在等差那一部分的首末项上出错，可用 n = 1 复核。 【考查知识点】分组求和法与前 n 项和公式的推导、等差数列的判定 【易错点】把 3n − 1 的前 n 项和写成 ；正确末项是 3n − 1，和为 10． 某数据中心第 n 个季度新增标准机柜数（单位：架）为 = n·，记其前 n 项和为 。关于该数列，下面判断成立的有 A. = 27 B. = 30 C. 数列 是等比数列 D. = 【答案】AD 【解析】先算前三项： = 1， = 2 × 3 = 6， = 3 × 9 = 27，故 A 正确。 B 项： = 1 + 6 + 27 = 34 ≠ 30，B 错误。 C 项： = 6，而 = = ，比值不是常数，不是等比数列，C 错误。 D 项：用错位相减， = 1 + 2 × 3 + 3 × + … + n·， 两边乘 3 得 3 = 3 + 2 × + … + n·，两式相减得 −2 = (1 + 3 + + … + ) − n·。 括号内为 ，故 = = ，代入 n = 3 得 = 34，与前面结果一致，D 正确。 综上答案为 AD。错位相减后剩下的等比部分一定要数清项数，这是失分高发处。 【考查知识点】错位相减法的完整推导与前 n 项和公式的化简 【易错点】相减时把等比部分的项数数错；本题等比部分是 1 到 共 n 项，和为 11． 某县把第 n 个月新增的高标准农田面积（单位：万亩）记为 ，其前 n 项和 = − 2n。由此得到的四个结论中，正确的为 A. = 1 B. 数列 是公差为 6 的等差数列 C. = 40 D. = 20 【答案】ABC 【解析】A 项： = = 3 − 2 = 1，A 正确。 当 n ≥ 2 时， = − = ( − 2n) − [3 − 2(n − 1)]， 展开得 = − 2n − ( − 8n + 5) = 6n − 5。 B 项： − = 6，且把 n = 1 代入 6n − 5 得 1，与 相符，故 = 6n − 5 对所有正整数成立，是公差为 6 的等差数列，B 正确。 C 项： = 3 × 16 − 2 × 4 = 48 − 8 = 40，C 正确。 D 项： = 6 × 4 − 5 = 19 ≠ 20，D 错误。 综上答案为 ABC。本题 n = 1 恰好能并入通项，但这一步检验仍要写出来，换个数据就不一定成立。 【考查知识点】由前 n 项和的二次式求通项、等差数列的判定与 n = 1 的检验 【易错点】作差时把 展开错；求出 6n − 5 后不检验 n = 1 就断言它是通项 三、填空题（5×3=15分） 12． 某县域旅游集散中心第 n 个月新增的导览机器人（单位：台）为 = + 2n − 1，则该中心前 4 个月共新增导览机器人 ___________ 台。 【答案】56 【解析】通项由等比型部分 与等差型部分 2n − 1 相加而成，用分组求和。 等比部分：1 + 3 + 9 + 27 = 40；等差部分：1 + 3 + 5 + 7 = 16。 两部分相加得 = 40 + 16 = 56（台）。 答案为 56。也可以逐项算出 = 2， = 6， = 14， = 34，相加得 56。 【考查知识点】分组求和法：等比部分与等差部分分别求和再相加 【易错点】把 2n − 1 的前 4 项和算成 1 + 2 + 3 + 4 = 10；它是奇数列，前 4 项和为 = 16 13． 某社区团购平台统计连续 10 周的订单量（单位：千单），依次记为 ，，…，，发现对任意 n = 1，2，…，10 都有 + = 10，且 = 4。则这 10 周的订单总量为 ___________ 千单。 【答案】50 【解析】条件 + = 10 说明首尾配对的两项之和恒为 10。 把 正着写一遍、倒着写一遍再相加，这就是倒序相加法： 2 = ( + ) + ( + ) + … + ( + )。 共有 10 个括号，每个括号都等于 10，故 2 = 100， = 50（千单）。 条件 = 4 只说明中间那一对是 4 与 6，不影响总量，答案为 50。 【考查知识点】倒序相加法：首尾配对求和，配对数等于项数的一半相关量 【易错点】把倒序相加后的括号数算成 5 个；正写与倒写各 10 项，相加后共 10 个配对和，不要忘记除以 2 14． 某算力调度平台第 n 轮迭代的算力开销（单位：万元）为 = ，记其前 n 项和为 ，则 = ___________。 【答案】 【解析】通项是"一次式除以 "，属于等差除等比型，用错位相减法。 = + + + + ，两边乘 得 = + + + + 。 两式相减得 = + + + + − 。 中间四项是首项为 、公比为 的等比数列，其和为 = 。 于是 = 1 + − = = ，故 = 。 答案为 。复核： + + + + = 1 + + + + = ，一致。 【考查知识点】错位相减法在"一次式除以等比数列"型求和中的应用 【易错点】相减后中间等比部分的项数数错，或最后忘记把 两边同乘 2 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． 某直播助农团队自成立起，前 n 个月的累计销售额（单位：万元）记为 ，且 = + n + 1，第 n 个月的销售额记为 。 （1）求 ，并求 n ≥ 2 时 的表达式； （2）判断数列 是否为等差数列，并说明理由。 【答案】解：（1）第 1 个月的销售额就是前 1 个月的累计销售额，故 = = 2 × + 1 + 1 = 4（万元）。 当 n ≥ 2 时， = − = ( + n + 1) − [2 + (n − 1) + 1] = + n + 1 − ( − 4n + 2 + n − 1 + 1) = + n + 1 − ( − 3n + 2) = 4n − 1。 所以 = 4，当 n ≥ 2 时 = 4n − 1。 （2）先检验能否合并：把 n = 1 代入 4n − 1 得 3，而实际的 = 4，两者不相等，说明第 1 项是个"例外"。 再算相邻两项之差： = 4 × 2 − 1 = 7， = 4 × 3 − 1 = 11，于是 − = 7 − 4 = 3，而 − = 11 − 7 = 4。 两次作差的结果不同，故数列 不是等差数列。 【解析】思路点睛：由 求 的标准动作是"先算 = ，再对 n ≥ 2 作差"，两步缺一不可。 关键步骤：作差时把 完整展开为 − 2n + 1，再合并同类项，得到 4n − 1。 判断是否等差时，最有效的办法是算出前三项后作两次差：只要有一次不相等即可下结论，不必逐个验下去。 本题的陷阱在于：4n − 1 这个式子本身是一次式，看上去"很像"等差数列的通项，但第 1 项并不落在它上面。 【考查知识点】由前 n 项和求通项的分段处理与等差数列的判定 【易错点】由作差得到的 4n − 1 直接说成通项而忽略 n = 1；判断等差时只看式子的次数而不验算首项 16． 某社区充电桩建设工程分月推进，把第 n 个月完成的工程量占工程总量的比例记为 ，且 = ，其前 n 项和记为 。 （1）把 写成 与 之差的形式，并把前 3 项逐项写出，说明哪些项相消、哪些项保留； （2）求 ，并比较 与 1 的大小。 【答案】解：（1）因为 − = = ， 所以 = − 。 把前 3 项逐项写出： = ( − ) + ( − ) + ( − )。 其中第 1 项的后半 − 与第 2 项的前半 + 相消，第 2 项的后半 − 与第 3 项的前半 + 相消； 保留下来的是第 1 项的前半 与最后一项的后半 −，故 = 1 − = 。 （2）同理， = ( − ) + ( − ) + … + ( − )， 中间所有项 −、−、…、− 都与后一项的前半成对抵消，只剩首项的 与末项的 −。 于是 = 1 − = 。 因为 n 为正整数时 > 0，所以 = 1 − < 1，即前 n 个月累计完成的比例总小于 1。 【解析】思路点睛：裂项相消的关键动作是"拆一项为两项之差"，拆完务必把前几项真的写出来看一看，确认能够成对抵消。 关键步骤：相消后保留的是"最前面的前半"与"最后面的后半"，其余全部抵消，这两项一个都不能丢。 第（2）问比较大小时不要猜，直接由 = 1 − 看出它比 1 小一个正数，结论一目了然。 验算习惯：取 n = 1， = = ，而公式给出 ，首项吻合，说明通项没错。 【考查知识点】裂项相消法：通项的拆分、相消过程的完整表述与前 n 项和的求法 【易错点】只写 = 1 − 而不说明相消过程，会被扣步骤分；保留项写错则结果全错 17． 某县域电商产业园第 n 个月新增标准仓库（单位：间）为 = n·，记其前 n 项和为 。 （1）用错位相减法求 ； （2）若园区要求累计新增标准仓库超过 1000 间，求满足要求的最小月份 n。 【答案】解：（1） = 1 × 1 + 2 × 2 + 3 × + … + n·， ① 两边同乘公比 2，得 2 = 1 × 2 + 2 × + 3 × + … + n·， ② 由 ① − ② 得 − 2 = 1 + 2 + + … + − n·， 即 − = − n· = ( − 1) − n·。 所以 = n· − + 1 = (n − 1)· + 1。 （2）因为 = n· > 0，所以 随 n 的增大而增大。 当 n = 7 时， = 6 × + 1 = 6 × 128 + 1 = 769 < 1000； 当 n = 8 时， = 7 × + 1 = 7 × 256 + 1 = 1793 > 1000。 故满足要求的最小月份为 n = 8，即第 8 个月累计新增标准仓库首次超过 1000 间。 【解析】思路点睛：等差乘等比型求和一律用错位相减——先写 ，再乘公比写一遍，两式错位相减把系数"抹平"，剩下一个等比数列求和加一项尾巴。 关键步骤：① − ② 时，除首尾外中间每一项都变成 1 × ，共 n 项，和为 − 1，最后一项是 −n·。 第（2）问求最小月份，要先说明 单调递增（依据是每一项都为正），再两端试算夹住，不能只解不等式就取整。 复核：直接相加 1 + 4 + 12 + 32 + 80 + 192 + 448 + 1024 = 1793，与公式结果一致。 【考查知识点】错位相减法的完整步骤与前 n 项和公式、临界项数的确定 【易错点】相减时符号搞反导致 少加 1；求最小 n 时漏掉单调性说明，或把 算成 128 18． 某县推进高标准农田建设，把前 n 年新增面积之和（单位：万亩）记为 ，且 = ，第 n 年的新增面积记为 。 （1）求 ，并判断 是否为等差数列； （2）记 = ，求数列 的前 n 项和 ，并证明 < 。 【答案】解：（1）第 1 年新增面积为 = = = 1（万亩）。 当 n ≥ 2 时， = − = − = − ( − 2n + 1) = 2n − 1。 检验 n = 1：把 n = 1 代入 2n − 1 得 1，与 = 1 相符， 故 = 2n − 1 对所有正整数 n 都成立。 又 − = [2(n + 1) − 1] − (2n − 1) = 2，是常数，所以 是首项为 1、公差为 2 的等差数列。 （2）由（1）得 = 2n − 1， = 2n + 1，于是 = = ( − )。 于是 = [(1 − ) + ( − ) + … + ( − )]， 括号内 − 与 +、− 与 + 等中间项全部成对抵消，只保留首项的 1 与末项的 −， 故 = (1 − ) = × = 。 证明： − = − = = > 0， 所以对任意正整数 n 都有 < 。 【解析】思路点睛：第（1）问是 与 关系的标准套路，作差后一定要回头验 n = 1，本题恰好能合并成一段。 关键步骤：判定等差不能只看 2n − 1 是一次式，要写一次 − = 2，才算完成判定。 第（2）问裂项时两个因式相差 2，必须配系数 ；配完把前几项写出来核对一次，确认能成对抵消。 最后比较大小用"作差通分"即可，比"因为 2n < 2n + 1 所以……"的口头说明更经得起推敲。 【考查知识点】由前 n 项和求通项并判定等差、裂项相消求和与作差法证明不等式 【易错点】裂项时漏掉系数 ，会得到 而把和放大一倍；作差后忘记通分或把分母写成 2n + 1 学科网（北京）股份有限公司 $