3.3第2课时 借助运算解释规律和现象 课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

3.3 探索与表达规律（第2课时） 借助运算解释规律和现象 北师大版 · 七年级数学上册 一、复习引入 上节课我们学会了通过观察、归纳找出规律，并用字母表示规律。 请同学们回忆： 搭x个正方形需要几根火柴棒？ 方法1：4+3(x-1) = 3x+1 方法2：1+3x = 3x+1 方法3：4x-(x-1) = 3x+1 方法4：2x+x+1 = 3x+1 不同的思考方式得到了形式不同的表达式，但它们其实是相等的。这说明： 我们可以借助代数式运算，来验证规律是否成立、解释现象背后的道理。 二、做一做：数字游戏 小明对小亮说：你在心里想好一个两位数，按下面步骤计算，把结果告诉我，我就知道你想的数： ① 十位数字乘2； ② 然后加上3； ③ 再把所得新数乘5； ④ 最后加上个位数字。 比如小亮想的是23： ① 2×2=4；② 4+3=7；③ 7×5=35；④ 35+3=38，小亮说38，小明立刻说是23。 再试一个，想的是45： ① 4×2=8；② 8+3=11；③ 11×5=55；④ 55+5=60，说60，答案是45。 结果减15，60-15=45，正好！ 为什么？我们用代数式解释。 二、做一做：数字游戏（续） 设十位数字为a，个位数字为b，那么这个两位数是 10a+b。 按步骤计算： 第一步：2a 第二步：2a+3 第三步：5(2a+3) = 10a+15 第四步：10a+15+b = (10a+b)+15 也就是说：计算结果 = 原来的两位数 + 15。 所以只要把结果减去15，就得到原来的两位数！ 这就是数学游戏的秘密——用代数运算可以揭示规律。 规律解释方法：设字母表示数→列式表示运算过程→化简→得出结论 三、探究：更简单的数字游戏 游戏规则： 你随便想一个数，按以下步骤运算： ① 这个数加2； ② 乘3； ③ 减去6； 把结果告诉我，我立刻知道你想的是什么数！ 比如：想的是5，(5+2)×3-6=21-6=15，结果15，原数就是15÷3=5。 再试：想的是-2，(-2+2)×3-6=0-6=-6，结果-6，原数是-6÷3=-2。 为什么结果总是原数的3倍？用代数验证： 设原数为x，则：3(x+2)-6 = 3x+6-6 = 3x 结果就是3x，所以除以3就是原数。 这说明：无论你想什么数，结果都一定是原数的3倍，与加2减6无关。 四、探究：为什么一个数各位数字之和能被3整除，它就能被3整除 小学我们学过：一个数各位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。 为什么？以三位数为例说明。 设三位数的百位是a，十位是b，个位是c，那么这个三位数是： 100a + 10b + c = 99a + a + 9b + b + c = (99a+9b) + (a+b+c) = 9(11a+b) + (a+b+c) 因为 9(11a+b) 肯定能被3整除，所以只要 (a+b+c) 能被3整除， 整个数就能被3整除。 两位数、四位数道理一样： 10a+b = 9a+(a+b) 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) 这就是用代数式解释规律的威力。 五、例题 【例1】密码游戏：按下面步骤运算，结果就是你的出生月份。 ① 把你的出生月份乘4； ② 加9； ③ 乘25； ④ 减去225。 验证一下这个游戏是否成立，并用代数解释。 解：设出生月份为x（x是1~12的整数） 25(4x+9) - 225 = 100x + 225 - 225 = 100x 结果是100x，所以只要把结果除以100，就得到你的出生月份。游戏成立。 比如：10月出生，25(4×10+9)-225=25×49-225=1225-225=1000，1000÷100=10，正确。 五、例题（续） 【例2】任意写一个两位数，交换十位与个位数字，得到一个新数。 将新数与原数相加，它们的和有什么规律？用代数解释。 试几个例子： 23+32=55，55÷11=5； 47+74=121，121÷11=11； 69+96=165，165÷11=15； 81+18=99，99÷11=9。 看起来和都是11的倍数。 设原数十位a、个位b，则原数=10a+b，新数=10b+a： 和 = (10a+b)+(10b+a) = 11a+11b = 11(a+b) 所以新数与原数的和一定是11的倍数。 差呢？(10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)，差一定是9的倍数。 六、课堂练习 1、按下面步骤运算：任想一个数→乘6→加12→除以6→减2。 用代数验证：结果是什么？ 解：设原数x，(6x+12)/6 - 2 = x+2-2 = x，结果等于原数。 2、一个数：①加5；②乘2；③减10，结果是什么？ 解：2(x+5)-10 = 2x+10-10 = 2x，结果是原数的2倍。 3、一个两位数，交换十位个位，差为什么是9的倍数？ 答：(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)，是9的倍数。 4、为什么一个数各位数字之和能被9整除，它就能被9整除？ 答：三位数：100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=9(11a+b)+(a+b+c)， 所以只要a+b+c能被9整除，原数就能被9整除。 六、课堂练习（续） 5、任意两个奇数的和是什么数？用代数说明。 解：设一个奇数2m+1，另一个奇数2n+1， 和 = (2m+1)+(2n+1) = 2m+2n+2 = 2(m+n+1)，是偶数。 6、任意两个偶数的和是什么数？ 解：2m+2n=2(m+n)，是偶数。 7、一个奇数与一个偶数的和呢？ 解：(2m+1)+2n=2(m+n)+1，是奇数。 8、三个连续整数中，首尾两数的和等于中间数的2倍。 验证：设中间数n，三个数n-1,n,n+1， 首尾和=(n-1)+(n+1)=2n，结论成立。 七、拓展提升 读心术游戏： 你想一个三位数ABC，百位与个位不同，把数字反过来得到CBA， 用大数减小数得到差，把差的百位与个位对调再相加， 不管你想什么数，结果永远是1089！ 试一下： 325反过来是523，523-325=198，198反过来891，198+891=1089； 712反过来是217，712-217=495，495反过来594，495+594=1089。 为什么？用代数可以证明： 设原数100a+10b+c，反过来100c+10b+a，假设a>c， 差=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c) a-c的可能取值是2到9，99×2=198,99×3=297,…,99×9=891， 这些数反过百位个位相加，都等于1089。 八、课堂小结 本节课主要内容： 1、用代数式解释数字游戏 设字母表示未知量 → 按规则列代数式 → 化简 → 揭示规律 2、用代数解释整除规律 例如：三位数100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)， 说明能被3（或9）整除的判断方法 3、代数运算可以解释的几类现象 - 数字游戏（加几乘几再减几） - 交换数位求和差 - 奇偶性判断 - 连续整数性质 - 整除特征 核心思想：用字母代替具体数字，运算结果显示了一般规律。 九、作业布置 必做题：教材P104 习题3.9 第1、2题。 选做题：设计一个属于你自己的数字游戏，写出运算步骤和代数证明。 思考题： "你想一个数，乘以3加6，除以3，减去你想的数，结果总是2。" 这句话对吗？用代数验证。 解：(3x+6)/3 - x = x+2-x = 2，正确。 预习：第三章复习题。 同学们再见！ 多观察、多思考，数学规律就在身边 $