第16章整式乘法单元测试卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

2026-2027学年人教版八年级上册单元测试卷（解析版） 第16章整式乘法 （本卷满分120分，考试时间90分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·江苏淮安·中考真题）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项 【详解】解：A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算正确； D、，计算错误． 2．（八上·吉林长春南关区·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了单项式乘单项式、单项式乘多项式、平方差公式及完全平方公式．根据每个选项用到对应的运算法则并逐一分析选择即可． 【详解】 解：A项：，不符合题意； B项：，符合题意； C项：，不符合题意； D项：，不符合题意． 故选：B． 3． （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅厘米，其质量也只有克．一个鸡蛋的质量大约是50克，一个鸡蛋的质量大约相当于多少只卵蜂的质量是（     ）（结果用科学记数法表示） A．1×10-7 B． C．10×10-7 D．10×107 【答案】一个鸡蛋的质量大约相当于只卵蜂的质量． 【知识点】用科学记数法表示数的除法、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】直接用鸡蛋的重量除以一只卵蜂的质量即可得到答案． 【详解】解：（只）， 答：B一个鸡蛋的质量大约相当于只卵蜂的质量． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法的应用，正确计算是解题的关键． 4．（25-26六年级下·山东威海·期末）已知，，其中m，n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方的逆用、已知式子的值，求代数式的值、同底数幂乘法的逆用 【分析】利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则，将所求式子变形后代入已知条件即可求解． 【详解】解：，， ． 5．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）若的结果中不含项，则的值为（     ）． A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，利用“结果不含项，即项的系数为”列方程求解即可． 【详解】解：， ∵ 结果中不含项 ， ∴含项的系数为， 即 ， 解得． 6．（26-27八年级上·湖南·期中）下列不能用平方差公式直接计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】根据“两个数的和与两个数的差的积”能运用平方差公式直接计算，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、，不满足“两个数的和与两个数的差的积”，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意； B、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； C、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； D、满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意． 7．（26-27八年级上·全国·阶段检测）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】依据完全平方公式的结构特征，判断各选项能否转化为两个相同二项式相乘的形式． 【详解】解：与均符合平方差公式结构，不适用完全平方公式， A、B不符合题意； 的两个二项式各项系数均不对应相等，无法转化为相同二项式相乘的形式， C不符合题意； ，可运用完全平方公式计算， D符合题意． 8．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）若，，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】将变形为含与的形式，代入求值． 【详解】解：． 9．（21-22六年级下·山东济南·阶段检测）若是关于的完全平方式，则的值为(    ) A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】利用完全平方公式的结构特征，得到关于的方程，即可求解的值． 【详解】解：∵是关于的完全平方式，且， ∴根据完全平方公式的结构可得，两边同除以得， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 10．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是_______． 【答案】4 【知识点】平方差公式与几何图形、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了利用平方差公式求面积，数形结合，正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键．由题意得出，表示出，即可得出答案． 【详解】解：如图， 大正方形与小正方形的面积之差是8， ， 由图可知： ， 故答案为：4． 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）计算：的值为____________________． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】从左到右的顺序计算，利用同底数幂的乘除法则求解． 【详解】解： ． 12．（2026七年级上·全国·专题练习）______． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【详解】解：． 13．（25-26七年级下·河南郑州·期末）若，则的值为______． 【知识点】运用平方差公式进行运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】用平方差公式把所求式子化简为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 14．（21-22七年级下·江苏南通·阶段检测）______________． 【答案】/ 【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】拆分原式得到同指数幂，逆用积的乘方法则简化计算，即可解题． 【详解】解：原式 ． 15．（25-26八年级上·北京·开学考试）如图所示，由四个长为a，宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中，若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】16 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】结合图形可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积，即，将，代入求出即可． 【详解】解：由图可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积， 即， ∵，， ∴． 16．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）如果二项式加上一个含的单项式后构成的三项式是一个完全平方式，则满足条件的单项式是____________． 【答案】 或或 【知识点】多项式的项、项数或次数、求完全平方式中的字母系数 【分析】根据完全平方公式分情况讨论，筛选出符合“含的单项式”“构成三项式”要求的结果． 【详解】解：根据完全平方公式，分情况讨论如下： 若和为完全平方式的两个平方项， ，， 中间项为，此时添加后得到三项完全平方式，符合要求； 若为完全平方式的一个平方项，为中间项， 设添加的单项式为另一个平方项， 可得，解得， 此时添加后，得到三项完全平方式，符合要求； 若为完全平方式的一个平方项，为中间项， 设添加的单项式为另一个平方项， 可得，解得，属于分式不是单项式，不符合要求； 若添加或，结果为单项式，不满足三项式要求，舍去； 因此满足条件的单项式为，或． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17.（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． (3) (4) ． ． 【详解】（1）解：； （2） 【详解】解： ． （3）解： ； （4）解： ． （5）(a-2)(a+2)- =-4-(-2a+1) =-4-+2a-1 =2a-.  (6)-(x-2y)(7x+2y) =9-12xy+4-(7-12xy-4) =9-12xy+4-7+12xy+4 =2+8.  18．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）先化简，再求值： （1），其中． （2），其中，． (3)，其中，． (4)，其中，． 【解析】（1） ， 当时，原式 （2）原式 当，时，原式． （3）解：原式 当，时，原式； （4）解：原式 当，时，原式． 19.（26-27八年级上·河南周口·阶段检测） 定义一种运算：． 如：． 计算： 将计算所得的多项式分解因式． 【答案】 (1) 解：由题意，得 (-x)△(1-x) ＝(-x)3-(1-x)2+(-x)(1-x)+1 ＝-x3-(1-2x+x2)-x+x2+1 ＝-x3-1+2x-x2-x+x2+1 ＝-x3+x．  (2)-x3+x ＝-x(x2-1) ＝-x(x+1)(x-1)．  20．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果， 求的值； (2)已知， ，用含， 的式子表示． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用、幂的乘方运算 【分析】（1）将等式左侧的幂统一为以3为底的同底数幂，合并后根据题给结论列方程求解x； （2）将拆分为5和6的乘方之积，利用幂的乘方逆运算变形后代入m、n的表达式. 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ； （2）解： ∵， ∴， ∵， ， ∴，， ∴. 21．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值： ①； ②； ③； … (1)由此我们可以得到：__________； (2)请你利用上面的结论，完成下面的计算： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】计算多项式乘多项式、数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】（1）观察题干给出的等式，归纳一般性规律，直接写出结果． （2）①给原式乘以，式子的值不变，套用得到的规律计算． ②给原式乘以，套用规律算出乘积，再除以得到原式结果． 【详解】（1）解：探索规律： ， ， ， ， ∴可得规律：， 令，则 ； （2）解：① ； ②， ． 22．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． (1)在图2中的阴影部分面积S1可表示为___________（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为___________（写成两数平方差的形式）； (2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是（     ） A．    B． C． (3)请利用所得等式解决下面的问题： ①已知，则 ___________； ②计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少． ③计算：． 【答案】(1)， (2)B (3)①3 ②，6 ③5050 【知识点】运用平方差公式进行运算、含乘方的有理数混合运算、平方差公式与几何图形、有理数的乘方运算 【分析】（1）根据长方形的面积等于长乘宽得出答案，再根据大正方形的面积减去小正方形面积解答； （2）根据面积相等得出答案； （3）①根据（2）得出的关系式，再代入数值求出解即可；②先添加，再根据平方差公式计算，然后个位数的变化特征得出答案；③根据平方差公式展开，再计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据（1）可得； （3）解：①由（2）得， ∵， ∴， 解得； ②原式 ， ∵ ∴个位数根据2,4,8,6四个数一个循环， 即， 所以的个位数字是6； ③原式 ． 23．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）【教材原型】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到，若把等式中的b换成就可得到． (1)根据图2和图3分别写出下列公式： ①写出图2中所表示的数学等式_____________________________________________； ②写出图3中所表示的数学等式______________________________________________； 【模型运用】 (2)若实数x，y满足，且，求的值； (3)若， ，求的值； (4)若，，求的值． 【答案】(1)①; ② (2)49 (3)61 (4)19 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）利用大正方形面积减去分割图形面积推导图2等式，整体正方形面积等于各小矩形面积和推导图3等式； （2）由整体代入计算； （3）套用直接代值；（4）先推出的值，再将原式变形为后代入求值． 【详解】（1）解：①大正方形边长，面积；中间小正方形面积，四周4个矩形总面积4ab，得图2中所表示的数学等式： . ②解：大正方形边长，整体面积；拆分9块面积和为，得图3中所表示的数学等式： . （2）解：． （3）解： ． （4）解：， ， ∴ 能力提升部分 1．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】利用平方差公式逐步计算多项式乘积，再去括号合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）关于，的方程组的解满足，则的值是（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【知识点】同底数幂的除法运算、已知二元一次方程组的解的情况求参数、幂的乘方运算 【分析】先通过方程组变形得到与的关系，代入求出的值，再利用幂的运算性质计算所求代数式的值． 【详解】解：， 得， 整理得，即， ， ， 又， ． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，四边形是边长为4的正方形，四边形是长方形，若，，且，都小于4，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】单项式乘多项式的应用、整式的加减运算 【分析】观察图形可知，阴影部分面积，利用三角形面积公式分别计算即可求解； 【详解】解：四边形是边长为4的正方形， ， 四边形是长方形，，， ，， 由图可知，阴影部分面积 ． 4．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期末）某校“快乐农场”开辟出一块边长为的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a，b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为，每个长方形的面积为．如图，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是（     ）． A．53 B．51 C．47 D．68 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】由题意先得出，，再运用完全平方公式的变形得出，结合图形，得阴影部分面积，展开化简后整体代入求解即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴， ∴， （负值已舍去）， ∴阴影部分面积 ． 5．（25-26七年级下·河南郑州·期中）计算 的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算、数字类规律探索 【分析】利用平方差公式求解，通过给原式补乘值为1的，不改变原式结果，再重复运用平方差公式计算得到最终结果． 【详解】解：∵，乘1不改变原式的值， ∴原式， ， ， ， ， ． 6．（21-22七年级下·江苏苏州·期末）如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 【答案】 36 【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】设，，利用a，b表示出图中的阴影部分面积与长方形面积，然后根据可得a，b的关系式，然后可求周长． 【详解】解：设，， 由图可得，，， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， ∴． 7．（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：____________． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、多项式乘法中的规律性问题 【分析】根据题干得出规律，再结合规律计算即可得出结果． 【详解】解：∵； ； ； …… ∴， ∴ ． 8．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）两个正方形如图放置，点，，在同一条直线上，已知，阴影部分面积为40，则两个正方形面积之和为（    ） A．230 B．240 C．250 D．260 【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】设大正方形边长为，小正方形边长为，则两个正方形面积之和为，根据题意得到，，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：设大正方形边长为，小正方形边长为， 则两个正方形面积之和为， ∵， ∴， ∵阴影部分面积， ∴， ∴， ∴9．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，，那么a，b，c，d大小顺序为________________． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、有理数大小比较 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握灵活运用幂的乘方法则． 逆用幂的乘方法则，把各个幂写成指数是2的幂，然后比较底数的大小，从而比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∵， ∴, 故答案为：． 10．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一， 它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”． 帕斯卡是在1654年发现这一规律的， 比我国迟了近600年． 如图， 是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和）， 它把二项式乘方展开式系数图形化， 它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数， 请你仔细观察下列等式中的规律， 并利用杨辉三角解决下列问题． (1)【初步感知】按以上规则，展开式共有 ___________项，第三项（字母部分为）的系数是 ___________； (2)【拓展推广】利用杨辉三角，写出的各项的系数 ___________； (3)【迁移应用】我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 【答案】(1)5，6； (2)1，5，10，10，5，1 (3) 【知识点】数字类规律探索、归纳与类比、多项式乘法中的规律性问题 【分析】（1）根据前面二项式展开式的项数规律以及杨辉三角的系数规律来求解； （2）依据杨辉三角的规律，先得出其对应的一行数，再得出的展开式； （3）通过替换的方法即可得到的展开式． 【详解】（1）解：观察已知的二项式展开式： 有2项，有3项，有4项， ∴的展开式共有项， ∴的展开式共有项， 由杨辉三角可知，对应的杨辉三角的一行数为1，4，6，4，1， ∴第三项的系数是6； （2）解：根据杨辉三角的规律，的各项的系数为1，5，10，10，5，1； （3）解：由题意知， ． 11．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例如：利用配方法求最小值：求代数式的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： (2)将变形为的形式，并求出的最小值． (3)如图，某农场计划利用一面足够长的承重墙，再用总长为的篱笆围成一个长方形菜园，长方形一边平行于承重墙．设垂直于墙的边长为，菜园的面积为，求的最大值． 【答案】(1)4，2 (2)； (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据完全平方公式的特征求解； （2）先配方，再求最小值． （3）根据题意表示出S，然后配方，再求最大值． 【详解】（1）解：∵一次项系数的一半为2，平方为， ∴； （2）解：， ∵， ∴当时，，此时的最小值为； （3）解：根据题意得：垂直于墙的边长，篱笆总长， ∴平行于墙的边， ∴面积 ∵ ∴当时，S取得最大值． 12．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）阅读理解：若满足，求的值． 解：设，，则，， 解决问题： (1)若满足，则 ； (2)若满足，求的值； (3)如图，边长为的正方形和边长为的正方形摆放在一起（），其中、、三点在同一条直线上，若，，求阴影部分面积 【答案】(1)10 (2)21 (3)10.5 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）设，，则，，然后计算的值即可； （2）设，，则，，然后计算的值即可； （3）分别求出，，根据阴影面积计算即可． 【详解】（1）解：设，，则： ，， ∴ ； （2）解：， 设，，则： ，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形和是正方形， ∴，， ∵， ∴ 又，且， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴阴影面积 ． 13．（25-26七年级下·广东佛山·期中）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 【答案】(1) (2)需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张 (3)64 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式与图形面积、平方差公式与几何图形 【分析】（1）根据等积法，列出等式即可； （2）将利用多项式乘以多项式的法则展开，即可得出结果； （3）设，根据题意易得，，再根据完全平方公式和平方差公式进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积， 故； （2）解：， 由图2可知，的面积为，的面积为，的面积为， 故需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张； （3）解：设，不妨设，将图形补成边长为的大正方形，如图： 由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴两个正方形的面积之差为. 14．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）【实践背景】 为打造“书香校园、绿色校园”，学校计划利用数形结合的数学思想，设计校园景观与文化标识，让抽象的数学知识在校园场景中变得直观可感．本次活动以“图形面积探究”为主题，引导学生通过几何图形的面积推导，理解数学公式的本质，并将其应用于校园景观设计中． 【知识建构】 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性．很多代数恒等式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 如图（1），在边长为的正方形中减掉一个边长为的小正方形，余下部分剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影面积可表示为，图（2）阴影面积可表示为，因此可得平方差公式：． 【类比探究】 (1)学校文化墙设计中，用两种不同方法表示图（3）中阴影部分的面积，可得代数恒等式：___________． 【实战运用】 (2)若文化墙设计中，，则阴影部分的面积和___________． 【深度拓展】 (3)校园景观设计中，某区域的尺寸满足，求该区域相关图形的面积和的值． 【迁移运用】 (4)如图（4），学校有一块梯形空地，对角线于点，，．学校计划在和区域内种花，已知种花区域的面积和为，对角线，求种草区域（和）的面积和． 【答案】(1) (2)90 (3)5 (4)12 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）用代数式表示图3中各个部分的面积，再根据各个部分面积与总面积之间的和差关系即可得出答案； （2）利用（1）的结论，整体代入计算即可； （3）设，，则，，根据代入计算即可； （4）设，，由题意得到，，根据代入计算即可． 【详解】（1）解：图3中，阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即， 由于大正方形的边长为，因此面积为，两个空白矩形的面积和为， 因此阴影部分的面积为， 所以有代数恒等式：； （2）解：∵，， ∴； （3）解：设，，则，， ∴ ； （4）解：∵，设，， ∴，，，， ∵种花区域的面积和为，即， ∴， ∵， ∴种草区域的面积和为： ． 15．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)9； (2)； (3)25． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）根据已知条件和完全平方公式进行计算即可； （2）设，根据已知条件求出和，然后利用完全平方公式进行解答即可； （3）设，图中阴影部分的面积可用梯形面积减去两个等腰直角三角形的面积来表示，再利用完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：令， 则， ． （3）解：设， ， ． 则图中阴影部分的面积为 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版八年级上册单元测试卷（原卷版） 第16章整式乘法 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） （本卷满分120分，考试时间90分钟） 1．（2026·江苏淮安·中考真题）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（八上·吉林长春南关区·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3． （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅厘米，其质量也只有克．一个鸡蛋的质量大约是50克，一个鸡蛋的质量大约相当于多少只卵蜂的质量是（     ）（结果用科学记数法表示） A．1×10-7 B． C．10×10-7 D．10×107 4．（25-26六年级下·山东威海·期末）已知，，其中m，n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）若的结果中不含项，则的值为（     ）． A．0 B．2 C． D． 6．（26-27八年级上·湖南·期中）下列不能用平方差公式直接计算的是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27八年级上·全国·阶段检测）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）若，，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．9 9．（21-22六年级下·山东济南·阶段检测）若是关于的完全平方式，则的值为(    ) A．或 B．或 C． D． 10．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是_______． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）计算：的值为______________． 12．（2026七年级上·全国·专题练习）______． 13．（25-26七年级下·河南郑州·期末）若，则的值为______． 14．（21-22七年级下·江苏南通·阶段检测）______________． 15．（25-26八年级上·北京·开学考试）如图所示，由四个长为a，宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中，若，，则阴影部分的面积为________． 16．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）如果二项式加上一个含的单项式后构成的三项式是一个完全平方式，则满足条件的单项式是____________． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17.（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． (3) (4) ． ． 18．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）先化简，再求值： （1），其中． （2），其中，． (3)，其中，． (4)，其中，． 19.（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）定义一种运算：． 如：． 计算：将计算所得的多项式分解因式． 20．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题：(1)如果， 求的值； (2)已知， ，用含， 的式子表示． 21．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值：①； ②；③；… (1)由此我们可以得到：__________； (2)请你利用上面的结论，完成下面的计算：①； ②． 22．（26-27八年级上·甘肃天水检测）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． (1)在图2中的阴影部分面积S1可表示为___________（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为___________（写成两数平方差的形式）； (2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是（     ） A．     B． C． (3)请利用所得等式解决下面的问题：①已知，则 ___________； ②计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少． ③计算：． 23．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）【教材原型】对于一个图形，两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到，若把等式中的b换成就可得到． (1)根据图2和图3分别写出下列公式： ①写出图2中所表示的数学等式_____________________________________________； ②写出图3中所表示的数学等式______________________________________________； 【模型运用】(2)若实数x，y满足，且，求的值； (3)若， ，求的值； (4)若，，求的值． 能力提升部分 1．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）关于，的方程组的解满足，则的值是（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，四边形是边长为4的正方形，四边形是长方形，若，，且，都小于4，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期末）某校“快乐农场”开辟出一块边长为的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a，b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为，每个长方形的面积为．如图，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是（     ）． A．53 B．51 C．47 D．68 5．（25-26七年级下·河南郑州·期中）计算 的结果为（     ） A． B． C． D． 6．（21-22七年级下·江苏苏州·期末）如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 7．（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）观察下列各式：；； ；…… 根据规律计算：____________． 8．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）两个正方形如图放置，点，，在同一条直线上，已知，阴影部分面积为40，则两个正方形面积之和为（    ） A．230 B．240 C．250 D．260 10．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一， 它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”． 帕斯卡是在1654年发现这一规律的， 比我国迟了近600年． 如图， 是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和）， 它把二项式乘方展开式系数图形化， 它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数， 请你仔细观察下列等式中的规律， 并利用杨辉三角解决下列问题． (1)【初步感知】按以上规则，展开式共有 ___________项，第三项（字母部分为）的系数是 ___________； (2)【拓展推广】利用杨辉三角，写出的各项的系数 ___________； (3)【迁移应用】我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 11．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用．例如：利用配方法求最小值：求代数式的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是．根据上述材料，解答下列问题：(1)填空： (2)将变形为的形式，并求出的最小值． (3)如图，某农场计划利用一面足够长的承重墙，再用总长为的篱笆围成一个长方形菜园，长方形一边平行于承重墙．设垂直于墙的边长为，菜园的面积为，求的最大值． 12．（26-27八年级上·湖南衡阳·检测）阅读理解：满足，求的值． 解：设，，则，， 解决问题：(1)若满足，则 ； (2)若满足，求的值； (3)如图，边长为的正方形和边长为的正方形摆放在一起（），其中、、三点在同一条直线上，若，，求阴影部分面积 13．（25-26七年级下·广东佛山·期中）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？(3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 14．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）【实践背景】为打造“书香校园、绿色校园”，学校计划利用数形结合的数学思想，设计校园景观与文化标识，让抽象的数学知识在校园场景中变得直观可感．本次活动以“图形面积探究”为主题，引导学生通过几何图形的面积推导，理解数学公式的本质，并将其应用于校园景观设计中． 【知识建构】数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性．很多代数恒等式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 如图（1），在边长为的正方形中减掉一个边长为的小正方形，余下部分剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影面积可表示为，图（2）阴影面积可表示为，因此可得平方差公式：． 【类比探究】(1)学校文化墙设计中，用两种不同方法表示图（3）中阴影部分的面积，可得代数恒等式：___________． 【实战运用】(2)若文化墙设计中，，则阴影部分的面积和___________． 【深度拓展】(3)校园景观设计中，某区域的尺寸满足，求该区域相关图形的面积和的值． 【迁移运用】(4)如图（4），学校有一块梯形空地，对角线于点，，．学校计划在和区域内种花，已知种花区域的面积和为，对角线，求种草区域（和）的面积和． 15．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $