2.3 二次根式 导学案 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

姓名：__________   班级：__________   日期：__________

 一、学习目标与重难点

【学习目标】

• 了解二次根式的概念，知道 中被开方数 a 必须满足 a ≥ 0，会判断一个式子是不是二次根式。

• 掌握二次根式的乘法法则 · = （a ≥ 0，b ≥ 0）与除法法则 ÷ = （a ≥ 0，b > 0），会用它们进行乘除运算。

• 理解积的算术平方根与商的算术平方根的性质，会把一个二次根式化成最简二次根式。

• 了解同类二次根式的概念，会进行二次根式的加减运算。

• 会进行二次根式的混合运算，知道实数的运算法则、运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用。

【重点】二次根式的乘除法则与加减运算；最简二次根式的判断与化简。

【难点】乘除法则中字母取值范围的限制；混合运算中把分母里的根号化去的方法。

【我的预习安排】

 二、课前自主学习

上一节我们认识了算术平方根、平方根与立方根，学会了"已知一个数的平方，怎样把这个数找出来"。这一节要把带根号的数放进算式里，看看它们怎样相乘、怎样相除、怎样相加减。

1. 填空：11 的算术平方根是 ____，11 的平方根是 ____。

我写：

2. 计算： = ____， = ____， = ____。

我写：

3. 判断对错，正确的在括号里画"○"，错误的画"×"：（1）4 的平方根是 2。（  ）（2）-8 的立方根是 -2。（  ）

我写：

4. 观察下列式子：，，，，。它们都含有开方运算，而且被开方数都是 ____ 数。

我写：

◆ 课前速记

• 二次根式有两道门坎：根号里面的数（也就是被开方数）不能是负数；算出来的结果也不能是负数。

• 两个二次根式相乘、相除时，可以先把被开方数相乘、相除，再开方。

• 被开方数里既没有分母、又没有能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式就算化简到了头。

 三、课中合作探究

◆ 第一关  二次根式与它的乘除法则

课本 P41 从三个熟悉的式子说起：11 的算术平方根，面积为 a（a > 0）的正方形的边长，两条直角边长分别是 1 和 2 的直角三角形的斜边长。它们都含有开方运算，而且被开方数都是非负数，这样的式子有一个共同的名字。（课本 P41）

一般地，形如 （a ≥ 0）的式子叫作二次根式，a 叫作被开方数。二次根式由根号与被开方数两部分组成，如图1。

图1  二次根式的组成

根号里面的数叫作被开方数

图1  二次根式由根号与被开方数组成

二次根式有双重非负性：一是被开方数 a ≥ 0，二是二次根式本身 ≥ 0。被开方数小于 0 时，这个式子在实数范围内没有意义。

二次根式怎样相乘、相除？课本 P41 让我们先动手算几组式子，再归纳规律： × = 2 × 3 = 6，而 = = 6，两者的结果相等。（课本 P41）

由此得到二次根式的乘法法则 · = （a ≥ 0，b ≥ 0）与除法法则 ÷ = （a ≥ 0，b > 0）。

两条法则里的取值范围是法则的一部分，不能丢：乘法要求 a ≥ 0 且 b ≥ 0，除法还多一条 b > 0（因为除数不能是 0）。

把乘法法则的样子画出来就是：两个根式相乘，先把被开方数相乘，再开方，如图2。

图2  二次根式的乘法法则

两条路径的结果一样

图2  两个根式相乘，可以先把被开方数相乘，再开方

反过来看这条法则，就得到积的算术平方根的性质： = · （a ≥ 0，b ≥ 0）。它和商的算术平方根一起，是后面化简二次根式的主要工具。