3.3第1课时 探索数字与图形规律 课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

3.3 探索与表达规律 第1课时 探索数字与图形规律 2026-2027学年 北师大版 数学 七年级上学期 学习目标 1. 通过观察、分析、猜想、验证，发现日历中数的规律，并用代数式表示； 2. 探索数字问题和图形问题中的规律，能用代数式表示规律； 3. 经历探索-表示-验证的过程，培养符号意识和推理能力。 重点：用代数式表示规律 难点：探索规律的方法 知识回顾 用含字母n的代数式表示下列规律： 偶数序列：2, 4, 6, 8, 10, ... 第n项：2n 奇数序列：1, 3, 5, 7, 9, ... 第n项：2n-1 正整数平方：1, 4, 9, 16, 25, ... 第n项：n^2 2的幂次：2, 4, 8, 16, 32, ... 第n项：2^n 10的倍数：10, 100, 1000, ... 第n项：10^n 正负交替：-1, 1, -1, 1, -1, ... 第n项：(-1)^n 情境引入 — 日历中的规律 观察某年某月的日历，你能发现什么规律？ 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 思考： ① 同一行中，相邻两数有什么关系？ ② 同一列中，相邻两数有什么关系？ ③ 对角线上相邻两数呢？ ④ 框出3x3的九个数，它们的和有什么规律？ 探究一：日历中的基本规律 横向相邻 右边比左边大1 若左边为x，则右边为x+1 差为1 纵向相邻 下边比上边大7 若上边为x，则下边为x+7 差为7 对角相邻 右下比左上大8 左下比右上大6 差为8和6 核心探究：用方框框出3x3的九个数（设中间数为x） x-8 x-7 x-6 x-1 x x+1 x+6 x+7 x+8 九个数的和 = (x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8) = 9x 结论：3x3方框中九个数的和是中间数的9倍。 想一想：其他形状的方框 如果框出的不是3x3方框，规律会怎样变化？ 十字形（5个数） 各数：x-7, x-1, x, x+1, x+7 和 = 5x 即5个数的和是中间数的5倍 横排3个数 各数：x-1, x, x+1 和 = 3x 即3个数的和是中间数的3倍 竖列3个数 各数：x-7, x, x+7 和 = 3x 即3个数的和是中间数的3倍 2x2方框（4个数） 各数：x, x+1, x+7, x+8 和 = 4x+16 对角两数之和相等 例1：日历规律的应用 例1 在某月的日历中，用3x3方框框出九个数： （1）这九个数的和可能是100吗？为什么？ （2）这九个数的和可能是180吗？如果可能，请求出这九个数。 （3）这九个数的和可能是270吗？为什么？ 解：设中间数为x，则九个数的和为9x。 （1）9x = 100，x = 100/9 不是整数，因此不可能。 （2）9x = 180，x = 20。九个数分别是：12, 13, 14, 19, 20, 21, 26, 27, 28，这些日期在同一个月内存在，因此可能。 （3）9x = 270，x = 30。右下角为30+8=38，而一个月最多31天，因此不可能。 方法总结：设中间数x -> 列方程 -> 检验x是否为整数且在日历范围内 探究二：数字中的规律 观察下列各列数，找出规律并用含n的代数式表示第n个数： （1）3, 5, 7, 9, 11, ... 第n个数：2n+1 （2）5, 9, 13, 17, 21, ... 第n个数：4n+1 （3）1, 4, 9, 16, 25, ... 第n个数：n^2 （4）2, 5, 10, 17, 26, ... 第n个数：n^2+1 （5）2, 6, 12, 20, 30, ... 第n个数：n(n+1) 即 n^2+n （6）-1, 2, -4, 8, -16, ... 第n个数：(-1)^n * 2^(n-1) 方法：看相邻两数的差（或比），判断是等差、等比还是平方型规律。 探究三：图形中的规律（搭正方形） 用火柴棒按下图方式搭正方形： 1个：4根 2个：7根 3个：10根 4个：13根 正方形个数x 1 2 3 4 5 ... x 火柴棒根数y 4 7 10 13 16 ... 3x+1 三种思考方法： 方法一：第一个正方形用4根，每增加一个正方形增加3根 -> 4+3(x-1) = 3x+1 方法二：上面一排和下面一排各用x根，竖直方向用(x+1)根 -> x+x+(x+1) = 3x+1 方法三：把每个正方形都看成4根，减去重复的(x-1)根 -> 4x-(x-1) = 3x+1 结论：搭x个正方形需要 (3x+1) 根火柴棒。 例2：餐桌摆椅子问题 例2 按下图方式摆放餐桌和椅子： 1张桌：坐6人 2张桌：坐10人 3张桌：坐14人 4张桌：坐18人 （1）2张餐桌可坐___人，3张餐桌可坐___人； （2）n张餐桌拼在一起，可坐多少人？（用含n的代数式表示） 解：填表找规律 桌子张数 1 2 3 4 ... n 可坐人数 6 10 14 18 ... 4n+2 答：（1）2张坐10人，3张坐14人；（2）n张桌子可坐(4n+2)人。 课堂练习 1. 观察数列：1, 3, 5, 7, 9, 11, ...，第n个数是____；第20个数是____。 2. 观察数列：4, 8, 12, 16, 20, ...，第n个数是____；第100个数是____。 3. 观察数列：3, 8, 15, 24, 35, ...，第n个数是____。 4. 用火柴棒搭三角形：搭1个用3根，搭2个用5根，搭3个用7根...搭n个用____根。 5. 日历中一竖列上相邻三个数的和可能是（ ） A. 25 B. 36 C. 40 D. 75 6. 观察图形规律：第1个图形有1个点，第2个有3个点，第3个有6个点，第4个有10个点...第n个图形有____个点。 答案： 1. 2n-1；39 2. 4n；400 3. (n+1)^2-1 即 n^2+2n 4. 2n+1 5. B（36=3*12） 6. n(n+1)/2 拓展思考：折纸中的折痕问题 将一张长方形的纸对折，每次折痕与上次平行： 对折1次：1条折痕 对折2次：3条折痕 对折3次：7条折痕 对折4次：15条折痕 对折次数 1 2 3 4 5 ... n 折痕条数 1 3 7 15 31 ... 2^n - 1 规律分析： 观察：1, 3, 7, 15, 31, ... 每一项比前一项多 2, 4, 8, 16, ... 即 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, ... 对比2的幂：2^1-1=1，2^2-1=3，2^3-1=7，2^4-1=15，2^5-1=31 因此，对折n次，折痕条数为 2^n - 1。 方法提示：当一组数每一项都接近2的幂时，考虑2^n +/- a的形式。 课堂小结 本节课我们学习了什么？ 1. 日历中的规律 横行：右边比左边大1；竖列：下边比上边大7 3x3方框九个数的和 = 9 * 中间数；十字形5个数的和 = 5 * 中间数 关键是设中间数为x，用x表示其他数 2. 探索规律的一般步骤 观察特例 -> 猜想规律 -> 用代数式表示 -> 验证规律 3. 常见规律类型 等差型：相邻差为常数，如3n+1、4n+2 平方型：n^2、n^2+1、(n+1)^2-1 等 幂次型：2^n、2^n-1 等 图形规律：从特殊到一般，列表归纳 作业布置 必做题（全体同学） 1. 教材P99 习题3.8 第1、2题； 2. 在日历中任意画出2x2方框，用x表示四个数，并验证它们的和的规律。 选做题（学有余力的同学） 3. 教材P100 习题3.8 第3题（折痕问题）； 4. 观察 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...（三角形数），写出第n个数。 实践题 5. 回家观察生活中还有哪些周期性规律（如日历、钟表等），尝试用代数式表示。 谢谢观看 数学规律，无处不在 $